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Full text of "Memorie della Accademia delle Scienze di Torino."

MEMORIE 

DELLA 

REALE ACCADEMIA DELLE SCIENZE 

DI TOBINO 



MEMORIE 

DELLA 

REALE ACCADEMIA 

DELLE SCIENZE 

DI TORINO 



SERIE SECONDA 

Tomo XLIV 




TORINO 

CARLO CEAUSEN 

Libraio della R. Accademia delle Scienze 

MDCCCXCIV 



PROPRIETÀ 



LETTERARIA 



Vincenzo Bona, Tipografo di S. M. e Reali Principi 
e della Reale Accademia delle Scienze. 



ELENCO 



ACCADEMICI RESIDENTI, NAZIONALI NON RESIDENTI 
STRANIERI E CORRISPONDENTI 

al 1° Ottobre mdcccxciv. 



Presidente 



Vice-Presidente 

Carle (Giuseppe), Dottore aggregato alla Facoltà di Leggi, Professore di Filosofia 
del Diritto nella R. Università, di Torino, Membro del Consiglio Superiore della 
Istruzione Pubblica, Socio Nazionale della R. Accademia dei Lincei, Comm. * , e 



Tesoriere 

Camerano (Lorenzo), Dott. aggregato alla Facoltà di Scienze fisiche, matematiche 
e naturali, Professore di Anatomia comparata nella R. Università di Torino, Socio 
della R. Accademia di Agricoltura di Torino, Membro della Società Zoologica di 
Francia, Membro corrispondente della Società Zoologica di Londra. 



Serie II. Tom. XLIV. 



2 



V! 



CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEMATICHE E NATURALI 



Direttore 

D'Ovidio (Dott. Enrico), Professore di Algebra e Geometria analitica, incaricato 
di Analisi superiore e Preside della Facoltà di Scienze fisiche, matematiche e natu- 
rali nella R. Università di Torino, Uno dei XL della Società Italiana delle Scienze, 
Socio Nazionale della R. Accademia dei Lincei, Corrispondente della R. Accademia 
delle Scienze di Napoli, del R. Istituto Lombardo di Scienze e Lettere, Socio dell'Ac- 
cademia Pontaniana, ecc., Uffìz. #, Comm. ». 

Segretario 

Basso (Giuseppe), Dottore aggregato alla Facoltà di Scienze fisiche, matematiche 
e naturali, Professore di Fisica matematica nella R. Università di Torino, Professore 
di Fisica nella R. Accademia Militare, Socio della R. Accademia di Agricoltura di 
Torino, Membro della Società degli Spettroscopisti Italiani, <m>. 



ACCADEMICI RESIDENTI 

Salvadori (Conte Tommaso), Dottore in Medicina e Chirurgia, Vice-Direttore 
del Museo Zoologico della R. Università di Torino, Professore di Storia naturale nel 
R. Liceo Cavour di Torino, Socio della R. Accademia di Agricoltura di Torino, della 
Società Italiana di Scienze Naturali, dell'Accademia Gioenia di Catania, Membro 
Corrispondente della Società Zoologica di Londra, dell'Accademia delle Scienze di 
Nuova York, della Società dei Naturalisti in Modena, della Società Reale delle Scienze 
di Liegi, e della Reale Società delle Scienze Naturali delle Indie Neerlandesi, e del 
R. Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, Membro effettivo della Società Im- 
periale dei Naturalisti di Mosca, Socio Straniero della British Omithological Union, 
Socio Straniero onorario del Nuttall Omithological Club, Socio Straniero dell' American 
Ornithologist's Union, e Membro onorario della Società Ornitologica di Vienna, Membro 
ordinario della Società Ornitologica tedesca, Uffiz. m>, Cav. dell'O. di S. Giacomo 
del merito scientifico, letterario ed artistico (Portogallo). 



VII 



Cossa (Alfonso), Dottore in Medicina, Direttore della Regia Scuola d'Applicazione 
degli Ingegneri in Torino, Professore di Chimica docimastica nella medesima Scuola, 
e di Chimica minerale presso il R. Museo Industriale Italiano, Socio Nazionale della 
R. Accademia dei Lincei, Uno dei XL della Società Italiana delle Scienze, Corri- 
spondente del R. Istituto Lombardo di Scienze e Lettere , del R. Istituto Veneto' di 
Scienze, Lettere ed Arti, dell'Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna, e 
della R. Accademia delle Scienze di Napoli, Socio ordinario non residente dell'Istituto 
d'Incoraggiamento alle Scienze naturali di Napoli, Presidente della Reale Accademia 
di Agricoltura di Torino, e Socio dell'Accademia Gioenia di Catania, Socio effettivo 
della Società Imperiale Mineralogica di Pietroburgo, Comm. ®, e dell'O. d'Is. 
Catt. di Sp. 

Berbuti (Giacinto), Direttore del R. Museo Industriale Italiano, e dell'Officina 
governativa delle Carte- Valori, Socio della R. Accademia di Agricoltura di Torino, 
Gr. Uffiz. Comm. *, dell'O. di Francesco Giuseppe d'Austria, della L. d'O. di 
Francia, e della Repubblica di S. Marino. 

Siacci (Francesco), Senatore del Regno, Tenente Colonnello d'Artiglieria della 
Riserva, Professore ordinario di Meccanica razionale nella R. Università di Napoli (già 
di Meccanica superiore in quella di Torino), Professore onorario della R. Università 
di Torino, Uno dei XL della Società Italiana delle Scienze, Socio Nazionale della 
R. Accademia dei Lincei, e Corrispondente del R. Istituto Lombardo di Scienze e 
Lettere, e dell'Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna, Uff. *, Comm. m-.. 

Basso (Giuseppe), predetto. 
D'Ovidio (Enrico), predetto. 

Bizzozero (Giulio), Senatore del Regno, Professore e Direttore del Laboratorio 
di Patologia generale nella R. Università di Torino, Socio Nazionale della R. Acca- 
demia dei Lincei e delle RR. Accademie di Medicina e di Agricoltura di Torino, Socio 
Straniero dell' Academia Caesarea Leopoldina- Carolina Germanica Naturae Curiosorum, 
Socio Corrispondente del R. Istituto Lombardo di Scienze e Lettere, del R. Istituto 
Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, dell'Accademia delle Scienze dell'Istituto di 
Bologna, Membro del Consiglio Superiore di Sanità, ecc. Uffiz. # e Comm. ». 

Ferraris (Galileo), Ingegnere, Dottore aggregato alla Facoltà di Scienze fisiche, 
matematiche e naturali della R. Università di Torino, Prof, di Fisica tecnica e Di- 
rettore del Laboratorio di Elettrotecnica nel R. Museo Industriale Italiano, Prof, 
di Fisica nella R. Scuola di Guerra, Socio Nazionale della R. Accademia dei Lincei, 
Uno dei XL della Società Italiana delle Scienze, Corrispondente del R. Istituto 
Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, Socio della R. Accademia di Agricoltura di 
Torino; Socio Straniero dell' Academia Caesarea Leopoldino-Carolina Germanica Naturae 
Curiosorum, Membro onorario della Società di Fisica di Francoforte sui Meno, e 
dell'Associazione degli Ingegneri elettricisti dell'Istituto Montefiore di Liegi; Uff. 
Comm. tm, dell'O. di Frane. Gius. d'Austria e dell'O. reale della Corona di Prussia. 



Vili 



Naccarì (Andrea), Dottore in Matematica, Socio Corrispondente del R. Istituto 
Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, e della R. Accademia dei Lincei, Professore di 
Fisica sperimentale nella R. Università di Torino, Uffìz. &>. 

Mosso (Angelo), Dottore in Medicina e Chirurgia, Professore di Fisiologia nella 
R. Università di Torino, Socio Nazionale della R. Accademia dei Lincei, della R. Acca- 
demia di Medicina di Torino, Socio Corrispondente del R. Istituto Lombardo di 
Scienze e Lettere, e del R. Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, dell' Academia 
Caesarea Leopoldino-Carolina Germanica Nattirae Curiosorum, della Società Reale di 
Scienze mediche e naturali di Bruxelles, ecc. ecc., *, Comm. <m. 

Spezia (Giorgio), Ingegnere, Professore di Mineralogia, e Direttore del Museo 
mineralogico della Regia Università di Torino, &. 

Girelli (Giuseppe), Dottore in Medicina e Chirurgia, Professore di Botanica, e 
Direttore dell'Orto botanico della R. Università di Torino, Socio Nazionale della 
R. Accademia dei Lincei, *, &. 

Giacomini (Carlo), Dott. aggregato in Medicina e Chirurgia, Prof, di Anatomia 
umana, descrittiva, topografica ed Istologia, Corrispondente dell'Accademia delle 
Scienze dell'Istituto di Bologna, Socio della R. Accademia di Medicina di Torino, e 
Direttore dell'Istituto Anatomico della Regia Università di Torino, #, &. 

Camerano (Lorenzo), predetto. 

Segre (Corrado), Dott. in Matematica, Professore di Geometria superiore nella 
R. Università di Torino, Corrispondente della R. Accademia dei Lincei e del R. Istituto 
Lombardo di Scienze e Lettere, tea. 

Peano '(Giuseppe), Dottore in Matematica, Prof, di Calcolo infinitesimale nella 
R. Università di Torino. 



ACCADEMICI NAZIONALI NON RECÌDENTI 

Menabrea (S. E. Conte Luigi Federigo), Marchese di Val Dora, Senatore del 
Regno, Professore emerito di Costruzioni nella R. Università di Torino, Tenente 
Generale, Primo Aiutante di campo Generale Onorario di S. M., Uno dei XL della 
Società Italiana delle Scienze, Socio Nazionale della R. Accademia dei Lincei, Cor- 
rispondente dell'Istituto di Francia (Accademia delle Scienze), Membro Onorario del 
R. Istituto Lombardo di Scienze e Lettere, del R. Istituto Veneto di Scienze, Lettere 
ed Arti, della R. Accademia di Lettere e Scienze di Modena, Uffiziale della Pubblica 
Istruzione di Francia, ecc.; C. 0. S. SS. N., Gr. Cr. e Cons. *, Oav. e Cons. 
Gr. Cr. $m, dee. della Medaglia d'oro al Valor Militare e della Med. d'oro Mau- 
rjziana; Gr. Cr. dell'O. Supr. del Serafino di Svezia, dell'O. di S. Alessandro Newski 



IX 



di Russia, di Danebrog di Danim., Gr. Cr. dell'O. di Torre e Spada di Portogallo, 
dell'O. del Leone Neerlandese, di Leop. del Belg. (Categ. Militare), della Probità di 
Sassonia, della Corona di Wurtemberg, e di Carlo III di Sp., Gr. Cr. dell'O. di 
S. Stefano d'Ungheria, dell'O. di Leopoldo d'Austria, di quelli della Fedeltà e del 
Leone di Zahringen di Baden, Cr. Cr. dell'Ordine del Salvatore di Grecia, Cr. Cr. 
dell'Ordine di S. Marino, Cr. Cr. degli Ordini del Nisham Ahid e del Nisham Iftigar 
di Tunisi, Cr. Cr. dell'Ordine della L. d'O. di Francia, di Cristo di Portogallo, del 
Merito di Sassonia, di S. Giuseppe di Toscana, Dottore in Leggi, honoris causa, delle 
Università di Cambridge e di Oxford, ecc., ecc. 

BrioschI (Francesco), Senatore del Regno, Direttore del R. Istituto tecnico 
superiore di Milano, Presidente della R. Accademia dei Lincei, Urto dei XL della 
Società Italiana delle Scienze, Membro del R. Istituto Lombardo di Scienze e Lettere, 
della Reale Accademia delle Scienze di Napoli, dell'Istituto di Bologna, ecc.. Cor- 
rispondente dell'Istituto di Francia (Accademia delle Scienze. Sezione di Geometria), 
e delle Reali Accademie delle Scienze di Berlino, di Gottinga, di Pietroburgo, del 
Belgio, di Praga, di Erlangen, ecc., Dottore ad honorem delle Università di Heidelberg 
e di Dublino, Membro delle Società Matematiche di Parigi e di Londra e delle 
Filosofiche di Cambridge e di Manchester, Gr. Cord. * ; della Legion d'Onore; &, <e ; 
Comm. dell'O. di Cr. di Port. 

Cannizzaro (Stanislao), Senatore del Regno, Professore di Chimica generale 
nella R. Università di Roma, Uno dei XL della Società Italiana delle Scienze, Socio 
Nazionale della R. Accademia dei Lincei, Socio Corrispondente dell'Accademia delle 
Scienze di Berlino, di Vienna, e di Pietroburgo, Socio Straniero della R. Accademia 
delle Scienze di Baviera e della Società Reale di Londra, Comm. *, Gr. Uffiz. <&; 

Schiapabelli (Giovanni), Direttore del R. Osservatorio astronomico di Milano, 
Uno dei XL della Società Italiana delle Scienze, Socio del R. Istituto Lombardo di 
Scienze e Lettere, della R. Accademia dei Lincei, dell'Accademia Reale di Napoli 
e dell'Istituto di Bologna, Socio Corrispondente dell'Istituto di Francia (Accademia 
delle Scienze, Sezione di Astronomia), delle Accademie di Monaco, di Vienna, di 
Berlino, di Pietroburgo, di Stockolma, di Upsala, di Cracovia, della Società de' Natu- 
ralisti di Mosca, e della Società astronomica di Londra, Gr. Cord. <m-; Comm. *; 

Cremona (Luigi), Senatore del Regno, Professore di Matematica superiore nella 
R. Università di Roma, Direttore della Scuola d'Applicazione per gli Ingegneri, 
Vice Presidente del Consiglio Superiore dell'Istruzione Pubblica, Uno dei XL della 
Società Italiana delle Scienze, Socio Nazionale della R. Accademia dei Lincei, Socio 
del R. Istituto Lombardo, del R. Istituto d'Incoraggiamento di Napoli, dell'Accademia 
dell'Istituto di Bologna, delle Società Reali di Londra, di Edimburgo, di Gottinga, di 
Praga, di Liegi e di Copenaghen, delle Società matematiche di Londra, di Praga e 
di Parigi, delle Reali Accademie di Napoli, di Amsterdam e di Monaco, Membro 
onorario dell'Insigne Accademia romana di Belle Arti detta di San Luca, della Società 
Filosofica di Cambridge e dell'Associazione britannica pel progresso delle Scienze, 



X 



Membro Straniero della Società delle Scienze di Harlem, Socio Corrispondente delle 
Reali Accademie di Berlino e di Lisbona, Dottore (LL. D.) dell'Università di Edim- 
burgo, Dottore (D. Se.) dell'Università di Dublino, Professore emerito nell'Università 
di Bologna, Gr. Uffiz. *, e tm, Cav. e Cons. #. 

Beltkami (Eugenio), Socio Nazionale della R. Accademia dei Lincei, Uno dei XL 
della Società Italiana delle Scienze, Socio effettivo del R. Istituto Lombardo e della 
R. Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna, Socio estero della R. Accademia 
di Gottinga, Socio Corrispondente della R. Accademia di Berlino, della Società Reale 
di Napoli, dell'Istituto di Francia (Accademia delle Scienze, Sezione di Meccanica), 
della Società Matematica di Londra, Professore di Fisica matematica nella R. Uni- 
versità di Roma, Comm. * ; &, &. 



ACCADEMICI STRANIERI 

Dana (Giacomo), Professore a New Haven. 
Hekmite (Carlo), Professore nella Facoltà di Scienze, Parigi. 
Weierstrass (Carlo), Professore nell'Università di Berlino. 
Thomson (Guglielmo), Professore nell'Università di Glasgow. 
Gegenbaur (Carlo), Professore nell'Università di Heidelberg. 
Cayley (Arturo), Professore nella Università di Cambridge. 
Virchow (Rodolfo), Professore nella Università di Berlino. 
Koelliker (Alberto), Professore nell'Università di Wiirzburg. 



XI 



COERISPONDENTI 



SEZIONE DI MATEMATICHE PURE 

Tardy (Placido), Professore emerito della R. Università di Genova Firenze 

Cantor (Maurizio), Professore nell'Università di Heidelberg 

Schwarz (Ermanno A.), Professore nell'Università di ... . Gottinga 

Klein (Felice), Professore nell'Università di Gottinga 

Dini (Ulisse), Professore di Analisi superiore nella R. Università di Pisa 

Bertini (Eugenio), Professore nella Regia Università di . . . Pisa 

Darboux (G. Gastone), dell'Istituto di Francia Parigi 

Poincaré (G. Enrico), dell'Istituto di Francia Parigi 

Noether (Massimiliano), Professore nell'Università di .... Erlangen 

Bianchi (Luigi), Professore nella R. Università di Pisa 

SEZIONE DI MATEMATICHE APPLICATE, ASTRONOMIA 
E SCIENZA DELL'INGEGNERE CIVILE E MILITARE 

Fergola (Emanuele), Professore di Analisi superiore nella R. Uni- 
versità di ]S[ apo u 

Tacchini (Pietro), Direttore dell'Osservatorio del Collegio Romano Roma 

Fasella (Felice), Direttore della Scuola navale Superiore di . . Genova 

Hopkinson (Giovanni), della Società Reale di Londra 

Zeuner (Gustavo), Professore nel Politecnico di Dresda 

Ewing (Giovanni Alfredo), Professore nell'Università di . . . Cambridge 



XII 

SEZIONE DI FISICA GENERALE E SPERIMENTALE 

Blaserna (Pietro), Professore di Fisica sperimentale nella R. Uni- 
versità di Roma 

Kohlrausch (Federico), Professore nell'Istituto fisico di . . . Strasburgo 

Cornu (Maria Alfredo), dell'Istituto di Francia Parigi 

Felici (Riccardo), Professore di Fisica sperimentale nella R. Uni- 
versità di Pisa 

Villari (Emilio), Professore nella R. Università di Napoli 

Roiti (Antonio), Professore nell'Istituto di Studi superiori pratici 

e di perfezionamento in Firenze 

Wiedemann (Gustavo), Professore nell'Università di Lipsia 

Righi (Augusto), Professore di Fisica sperimentale nella R. Uni- 
versità di Bologna 

Lippmann (Gabriele), dell'Istituto di Francia . Parigi 

Hertz (Enrico Rodolfo), Professore nell'Università di . . . . Bonn 

Bartoli (Adolfo), Professore di Fisica nella R. Università di . PtyVW 

SEZIONE DI CHIMICA GENERALE ED APPLICATA 

Bonjean (Giuseppe) Chambéry 

Plantamour (Filippo), Prof, di Chimica Ginevra 

Will (Enrico), Professore di Chimica Giessen 

Bunsen (Roberto Guglielmo), Professore di Ohimica . _ . . . Heidelberg 

Berthelot (Marcellino), dell'Istituto di Francia Parigi 

Paterno (Emanuele), Professore di Chimica nella R. Università di Palermo 

Kòrner (Guglielmo), Professore di Chimica organica nella R. Scuola 

superiore d'Agricoltura in Milano 



XIII 

Friedel (Carlo), dell'Istituto di Francia Parigi 

Fresenitts (Carlo Remigio), Professore a Wiesbaden 

Baeyeb (Adolfo von), Professore nell'Università di Monaco (Baviera) 

Kekule (Augusto), Professore nell'Università di Bonn 

Williamson (Alessandro Guglielmo), della R. Società di . . . Londra 

Thomsen (Giulio), Professore nell'Università di Copenaghen 

Lieben (Adolfo), Professore nell'Università di Vienna 

Mendelejeff (Demetrio), Professore nell'Imp. Università di . . Pietroburgo 

Hoff (J. H. van't), Professore nell'Università di Amsterdam 



SEZIONE DI MINERALOGIA, GEOLOGIA E PALEONTOLOGIA 



Struver (Giovanni), Professore di Mineralogia nella R. Università di Roma 

Rosenbusch (Enrico), Professore nell'Università di Heidelberg 

Nordenskiold (Adolfo Enrico), della R. Accademia delle Scienze di Stoccolma 

Daubrée (Gabriele Augusto), dell'Istituto di Francia, Direttore 

della Scuola Nazionale delle Miniere a .......... . Parigi 

Zirkel (Ferdinando), Professore a . Lipsia 

Des Cloizeaux (Alfredo Luigi Oliviero Legrand), dell'Istituto di 

Francia Parigi 

Capellini (Giovanni), Professore nella R. Università di . . . . Bologna 

T schermar (Gustavo), Professore nell'Università di .... . Vienna 

Arzruni (Andrea), Professore nell'Istituto tecnico sup. (technische 

Hochschule) Aquisgrana 

Klein (Carlo), Professore nell'Università di Berlino 

Geikie (Arcibaldo), Direttore del Museo di Geologia pratica . . Londra 

Sehie II. Tom. XLIV. 3 



XIV 

SEZIONE DI BOTANICA E FISIOLOGIA VEGETALE 



Tkévisan de Saint-Leon (Conte Vittore), Corrispondente del 

R. Istituto Lombardo Milano 

Gennaei (Patrizio), Professore di Botanica nella R. Università di Cagliari 

Caruel (Teodoro), Professore di Botanica nell'Istituto di Studi 

superiori pratici e di perfezionamento in Firenze 

Ardissone (Francesco), Professore di Botanica nella R. Scuola 

superiore d'Agricoltura in Milano 

Saccardo (Andrea), Professore di Botanica nella R. Università di Padova 

Hooker (Giuseppe Dalton), Direttore del Giardino Reale di Kew Londra 

Sachs (Giulio von), Professore nell'Università di Wiirzburg 

Delpino (Federico), Professore nella R. Università di ... . Bologna 

Pirotta (Romualdo), Professore nella Regia Università di , . Roma 

Strasburger (Edoardo), Professore nell'Università di. . . . .. Bonn 

SEZIONE DI ZOOLOGIA, ANATOMIA E FISIOLOGIA COMPARATA 

De Selys Longchamps (Edmondo) Liegi 

Philippi (Rodolfo Armando) . . . . Santiago (cwu) 

Golgi (Camillo), Professore di Istologia, ecc., nella R. Università di Pavia 

Haeckel (Ernesto), Professore nell'Università di Jena 

Sclater (Filippo Lutley), Segretario della Società Zoologica di . Londra 

Fatio (Vittore), Dottore Ginevra 

Kovalewski (Alessandro), Professore nell'Università di ... . Odessa 

Ludwig (Carlo), Professore nell'Università di . Lipsia 

Locard (Arnould), dell'Accademia delle Scienze di .... . Lione 

Chauveau (G. B. Augusto), Professore alla Scuola di Medicina di Parigi 

Foster (Michele), Professore nell'Università di. Cambridge 

Heindenhain (Rodolfo), Professore nell'Università di Breslavia 

Waldeyer (Guglielmo), Professore nell'Università di .... Berlino 

Guenther (Alberto), Direttore del Dipartimento zoologico del 
Museo Britannico di Londra 

■ Hower (Guglielmo Enrico), Direttore del Museo di Storia naturale Londra 



XV 



CLASSE Di SCIENZE MORALI STORICHE E FILOLOGICHE 



Direttore 



Segretario 

Ferrerò (Ermanno), Dottore in Giurisprudenza, Dottore aggregato alla Facoltà di 
Lettere e Filosofia nella R. Università di Torino, Professore nell'Accademia Militare, 
R. Ispettore per gli scavi e le scoperte di antichità nel Circondario di Torino, Con- 
sigliere della Giunta Superiore per la Storia e l'Archeologia, Membro della Regia 
Deputazione sovra gli studi di Storia patria per le antiche Provincie e la Lombardia, 
Membro e Segretario della Società di Archeologia e Belle Arti per la Provincia di 
Torino, Socio Corrispondente della R. Deputazione di Storia patria per le Provincie 
di Romagna, dell'Imp. Instituto Archeologico Germanico, e della Società Nazionale 
degli Antiquarii di Francia, fregiato della Medaglia del merito civile di l a ci. della 
Rep. di S. Marino, &. 



Accademici residenti 

Peyron (Bernardino), Professore di Lettere, Bibliotecario Onorario della Biblioteca 
Nazionale di Torino, Socio Corrispondente del R. Istituto Veneto di Scienze, Lettere 
ed Arti, Gr. Uffiz. *, Uffiz. 

Vallauri (Tommaso), Senatore del Regno, Professore di Letteratura latina e 
Dott. aggregato alla Facoltà di Lettere e Filosofia nella Regia Università di Torino, 
Membro della Regia Deputazione sovra gli studi di Storia patria, Accademico d'onore 
della Romana Accademia delle Belle Arti di San Luca, Socio Corrispondente della 
R. Accademia della Crusca, del R. Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, 
dell'Accademia Romana di Archeologia, della R. Accademia Palermitana di Scienze. 
Lettere ed Arti, della Società storica di Dallas Texas (America del Nord), Gr. Uffiz. * 
e Comm. ma, Cav. dell'Ordine di S. Gregorio Magno. 



XVI 



Claretta (Barone Gaudenzio), Dottore in Leggi, Socio e Segretario della Regia 
Deputazione sovra gli studi di Storia patria, Vice-Presidente della Società di Archeo- 
logia e Belle Arti per la Provincia di Torino, Membro della Commissione conservatrice 
dei monumenti di antichità e belle arti della Provincia ecc., Comm. *, Gr. Uffiz. «si. 

Rossi (Francesco); Professore d' Egittologia nella R. Università di Torino, Vice 
Direttore del Museo di Antichità a riposo, Socio Corrispondente della R. Accademia 
dei Lincei, e della Società per gli Studi biblici in Roma, <m. 

Manno (Barone D. Antonio), Membro e Segretario della R. Deputazione sovra 
gli studi di Storia patria, Membro del Consiglio degli Archivi, Commissario di 
S. M. presso la Consulta araldica, Dottore honoris causa della R. Università di Tii- 
bingen, Comm. , Gr. Uffiz. <m, Cav. d'on. e devoz. del S. 0. M. di Malta. 

Bollati di Saint-Pierre (Barone Federigo Emanuele), Dottore in Leggi, Soprin- 
tendente agli Archivi Piemontesi, e Direttore dell'Archivio di Stato in Torino, 
Membro del Consiglio d'Amministrazione presso il R. Economato generale delle an- 
tiche Provincie, Corrispondente della Consulta araldica, Vice-Presidente della Commis- 
sione araldica per il Piemonte, Membro della R. Deputazione sopra gli studi di storia 
>atria per le Antiche Provincie e la Lombardia, e della Società Accademica d'Aosta, 
Socio corrispondente della Società Ligure di Storia patria, del R. Istituto Veneto di 
Scienze, Lettere ed Arti, della R. Accademia di Scienze, Lettere ed Arti di Padova, 
della Società Colombaria Fiorentina, della R. Deputazione di Storia patria per le 
Provincie della Romagna, della nuova Società per la Storia di Sicilia, e della Società 
di Storia e di Archeologia di Ginevra; Membro onorario della Società di Storia della 
Svizzera Romanza, dell'Accademia del Chablais, e della Società Savoina di Storia e 
di Archeologia ecc., Uffiz. Comm. «p. 

Schiaparelli (Luigi), Dottore aggregato, Professore di Storia antica nella 
11. Università di Torino, Comm. # , e esj. 

Pezzi (Domenico), Dottore aggregato alla Facoltà di Lettere e Filosofia e Pro- 
fessore di Storia comparata delle lingue classiche e neo-latine nella R. Università 
di Torino, sm. 

Ferrerò (Ermanno), predetto. 

Carle (Giuseppe), predetto. 

Nani (Cesare), Dottore aggregato alla Facoltà di Giurisprudenza, Professore di 
Storia del Diritto nella R. Università di Torino, Membro della R. Deputazione sovra 
;?li studi di Storia Patria, *, Uff. m>. 

Berti (S. E. Domenico), Primo Segretario di S. M. pel Gran Magistero del- 
l'Ordine Mauriziano, Cancelliere dell'Ordine della Corona d'Italia, Deputato al Par- 
lamento nazionale, Professore emerito delle RR. Università di Torino, di Bologna, 
e di Roma, Socio Nazionale della Regia Accademia dei Lincei, Socio Corrispondente 



XVII 



della R. Accademia della Crusca e del R. Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed 
Arti, Membro delle RR. Deputazioni di Storia patria del Piemonte e dell'Emilia, 
Gr. Cord. *, e afe; Cav. e Cons. Gr. Cord, della Leg. d'O. di Francia, dell'Ordine 
di Leopoldo del Belgio, dell'Ordine di San Marino, ecc. ecc. 

Cognetti De Martiis (Salvatore), Professore di Economia politica nella R. Uni- 
versità di Torino, Socio Corrispondente della R. Accademia dei Lincei, e della 
R. Accademia dei Georgofili, * , Comm. &. 

Graf (Arturo), Rettore e Professore di Letteratura italiana nella R. Università 
di Torino, Membro della Società romana di Storia patria. Uffiz. # e <m. 

Boselli (S. E. Paolo), Dottore aggregato alla Facoltà di Giurisprudenza della 
R. Università di Genova, già Professore nella R. Università di Roma, Vice-Presi- 
dente della R. Deputazione di Storia Patria, Socio Corrispondente dell'Accademia 
dei Georgofili, Presidente della Società di Storia patria di Savona, Socio della R. Ac- 
cademia di Agricoltura, Deputato al Parlamento nazionale, Ministro delle Finanze, 
Presidente del Consiglio provinciale di Torino, Gr. Uffiz. *, Gr. Cord. Gr. Cord. 
dell'Aquila Rossa di Prussia, dell'Ordine di Alberto di Sassonia e dell'Orci, di Ber- 
toldo I di Zàhringen (Baden), Gr. Uffiz. 0. di Leopoldo del Belgio, Uffiz. della Cor. 
di Pr., della L. d'O. di Francia, e C. 0. della Concezione del Portogallo. 

Cipolla (Conte Carlo), Professore di Storia moderna nella R. Università di Torino, 
Membro della R. Deputazione sovra gli studi di Storia patria per le Antiche Provincie 
e la Lombardia, Socio effettivo della R. Deputazione Veneta di Storia patria, Socio 
Corrispondente dell'Accademia delle Scienze di Monaco (Baviera), Socio Corrispondente 
del R. Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, Uffiz. ®. 



ACCADEMICI NAZIONALI NON RESIDENTI 



Carutti di Cantogno (Barone Domenico), Senatore del Regno, Presidente della 
R. Deputazione sovra gli studi di Storia patria, Socio Nazionale della R. Accademia 
dei Lincei, Membro dell'Istituto Storico Italiano, Socio Straniero della R. Accademia 
delle Scienze Neerlandese, e della Savoia, Socio Corrispondente della R. Accademia 
delle Scienze di Monaco in Baviera, ecc. ecc. Gr. Uffiz. * e &, Cav. e Cons. is, Gr. 
Cord. dell'O. del Leone Neerlandese e dell'O. d'Is. la Catt. di Spagna, ecc. 

Reymond (Gian Giacomo), già Professore di Economia politica nella Regia Uni- 
versità di Torino, *. 

Ricci (Marchese Matteo), Senatore del Regno, Socio Residente della Reale Ac- 
cademia della Crusca, Uffiz. *. 



XVIII 



Canonico (Tancredi), Senatore del Regno, Professore, Presidente di Sezione della 
Corte di Cassazione di Roma, Socio Corrispondente della R. Accademia dei Lincei, 
Socio della R. Àccad. delle Scienze del Belgio, e di quella di Palermo, della Società 
Generale delle Carceri di Parigi, Comm. e Gr. Croce ms, Cav. Comm. dell'Ord. di 
Carlo III di Spagna, Gr. Uffiz. dell'Ord. di Sant'Olaf di Norvegia, Gr. Cord. dell'O. 
di S. Stanislao di Russia. 

Cantù (Cesare), Membro del R. Istituto Lombardo di Scienze e Lettere, e 
del R. Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, della R. Accademia dei Lincei, di 
quelle della Crusca, dell'Arcadia, di S. Luca, della Pontaniana, della Ercolanense, ecc., 
Socio Straniero dell'Istituto di Francia (Accademia delle Scienze morali e politiche), 
Socio della R. Accademia di Scienze, Lettere e Belle Arti del Belgio, Gr. Cr. *, e <m, 
Cav. e Cons. ce, Comm. dell'O. di C. di Port., Gr. Uffiz. dell'O. della Guadalupa del 
Messico, Gr. Cr. dell'O. della Rosa del Brasile, e dell'O. di Isabella la Catt. di 
Spagna, ecc., Uffiz. della Pubblica Istruz. e della L. d'O. di Francia, ecc. 

Tosti (D. Luigi), Abate Benedettino Cassinese, Vice Archivista degli Archivi 
Vaticani. 

Villari (Pasquale), Senatore del Regno, Professore di Storia moderna nell'Istituto 
di Studi superiori, pratici e di perfezionamento in Firenze, Membro del Consiglio 
Superiore di Pubblica Istruzione, Socio Nazionale della R. Accademia dei Lincei, 
della R. Accademia di Napoli, della R. Accademia dei Georgofili, Vice-presidente 
della R. Deputazione di Storia Patria per la Toscana, l'Umbria e le Marche, Socio 
di quella per le provincie di Romagna, Socio Straordinario della R. Accademia di 
Baviera, della R. Accademia Ungherese, Dott. in Legge della Università di Edim- 
burgo, Professore emerito della R. Università di Pisa , Gr. Uffiz. * e &, Cav. A, 
Cav. del Merito di Prussia, ecc., ecc. 

Compaeetti (Domenico), Senatore del Regno, Professore emerito dell'Università 
di Pisa e dell'Istituto di Studi superiori pratici e di perfezionamento in Firenze, 
Socio Nazionale della R. Accademia dei Lincei, Socio corrispondente del R. Istituto 
Lombardo, del R. Istituto Veneto, della R. Accademia delle Scienze di Napoli e 
dell'Accademia della Crusca, Membro della Società Reale pei testi di lingua, Socio 
corrispondente dell'Istituto di Francia (Accademia delle Iscrizioni e Belle Lettere) e 
della R. Accademia delle Scienze di Monaco, Uff. #, Comm. m,, Cav. <p. 



XIX 



ACCADEMICI STRANIERI 

Mommsen (Teodoro), Professore nella Regia Università di Berlino. 

Muller (Massimiliano), Professore nell'Università di Oxford. 

Meyee (Paolo), Professore nel Collegio di Francia, Direttore àe\Y Eeoles des 
Chartes a Parigi. 

Paris (Gastone), Professore nel Collegio di Francia, Parigi. 

Bohtlingk (Ottone), Professore nell'Università di Lipsia. 

Tobler (Adolfo), Professore nell'Università di Berlino. 

Gtneist (Enrico Rodolfo), Professore nell'Università di Berlino. 

Arnetii (Alfredo von), Direttore dell'Archivio imperiale di Vienna. 

M aspero (Gastone), Professore nel Collegio di Francia. 



XX 



CORRISPONDENTI 



SEZIONE DI SCIENZE FILOSOFICHE 



Rendu (Eugenio) Parigi 

Bonatelli (Francesco), Professore nella Regia Università di . . Padova 

Ferri (Luigi), Professore nella R. Università di ...... Roma 

Bonghi (Ruggero), Professore emerito della R. Università di , , Poma 

SEZIONE DI SCIENZE GIURIDICHE E SOCIALI 

Lampertico (Fedele), Senatore del Regno Roma 

Serafini (Filippo), Senatore del Regno, Professore nella R. Uni- 
versità di Pisa 

Serpa Pimentel (Antonio di), Consigliere di Stato Lisbona 

Rodriguez de Berlanga (Manuel) Malaga 

Schupfer (Francesco), Professore nella R. Università di ... . Roma 

Cossa (Luigi), Professore nella R. Università di Pavia 

Perule (Antonio), Professore nella R. Università di Padova 

Gabba (Carlo Francesco), Professore nella R. Università di . . Pisa 

Buonamici (Francesco), Professore nella R. Università di . . . Pisa 

Dareste (Rodolfo), dell'Istituto di Francia Parigi 

SEZIONE DI SCIENZE STORICHE 

Adriani (P. Giambattista), della R. Deputazione sovra gli studi di 

Storia Patria Cherasco 

Perrens (Francesco), dell'Istituto di Francia Parigi 



XXI 

Haulleville (Prospero de) Bruxelles 

De Leva (Giuseppe), Professore nella R. Università di ... . Padova 

Sybel (Enrico Carlo Ludolfo von), Direttore dell'Archivio di 

Stato in . Berlino 

Wallon (Alessandro), Segretario perpetuo dell'Istituto di Francia 

(Accademia delle Iscrizioni e Belle Lettere) Parigi 

Willems (Pietro), Professore nell'Università di Lovanio 

Birch (Walter de Gray), del Museo Britannico di Londra 

Capasso (Bartolomeo), Sovrintendente degli Archivi Napoletani . Napoli 

Carini (Mons. Isidoro), Prefetto della Biblioteca Vaticana . . . Roma 

Wattenbach (Guglielmo), Professore nell'Università di ... . Berlino 

Chevalier (Canonico Ulisse) Eomans 



SEZIONE DI ARCHEOLOGIA 



Palma di Cesnola (Conte Luigi) New- York 

Fiorelli (Giuseppe), Senatore del Regno Roma 

Curtius (Ernesto), Professore nell'Università di Berlino 

Lattes (Elia). Membro del R. Istituto Lombardo di Scienze e 

Lettere Milano 

Poggi (Vittorio), Bibliotecario e Archivista civico a Savona 

Pleyte (Guglielmo), Conservatore del Museo Egizio a . . . . Leida 

Palma di Cesnola (Cav. Alessandro). Membro della Società degli 

Antiquarii di Londra 

Mowat (Roberto), Membro della Società degli Antiquari di Francia Parigi 

Nadaillac (Marchese I. F. Alberto de) Parigi 

Brizio (Eduardo), Professore nell'Università di Bologna 

Sebie II. Tom. XLIV. 4 



XXII 



SEZIONE DI GEOGRAFIA 



Negri (Barone Cristoforo), Console generale di I a Classe, Consultore 

legale del Ministero degli Affari esteri Torino 

Kiepert (Enrico), Professore nell'Università di Berlino 

Pigorini (Luigi), Professore nella R. Università di ..... Roma 

SEZIONE DI LINGUISTICA E FILOLOGIA ORIENTALE 

Krehl (Ludolfo), Professore nell'Università di , Lipsia 

Sourindro Mohun Tagore Calcutta 

Ascoli (Graziadio), Senatore del Regno, Professore nella R. Acca- 
demia scientifico-letteraria di Milano 

Weber (Alberto), Professore nell'Università di Berlino 

Kerbaker (Michele), Professore nella R. Università di ... . Napoli 

Marre (Aristide) Vaucresson 

(Francia) 

Oppert (Giulio), Professore nel Collegio di Francia Parigi 

Guidi (Ignazio), Professore nella R. Università di ..... . Roma 

SEZIONE DI FILOLOGIA, STORIA LETTERARIA E BIBLIOGRAFIA 

Linati (Conte Filippo), Senatore del Regno ........ Parma 

Bréal (Michele), Professore nel Collegio di Francia ..... Parigi 

Negront (Carlo), Senatore del Regno Novara 

D'Ancona (Alessandro), Professore nella R. Università di . . . Pisa 

Nigra (S. E. Conte Costantino), Ambasciatore d'Italia a . . . . Vienna 

Ra.ina (Pio), Professore nell'Istituto di Studi superiori pratici e 

di perfezionamento in Firenze 

Del Lungo (Isidoro), Socio residente della R. Accademia della 

Crusca Firenze 



XXIII 



MUTAZIONI 

avvenute nel Corpo Accademico dal 1° Settembre 1893 al 1° Ottobre 1894. 



ELEZIONI 



SOCI 

Lessona (Michele), rieletto Presidente dell'Accademia nell'adunanza plenaria 
del 24 Giugno 1894. 

Cable (Giuseppe), rieletto Vice-Presidente dell'Accademia nell'adunanza plenaria 
del 24 Giugno, ed approvato con R. Decreto del 4 Agosto. 

Ferrerò (Ermanno), rieletto Segretario della Classe di Scienze morali, storiche 
e filologiche nell'adunanza del 24 Giugno, ed approvato con R. Decreto del 6 Agosto. 

Noether (Massimiliano). Professore nell'Università di Erlangen, nominato Corri- 
spondente della Classe di Scienze fisiche, matematiche e naturali (Sezione di Mate- 
matica pura e Astronomia) nell'adunanza del 3 Dicembre 1893. 

Zeuner (Gustavo), Professore nel Politecnico di Dresda, id. id. (Sezione di 
Matematica applicata e scienza dell'Ingegnere civile e militare) id. id. 

Hertz (Enrico Rodolfo), Professore nell'Università di Bonn, id. id. (Sezione di 
Fisica generale e sperimentale) id. id. 

Mendelejeff (Demetrio), Professore nell'Imperiale Università di S. Pietroburgo, 
id. id. (Sezione di Chimica generale ed applicata) id. id. 

Geikie (Arcibaldo), Direttore del Museo di geologia pratica di Londra, id. id. 
(Sezione di Mineralogia, Geologia e Paleontologia) id. id. 

Strasburger (Edoardo), Professore nell'Università di Bomm, id. id. (Sezione di 
Botanica e Fisiologia vegetale) id. id. 

Guenther (Alberto), Direttore del dipartimento zoologico del Museo Britannico, 
id. id. (Sezione di Zoologia, Anatomia e Fisiologia comparata) id. id. 

Bianchi (Luigi), Professore di Matematica nella R. Università di Pisa, nominato 
Socio Corrispondente della Classe di Scienze fisiche, matematiche e naturali (Seziono 
di Matematica pura ed Astronomia) nell'adunanza del 27 Maggio 1894. 

Ewing (Giovanni Alfredo), Professore nell'Università di Cambridge, id. id. (Sezione 
di Matematica applicata e Scienza dell'Ingegnere civile e militare) id. id. 

Bartoli (Adolfo), Professore di Fisica nella R. Università di Pavia, id. id. 
(Sezione di Fisica generale e sperimentale) id. id. 

Hoee (J. H. van't), Professore nell'Università di Amsterdam, id. id. (Sezione di 
Chimica generale ed applicata) id. id. 

Flower (Guglielmo Enrico), Direttore del Museo di Storia naturale di Londra, 
id. id. (Sezione di Zoologia, Anatomia e Fisiologia comparata) id. id. 



XXIV 



MORTI 



12 Ottobre 1893. 

Scacchi (Arcangelo), Socio nazionale non residente della Classe di Scienze fisiche, 
matematiche e naturali. 

1 Gennaio 1894. 

Hertz (Enrico), Socio Corrispondente della Classe di Scienze fisiche, matematiche 
e naturali (Sezione di Fisica generale e sperimentale). 

14 Febbraio 1894. 

Catalan (Eugenio), Socio Corrispondente della Classe di Scienze fisiche, mate- 
matiche e naturali (Sezione di Matematica applicata e Scienza dell'Ingegnere civile 
e militare). 

20 Marzo 1894. 

Champollion-Figeac (Amato), Socio Corrispondente della Classe di Scienze mo- 
rali, storiche e filologiche (Sezione di Scienze storiche). 

15 Aprile 1894. 

Maeignac (Giovanni Carlo), Socio Corrispondente della Classe di Scienze fisiche, 
matematiche e naturali (Sezione di Chimica generale ed applicata). 

17 Aprile 1894. 

Boncompagni (D. Baldassarre) dei Principi di Piombino, Socio Corrispondente 
della Classe di Scienze fisiche, matematiche e naturali (Sezione di Matematica pura 
ed Astronomia). 

28 Aprile 1894. 

Battagliai (Giuseppe), Socio nazionale non residente della Classe di Scienze 
fisiche, matematiche e naturali. 

20 Maggio 1894. 

Daguet (Alessandro), Socio Corrispondente della Classe di Scienze morali, sto- 
riche e filologiche. 

6 Luglio 1894. 

Mallard (Ernesto), Socio Corrispondente della Classe di Scienze fisiche, mate- 
matiche e naturali (Sezione di Mineralogia, Geologia e Paleontologia). 

7 Luglio 1894. 

Whitney (Guglielmo), Socio straniero della Classe di Scienze morali, storiche 
e filologiche. 

20 Luglio 1894. 

Lessona (Michele), Socio nazionale residente della Classe di Scienze fisiche, 
matematiche e naturali. 

8 Settembre 1894. 

Helmholtz (Ermanno Luigi Ferdinando), Socio straniero della Classe di Scienze 
tìsiche, matematiche e naturali. 

15 Settembre 1894. 

Fabretti (Ariodante), Socio nazionale residente della Classe di Scienze morali, 
storiche e filologiche. 

20 Settembre 1894. 

De Rossi (Giovanni Battista), Socio nazionale non residente della Classe di 
Scienze morali, storiche e filologiche. 



SCIENZE 

FISICHE, MATEMATICHE E NATURALI 



INDICE 

CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEMATICHE 
E NATURALI 

I Molluschi dei terreni terziarii del Piemonte e della Liguria descritti dal 

Dott. Federico Sacco. - - Parte XIII (Conidae) (Fascicolo primo) pag. 1 

Sulle proprietà termiche dei Vapori. — Parte V. Studio del vapore di alcool 
rispetto alle leggi di Boyle e di Gay-Lussac ; Memoria del Prof. Angelo 
Battelli „ 57 

Latitudine di Torino determinata coi metodi di Guglielmo Struve da F. Porro „ 89 

Ricerche di Geometria sulle Superficie algebriche; Memoria di Federigo 

Enriques „ 171 

Rivista critica delle specie di " Trifolium „ italiane, comparate con quelle 
straniere, della Sezione " Lupinaster „ (Buxbaum) ; Memoria del Dottore 
S. Belli „ 233 

Sulle Equazioni Abeliane reciproche le cui radici si possono rappresentare 

con x, Qx, tfx, , Q n ~ l x; Memoria I di V. Mollame „ 293 

Sopra le Curve di dato ordine e dei massimi generi in uno spazio quahinque; 

Memoria di Gino Fano „ 335 

Un metodo per la trattazione dei Vettori rotanti od alternativi ed una appli- 
cazione di esso ai Motori elettrici a correnti alternate; Memoria del Socio 
Galileo Ferraris „ 388 

Lenta polarizzabilità dei Dielettrici — La Seta come dielettrico nella costru- 
zione dei condensatori ; Memoria dell'Ingegnere Luigi Lombardi . . „ 405 

Ditteri del Messico. — Parte III. Muscidae calypteratae — Ocypterinae — 
Gymnosominae — Phasinae — Phaninae — Tachininae — Dexinae — 
Sarcophaginae ; Memoria del Dott. E. Giglio-Tos ....... 473 

Uccelli del Somali raccolti da D. Eugenio dei Principi Ruspoli, descritti dal 

Socio Tommaso Salvador! „ 547 

Studio sperimentale sulla riproduzione della Mucosa pilorica ; Memoria del 

Dott. R. Vivante 565 



I MOLLUSCHI 



DEI TERRENI TERZIARI! 

DEL PIEMONTE E DELLA LIGURIA 

DESCRITTI 

DAL 

Dott. FEDERICO SACCO 



Approvata nell'Adunanza del 19 Febbraio 1893. 

PARTE XmW. 
(OONID^E) 

(Fascicolo Primo) 

Famiglia CONIDAE (Swainson), 1840. 
Genere CONUS Linn., 1758. 

E ben noto come il genere Conus sia, fra i Molluschi, uno dei generi più ricchi 
di forme. E pur noto che, mentre il zoologo basa la maggior parte delle sue de- 
terminazioni dei Coni sopra le loro svariatissime colorazioni, tale carattere viene a 
mancare pressoché completamente al paleontologo il quale deve quasi sempre studiare 
esemplari affatto scolorati o, in qualche raro caso, con scarsissimi residui della colora- 
zione originale, residui parziali che, talvolta, possono anche offrire un aspetto diverso 
da quello della completa colorazione primitiva. 

Ora è anche conosciuto come, fatta astrazione dei colori, studiando i Coni solo 
riguardo alla loro forma, si debba ammettere che questa è cosiffattamente variabile 
che una sola specie, e ne sia esempio il comune Conus mediterraneus, può nelle sue 
svariatissime modificazioni non soltanto assumere la forma di altre specie dello stesso 
sottogenere, ma eziandio di sottogeneri diversi. Inoltre anche fra le forme viventi 
di Coni la loro ripartizione in diversi sottogeneri è ancor lungi dall'essere naturale 
e soddisfacente e dovrà subire in avvenire non poche modificazioni. Di più sono pure 
sovente notevolissime le variazioni che la stessa forma subisce dal periodo giova- 
nile a quello adulto. 



(1) Nota. — Il fascicolo secondo della Parte XIII, con numerose tavole, non potendo più essere 
inserito, nel corrente anno accademico, nelle Memorie della R. Accademia delle Scienze di Torino, 
venne pubblicato a spese dell'Autore, affinchè non fosse troppo ritardata la pubblicazione della pre- 
sente Monografia. — Nello stesso modo e per la stessa causa furono già pubblicate le Parti LX, 
X e XII. — Tali parti trovansi in vendita presso la Libreria Loescher di C. Clatjsen — Torino. 
Serie II. Tom. XLIV. a 



2 



FEDERICO SACCO 



Quindi se si tien conto della straordinaria variabilità dei Coni, della mancanza 
di caratteri ornamentali che servano a guidarci nella loro determinazione, della scom- 
parsa, nei fossili, dell'importantissimo carattere della colorazione, e dello immenso 
loro numero nei depositi terziarii del Piemonte, si può comprendere come lo studio 
dei Coni piemontesi siami stato particolarmente lungo e difficile, ne mi lusingo d'averlo 
superato senza commettere errori che potranno essere eliminati in avvenire collo 
studio di altri esemplari meglio conservati. Con tale pensiero ho pure tralasciato per 
ora la determinazione di alcuni esemplari, specialmente del sottog. Chelyconus, che, 

per essere poco ben conservati o per rappresentare forti variazioni od anomalie, 
non sapevo a quale specie attribuire, ne parevami logico fondarvi nuove specie. 

D'altronde tali grandi difficoltà nella determinazione dei Coni fossili furono già 
incontrate e dichiarate dal Brocchi, d al B orson , dal Michelotti, ecc., e ricordo al ri- 
guardo come il compianto amico Prof. Bellardi parlandomi dei suoi futuri studi sui 
Molluschi del Piemonte mi ebbe più volte a dire che quando sarebbe giunto a quello 
dei Coni temeva di perderci la testa. 

Il materiale che ebbi a mia disposizione fu straordinariamente abbondante, es- 
sendo rappresentato da 20,000 esemplari ad un dipresso, di cui circa 5000 del Plio- 
cene, e circa 15,000 del Miocene. Credo che tale ricchezza di materiale proveniente 
da tutti i piani del Miocene e del Pliocene ed esaminato in una sola volta sia assai 
importante permettendo di fare una larga comparazione e quindi di comprendere 
meglio il concetto delle specie e le loro variazioni. Potei così convincermi che più 
ricco è il materiale che si ha in esame, minore è il numero delle specie nuove che 
si hanno a creare, poiché essendo possibile una estesa comparazione si vedono meglio 

1 legami delle varie forme, i loro gradualissimi passaggi, ecc.; quindi il concetto 
della specie è naturalmente obbligato ad allargarsi alquanto per racchiudere una 
serie di forme transitorie o irradianti, direi, che evidentemente non sono che modi- 
ficazioni locali di una data specie della quale esse veggonsi conservare la facies 
complessiva, ma che esaminate isolatamente parrebbero altrettante specie a se. E 
perciò che avendo avuto a studiare un 20,000 esemplari circa di Coni, non solo ebbi a 
creare poche nuove specie e quasi soltanto fra le forme mioceniche finora meno cono- 
sciute, ma inoltre credetti dovere ridurre diverse forme, ritenute finora buone specie, 
al grado di semplici varietà o di forme giovanili di specie prima stabilite, mentre 
che invece seguendo per esempio il metodo usato dal Bellardi nelle sue ultime Mono- 
grafie avrei dovuto creare diverse centinaia di nuove specie di Coni, producendo così 
tale confusione quale è facile immaginare. 

In complesso potei constatare che ogni sottogenere di Coni, ad eccezione dei 
Chelyconus, è rappresentato da poche specie per ogni orizzonte geologico, mentre in- 
vece esse variano per lo più da un orizzonte all'altro, specialmente dal Tongriano 
all' Elveziano (ciò che si comprende facilmente) e dall' Elveziano al Tortoniano, perchè 
la zona fossilifera dell' Elveziano torinese trovasi specialmente alla base Elveziano 
ed è quindi sovente separata dal Tortoniano da oltre 1000 metri di depositi dell' El- 
veziano medio e superiore. Meno spiccato, ma pure assai notevole, è il cangiamento 
delle specie dal Tortoniano al Piacenziano esistendo tra questi due orizzonti il piano 
Messiniano, ed essendosi inoltre nel frattempo verificate importanti variazioni clima- 
tiche, batimetriche, ecc. Quanto al cangiamento fra le specie piacenziane e quelle 



I MOLLUSCHI DEI TERRENI TERZIARI DEL PIEMONTE E DELLA LIGURIA 



3 



astiane, esso è spesso poco notevole ed è particolarmente dovuto a differenze bati- 
metriche. 

Noto infine che siccome col materiale raccolto in Piemonte in piani geologici 
tra loro abbastanza distanti si può sovente constatare una serie di graduali pas- 
saggi fra diverse specie, dalle più antiche alle più recenti, è logico ammettere che, 
se si avesse un materiale proveniente da tutti i piani e sottopiani, rappresentati 
eziandio dalle loro diverse facies, il graduale modificarsi e collegarsi delle specie e 
la successiva derivazione di un gran numero di esse risulterebbe ancor più chiara ed 
evidente. 

Riguardo al materiale avuto in comunicazione debbo accennare che, oltre a quello 
solito, importantissimo, proveniente dalle collezioni dei Musei geologici di Torino, di 
Roma, di Modena, di Genova, di Pavia, di Milano e dalla collezione privata Rovasenda, 
ebbi pure in esame altre raccolte assai ricche messe gentilmente a mia disposizione dai 
loro proprietari, Clarence Bicknell (per la Liguria) ed Odoardo Bagatti (per il Piacen- 
tino), nonché parziali contribuzioni di privati collettori di fossili dei colli torinesi, quali 
i signori Paravicini, Forma, ecc. Faccio ancora osservare come fra il materiale sovra 
accennato sia specialmente interessante quello delle tipiche collezioni di Brocchi 
(Museo di Milano), di Borson, Bonelli e Bellardi (Museo di Torino), di Michelotti 
(Museo di Roma) e di Doderlein (Museo di Modena), giacche queste racchiudono 
numerosi preziosissimi tipi, coll'esame diretto dei quali potei non solo schivare, ma 
anche chiarire e togliere una quantità di errori di determinazione, errori fatti spe- 
cialmente nella seconda metà del corrente secolo a cominciare dal classico lavoro 
dell'Hoernes che, riguardo ai Conus, offre molte inesatte determinazioni le quali fu- 
rono causa di una lunga serie di errori successivi. 

Fra i principali di questi errori, noto specialmente la confusione delle specie 
tipiche del Miocene con quelle plioceniche e viceversa, la moltiplicazione delle specie 
fatte sovente su semplici varietà, talora persino sopra un esemplare difettoso o sopra 
esemplari giovani, la falsata interpretazione di alcune specie del Lamarck, ecc. 

Avverto che, per brevità, a cominciare dalla presente monografìa nella descrizione 
delle varietà tralascio la solita indicazione : Distinguunt hanc varietatem a specie typica 
sequentes notae, per tutte quelle varietà la cui diagnosi comparativa si riferisce alla 
specie tipica, solo più mantenendo la frase di comparazione quando la varietà che si 
descrive viene paragonata ad altra varietà, la quale in tal caso viene naturalmente 
indicata. 



Sottogen. DENDRO CONUS Swains. 1840. 

Questo sottogenere è specialmente sviluppato nel Tortoniano e nel Pliocene, mentre 
scarseggia nei terreni più antichi. Alcune forme sembrano quasi passare ai Litìio- 
conus ed ai Chelyconus. Per lo più esse si possono facilmente distinguere osservandole 
nella regione della spira, perchè quivi l'ultimo anfratto visibile è notevolissimamente 
più largo degli altri, fatto che generalmente è meno spiccato negli altri sottogeneri. 



4 



FEDERICO SACCO 



Dendroconus betulinoides (Lk.) 

(Tav. 1, fig. 1). 

C. Testa oblongo-turbinata, laevi; basi sulcis transversis obsoletis distantibus; spira 
convexa, mucronata, basi rotundata (Lamarck). 
Alt. 20-160 mm.: Largh. 12-80 mm. 

1768. WOLCH u. KNORR, Naturgesch. Verstein., II, Tab. CHI, fig. 3. 

1798. Vólutites N. 1. BORSON, Ad Orici, pedem. auctarium, pag. 176. 

1810. Conus betulinoides Lk. LAMARCK, Ann. Mus. Hist. Nat., pag. 440, n. 2. 

1814. „ , » BROCCHI, Conch. foss. subapp., II, pag. 286. 

1818. „ levigatus Defr. DEFRANCE, Dict. Hist. Nat., Tome X, pag. 263. 

1818. „ betulinoides Lk. „ „ „ „ ' » 264. 

1820. „ cf. „ BORSON, Oriti, piem., pag. 9 (188). 

1827. „ „ „ BONELLI, Cat. m. s. Museo Zool. Torino, n. 3647, 3650. 

1830. „ cf. „ BORSON, Cat. Coli. min. Twin, pag. 605. 

1831. , „ „ BRONN, Ital. tert. Geb., pag. 13. 
1842. „ „ SISMONDA, Syn. meth., l a ed., pag. 43. 

1845. „ „ „ LAMARCK in DESHAYES, An. s. veri., voi. XI, pag. 153. 

1847. „ „ , SISMONDA, Syn. meth., 2* ed., pag. 44. 

1848. „ „ „ BRONN, Ind. paleont., pag. 328. 

1851. „ „ „ HOERNES, Foss. Moli. Wien. Beck., pag. 16-17. 

1852. „ „ „ D'ORBIGNY, Prodr. Pai. str., Ili, pag. 171. 
1866. „ „ „ DA COSTA, Gaster. dep. terc. Portugal, pag. 6. 

1885. , „ (Lk.) Eoern. DE GREGORIO, Conch. med. viv. e foss., pag. 352-353. 

1890. „ „ Lk. SACCO, Cat. pai. Bac. terz. Piem., n. 4377. 

Tortoniano: Stazzano (rarissimo). 

Piacenziano: Albenga (R. Torsero) (alquanto raro). 

Astiano: Astigiana, Vezza d'Alba (non raro). 

Osservazioni. — È la forma più gigantesca dei Coni piemontesi. Quanto al tipo 
esso non venne ancora figurato, poiché le figure date di questa specie sono basate 
su esemplari di località e di età diversa da quella del tipo, e non corrispondono 
perfettamente alla descrizione del Lamarck. Ciò dicasi per esempio per la figura data 
dall'Hoernes e che il De Gregorio vorrebbe adottare come tipo ; mentre invece io pro- 
porrei per tale forma, che è una semplice varietà del C. betulinoides, il nome di 
pervindobonensis Sacc. (1851, Conus betulinoides Lk. — Hoernes, Foss. Moli. Tert. Beck. 
Wien. — Tav. II, Fig. 1), non trattandosi affatto del C. Aldrovandi come suppone il 
Doderlein. Credetti perciò conveniente assumere e far figurare come tipo l'esemplare 
ritenuto come tale dal Brocchi e che corrisponde assai bene alla diagnosi del Lamarck. 

Gli esemplari giovani ricordano alquanto il C. pyrula ed il C. laeviponderosus ; essi 
sono in generale assai mucronati e quindi distinti da quelli adulti, in cui l'apice è in 
gran parte eroso. 

La tinta del fossile in esame è per lo più giallastra, ma spesso sonvi anche 
larghe ed irregolari macchie rossigne, od anche tutta la conchiglia è roseo-rossastra. 

Gli esemplari più giganteschi provengono quasi tutti da un banco dell'Astialo 
inferiore affiorante al fondo di una valletta presso Vezza d'Alba. 

E notevole che gli esemplari tortoniani sono generalmente alquanto più conici 
di quelli pliocenici, per modo da formare quasi un passaggio al J). Berghausi. 



I MOLLUSCHI DEI TERRENI TERZIARI DEL PIEMONTE E DELLA LIGURIA 



5 



Il Conus cacellensis Da Costa nominato dal Cocconi fra i fossili pliocenici del 
Piacentino " En. Moli., ecc., pag. 148 „ è probabilmente una varietà di C. betulinoides. 

D. BETULINOIDES Vai'. SUPRAMAMILLATA SACC. 
(Tav. I, fig. 2). 

Testa plerumque magna. Spira convexior, mamillaris. Anfractus rotundatiores. 
Astiano: Astigiana, Vezza d'Alba (non rara). 

Osservazioni. — Raggiunge spesso le massime dimensioni di questa specie. 

D. BETULINOIDES Var. CHELTCONOIDES SACC. 
(Tav. I, fig. 3). 

Testa minus conica, subovoidea. Spira per elatior, conico-subconvexa, apice mucronatior. 

Alt. 92 mm.; Lat. 60 mm. 
Astiano: Vezza d'Alba (rara). 

Osservazioni. — Presenta molti caratteri di Chelyconus, ma nel suo complesso 
è riferibile invece ai Dendroconus; potrebbe forse da alcuno essere eretta in specie 
a parte, ma avendone un esemplare solo, trovato fra numerosi D. betulinoides, sem- 
brami più logico di considerarla come una varietà di detta specie. 

D. BETULINOIDES Var. EXLINEATA SACC. 
(Tav. I, fig. 4). 

Testa subconica, sulculis linearibus remotis ornata; spira planiuscula; apice exerto; 
anfractubus planatis, basi sulcata (Borson). 

Distinguunt hanc var. a specie typica sequentes notae: 

Spira elatior, subconica, apice magis mucronata. Anfractus superne minus convexi, 
laevissime subangulosi. 

Alt. 20-100 mm.: Lat. 12-55 mm. 

1820. Conus Uneatus Bors. BORSON, Oriti, piemont., pag. 10 (189). 

1830. „ „ Cut. Coli. Min. Musée Turin, pag. 605. 

1848. „ , „ BRONN, Index Paleont, pag. 330. 

Tortoniano : Stazzano, S. Agata, Montegibbio (rara). 
Astiano: Astigiana, Vezza d'Alba (frequente). 

Osservazioni. — Il nome di Borson cade in sinonimia col C. Uneatus Brand. 
(1766). Potei ritrovare l'esemplare tipico su cui il Borson fondò la sua specie, e che 
io quindi figuro come tipo di questa varietà; ma il secondo esemplare (colla retepora) 
che accenna il Borson ha la spira più depressa e più concava, per modo da riunirsi 
meglio alla var. concavespirata; ambidue sono dell'Astigiana. 

Il carattere di questa varietà è in parte giovanile, direi, poiché negli esemplari 
giovani esso è quasi costante, talora anzi spiccatissimo sui primi anfratti; ma con- 
servasi anche in molti esemplari adulti. 



6 



FEDERICO SACCO 



Gli esemplari tortoniani sono generalmente mal conservati, in generale un po' 
più conici di quelli pliocenici. 

Neil' Elveziano dei colli torinesi trovansi esemplari che ricordano questa varietà, 
ma sono alquanto più rigonfi nella parte superiore per modo che forse debbono at- 
tribuirsi ad altra forma. 

D. BETULINOIDES vai\ CONCAVESPIRATA SACC. 
(Tav. I, fig. 5). 

Spira depressior, subplanata vel subconcava potius quam subconvexa; anfractus 
superne minus rotundati, laeviter subangulati. 
Alt. 20-120 mm.: Lat. 12-70 mm. 
Elveziano: Colli torinesi (rarissima). 

Piacenziano: Astigiana, Castelnuovo, Albenga (R. Torsero), Bordighera (non rara). 
Astiano: Astigiana, Vezza d'Alba (non rara). 

Osservazioni. — Presenta graduale passaggio sia al tipo che alla var. exlineata. 
Ricorda talora di lontano un Lithoconus per la spira depressa. Gli esemplari elve- 
ziani paiono far passaggio alla var. dertocanaliculata. Debbo accennare al riguardo 
come nell' Elveziano dei colli torinesi abbia osservato altre forme diverse (forse nuove) 
di Dendroconus che per essere rappresentate solo da rari resti molto imperfetti 
credetti più opportuno non descrivere per ora; in parte ricordano il D. betulinoides. 

D. BETULINOIDES Var. DERTOSULCULELLATA SACC. 
(Tav. I, fig. 6). 

Testa aliquantulum magis conica; sulculelli prope suturam visibiliores. 
Tortoniano: — S. Agata fossili, Stazzano (non rara). 

Osservazioni. — Per la forma più conica tende verso il D. Berghausi, come l'af- 
fine C. Mojsvari H. A., che io considererei pure solo come una varietà di passaggio 
tra il D. betulinoides ed il D. Berghausi. 

D. betulinoides var. dertomamillata Sacc 

(Tav. I, fig. 7). 

Testa aliquantulum magis conica, crassa; spira inflata, convexo-mamillata. Anfractus 
superne rotundatiores, ultimus prope suturam laevissime subcanaliculatus. 
Alt. 100-103 mm.: Lat. 62 mm. 
Tortoniano: Stazzano (non rara). 

Osservazioni. — Per la sua relativa conicità altri potrebbe forse già riferirla 
al D. Berghausi. La sua spira è molto simile a quella della var. supramamillata. 
Forme simili si incontrano nel Miocene di Cacella, per quanto risulta dalle figure 
del Da Costa (Gast. terc. Portugal., Tav. I, Fig. 1, Tav. IT, Fig. 1, 2), e nel Miocene 
viennese, come l'indica il D. hungaricus (H. A.). 



I MOLLUSCHI DEI TERRENI TERZIARI DEL PIEMONTE E DELLA LIGURIA 



7 



D. BETULINOIDES Var. DERTOCANALICULATA SACC. 
(Tav. I, fig. 8). 

Testa aliquantulum magis conica, crassa. Spira laeviter depressior. Anfractus su- 
perne aliquantulum rotundatiores, prope suturam plus minusve sulculellati, ultimus 
laeviter canaliculatus. 

Alt. 40-100 mm.: Lat. 25-56 mm. 

Elveziano: Colli torinesi (rarissima). 

Tortoniano: S. Agata fossili, Stazzano, Montegibbio (non rara). 

Osservazioni. — Passa gradatamente alla var. dertomamillata e quindi tende 
pure verso il D. Berghausi. Le è affine, se non identico, il C. Mercatii secondo 
Da Costa (Gast. terc. Portugal — Tav. UT, fig. 1). 



Dendroconus Berghausi (Micht.) 
(Tav. I, fig. 9). 

Testa crassa, conica, abbreviata; spira mucronata, valde depressa; anfractibus (in 
adultis) superne planulatis, laevigatis, ultimo obtuse rotundato; apertura coarctata, ad 
basirti subdilatata; columella inferne striata (Michelotti). 

Alt. 13'-85 mm.: Lat. 8-58 mm. 

1847. Conus Berghausi Micht. MICHELOTTI, Descript. Foss. mioc, pag. 242, Tav. XIII, fig. 9. 

1847. „ „ „ SISMONDA, Syn. meth., 2 a ed., pag. 44. 

1851. , „ „ HOERNES, Foss. Moli. tert. Beck. Wien., pag. 19. 

1852. „ „ „ D'ORBIGNY, Prod. Pai. strat., III, pag. 56. 

1862. „ „ „ DODERLEIN, Giac. terr. mioc. Italia cent., pag. 25 (107). 

1866. , „ „ DA COSTA, Gast. dep. terc. Portugal, pag. 9. 

1873. „ maculosus Grat. FISCHER et TOURNOUER, Inveri, foss. M. Leberon, pag. 127. 

1873. „ Berghausi Micht. COCCONI, En. Moli. mioc. plioc. Parma e Piacenza, pag. 147. 

1877. , maculosus Grat. LOCARD, Descript. Faune tert. Corse, pag. 64. 

1884. „ Berghausi Micht. DE GREGORIO, Conch. medit. viventi e fossili, pag. 358. 

1890. B „ „ SACCO, Cai. pai. Bac. terz. Piem., n. 4376. 

Elveziano : Colli torinesi (raro). 

Tortoniano: S. Agata fossili, Stazzano, Montegibbio (non raro). 
Piacenziano: Piacentino (Gropparello) (rarissimo). 

Osservazioni. — In complesso questa forma essenzialmente tortoniana è assai 
caratteristica e ben distinta dal D. betulinoides, per cui credo si possa ritenere come 
una buona specie, ma è certo che per mezzo di alcune varietà essa sembra collegarsi 
col D. betulinoides. 

Quanto all'identità che alcuni, come il Fischer, il Tournouer, il Locard, ecc.,,, 
credettero ravvisare tra il C. Berghausi ed il C. maculosus Grat., a me sembra che 
essa non sia accettabile. 

Questa specie è per lo più alta solo dai 2 ai 4 cm. : gli esemplari grandi sono 
assai rari e sovente sembrano formare passaggio al D. betulinoides. E notevole che 
la forma tipica, stata figurata da] Michelotti, e che io figuro di nuovo, è relativa- 
mente rara, mentre sono comunissime alcune delle varietà indicate in appresso. 



8 



FEDERICO SACCO 



Rarissimi sono gli esemplari che conservino traccie della colorazione. Gli esem- 
plari giovani sono generalmente meno conici ed a spire più elevate di quelli adulti. 

Questa specie è molto variabile, per modo che alcune delle sue variazioni rice- 
vettero nomi specifici diversi; così è forse il caso pel D. Daciae H. A., pel D. vo- 
eslauensis H. A., per parte delle figure colle quali il Da Costa e l'Hoernes R. ed 
Auinger indicano il C. subraristriatus Da Costa, ecc. 

La forma indicata da a R. Hoernes ed Auinger come C. Loroisi Kiener (1889, 
Gaster. I u. II Mioc. Med. Stufe, Tav. HI, fig. 5) è distinta dalla forma vivente per 
modo che le do il nome di exloroisi Sacc. ; essa potrebbe forse anche considerarsi 
come una varietà di D. Berghausi. Lo stesso deve forse ripetersi per il C. antiquus 
di Grateloup (Atlas Conch. foss. Adour. 1840, Tav. 43, Fig. 1), forma che forse è 
solo una varietà (che io appellerei var. exantiqua Sacc.) del C. Berghausi. 

D. Berghausi var. subaspira Sacc. 

(1866. DA COSTA (Conus Berghausi) Gasi. terc. Portugal, Tav. I, fig. 3). 

Spira depressior, planoexcavata. 

Tortoniano: Stazzano, S. Agata fossili (non rara). 

D. Berghausi var. propebetulinoides Sacc. 
(Tav. I, fig. 10). 

Testa plerumque major, aliquantulum elongatior. Spira plerumque plus minusve 
depressa. In anfractubus prope suturam sulculelli subvisibiles. 

Alt. 58-72 mm.: Lat. 38-45 min. 
1842. Conus antiquus LJc. {pars) SISMONDA, Syn. meth., l a ed. pag. 43. 

Tortoniano: S. Agata fossili, Stazzano (non rara). 

Osservazioni. — Si avvicina alquanto al D. betulinoides, specialmente alle sue 
var. dertocanaliculata e dertosulculellata, tanto che talora la loro distinzione può sem- 
brare incerta. Inoltre presenta caratteri di passaggio alla var. exfuscocingulata. 

D. Berghausi var. bifasciolata Sacc. 
(Tav. I, fig. il). 

Testa affinis var. propebetulinoides, sed in regione ventrali medio-supera duo 
fasciolae brunneae conspiciuntur. 
Alt. 67 mm.: Lat. 45 mm. 
Tortoniano: S. Agata fossili (rara). 

Osservazioni. — Oltre alle due fascie più evidenti , altre se ne intravvedono 
qua e là specialmente nella parte caudale. 

D. Berghausi var. exfuscocingulata Sacc. 

(Tav. I, fig. 12). 

Testa plerumque minor, superne inflatior, spira elatior, cingulis fuscis, plus minusve 
distantibus, transversim ornata. 



I MOLLUSCHI DEI TERRENI TERZIARI DEL PIEMONTE E DELLA LIGURIA 



9 



Alt. 16-26 mm.: Lat. 10-17 mm. 

1862. Conus fuscocingulatus Bronn. DODERLEIN, Giac. terr. mioc. Italia centr., pag. 25 (107). 

1873. „ „ „ COCCONI, En. Moli. mioc. jplioc. Parma e Piacenza, pag. 148. 

1890. „ „ „ DELLA CAMPANA, Pliocene Borzoli, pag. 27. 

1890. „ „ „ SACCO, Cat. pai. Bac. terz. Piemonte, n. 5440. 

Tortoniano: S. Agata fossili, Stazzano (frequente). 
Piacenziano: Borzoli, Piacentino (non rara). 

Osservazioni. — Il carattere dei cingoli bruni, rilevati o no, credo che abbia 
poca importanza, anzitutto perchè esso osservasi quasi solo negli esemplari giovani, ed 
anche perchè lo ebbi a constatare su forme alquanto diverse; inoltre esso talora 
appare solo per alterazione del calcare superficiale. Quindi credo trattisi piuttosto di 
un carattere casualmente apparente nel gruppo del D. Berghausi, piuttosto che non 
di un vero carattere inerente ad una data specie, tanto più che, come dissi, esso 
osservasi specialmente sugli esemplari giovani. 



D. Berghausi var. moravica (H. A.). 

(1851. M. HOERNES (C. fuscocingulatus). Foss. Moli. tert. Beck. Wien., Tav. I, fig. 4). 

(1889. R. HOERNES u. AUTNGER (Lithoconus moravicus). Gaster. I u. II mioc. Medit. stuf., pag. 29). 

Tortoniano: Stazzano (rara). 

Osservazioni. — Come già dissi riguardo alla var. exfuscocingulata, credo che il 
carattere dei cingoli trasversi abbia poca importanza, certamente non tale da costituire 
una specie a parte. Gli esemplari di Stazzano sono più piccoli del tipo. 

Notisi che il vero C. fuscocingulatus Bronn non è quello rappresentato dalla 
fig. 4 (Tav. I del sovraccennato lavoro di M. Hoernes), ma bensì quello della fig. 5, 
che non ha spiegazione al piede della tavola, donde nacquero molte confusioni. 

D. Berghausi var. moravicoides Sacc. 
(Tav. I, fig. 13). 

Testa crassior, magis conica; spira elatior, subconica. 

Alt. 27-40 mm.: Lat. 18-30 mm. 

Tortoniano: S. Agata fossili, Stazzano (non rara). 

Osservazioni. — Questa forma si avvicina moltissimo alla var. moravica; se ne 
distingue essenzialmente per la mancanza dei cingoli trasversi. 

D. Berghausi var. triangularis Sacc. 

(Tav. I, fig. 14). 

* 

Testa crassa, valde magis conica, subtriangularis, superne perexpansa. 
Alt. 36 mm. : Lat. 31 mm. 
Tortoniano: Stazzano (rara). 

Osservazione. — Può considerarsi come una esagerazione della var. moravicoides. 

Skrie II. Tom. XLIV. b 



IO 



FEDERICO SACCO 



D. Berghausi var. planocylindrica Sacc. 

(Tav. I, fig. 15). 

Testa minus conica, inferne magis dilatata, deinde subcylindrica ; spira depressa. 
Alt. 26-38 mm. : Lat. 20-26 mm. 

1827. Conus antìquus Lk. BONELLI, Cat. ms. Museo Zool. Torino, n. 3651, 
1842. „ „ „ SISMONDA, Syn. meth., l a ed. pag. 43 (pars). 

Tortoniano: S. Agata fossili (non rara). 

D. Berghausi var. percommunis Sacc. 

(Tav. I, fig. 16). 

Testa clavatior. Spira elatior. Anfractus superne regularius rotundatiores. 
Alt. 13-80 mm.: Lat. 8-52 mm. 
Elveziano: Colli torinesi (rarissima). 

Tortoniano: S. Agata fossili, Stazzano, Montegibbio (frequentissima). 

Osservazioni. — Molti esemplari erano indicati nelle diverse collezioni come 
G. Aldrovandi. Sono rarissimi gli esemplari che conservino le colorazioni, come quelli 
figurati; in generale sono scolorati. Questa varietà passa gradatamente sia alla var. 
Vacecki (H. A.), sia alla var. Broteri (Da Costa). 

D. Berghausi var. Vacecki (H. A.). 

(1851. M. HOERNES (C. Berghausi). Foss. Moli. tert. Beck. Wien., Tav. I. fig. 3). 

(1879. R. HOERNES u. AUINGER, (C. Vacecki). Gaster. I u. II Mioc. Med. stuf., pag. 22). 

Testa subglandiformis, superne inflatior, plus minusve submamillata. 

Alt. 14-45 mm.: Lat. 8-30 mm. 

? Elveziano : Colli torinesi (rara). 

Tortoniano: S. Agata fossili, Stazzano, Montegibbio (frequente). 
Piacenziano: Borzoli (rara). 

Osservazioni. — Questa forma si collega per infiniti passaggi sia colla var. per- 
communis, sia colla var. glandiformis, per modo che se ne potrebbero costituire numerose 
altre varietà che credo invece più opportuno di raggruppare attorno alla forma figu- 
rata da R. Hoernes. I colori quasi sempre sono scomparsi. Grli esemplari giovani sono 
generalmente meno conici ed a spira più elevata che non quelli adulti. 

Sono probabilmente ancora riferibili a queste varietà le forme figurate dal Da 
Costa a Tav. Il (Fig. 3, 4, 5, 6) del suo lavoro Gast. Terc. Portugal. 1866. - 

D. Berghausi var. glandiformis Sacc 

(Tav. I, fig. 17). 

Testa af finis var. Vacecki, sed magis glandiformis; spira inflatior; anfractus su- 
perne rotundatiores; puncticulis seriatis interdum ornata. 
Alt. 35 mm. : Lat. 23 mm. 
Tortoniano: Stazzano (rara). 



I MOLLUSCHI DEI TERRENI TERZIARI DEL PIEMONTE E DELLA LIGURIA 



11 



Ossee v azioni. — Senza voler dare troppa importanza alle colorazioni tanto va- 
riabili è notevole come in questa forma si osservino talora punteggiature invece di 
macchiette quadrangolari come è per lo più il caso per le forme del D. Berghausi. 
Essa passa gradualissimamente alla var. Vacecki. Questa forma è distintissima dalla 
var. alpus De Creg. (1866 Conus Berghausi Micht. — Da Costa Gast. Terc. Portugal, 
Tav. I, Fig. 2) la quale sembra quasi avvicinarsi meglio al tipico D. betulinoides; 
invece il Da Costa figura come C. Escheivegi in parte (Fig. 24 di Tav. IX) forme af- 
fini, forse identificabili a quella in esame. 

D. Berghausi var. conotriangula Sacc. 

(Tav. I, fig. 18). 

Testa subbiconica. Spira elatior, sat regulariter conica. Anfractus superne obtuse 
angulati. 

Alt. 43 mm. : Lat. 27 mm. 
Tortoniano: Stazzano (rara). 

Osservazioni. — ■ Ricorda alquanto il D. Steindachneri H. A. che potrebbe forse 
essere anche considerato come una varietà di D. Berghausi. 

D. Berghausi var. seiiisulcatula Sacc. 

(Tav. I, fig. 19). 

Testa minus triangularis. Spira aliquantulum elatior. Anfractus semisulcati. 
Tortoniano : Montegibbio (rara). 

Osservazioni. — Ricorda alquanto il 0. Neumayri H. A. che forse è solo una 
varietà del D. Berghausi. 

D. Berghausi var. conicospira Sacc. 
(Tav. I, fig. 20). 

Testa affinis var. Vacecki, sed interdum aliquantulum elongatior, spira elatior, 
plus minusve conica. 

Alt. 14-45-155 mm. : Lat. 8-27-135 mm. 

Elveziano: Colli torinesi, Baldissero (non comune). 

Tortoniano: Stazzano, S. Agata fossili, Montegibbio (frequentissima). 

Osservazioni. — Passa gradualissimamente alle var. Vacecki e glandiformis. Pre- 
senta qualche rassomiglianza con qualcuna delle forme che il Da Costa riferisce al 
C. subraristriatus (che forse è, in parte, soltanto una varietà del D. Berghausi), nonché 
col D. Steindachneri H. A. (= D. Hochstetteri H. A. in texto). Anche alcune forme (Fig. 20 
e 22 di Tav. IX) figurate dal Da Costa come C. Eschewegi sono riferibili alla varietà 
in esame. 

D. Berghausi var. permucronata Sacc. 
(Tav. I, fig. 21). 

Spira plus minusve subconica, elatius mucronata. 
Tortoniano: S. Agata fossili, Stazzano (non rara). 



12 



FEDERICO SACCO 



Osservazioni. — Forma passaggio sia al tipo che alla var. percommunis ; distin- 
guesi dalla var. conicospira per avere la spira meno innata. 

Dendroconus dertovatus Sacc. 

(Tav. I, fig. 22). 

Testa subovato-conica. Spira elato-convexa, subconica, non scalarata, pagodaeformis. 
Anfractus convexuli; ultimus permagnus, convexovatus, in regione medio-infera profunde 
transversim sulcatus. Apertura constricta. 

Alt. 16-27-45 mm.; Lat. 9-15 mm. 

Tortoniano: Stazzano, S. Agata (non rara). 

Osservazioni. — Questa forma sembra doversi elevare al grado di specie a 
parte , quantunque si possa anche considerare come una forte variazione della 
specie-gruppo D. Berghausi. 

Riguardo al C. dertovatus debbo notare come su qualche esemplare abbia osser- 
vato residui di lineette trasverse, ciò che, unitamente alla forma, avvicina alquanto 
il D. dertovatus al tipico C. fuscocingulatus Bronn (Hoernes, Foss. Moli. Tert. Beck. 
Wien, Tav. I, fig. 5, non 4). Credo quindi necessari ulteriori studii per chiarire la 
vera posizione ed interpretazione del G. fuscocingulatus il quale sembra pure rap- 
presentato in Piemonte; ma il materiale osservato non mi permette per ora di 
giudicare nettamente al riguardo, tanto più che i colori caratteristici sovente man- 
cano e forse non hanno quel valore assoluto che altri volle loro attribuire. Noto 
infine che mentre il tipico G. fuscocingulatus figurato da M. Hoernes rassomiglia 
assai ad un Dendroconus, quelli figurati da R. Hoernes ed Auinger nella Tav. I del 
loro recente lavoro " Gastr. I u. H Mioc. Med. stufe „ sono invece veri Ghelyconus, 
per modo che credo opportuno distinguerli con due nomi diversi, cioè var. ochreocin- 
gulata Sacc. (fig. 10, 11) e var. potzleinsdorfensis Sacc (fig. 13). 

D. dertovatus var. connectens Sacc. 

(Tav. I, fig. 23). 
Testa magis conica, minus ovata. Spira depressior. 
Tortoniano: Stazzano (rara). 

Osservazioni. — Sembra quasi costituire un anello di congiunzione fra il D. der- 
tovatus e la var. conicospira del D. Berghausi. 

Dendroconus Eschewegi (Da Costa). 

(1866. DA COSTA, Gaster. dep. terc. Portugal, pag. 29, Tav. IX, fig. 23). 

Alt. 13-40 mm.: Lat. 8-20 mm. 
? Elveziano: Colli torinesi (rara). 
Tortoniano: Stazzano, S. Agata (alquanto rara). 
? Piacenziano: Vezza d'Alba (rarissima). 

Osservazioni. — Il Da Costa istituendo questa specie ne lasciò i limiti così, 
larghi da includervi diverse varietà di D. Berghausi, a cui d'altronde essa è stret- 
tamente connessa; perciò la specie del Da Costa si doveva o abolire o restringere 
in limiti più definiti, come io credetti di fare ponendone a tipo la fig. 23. Un esem- 



FEDERICO SACCO 



I MOLLUSCHI DEI TERRENI TERZIARI DEL PIEMONTE E DELLA LIOURIA 



13 bis 



Quadro comparativo dei DENDROCON US. 



Attualità C. Loroisii — D. sumatrensis — D. betulinus — D. figttlinus 



Astiano 



Piacenziano 



Tortoniano 



Elveziano 



D. betulinoides e var. 



chelyconoides 

exlineata 

concavespirata 



D. betulinoides e vai'. concavespirata 



D. Berghausi var. 



pervindobonensis 



dertomamillata — 
D. betulinoides e var. / dertosulculellata — 
dertocanaliculata — 
hungarica 
1 Moisvari 



i propebetulinoides 
l bif usciolata 



var. e D. Berghausi e var. 
D. Daciae — 
D. pyruloides — 



Dendroconus betulinoides var. 



concavespirata 
dertocanaliculata 



exfuscocingulata 
Vacecki 

exfuscocingulata 
moruvìca 
moravicoides 
triangularis 
planocylindrica 
percommunis 
Vacecki 
glandiformis 
conotriangula 
semisulcatula 



conicospira D. dertocatus e 
var. connectem 

permucronata 



D. Eschewegi var. depressoastensis 



D. Eschewegi e var. caelata 



percommums 
D. Berghausi e var. ? Vacecki 
conicospira 



D. Escheicegi var. caelata 



I MOLLUSCHI DEI TERRENI TERZIARI DEL PIEMONTE E DELLA LIGURIA 



13 



piare di Stazzano presenta un leggiero solco trasversale nella regione ventrale su- 
periore, per modo che ricorda un C. ponderosus ; si potrebbe perciò indicare come 
var. ponderosulcatula. 

D. Eschewegi var. caelata (Dod. Sacc). 

(Tav. I, fig. 24). 

Spira minus elata, subrotundata. 

1862. Conus caelatus Dod. DODERLEIN, Giac. terr. mioc. Italia centr., pag. 25 (107). 
1890. „ „ „ SACCO, Cat. pai. Bac. terz. Piemonte, n. 5446. 

Elveziano: Colli torinesi (rara). 

Tortoniano: Stazzano, S. Agata, Montegibbio (alquanto rara). 

Osservazioni. — Il nome dato dal Doderlein essendo nome di catalogo non può 
rappresentare la specie tipica. Per quanto mi risultò dall'esame della Collezione del 
Museo geologico di Modena, una parte degli esemplari determinati dal Doderlein 
come C. nisus D'Orb. sono esemplari giovani di questa forma e del D. pyruloides. 

D. Eschewegi var. d epresso astensis Sacc. 

(Tav. I, fig. 25). 

Testa minus ovata; spira valde depressior, convexula, vix apice aliquantulum 
mucronata. 

Piacenziano: Astigiana (rarissima). 

Osservazioni. — E importante vedere che il D. Eschewegi giunge al Pliocene. 
Dendroconus pyruloides (Dod. Sacc). 

(Tav. I, fig. 26). 

Testa elongato-pyruloides. Spira subacuta, parum elata. Anfractus convexuli; xdtimus 
magnus, in dimidia infera parte sulcis profundis transversim ornatus. Apertura elon- 
gato-constricta. 

Alt. 8-30-35 mm.: Lat. 7-14-17 mm. 

1862. Conus pyruloides Dod. DODERLEIN, Giac. terr. mioc. Italia centr., pag. 25 (107). 

1890. „ „ „ SACCO, Catal. pai. Bac. terz. Piemonte, n. 5444. 

Tortoniano: Stazzano, S. Agata, Montegibbio (frequente). 

Osservazioni. — Descrissi la specie sugli esemplari originali del Doderlein. Essa, 
malgrado la sua somiglianza col Chelyconus pyrula (Br.), collegasi strettamente col 
D. Berghausi. 

Gli esemplari giovani, che poco differiscono da quelli del D. Berghausi, erano 
determinati nella collezione del Museo geol. di Modena in parte come C. nisus D'Ore. 
ed in parte come C. pyriformis Dod. 

D. pyruloides var. planactttispira Sacc. 

(Tav. I, fig. 27). 

Spira depressior, minus conica, apice acutior. 
Tortoniano: Stazzano, S. Agata, Montegibbio (frequente). 



14 



FEDERICO SACCO 



Sottogen. LITHOCONUS Morch, 1850. 
Lithoconus Mercatii (Br.). 

(Tav. II, fig. 1). 

Testa oblongo-conica, spira acuta, anfractubus omnibus convexiusculis, suturam 
prope leviter canaliculati, basi confertim striata, rugosa (Brocchi). 
Alt. 18-100 mm.: Lat. 8-58 mm. 

1717. MERCATI, Metallotheca vaticana, pag. 303, fig. 3. 

1814. Conus Mercati Br. BROCCHI, Gonch. foss. subapp., II, pag. 287, Tav. II, fig. 6. 

1818. „ „ „ DEFRANCE, Dict. Hist. natia:, tome X, pag. 264. 

1820. „ » ? » BORSON, Oriti, piemontese, pag. 18 (197). 

1825. „ „ „ BASTEROT, Bass. tert. S. O. France, pag. 40. 

1826. „ „ „ RISSO, Prod. Europe mérid., IV, pag. 230. 

1827. „ „ „ BONELLI, Cat. ms. Museo Zoolog. Torino, n. 2984, 2985, 3649. 

1830. „ „ „ BORSON. Cat. Coli. min. Twin, pag. 606. 

1831. „ „ „ BRONN, It. tert. Gel., pag. 13. 

1832. „ „ „ DESHAYES, Expéd. scient. Morée, III, pag. 200, n. 354. 
1836. „ mediterraneus var. PHILIPPI, Enum. Molluscorum Siciliae, I, pag. 238. 
1842. „ Mercati Br. SISMONDA, Syn. meth., l a ediz., pag. 43. 

1845. „ „ „ LAMARCK in DESHAYES, Hist. Nat. An. s. veri., XI, pag. 161. 

1847. „ „ „ SISMONDA, Syn. meth., 2 a ediz., pag. 44. 

1848. „ mediterraneus Brug. var. BRONN, Index paleont., pag. 330. 

1851. „ Mercati Bronn. HOERNES, Foss. Moli. tert. Beck. Wien., pag. 23. 

1852. „ „ „ D'ORBIGNY, Prod. Pai. str., Ili, pag. 171. 

1866. „ „ „ „ Gast. dep. terc. Portugal, pag. 11 (pars). 

1873. „ „ „ FISCHER et TOURNOUER, Inveri, foss. M. Leberon, pag. 127. 

1873. „ „ „ COCCONI, Enum. Moli. mioc. plioc. Parma e Piacenza, pag. 149. 

1877. „ „ „ LOCARD, Descript. Faune tert. Corse, pag. 65. 

1881. „ „ „ FONTANNES, Moli. Plioc. Vallee Rhòne, pag. 140. 

1890. „ „ „ SACCO, Cat. pai. Bac. terz. Pieni., n. 4389. 

Piacenziano : Castelnuovo d'Asti, Alba, Magnano nel Biellese, Piacentino (non rara). 
Astiano : Astigiana (Buttigliera, Capriglio, Cortazzone, Baldichieri, Valle Andona, 
Villafranca, Monteu-Roero, ecc., ecc.), Bra; Piacentino, ecc. (abbondantissima). 

Osservazioni. — Questa specie fu spesso erroneamente interpretata dai varii 
autori, come risulta dalle figure date dall'Hoernes e da altri; inoltre ebbi a consta- 
tare che gran parte degli esemplari di questa specie erano classificati come (J. Al- 
drovandi. Quindi riguardo a diversi autori (Risso, Sasso, Sismonda, Lamarck, D'Or- 
bigny, ecc.) si dovrebbe anche porre nella sinonimia della specie in esame l'indi- 
cazione: C. Aldrovandi; ma mi limito ad accennare il fatto, il quale spiega molte 
confusioni verificatesi riguardo a queste due forme. E perciò che credetti opportuno 
far figurare di nuovo l'esemplare tipico del Brocchi. Nella collezione Brocchi oltre 
all'esemplare tipico di S. Miniato havvene un altro, quasi identico, delle crete senesi. 

Gli anfratti presso la sutura sono talvolta più o meno striolati trasversalmente. 

E a notarsi che all'Astiano del Piemonte le forme del L. Mercati, quantunque 
siano talora identificabili col tipo, in generale sono leggermente più allungate e supe- 
riormente più strette, ad anfratti un po' più gradinati nella spira, la quale è un 
po' più bassa, in modo da far quasi passaggio alla var. cincia. 



1 MOLLUSCHI DEI TERRENI TERZIARI DEL PIEMONTE E DELLA LIGURIA 



15 



Gli esemplari giovani si distinguono per essere assai più allungati proporziona- 
tamente al diametro trasversale, spesso substriolati presso la sutura, in modo che 
sembrano far passaggio alla var. Caroli. 

Anom. nigricans Sacc. — Testa griseo-nigra. 
Astiano — Astigiana (rara). 

Anom. crasselabiata Sacc. (Tav. LI, fig. 2). — Spira depressa, parum scalarata, 
Anfractus ultimus aperturam versus et prope aperturam 2 cingulis longitudinalibus , 
percrassis, irregularibxis, munitus. 

Astiano — Astigiana (rarissima). 

Anom. anomalosulcata Sacc. (Tav. II, fig. 2 iis ). — Anfractus ultimtis transversim 
sulcis subparallelis, plus minusve latis et profundis, inter se varie distantibus, munita. 

1826. Conus Mercati Br. var. — BONELLI, Cat. ms. Museo Zool. Torino, n. 3648. 

Astiano — Villano va d'Asti (rarissima). 

L. Mercatii var. cincia (Bors.). 
(Tav. II, fig. 3). 

Anfractus transversim cingulis parallelis, subdepressis, interdum suboblitis, inter se 
sat distantibus, ornata. 

Alt. 40-55 mm.: Lat. 22-31 mm. 

1798. Volutites 2°. BORSON, Ad. Orict. ped. auct., pag. 176. 

1820. Conus cinctus Bors. „ Oriti, piemont., pag. 13 (192). 

1830. „ „, „ „ Cat. coli. min. Turin, pag. 605. 

1848. „ „ „ BRONN, Index Paleont., pag. 329. 

Astiano: Astigiana (non rara). 

Osservazioni. — I caratteri di questa forma consistono nei cingolelli trasversi 
o cordoncini visibili ad occhio nudo e rilevati, come dice il Borson, e non già in sulculi 
come egli indica nella diagnosi. Essa potrebbe forse riguardarsi solo come un'ano- 
malia, poiché i caratteri che la distinguono compaiono su forme alquanto diverse. 

L. Mercatii var. Aldrovandi (Br.). 

(Tav. II, fig. 4). 

Testa conica, sidcis transversis remotis leviter impressis, spira convexoacuta depres- 
siuscula, anfractubus rotundatis, extimo vix excavato, basi integra oblique striata, colu- 
mella intorta, canaliculata (Brocchi). 

Distinguunt hanc var. a specie typica sequentes notae: 

Testa inflatior; spira minus scalarata. Anfractus prope suturam subrotundati, mi- 
nime subcanaliculati. 

Alt. 76 mm.: Lat. 48 mm. 

1648. ALDROVANDI, Museum metallicum, pag. 471, fig. 1 (?) 

1814. Conus Aldrovandi Br. BROCCHI, Condì, foss. subapp., II, pag. 287, Tav. II, fig. 5. 

1818. „ „ „ DEFRANCE, Dici. Hist. Nat., tome X, pag. 264. 

1823. „ „ „ BORSON, Oriti, pieni., pag. 172 (304). 



16 



FEDERICO SACCO 



1826. Conus Aldrovandi Br. RISSO, Hist. Nat. Europe mérid., IV, pag. 228. 

1827. „ ' „ „ SASSO, Saggio geol. Bac. terz. Attenga, pag. 482. 

1829. „ „ „ DE-SERRES, Géognosie terr. tert, pag. 127. 

1830. „ „ „ BORSON, Cat. gen. Coli. min. Turin, pag. 606. 

1831. „ „ „ BRONN, Ital. tert. Gebild., pag. 13. 
1842. „ „ „ SISMONDA, Syn. meth., l a ed., pag. 43. 

1845. „ „ „ LAMARCK in DESHAYES, Hist. Nat. An. s. verU, XI, pag. 160. 

1847. „ „ „ SISMONDA, Syn. meth., l a ed., pag. 43. 

1848. „ „ „ BRONN, Index paleont., pag. 328. 

1851. „ „ „ HOERNES, Foss. Moli. tert. Beck. Wien., pag. 18. 

1852. „ „ „ D'ORBIGNY, Prodr. Pai. strat., Ili, pag. 171. 

1862. „ „ „ DODERLEIN, Giac. terr. mioc. Ital. centr., pag. 25 (107). 

1863. DA COSTA, Gast. terc. Portugal, pag. 7. 

1873. „ „ „ FISCHER et TOURNOUER, Inveri, foss. M. Leberon, pag. 127. 

1873. „ „ „ COCCONI, Enum. Moli. mioc. plioc. Parma e Piacenza, pag. 147. 

1877. „ „ „ LOCARD, Descript. Faune tert. Corse, pag. 63. 

1877. „ „ „ ISSEL, Fossili marne Genova, pag. 24. 

1884. s betulinoides, forma div. DE GREGORIO, Conch. medit., pag. 66. 

1886. „ Aldrovandi? Br. SACCO, Valle Stura di Cuneo, pag. 66. 

1890. „ „ „ SACCO, Cat. pai. Bac. terz. Piemonte, n. 4368, 5433. 

Piacenziano: Crete sanesi e Bologna (rara). 

Osservazioni. — Debbo anzitutto accennare come le indicazioni segnate nella 
sinonimia si riferiscano sovente a forme ben diverse dal vero C. Aldrovandi, come 
potei convincermi confrontando l'esemplare tipico, sia colle figure o colle descrizioni 
date dai diversi autori, sia cogli esemplari che nelle varie collezioni trovai determi- 
nati come C. Aldrovandi, e che invece appartengono in parte al L. Mercatii, in parte 
a Dendroconus, ed alcuni anche a Chelyconus. Ne derivò quindi una grande confusione 
la quale si può solo eliminare ritornando all'esemplare tipico del Brocchi, che cre- 
detti quindi necessario far nuovamente figurare. 

Quanto a questo esemplare tipico notiamo dapprima come esso nella collezione 
Brocchi sia ora unico, mentre in generale gli altri coni vi sono rappresentati da di- 
versi esemplari per ogni forma; inoltre esso presenta l'ultimo anfratto più volte ed 
irregolarmente interrotto e risaldato, con salti, ecc. (ciò che venne in parte omesso 
dal disegnatore del tipo), per modo da indicarci di aver appartenuto ad un individuo 
anomalo. Riguardo agli anfratti superiormente subrotondati noto come nello stesso 
esemplare tipico del C. Mercatii vi sia già un accenno di detto carattere, il quale 
meglio si accentua in alcuni individui ed in alcune varietà di detta specie e special- 
mente nella var. elongatofusula e depressulospira, le quali varietà, fatto curioso, presen- 
tano pure generalmente nell'ultimo anfratto forti rotture, salti e risaldature come 
nell'esemplare tipico del C. Aldrovandi. D'altra parte anche in questo stesso esem- 
plare del Brocchi scorgonsi, specialmente nell'ultimo anfratto, gli accenni della de- 
pressione subcanalicolata del L. Mercatii. 

Per tali motivi io inclinerei a considerare il C. Aldrovandi come una varietà 
del L. Mercatii, ne parebbemi giusta l'interpretazione inversa, quantunque il C. Mer- 
catii sia stato descritto un numero dopo del C. Aldrovandi, poiché questa forma, 
unica o rarissima, sembra quasi solo rappresentare un'anomalia. 

Noto qui come la forma figurata da M. Hoernes come C. betulinoides non possa 
appellarsi Karreri H. u. A. (1889), perchè già indicata come Hoernesi da Doderlein 
(1862); il nome di Karreri va riservato alla forma figurata (Tav. IV, fig. 7) con 



I MOLLUSCHI DEI TERRENI TERZIARI DEL PIEMONTE E DELLA LIGURIA 



17 



questo nome da R. Hoernes ed Auinger. Quanto alla forma figurata da questi ultimi 
autori come C. Aldrovandi (1889 — Tav. IV, fig. 2) non ha che fare con tale specie, 
per cui le do il nome di pseudaldrovandi Sacc. 

L. Mercatii var. elongatofusula Sacc. 
(Tav. II, fig. 5). 

Testa affinis var. Aldrovandi, sed elongatior, fusiformi?, spira elatior. 
Alt. 77 mm.: Lat. 40 mm. 
Astiano: Astigiana (rarissima). 

Osservazioni. — Trattasi forse solo di un'anomalia, come lo indicherebbero, oltre 
che la sua rarità, anche le interruzioni degli anfratti. Dal Museo geologico di Pavia 
ebbi in comunicazione un esemplare simile, ma più piccolo (mm. 48 X 24) proveniente 
da Val d'Elsa. Alcune forme tortoniane si avvicinano a questa varietà. 

L. Mercatii var. depressulospira Sacc. 

(Tav. H, fig. 6). 

Testa elongatior, minus conica. Spira aliquantulum depressior. Anfractus ad suturam 
subrotundati. 

Alt. 33-45 mm.: Lat. 18-24 mm. 
Piacenziano: Bordighera (rara). 

Osservazioni. — Per la subrotondità degli anfratti nella regione subsuturale 
sembra costituire una forma di passaggio fra il tipo ed il C. Aldrovandi. 

Dal Museo geologico di Roma ebbi in comunicazione un esemplare di questa 
forma, proveniente da Casaglia, a caratteri assai spiccati per modo che lo faccio 
figurare come tipo. È notevole come gli esemplari che ebbi ad esaminare finora pre- 
sentino gli anfratti irregolarmente interrotti longitudinalmente, come si è già notato 
per le forme Aldrovandi ed elongatofusula; ciò indicaci forse esemplari un po' 
anomali. 

L. Mercatii var. longoastensis Sacc. 
(Tav. II, fig. 7). 

Testa elongatior, fusulatior, minus conica. 
Alt. 25-110 mm.: Lat. 12-60 mm. 

1814. Conus antiquus Lk. — BROCCHI, Conch. foss. subapp., pag. 286. 

Astiano: Astigiana (frequentissima). 

Osservazioni. — Passa gradualmente al tipo. Le si avvicina la var. funiculigera 
Font., il cui carattere del funicolo suturale credo abbia solo poca importanza. 

Potei constatare l'erronea determinazione del Brocchi esaminando il grosso esem- 
plare dell'Astigiana che egli classificò come C. antiquus; siccome nella collezione 
Brocchi esiste un solo esemplare così determinato, non vi è dubbio al riguardo. Tale 

Sebi» II. Tom. XLIV. c 



18 



FEDERICO SACCO 



errore di determinazione ne originò molti altri nei lavori di Sismonda, Bronn, ecc., 
errori che credo inutile citare. Forse il C. ampitus De Creo. (1885 — Conch. medit., 
pag. 379) dell'Astigiana è affine a questa forma, ma essendo senza figure non mi 
riuscì di identificarlo. 

L. Mercatii var. Baldichieri (Bors.). 
(Tav. n, fig. 8). 

Testa crassa, conica; spira scalariformis; anfractubus omnibus canaliculatis, linea 
impressa distinctis, majori superne subrotundato ; basi rugosa (Borson). 
Alt. 71 mm.: Lat. 40 mm. 

1820. Conus Baldichieri Bors. BORSON, Oritt. pieni., pag. 14 (193) — Tav. I, fig. 1. 

1826. „ „ „ BONELLI, Catal. m. s. Museo Zool. Torino, n. 585. 

1831. „ Baldichierensis Bors. BORSON, Cat. rais. Coli. Min. Turin, pag. 606. 

1842. „ Baldichieri Bors. SISMONDA, Syn. meth., l a ed., pag. 43. 

1847. „ „ „ „ 2* ed., pag. 44. 

1848. j, „ „ BRONN, Index paleont., pag. 328. 

1880. „ Mercati Bron. DE STEFANI e PANT ANELLI, Moli, plioc. Siena, pag. 132. 

1890. „ Baldichieri Bors. SACCO, Catal. pai. Bac. terz. Piemonte, n. 4375. 

Astiano: Baldichieri nell'Astigiana (rara). 

Osservazioni. — Sembra solo una varietà di C. Mercatii a spira molto alta ; le 
è affinissima la forma Bittneri (H. A.) del Miocene viennese. 

L. Mercatii var. fusuloidea Sacc. 

(Tav. II, fig. 9). 

Testa subfusiformis. Anfractus superne minus angulosi, plus minusve prof e suturam 
transversim striolati, parum vel minime subcanaliculati. Spira minus scalarata. 
Alt. 35-125 mm.: Lat. 18-62 mm. 
Piacenziano : Astigiana, Bordighera (alquanto rara). 
Astiano: Astigiana (rara). 

Osservazioni. — Collegasi gradualmente colla var. longoastensis. 

L. Mercatii var. crassovata Sacc. 

(Tav. II, fig. 10). 

Testa aliquantulum crassior, ventrosior, subovata. Spira paullulo depressior. 
Alt. 50-90 mm.: Lat. 30-54 mm. 
Astiano: Astigiana (alquanto rara). 

Osservazioni. — Si collega con passaggi alle var. longastensis e fusuloidea; 
ricorda i Chelyconus. 

L. Mercatii var. Caroli (Fuc). 
(Tav. Il, fig. il). 

(1891. FUCINI (Conus Caroli). Il Plioc. di Cerreto Guidi, ecc., pag. 14, Tav. II, fig. 1). 
Testa minor, gracilior, fusulatior. Spira regularius scalarata. Anfractus superne 
magis angulosi; prope suturam striolati, interdum laeviter subcanaliculati. 



I MOLLUSCHI DEI TERRENI TERZIARI DEL PIEMONTE E DELLA LIGURIA 



19 



Alt. 17-35 mm.: Lat. 9-16 mm. 
Tortoniano: Stazzano (rara). 
Piacenziano: Astigiana (frequentissima). 
Astiano: Astigiana (alquanto rara). 

Osservazioni. — Dal Museo geologico di Modena mi vennero inviati esemplari 
di questa forma coll'indicazione : Conus spirillus Dod. - Tortona, ma dubito che proven- 
gano piuttosto dal Piacenziano che non dal Tortoniano di detta regione. 

Probabilmente in parte trattasi solo di forme giovanili del L. Mercatii e delle 
sue varietà fusiformi; infatti in diversi esemplari di L. Mercatii, sia giovani che adulti, 
osservansi sulcature subsuturali, per modo che la var. Caroli essenzialmente rap- 
presenterebbe solo l'accentuamento di tale carattere ornamentale. La forma indicata 
dal De Gregorio (Conch. medit., pag. 363) come C. virginalis var. elgus potrebbe forse 
corrispondere alla forma in esame, ma, trattandosi di un semplice dubbio, non credo 
opportuno accettare tale nome. Si avvicina per diversi caratteri alla var. turricula. 

L. Mercatii var. turricula (Br.). 
(Tav. Il, fig. 12). 

Testa oblongo-conica, glabra; spira elevata acuta, anfractubus convexis suturam 
prope leviter canaliculatis, arcuatim rugosis, basi sulcata (Brocchi). 



1814. Conus turricula Br. 

1818. „ 

1820. „ 

1826. „ turriculus „ 

1829. „ turricula „ 

1830. , 

1831. „ 
1836. - mediterraneus var. 



BROCCHI, Conch. foss. subapp., II, pag. 288, Tav. II, fig. 7.. 
DEFRANCE, Dict. Hist. Nat., tome X, pag. 264. 
BORSON, Oritt. piemont.. pag. 10 (189). 
RISSO, Hist. Nat. Prod. Eur. merid., pag. 230. 
MARCEL DE SERRES, Geogn. terr. tert, pag. 127. 
BORSON, Cat. Mus. min. Turin, pag. 605. 
BRONN, It. tert. Gel., pag. 13. 
PHILIPPI, Enum. Moli. Siciliae, I, pag. 238. 
1848. „ mediterraneus Brug. var. . BRONN, Index paleont., pag. 330. 
1868. „ „ ., „ « WEINKAUFF, Conch. Mittelmeeres, II, pag. 147. 

1884. „ „ „ forma diversa DE GREGORIO, Conch. medit., pag. 371. 

Piacenziano: Astigiana e Nizzardo (rara). 

Osservazioni. — Sembrami solo una varietà di L. Mercatii, a forma un po' più 
fusoide. Oltre all'esemplare tipico, che credetti opportuno far figurare di nuovo, 
nella collezione Brocchi esistono altri tre individui, di cui due più piccoli, ad anfratti 
superiormente più angolosi, a spira più gradinata; nel complesso parrebbero quasi 
esemplari giovani ed hanno qualche rassomiglianza colla var. Caroli. 

L. Mercatii var. canaliculatodepressa Sacc. 

(Tav. II, fig. 13). 

Spira depressior. Anfractus prope suturam canaliculati, transversim plus minusve 
striolati. 

Alt. 50-137 mm.: Lat. 30-71 mm. 

Piacenziano (rara) ed Astiano (frequente) — Astigiana. 

Osservazioni. — A primo tratto parrebbe quasi una specie a sè, ma osservansi 
esemplari diversi che fanno passaggio al tipo. 



"20' 



FEDERICO SACCO 



L. Meecatii var. suprainflata Sacc. 
(Tav. II, fig. 14). 

Testa maior, crassior. Spira minus acuta, inflatior. Anfractus prope suturarti magli 
canaliculati. 

Alt. 90 mm.: Lat. 50 mm. 
Piacenziano: Albenga (rara). 

Osservazioni. — Si collega gradualmente colla var. miocenica, nonché colla var. 
canaliculatodepressa. 

L. Mercatii var. miocenica Sacc. 

Testa maior, crassior. Spira plus minusve depressior. Anfractus prope suturam 
subcanaliculati, transversim plus minusve substriolati. 
Alt. 55-100 mm.: Lat. 25-55 mm. 

1862. Conus Mercatii Br. DODERLEIN, Giac. terr. mioc. It. centr., pag. 25 (107). 

Tortoniano: Stazzano, S. Agata, Montegibbio (rara). 

Osservazioni. — Pongo a tipo di questa forma la figura data dall'Hoernes (Foss. 
Moli. tert. Beck. Wien — Tav. 2, Fig. 1), non già le fig. 2 e 3 della stessa tavola 
che rappresentano forme assai diverse e che io appello rispettivamente supracom- 
pressa Sacc. (Fig. 2) e conicomaculata Sacc. (Fig. 3). 

L. Mercatii var. subaustriaca Sacc. 

(Tav. ti, fig. 15). 

Testa affinis C. Reussi H. A., sed minus pyriformis. 
Tortoniano: Stazzano (rara). 

Osservazioni. — La forma di Stazzano che ebbi ad esaminare, quantunque rap- 
presentata da un solo esemplare incompleto, sembra avvicinarsi al C. Reussi H. A. 
ed al C. austriacus H. A., che a mio parere rappresentano solo varietà di una stessa 
specie. Questa specie è forse il L. Mercatii, eccetto che di queste forme si voglia co- 
stituire una specie a parte, essenzialmente tortoniana. Pure forme alquanto simili 
sembranmi ii C. gainfahrensis H. A. ed in parte anche il C. Neugeboreni H. A. 

Credo interessante notare come queste forme fìcoidee, direi, tanto frequenti nel 
bacino viennese, sembrino quasi formare passaggio fra il tipo essenzialmente plioce- 
nico del L. Mercatii e quello, specialmente miocenico, del L. antiquus. 

Riguardo al tipo del L. Mercatii, forse gli si potrebbero ancora raggruppare 
attorno il L. pseudaldrovandi Sacco (1889 — Conus Aldrovandi Br. — R. Hoernes 
u. Auinger — Grast. I u. H Mioc. Med. stufe — Tav. IV, Fig. 2), il L. Karreri H. A. 
{id. — Tav. IV, Fig. 7, non L. Hoernesi Dod. = C. Aldrovandi Br. figurato da Hoernes 
in: Foss. Moli. tert. Beck. Wien — Tav. I, Fig. 2), il L. ungaricus H. A., il L. Fuchsii 
H. A., ecc. 



I MOLLUSCHI DEI TERRENI TERZIARI DEL PIEMONTE E DELLA. LIGURIA 21 

L. Mercatii var. tauromaxima (an species distinguenda ?) Sacc. 

(Tav. U, fig. 16). 

Testa affinis C. Reussi H. A., sed major, superne rapide inflata, potius quam regu- 
lariter ficoides. Spira depressior, sulculellis transversis destituta. 
Alt. 150 mm.: Lat. 88 mm. 
Elveziano: Colli torinesi (rara). 

Osservazioni. — A primo aspetto parrebbe un vecchio L. antiquus, ma l'esame 
della spira fa riconoscere che esso collegasi meglio col C. Reussi H. A. e colla var. 
subaustriaca. Potrebbe forse considerarsi come una specie a se, di cui la var. compres- 
sicauda sarebbe una varietà. 

L. Mercatii var. compressicauda Sacc. 
(Tav. Il, fig. 17). 

Testa affinis var. tauromaxima sed: minor; spira elatior, subscalar ata; regio cau* 
dalis valde constricta. 

Alt. 75 mm.: Lat. 45 mm. 

Elveziano: Colli torinesi, Sciolze (alquanto rara). 

L. Mercatii var. acanaliculata Sacc. 
(Tav. II, fig. 18). 

Spira depressior. Anfractus superne prope suturam depressior -es, subplanati, non 
canaliculati. 

Alt. 30-90 mm.: Lat. 12-50 mm. 
Tortoniano: Stazzano (rara). 

Piacenziano: Astigiana, Savona Fornaci, Zinola (non rara). 
Astiano: Astigiana (rara). 

Osservazioni. — Presenta passaggi alla var. canaliculatodepressa ; però il suo 
carattere principale si riscontra in forme alquanto diverse, cioè alcune un po'allun- 
gate ed altre un po' rigonfie. 

Lithoconus subacuminatus (D'Orb.). 

(Tav. HI, fig. 1). 



Testa conica, acuminata; spira planiuscula, filo vel fune marginali, striisque circu- 
laribus eleganter distincta; apice exerto; basi subsulcata (Borson). 



Alt. 


55-130 mm.: Lat. 25-65 


mm. 


1798. 


Volutites n. 5. 


BORSON, Ad. Oryct. ped. Auct., pag. 176. 


1820. 


Conus acuminatus Bors. 


„ Oriti, piemont., pag. 15, Tav. I, fig. 2. 


1830. 


71 




„ Cat. Colh min. Turin, pag. 


1847. 


n 




SISMONDA, Syn. meth., 2 a ed., pag. 43. 


1847. 


V 


bisulcatus Bell, e Micht. (pars) 


44 

n 51 7) Ti Ti Tx ' 


1848. 


n 


acuminatus Bor&, 


BRONN, Index pàleont., pag. 328. 


1852. 


■ 


subacuminatus D'Orb. 


D'ORBIGNY, Prodr. pai. strat., Ili, pag. 56. 


1852. 


71 


bisulcatus Bell, e Micht. {pars) 


» ni, pag. 171. 


1862. 


Ti 


acuminatus Bors. 


DODERLEIN, Giac. terr. mioc. Italia centr., pag. 25 (107). 


1890. 


71 


subacuminatus D'Orb. 


SACCO, Cat. pai. Bac. terz. Piem., n. 4367. 


1890. 


» 


acuminatus Bors. var. 


a. 5437. 



22 



FEDERICO SACCO 



Tortoniano: S. Agata, Stazzano, Montegibbio (non rara). 
Astiano: Astigiana (rarissima). 

Osservazioni. — Il nome del Borson non può essere conservato, perchè già usato 
anteriormente dal Bruguière (1789). 

Gli esemplari esaminati erano classificati alcuni come C. antiquus, altri come 
C. tarbellianus, altri come 6. ponderosus, molti però erano indeterminati. Fortunata- 
mente trovai nella collezione Borson l'esemplare tipico figurato, che credo opportuno 
far rifigurare. 

Fuori del Piemonte questa bella specie venne generalmente determinata come 
C. tarbellianus Grat. A mio parere tale riferimento è erroneo, poiché il C. tarbellianus 
credo sia invece riferibile al L. antiquus Lk., come risulta dalle figure e dai paragoni 
del Grateloup. Quanto alle forme figurate dal M. Hoernes come C. tarbellianus, esse 
sono probabilmente riferibili, come var. epellus De Gre». (Tav. IV, Fig. 1), al L. Mercatii; 
qualche cosa di simile deve ripetersi per la figura data da R. Hoernes ed Auinger 
(Tav. V, Fig. 1). Invece le forme riferite dal Da Costa al C. tarbellianus sono in ge- 
nerale veri L. subacuminatus, come risulta nettamente dalla Fig. 1 di Tav. VII del 
noto lavoro " Gast. dep. terc. Portugal — 1863 „. Nel miocene (probabilmente torto- 
niano) del Portogallo questa specie sembra raggiungere dimensioni veramente colossali 
(mm. 185 X 90 circa); tali esemplari vennero indicati dal De Gregorio come var. 
grolpus. 

Il L. subacuminatus è facilmente distinguibile dalle forme affini, specialmente col- 
l'esame della spira, giacché quivi gli anfratti sono profondamente scanalati, regolar- 
mente e fortemente solcati, distinti da una sutura assai ampia, coi due margini quasi 
eguali, ecc. 

E notevole come questa specie, essenzialmente tortoniana, siasi ancora continuata 
sino all' Astiano, come risultami dall'unico esemplare, gigantesco, proveniente dalle 
sabbie gialle dell'Astigiana e che fa parte della Collezione Borson. Talora gli indi- 
vidui di questa specie sono alquanto meno stretti superiormente che non quello tipico. 
La forma tipica passa gradualmente alle seguenti varietà. 

L. SUBACUMINATUS Var. CONOIDOSPIRA SACC. 
(Tav. Ili, fig. 2). 

Spira regularius conica, non subexcavata et in regione centrali fortiter elato-mucro- 
nata sicut in specie typica. 

Tortoniano: Stazzano, Montegibbio (rara). 

Osservazioni. — Forse trattasi di individui non completamente adulti; forme 
simili vediamo figurate dal Da Costa. 

L. SUBACUMINATUS Var. SUBPYRULATA SACC. 
(Tav. Ili, fig. 3). 

Testa superne inflatior, subpyriformis. Spira regularius conica. 
Tortoniano: Sogliano (rara). 



I MOLLUSCHI DEI TERRENI TERZIARI DEL PIEMONTE E DELLA LIGURIA 



23 



L. SUBACUMINATUS Var. SUBAMARGINATA SACC. 
(Tav. HI, fig. 4). 

In regione supera anfractuum, margo externus canalis depressus, suboblitus. 
Tortoniano: Stazzano (rara). 

L. SUBACUMINATUS ? var. TAUROCONNECTENS SACC. 
(Tav. IH, fig. 5). 

Testa magna. Spira inflatior, in regione centrali minus elato-mucronata; striae 
spirales parvuliores, numerosiores, in anfractu ultimo suboblitae. 
Elveziano: Albugnano (rara). 

Osservazioni. — Potrebbe forse considerarsi come una specie a parte che col- 
lega il L. ineditus ed il L. antiquus al L. subacuminatus, ma occorrono altri rinveni- 
menti per rischiarare la questione. A primo tratto ricorda il L. antiquus var. elato- 
canaliculata. 

LlTHOCONUS ANTIQUUS (Lk.). 
(Tav. HI, fig. 6, 7). 

C. Testa turbinata, superne dilatata, basi obsolete rugosa; spira plana, subcanali- 
culata; labro arcuata (Lamarck). 

Alt. 8-85-120 mm.: Lat. 4-48-65 mm. 

1810. Conus antiquus Lk. LAMARCK, Ann. Mus. Hist. Nat., voi. 15, pag. 439 (pars). 



1814. 


71 


7) 7i 


BROCCHI, Condì, foss. subapp., II, pag. 268. 


1818. 


71 


Ti 71 


DEFRANCE, Dici. Hist. Nat., tome X, pag. 263 (pars). 


1820. 


71 


virgo? Linn. 


BORSON, Oritt. Piemont., pag. 14 (193). 


1820. 


r, 


virginalis ? Br. 


» 13 (192). 


1827. 




antiquus Lk. 


BONELLI, Cat. m. s. Mus. Zool. Torino, n. 3652, 3662, 3663, 3673. 


1830. 


71 


virgo? Linn. 


BORSON, Cat. Mus. min. Turbi, pag. 606. 


1830. 


71 


virginalis? Br. 


a » a 605. 


1831. 


* 


antiquus Lk. 


BRONN, It. tert. Gebild., pag. 13. 


1842. 






SISMONDA, Syn. meth., l a ediz., pag. 43 (pars). 


1845. 


r> 


71 V 


DESHAYES in LAMARCK, Hist. Nat. An. s. vert., tom. XI, p. 153. 


1847. 


Ti 


Ti 71 


SISMONDA, Syn. meth., 2 a ed., pag. 44. 


1847. 


71 


n 71 


MICHELOTTI, Foss. terr. mioc, pag. 342. 


1847. 


7> 


mediterraneus Brug. var. ? 


BRONN, Index paleont., pag. 328, 330. 


1852. 




antiquus Lk. 


D'ORBIGNY, Prodr. Paleont. strat., Ili, pag. 57. 


1877. 


r, 




LOCARD, Descript. Faune tert. Corse, pag. 62. 


1890. 


7) 


71 Ti 


SACCO, Cat. pai. Bac. terz. Piemonte, n. 4373. 


1891. 


n 


, Lk.var. producta Myl.MYLTUS, Forme ined. di Moli, mioc, pag. 8, fig. 2. 



Elveziano: Colli torinesi, Sciolze, Baldissero, Albugnano, ecc. (frequentissima). 

Osservazioni. — Per mancanza di figura questa bella e caratteristica specie 
venne finora generalmente o ignorata o male interpretata. Così il Brocchi le riferì 
esemplari di C. Mercatii, il Borson ne attribuì vari individui al C. virgo ed i giovani 
al C. virginalis, il Bronn credette trattarsi di una varietà di C. mediterraneus. Il Gra- 
teloup diede del C. antiquus una figura che non corrisponde affatto alla descrizione del 
Lamarck e che anzi appartiene ad un gruppo diverso; invece non conoscendo il vero 
L. antiquus egli costituì di questa forma una specie nuova: C. tarbellianus, che quindi 



24 



FEDERICO SACCO 



credo debba cadere in sinonimia del primo ; tale errore del Grateloup venne poi con- 
tinuato dall' Hoernes, dal Neugeboren, dal Da Costa, ecc., e produsse una grande 
confusione, tant'è che vediamo molti autori citare il C. antiquus, che è essenzialmente 
elveziano, sia nel miocene che nel pliocene. 

Il L. antiquus potrebbe forse considerarsi come il progenitore più o meno diretto 
del L. Mercatii, specialmente delle sue varietà austriaca, extarbelliana , canaliculato- 
depressa, ecc.; si distingue però specialmente, almeno in linea generale, per essere quasi 
sempre più ficoide-clavato, più stretto nella parte caudale , e perchè il canale che 
presentano gli anfratti (quasi solo l'ultimo o gli ultimi) nella regione spirale è più 
largo ed a margine esterno più stretto, più rapidamente rialzato e quindi più indi- 
vidualizzato, direi; inoltre per lo più gli anfratti nella regione spirale centrale sono 
appiattiti, non canalicolati, ben poco od anche per nulla scalarati. 

Finora di questa specie si conobbero solo gli esemplari adulti, mentre i giovani 
furono attribuiti a specie diverse; il Grateloup, per esempio, figurò un individuo 
giovane come C. tarbellianus var. virginalis Br. (Conch. terr. tert. Adour — Tav. 43, 
Fig. 8); così pure il Borson li determinò come C. virginalis Br. Alla forma in esame 
deve pur forse collegarsi la var. splendens G-rat. ; noto al riguardo come ben diverse 
sono le forme indicate dal Da Costa sotto questo nome nel suo lavoro * Gastr. terc. 
Portugal „ per cui credo doverle indicare con nuovi nomi, cioè exsplendens Sacc. 
(per le forme di Tav. VII) e postsplendens Sacc (per le forme di Tav. Vili). 



L. antiquus var. Wheatleyi (Micht.). 

Testa parva, turbinato-conica, transversim sidcata; sulcis parallelis distinctis, aequa- 
UbuSj ubique conspicuis; spira producta, acuta; anfractibus subplanatibus, stiperne striatis 
(Michelotti). 

Alt. 15-40 min.: Lat. 8-20 mm. 

1847. Conus Wheatleyi Micht. MICHELOTTI, Descript. Foss. mioc, pag. 339, Tav. XIII, fig. 18. 

1847. „ „ „ SISMONDA, Syn. meth., 2 a ed., pag. 44. 

1852. „ „ „ D'ORBIGNY, Prodr. Pai. strat., Ili, pag. 57. 

1890. , „ , SACCO, Cat. pai. Bac. terz. Piem., n. 4403. 

Elveziano: Colli torinesi, Sciolze, Albugnano, Bai dissero (non rara). 

Osservazioni. — A primo tratto non solo ritenni questa forma come una buona 
specie, ma parvemi riferibile ai Rhizoconus , rassomigliando assai per esempio al 

B. monile Brug. In seguito però ricercando gli esemplari giovani del L. antiquus 
venni a riconoscere la rassomiglianza grandissima che essi hanno colla forma in esame, 
la quale in complesso potrebbe forse solo ritenersi come uno stadio giovanissimo del 

C. antiquus. Sembrami affine a questa forma la Mitra peregrinula May. 

Subvar. permucronata Sacc (Tav. III, fig. 8). — Spirae apex permucronatus. 
Elveziano: Colli torinesi (non rara). 

Subvar. perangulata Sacc (Tav. Ili, fig. 9). — Testa superne latior, perangulata. 
Elveziano: Colli torinesi, Baldissero (non rara). 



I MOLLUSCHI DEI TERRENI TERZIARI DEL PIEMONTE E DELLA LIGURIA 



25 



L. antiquus var. planospira (Grat.). 

(1840. GRATELOUP {C. tarbellìanus var. planospira). Conch. foss. Bass. Adour., PI. 43, fig. 2). 

Spira depressior, subplana (parum vel non subcanaliculata), exceptis anfractibus 
inUialibus elatis. 

Elveziano: Colli torinesi (non rara). 

L. antiquus var. concavespera Sacc. 
(Tav. m, fig. 10). 

Spira valde depressior, planoconcava, vix apice subdata. 
Elveziano: Colli torinesi (alquanto rara). 

L. antiquus var. percanaliculata Sacc. 

(Tav. m, fig. 11). 

Spira, excepta regione apicali, canaliculata. 

Elveziano: Colli torinesi, Sciolze, Baldissero (frequente). 

L. antiquus var. acanaliculaia Sacc. 
(Tav. IE, fig. 12). 

In regione spirae anfractus, etiam ultimus, subplanati non canaliculati. 
Elveziano: Colli torinesi, Sciolze, Baldissero (frequente). 

Osservazioni. — Si tratta di un carattere giovanile che talora persiste anehe 
allo stato adulto. 

L. antiquus var. elatocanaliculata Sacc. 

(1840. GRATELOUP (C. tarbellianus var. d.). Conch. terr. tert. Bass. Adour., PI. 45, fig. 23). 

Spira élatior, interdum subinflatula; fere usque ad regionem apicalem subcanaliculata. 
Elveziano: Colli torinesi, Sciolze (non rara). 

Osservazioni. — Collegasi gradualmente col tipo e con alcune varietà (percana- 
liculata, elatospirata, ecc.) del L. antiquus, ma presenta pure qualche rapporto col 
Jj. subacuminatus. 

L. antiquus var. subscalarata Sacc. 

(1840. C. intermedius — GRATELOUP, Conch. terz. tert. Bassin Adour., PI. 44, fig. 22). 

Spira elatior, plus minusve scalarata. 
Elveziano: Colli torinesi (non rara). 

Osservazioni. — Si collega gradualmente colle var. elatocanaliculata ed elatospirata; 
gli esemplari che presentano più spiccato il carattere della gradinatura (come per 
esempio quello disegnato dal Grateloup) sono generalmente individui alquanto anomali. 

Serie II. Tom. XLIV. d 



2C 



FEDERICO SACCO 



L. antiquus var. elatospirata Sacc. 
(Tav. ni, fig. 13). 
Spira plus minusve elatior, non scalarata, subconica. 

Elveziano: Colli torinesi, Sciolze, Baldissero, Albugnano (frequentissima). 

Osservazioni. — Rappresenta in complesso la persistenza del carattere giovanile 
nell'adulto. La spira talora è conica fino alla sua parte periferica, talora invece, e 
più comunemente, essa diventa quivi meno inclinata; inoltre essa è assai variabile 
nel suo grado di conicità. 

L. antiquus var. perelatospira Sacc. 

(Tav. HI, fig. 14). 

Spira elatissima, conica, anfractus in regione spirae interdum trasversim striolati. 
Elveziano: Colli torinesi (alquanto rara). 

Osservazioni. — E una esagerazione, direi, della var. elatospirata. 

L. antiquus var. elongatissima Sacc 

(Tav. Ili, fig. 15). 

Testa plus minusve elongatior; cauda longo-gracilior. Spira elatior. 
Alt. 58-77 mm.: Lat. 28-33 mm. 
Elveziano: Colli torinesi (alquanto rara). 

Osservazioni. — Forse trattasi di individui anomali piuttosto che di vere varietà. 

Subvar. planoperlonga Sacc — Spira depressior, subplanata (Alt. 60 mm.: 
Lat. 30 mm.). 

Elveziano: Colli torinesi (rara). 

LlTHOCONUS INEDITUS (MlCHT.). 
(Tav. Ili, fig. 16, 16ò£s). 

Testa turbinato-conica, spira acutiuscula, anfractibus angustis, angulatis, superne 
leviter circumcincter siriato-impressis, ultimo regulariter conoideo, ad apicem tenuiter 
atque oblique striato; apertura angusta; labro tenui, simplici, superne emarginato 
(Michelotti). 

Alt. 12-90 mm.: Lat. 6-47 mm. 

1861. Conus inedìtus Micht. MICHELOTTI, Ét. Mioc. inf. Italie septentr., pag. 105, Tav. XI, fig. 11, 12. 
1890. „ „ „ SACCO, Cat. pai. Bac. terz. Piemonte, n. 4364. 

Tongriano : Cassinelle , Cosseria, Dego, Mornese, Carcare, Carpeneto, Pareto, 
S. Giustina, Sassello, Mioglia, ecc. (frequente). 

Osservazioni. — L'esemplare tipico figurato del Michelotti è giovane. Cli adulti si 
presentano meno regolarmente conici, cioè sono più o meno notevolmente rigonfi nella 
parte superiore, come nel L. antiquus; inoltre nella regione della spira gli anfratti 
sono più profondamente canalicolati per il notevole rialzarsi del bordo esterno. Nella 
parte ventrale superiore dei penultimi anfratti degli esemplari adulti sovente si os- 



I MOLLUSCHI DEI TERRENI TERZIARI DEL PIEMONTE E DELLA LIGURIA 



27 



serva una depressione o gradinatura trasversa che scompare però sempre nell'ultimo 
anfratto; nel caso se ne volesse costituire una varietà, ciò che non sembrami oppor- 
tuno, essa dovrebbe appellarsi var. depressa (Micht.), poiché il Michelotti, che osservò 
tale carattere proponeva (nel caso lo si riconoscesse costante in queste forme) di 
trarne il nome di C. depressus. Come esemplare adulto figuro appunto (fig. 16 bis), 
quello di cui parla il Michelotti nell'ultimo periodo della descrizione del C. ineditus, 
dicendolo lungo 65 mm. e dubitando doversi appellare C. depressus. 

Questa specie presenta molti punti di contatto coll'eocenico L. diversiformis (Desh.), 
da cui potrebbe derivare, nonché col L. antiquus e col L. subacuminatus che ne po- 
trebbero essere le forme più o meno direttamente derivate. 

L. ineditus var. astriolata Sacc. 
(Tav. IU, fig. 17). 

Testa plerumque parva. Anfractus in regione spirae cingulo externo et striolis 
transversis destituii. 

Alt. 20-45 mm.: Lat. 11-22 mm. 

Tongriano: Sassello, S. Giustina, Pareto, Dego, Cassinelle (frequente). 

Osservazioni. — Trattasi per lo più di esemplari giovani, a spira più o meno 
elevata, spesso declive, scalarata o no, quasi sempre senza il cingolo esterno, con 
semplici traccie, oppure mancanti affatto, delle striole trasverse di ornamentazione; 
talora tali strie della regione spirale quando sono poco accentuate scompaiono colla 
fossilizzazione. 

L. ineditus var. ascalaratospira Sacc. 

(Tav. Ili, fig. 18). 

Anfractus in regione spirali fere acanaliculati, non scalarati, cingulo elato externo 
fere destituii. 

Tongriano: Cassinelle (alquanto rara). 

L. ineditus var. juvenodepressa Sacc. 
(Tav. Ili, fig. 19). 

Testa plerumque minor. Spira depressior, subplanata (excepta regione centrali elata, 
saepe mucronata). 

Alt. 15-50 mm. : Lat. 8-26 mm. 

Tongriano: Cassinelle, Carcare, Mioglia, Sassello (frequente). 

Osservazioni. — Ricorda alquanto il L. Wheatlegi (Micht.), e , come quello, 
credo si tratti essenzialmente di esemplari giovani. 

L. ineditus var. longispirata Sacc. 

(Tav. Ili, fig. 20). 
Spira elatior, plus minusve scalaratior. 



28 FEDERICO SACCO 

Tongriano: Cassinelle, Carcare, Carpeneto, Dego, Mioglia, Sassello , Pareto 
(frequente). 

Osservazioni. — Collegasi gradualmente colla specie tipica. 

L. ineditus var. pagodaeformis Sacc. 
(Tav. ni, fig. 21). 

Testa plerumque elongatior, magis fusiformis; spira elatior, pagodaeformis. 

Alt. 80-115 mm.: Lat. 40-50 mm. 
Tongriano: Pareto, Mioglia, Dego (non rara). 

L. ineditus var. convexospirata Sacc. 

(Tav. Ili, fig. 22). 

Spira elatior, inflatior, subconvexa. 
Tongriano: Dego, Cassinelle (alquanto rara). 

L. ineditus var. perproducta Sacc. 

(Tav. in, fig. 23). 

Testa elongatior, aliquantulum constrictior. 

Alt. 40-50 mm. Lat.: 18-22 mm. 

Tongriano : Pareto, Carcare, Dego (non rara). 

L. ineditus var. fungiforme Sacc. 

(Tav. Ili, fig. 24). 

Testa crassa, superne rapide inflata, clavata; spira elatior, subconvexa. 

Alt. 90? mm. : Lat. 60 mm. 
Tongriano: Pareto (rara). 

Lithoconus? parvicaudatus Sacc. 

(Tav. in, fig. 25). 

Testa subconica in regione caudali rapide imminuta; spira conica, mediocriter elata, 
non vel minime scalar ata. Anfractus, uliimus praecipue, in regione spirae plus minusve 
subcanaliculati, in regione ventrali media caudam versus rapide imminuti, in regione 
caudali subgmciles; in regione spirae maculis latis subregularibus , in regione ventrali 
et caudali macularum seriebus regularibus subrectilineis transversis, interdum ornati. 
Apertura obliqua, subconstricta. 

Alt. 25-50 mm.: Lat. 15-27 mm. 

Elveziano: Colli torinesi, Sciolze (non rara). 



FEDERICO SACCO 



1 MOLL0SCHI DEI TERRENI TERZIARI DEL PIEMONTE E DELLA LIGURIA 29 MS 



Quadro comparativo dei LITHOCONUS 



L. litteratus — L. 



, ecc. 



Mercatii e var. 



Mercatii e var. 



Mercatii var. 



Mercati ? var. 



cincia 

elongatofusula 



Baldichieri 
fusuloidea 
crassovata 
Caroli 

canaliculatodepressa 
\ acanaliculata 



Aldrovandi 

depressulospira 

funiculigera 

fusuloidea 

Caroli 

turricula 

canalicttlatodepressa 

suprainflata 

acanaliculata 



Caroli 
miocenica 
subaustriaca 
acanaliculata 



L. subacuminatus 



L. subacuminatus e var. 



tauromaxima 
compressicauda 



— ? 



L. antiquus e var. 



Wheathley 
planospira 
concavospira 
I percanaliculata 
acanaliculata 
elatocanaliculata 
subscalarata 
elatospirata 
perelatospira 
elongatissima 



conoidospira 
subpyridata 
subamar ginata 



? 



L. subacuminatus ? var. tauroconnectens 



L. ineditus e var. 



L. diversiformis 



astriolata 
ascalaratospira 
I juvenodepressa 
longispirata 
pagodaeformis 
convexospirata 
perproducta 
fungiformis 



L. Cossoni — L. conotruncus — L. derelictus — Lithoconus dwersiformis e var. sauridens 



I MOLLUSCHI DEI TERRENI TERZIARI DEL PIEMONTE E DELLA LIGURIA 29 

Osservazioni. — Questa forma si avvicina assai per alcuni caratteri allo Stephe- 
noconus Bredai per modo che quasi ne parrebbe una varietà senza tubercoli ; d'altra 
parte si accosta pure moltissimo ad alcune varietà del Chelyconus avellana, per modo 
che, anche in considerazione del mediocre stato di conservazione dei fossili, rimango 
per ora alquanto incerto nella determinazione della forma in -esame. Quanto alle 
colorazioni che appaiono in alcuni esemplari esse sembrano avvicinare questa forma 
ai Lithoconus, ricordando ad esempio quella del L. litteratus; ma quando mancano i 
colori, variando molto i caratteri di forma, i limiti di questa variabilissima specie 
divengono assai incerti. 

L. PARVICAUDATUS Yai\ TURBINATISSIMA SACG. 

(Tav. IH, fig. 26). 

Testa turbinatior, subclaviformis; cauda constrictior. 
Elveziano: Colli torinesi (alquanto rara?). 

L. PARVICAUDATUS Vai\ TAUROTESSELLATA SACC. 
(Tav. Ili, fig. 27). 

Testa aliquantulum fusulatior. Anfractus superne subcanaliculati; maculis eviden- 
tioribus ornati, duobus fasciis subochraceis, una in regione ventrali et una in regione 
caudali, muniti. 

Elveziano: Sciolze (rara). 

Osservazioni. — Si tratta di un esemplare a colorazione assai ben conservata 
e che ricorda molto, per le due fascie trasverse, il vivente L. tessellatus, ciò che ac- 
cresce l'affinità della forma in esame ai veri Lithoconus. 



30 



FEDERICO S\CCO 



Sottogen. LEPTOCONUS Swainson, 1840. 

Quantunque questo sottogenere comprenda tuttora forme assai diverse e che 
dovranno in seguito collocarsi in sottogeneri diversi, tuttavia nel complesso esso 
presenta caratteri tali da inglobare parecchie specie fossili. 

Leptoconus Brocchii (Bronn.). 
(Tav. IV, fig. 1). 

Alt. 7-65 mm.: Lat. 3-22 tran. 

1814. Conus deperditus Brug. BROCCHI, Condì, foss. subap., II, pag. 292, Tav. Ili, fig. 2. 

1820. „ „ „ BORSON, Oritt. piem., pag. 12 (191). 

1825. „ „ „ BASTEROT, Bass. tert. S. 0. France, pag. 39. 

1826. „ „ „ RISSO, Hist. Nat. Europe mér., IV, pag. 230. 

1826. „ „ „ BONELLI, Catal. m. s. Museo zool. Torino, n. 576. 

1827. „ „ „ SASSO, Saggio geol. Bac. terz. Albenga, pag. 482. 
1829. „ DE SERRES, Géogn. terr. tert., pag. 127. 

1831. „ „ „ {pars) BRONN, It. tert. Geb., p. 12. 

1831. „ Brocchi Bronn BRONN, It. tert. Gebild., pag. 12. 

1832. , „ „ CRISTOFORI e JAN, Cat. Conch. foss. univalvi, pag. 15. 

1837. „ deperditus Brug. PUSCH, Polens Palaeontologie, pag. 115. 

1838. „ „ „ MICHELOTTI, Geogn. zool. Amichi tert. Bild. Piemonts, pag. 397. 

1842. „ „ „ SISMONDA, Syn. meth., l a ed., pag. 43. 

1843. s Brocchii Bronn. NYST, Coqu. et Polyp. foss. Belg., pag. 584. 
1847. , „ , ' SISMONDA, Syn. meth., 2* ed., pag. 44. 

1847. „ „ „ MICHELOTTI, Descript, foss. mioc, pag. 337. 

1848. „ „ „ BRONN, Index paleont., pag. 328. 

1852. „ „ „ D'ORBIGNY, Prodi: pai. strat., Ili, pag. 171. 

1863. „ „ „ COCCONI, Enum. Moli. mioc. plioc. Parma e Piacenza, pag. 153. 

1881. „ „ „ FONTANNES, Moli, plioc. Rhóne, pag. 149. 

1884. „ canal, forma Brocchii Br. DE GREGORIO, Studi Conch. medit., pag. 360. 

1888. „ Brocchii Bronn TRABUCCO, Foss. Bac. plioc. B. Orsecco, pag. 19. 

1890. , „ „ SACCO, Cat. pai. Bac. tert. Piemonte, n. 4382. 

Piacenziano: Astigiana, Castelnuovo, Rocca d'Arazzo, R. Orsecco; Piacentino; 
Zinola, Albenga, Bordighera, Nizzardo (frequentissima). 
Astiano: Astigiana, Piacentino (alquanto rara). 

Osservazioni. — Nella collezione Brocchi, oltre all'esemplare tipico (la cui figura 
nella tavola del lavoro del Brocchi non è fra le più riuscite), evvi ancora un altro 
esemplare identico al primo e proveniente dal Piemonte. 

Nella collezione Michelotti trovai 5 esemplari di questa specie coll'indicazione : 
" S. Maria Stazzano „ il che indicherebbe una provenienza tortoniana, ma dubito 
trattisi di un errore , sia perchè nell'esame di oltre 100 esemplari di L. Brocchii 
di varie località e di diversi Musei, constatai essere essi tutti di provenienza plio- 
cenica, sia perchè anche i 5 esemplari in questione per la natura del materiale che li 
riempie sembrano derivare pure dal pliocene. 

Gli autori, come il Borson, il Sismonda, ecc., i quali indicarono il C. deperditus 
come trovato nel Miocene torinese, si riferivano ad esemplari di L. Allionii. 



I MOLLUSCHI DEI TERRENI TERZIARI DEL PIEMONTE E DELLA LIGDEIA 



31 



L. Brocche? var. excanaliculata Sacc. 
Testa pyramidalis, transversim striata, spira conica, anfractubus omnibus canali- 
culatis, basi sulcata (Brocchi). 

1814. Conus canaliculatus Br. BROCCHI, Conch. foss. suìapp., pag. 636, Tav. XV, fig. 28. 



1820. „ „ „ BORSON, Oritt. piem., pag. 17 (196). 

1831. „ „ „ „ Cat. Coli. min. Turin, pag. 606. 

1831. „ „ „ BRONN, Ital. tert. Gebild., pag. 12. 

1845. „ „ „ LAMARCK, Hist. Nat. An. s. veri., XI, pag. 159. 

1848. „ „ „ BRONN, Index paleont., pag. 329. 

1873. „ „ „ COCCONI, Enum. Moli. mioc. plioe. Parma e Piacenza, pag. 154. 

1873. „ „ „ FISCHER et TOURNOUER, Inveri, foss. M. Leberon, pag. 127. 

1884. „ „ „ DE GREGORIO, Studi Conch. medit. viv. e foss., pag. 359. 



Piacenziano : Piacentino (rara). 

Astiano: Valle d'Andona, Piacentino (rara). 

Osseev azioni. — Questa forma parrebbe riferibile al gruppo del L. Brocchii, se 
pure non è un esemplare giovane di qualche altra forma ; ma non avendo trovato 
l'esemplare tipico nella collezione Brocchi non riescii a chiarire la cosa. Il nome 
canaliculatus devesi abbandonare già esistendo sin dal 1795 un Conus canaliculatus 
Chemn. 

L. Brocchii var. antediluvianoides Sacc. 

(Tav. IV, fig. 2). 

Spira interdum aliquantido longior. Funiculum (in angulo spirae situm) plus 
minusve granulatum vel subgranulatum ; sub funiculo striolae, 1 vel 2, plus minusve 
evidentes. 

Piacenziano : Astigiana, Piacentino , Zinola , Albenga , R. Torsero , Bordighera 
(non rara). 

Osservazioni. — Passa gradatissimamente al tipo. E interessante poiché sembra 
indicarci una regolare transizione fra il gruppo del C. Brocchii e quello del C. ante- 
diluvianus, per modo che la loro separazione in due sottogeneri differenti appare 
alquanto arbitraria. Accenniamo però come nel complesso le forme che appartengono 
al gruppo del C. antediluvianus, oltre ai noti caratteri differenziali, si presentino per 
lo più leggermente innate ed a granulazioni più grosse che non quelle del gruppo 
del L. Brocchii. 

L. Brocchii var. fdsulospirata Sacc. 

(Tav. IV, fig. 3). 

Testa elongatior, fusulatior; spira elatior, aliquantulum gracilior. 
Alt. 34-38 mm.: Lat. 14-16 mm. 

Piacenziano: Astigiana, Piacentino, Albenga, Bussana (non rara). 
Osservazioni. — Passa insensibilissimamente al tipo. 

L. Brocchii var. crassospirata Sacc. 

(Tav. IV, fig. 4). 

Testa interdum crassior, latior. Spira minus elata, crassior, saepe minus fortiter 
scalarata. 



FEDERICO SACCO 



Alt. 17-67 mm. : Lai 8-33 mm. 

Piacenziano : Astigiana , Piacentino , Zinola , Albenga , R. Torsero , Bordighera 
(abbondantissima). 

Astiano: Astigiana, Piacentino (non rara). 

Osservazioni. — È più frequente del tipo al quale si collega graduatissima- 
mente. Non pochi esemplari presentansi colla spira bassa ma sono assai scalarati in 
modo da far passaggio alla var. brevidepressula, 

L. Brocche var. brevidepresstjla Sacc. 

(Tav. IV, fig. 5). 

Testa brevior. Spira depressior. 

1890. Conus Brocchii Bronn. — DELLA CAMPANA, Pliocene Borzoli, pag. 27. 
Piacenziano: Borzoli, Bussana (alquanto rara). 

Osservazioni. — Esistono esemplari che formano passaggio graduale al tipo. Si 
avvicina assai per la forma complessiva al L. Allionii, distinguendosene pel funicolo 
meno tagliente, più rotondeggiante, per essere gli anfratti alquanto più ventricosi, ecc. 



Leptoconus Allionii (Micht.). 

(Tav. IV, fig. 6). 

Testa turbinata, conica, laevigata; basi striata; spira plus minusve producta, sca- 
lariformi; apertura angusta; labro arcuato, superne profunde emarginato (Michelotti). 
Alt. 15-30 mm.: Lat. 7 V 2 -17 mm. 

1818. Conus deperditus Lk. DEFRANCE, Dici. Hist. nat., tome X, pag. 261. 

1820. „ „ Brug. BORSON, Orittogr. piemont., pag. 11, 12. 

1827. „ „ j, BONELL1, Cat. m. s. Museo Zool. Torino, n. 3661. 

1830. „ „ „ BORSON, Cat. Coli. Musée min. Turin, pag. 605. 

1842. , „ „ SISMONDA, Syn. meth., l a ed., pag. 43. 

1847. „ Allionii Micht. MICHELOTTI, Descript, foss. mioc, pag. 338, Tav. XVII, fig. 17. 

1847. „ „ „ SISMONDA, Syn. meth., 2 a ed., pag. 43. 

1852. „ „ „ D'ORBIGNY, Prodr. Pai. strat., Ili, pag. 56. 

1872. „ „ „ KOENEN, Mioc. Nord-Deutschl. u. seine Moli. Fauna, pag. 214. 

1890. „ „ „ SACCO, Cat. pai. Bac. terz. Piemonte, n. 4369. 

Elveziano: Colli torinesi, Baldissero (frequente). 

Osservazioni. — Riguardo a questa specie dobbiamo osservare anzi tutto come 
le cifre date dal Michelotti riguardo alle sue dimensioni non corrispondano affatto 
a quelle che mostra la figura presentata, mentre questa meglio collima colle dimen- 
sioni date per il C. discors (che credo sia una varietà della specie in esame); ma 
siccome il C. Allionii è descritto prima del G. discors, e ne è data una buona figura,, 
così non dubito di accettare il C. Allionii come specie tipica. Inoltre è notevole come 
a tipo, che dobbiamo perciò conservare come tale, del C. Allionii venne figurato un 
esemplare il quale rappresenta quasi un'ultima modificazione (a spira depressa) di una 
forma che ha, molto più comunemente, una spira abbastanza regolarmente conica e 
che con modificazioni nel senso opposto, cioè nell'elevazione della spira, giunge sino 



I MOLLUSCHI DEI TERRENI TERZIARI DEL PIEMONTE E DELLA LIGURIA 33 

alla forma che il Michelotti appellò C. oblitus ; cioè il Michelotti costituì due specie 
sopra due forme tra loro ben distinte, ma che a mio parere rappresentano le ultime 
modificazioni, in senso opposto, di una stessa specie; quindi ne saprei trovare un 
carattere specifico distintivo delle due forme, ne mi parrebbe perciò logico costituirne 
due specie diverse, nello stesso modo come non sarebbe naturale elevare al grado 
di specie le var. brevidepressula e fusidospirata del L. Brocchii. 

D'altronde lo stesso Michelotti sembra essersi convinto di ciò, giacche nella sua 
collezione gli esemplari di C. Allionii, C. discors e C. oblitus, trovavansi ora riuniti 
assieme. Il C. Allionii ha la precedenza come specie tipica perchè nel lavoro è de- 
scritto al N. 4 (pag. 338), mentre il C. oblitus trovasi al N. 8 (pag. 340). 

Anom. compressoti Sacc. — Spira depressior. 
Elveziano: Colli torinesi (rara). 

Anom. semiscalarata Sacc. — Anfractus in regione centrali et media spirae sca- 
larati, in regione externa spirae non scalarati, regulariter declives, funiculo subdestituti. 
Elveziano: Colli torinesi (non rara). 

L. Allionii? var. granulocatenata Sacc. 

(Tav. IV, fig. 7). 

Testa plerumque minor. Spira plus minusve elatior. Anfractus in regione caudali 
et interdum in regione ventrali seriis granularibus ornati. 

Alt. 8-20 mm.: Lat. 4 '/ 2 -10 mm. 
Elveziano : Colli torinesi (non rara). 

Osservazioni. — I caratteri della granulosità si incontrano specialmente nei 
Gonospirus, il che indica sempre più il nesso strettissimo che collega i Conospirus 
ai Leptoconus. Nella specie in esame tali caratteri osservansi su forme un po' diverse, 
specialmente su quelle affini alla var. conicospirata, e per lo più su esemplari piccoli, 
il che sembra indicare che le granulazioni in esame rappresentano un carattere sal- 
tuario, proprio specialmente degli individui giovani. 

L. Allionii var. conicospirata Sacc. 

(Tav. IV, fig. 8). 
Spira plus minusve elatior, subregulariter conica. 

Alt. 15-34 mm. : Lat. 8-15 mm. 

Elveziano: Colli torinesi, Baldissero (frequente). 

Osservazioni. — Passa gradualissimamente al tipo. Le si avvicina alquanto la 
forma figurata dall'Hoernes (Foss. Moli. tert. Beck, Wien. — Tav. V, Fig. 7), come 
Conus Dujardini. 

L. Allionii var. perconicospirata Sacc. 

(Tav. IV, fig. 9). 

Testa elongatior, subfusoidea; spira valde elatior. 
Alt. 18-31 mm.: Lat. 7-12 mm. 

Serie II. Tom. XLIV. e 



34 



FEDERICO SACCO 



Elveziano: Colli torinesi (non rara). 

Osservazioni. — Collegasi gradualmente colla var. conicospirata. 

L. Allionii var. discors (Micht.). 

(Tav. IV, fig. 10). 

Testa interdum crassior. Spira subinflata, subconvexa. 
Alt. 20-45 inni.: Lat. 11-24 mm. 

1847. Conus discors Micht. MICHELOTTI, Bescrìpt. foss. mìoc, pag. 338. 
1890. „ T SACCO, Cat. pai. Bac. terz. Piemonte, n. 4385. 

Elveziano: Colli torinesi (frequente). 

Osservazioni. — Se si volesse considerare il C. oblitus come specie a sè, la forma 
discors se ne potrebbe considerare Come la varietà più depressa; ma essa collegasi 
però affatto insensibilmente col L. Allionii e specialmente colla sua var. conicospirata. 
Quanto al carattere indicato del Michelotti, che cioè nel C. discors gli anfratti sono 
superiormente depresso-canalicolati, esso osservasi pure quasi sempre nel C. Allionii. 

L. Allionii var. pupoidespira Sacc. 

(Tav. IV, fig. 11). 

Distinguunt hanc var. a var. discors (Micht.) sequentes notae: 
Testa fusulatior; spira elatior, inflatior, pupoidea. 
Alt. 22-42 mm.: Lat. 11-22 mm. 
Elveziano: Colli torinesi (frequentissima). 

Osservazioni. — Il rigonfiamento della regione spirale sembra specialmente carat- 
teristico delle forme mioceniche, come vedesi pure nel gruppo del C. antediluvianus. 
Si collega colla var. discors, e col C. oblitus. 

L. Allionii var. perpupoidespira Sacc. 

(Tav. IV, fig. 12). 

Distinguunt hanc var. a var. discors sequentes notae: 

Testa valde fusulatior; spira valde elatior, inflatior, pagodaeformis. 

Alt. 30-45 mm. : Lat. 14-19 mm. 

Elveziano: Colli torinesi (non rara). 

Osservazioni. — Rappresenta solo un'esagerazione, direi, dei caratteri della 
var. pupoidespira. 

L. Allionii var. oblita (Micht.) (an species distinguenda ?). 
(Tav. IV, fig. 13). 

Testa turbinata, conica, elongata, laevigata; basi laevigata; spira producta; anfra- 
ctibus carinatis, scalar if or mibus ; apertura angusta; labro arcuato, superne late marginato 
(Michelotti). 

Distinguunt hanc var. a var. discors sequentes notae: 



I 

I MOLLUSCHI DEI TERRENI TERZIARI DEL PIEMONTE E DELLA LIGURIA 35 

Testa fusulatior. Spira elatior, scalaratior ; in regione marginali spirae funiculum 
minus visibile, minus erectum, deinde angulus magis acutus. 
Alt. 25-50 mm.: Lat. 11-20 mm. 

1847. Conus oblitus Micht. MICHEL-OTTI, Descript, foss. mìoc, pag. 340, Tav. XIV, fig. 2. 

1847. „ „ „ SISMONDA, Syn. meth., 2 a ed., pag. 44. 

1852. „ , „ D'ORBIGNY, Prodi: Pai. strat., HI, pag. 57. 

1890. „ „ „ SACCO, Cat. pai. Bac. terz. Piemonte, n. 4391. 

Elveziano: Colli torinesi (frequentissima). 

Osservazioni. — Come già ebbi ad accennare trattando del tipo del L. Allionii, 
la forma in esame appare specificamente affatto distinta da detta specie, ma dubito 
trattisi qui solo di estreme ed opposte modificazioni di una specie sola la cui forma 
più frequente sarebbe la pupoidespira ; d'altronde sonvi passaggi così insensibili fra 
dette due forme, per quanto diverse alla comparazione diretta, che non sembra molto 
naturale il dividerle specificamente. Così, per esempio, quando gli esemplari del C. oblitus 
presentano la spira un po' meno innata, cioè più regolarmente conica, ne riesce so- 
vente incertissima la delimitazione dalla var. perconicospirata del L. Allionii; d'altronde 
sia il rigonfiamento della spira, sia l'essere questa più comunemente scalarata (ciò 
che per lo più osservasi nel gruppo del C. oblitus), non paionmi caratteri tali da 
appoggiare una distinzione specifica che all'atto pratico diventa molto arbitraria. 
Tale fatto sembra così chiaro che lo stesso Michelotti in questi ultimi anni riunì 
assieme, nella sua raccolta, gli esemplari di queste due cosidette specie. Notiamo 
infine come la forma in esame non sia da confondersi col gruppo del C. Dujardini, 
come potrebbe forse supporsi a primo tratto, distinguendosene in generale nettamente 
per la spira meno regolarmente acuta, per la parte superiore degli anfratti discen- 
dente meno regolarmente verso il basso e costituente un angolo assai meno acuto, 
con un accenno più o meno evidente di funicolo od almeno eli leggerissimo rilievo. 

L. Allionii var. perfuniculata Sacc. 
(Tav. IV, fig. 14). 

Distinguunt hanc var. a var. oblita Micht. sequentes notae: 
Angulus anfractuum minus acutus; funiculo magis visibile, plus minusve conspicuo, 
munitus. 

Elveziano: Colli torinesi (non rara). 

Osservazioni. — E una semplice modificazione della var. oblita, alla quale passa 
insensibilissimamente, e che ricorda alquanto il L. Brocchii. 

Leptoconus elatus (Micht.). 
(Tav. IV, fig. 15). 

Testa conica, elongata; spirae exertae; anfractubus funiformibus : sutura incavata 
distinctis; basi acuminata (Borson). 

Testa conico-elongata, cylindrica; spira exerta; anfractibus supernis vix elatis, ro- 
tundatis, mediis subangulatis, postremo ungulato, rugulosis. sulcis longitudinalibus oblique 
instructis (Michelotti). 

Alt. 40-150 mm.: Lat. 17-55 mm. 



36 



FEDERICO SACCO 



1830. 


il 


rt n 


1847. 




elatus Micht. 


1847. 


j) 


Ti TI 


1848. 




elongatus Bors. 


1851. 




Haueri Pariseli. 


1852. 


lì 


elatus Micht, 


1862. 


n 


Haueri Pariseli, 


1872. 




n ti 


1890. 


ri 


elatus Miclit. 



1821. Conus elongatus Bors. BORSON, Oritt. piemont., pag. 19 (198), Tav. I, fig. 4. 

„ Cat. Coli. min. Turin, pag. 606. 
MICHELOTTI, Descript, foss. mioc., pag. 341, Tav. XIII, fig. 16. 
SISMONDA, Syn. meth., 2 a ed., pag. 44. 
BRONN, Index paleont., pag. 329. 
HOERNES, Foss. Moli. tert. Beck. Wien., pag. 34. 
D'ORBIGNY, Prodr. Pai. strat., III, pag. 56. 
DODERLEIN, Giac. terr. mioc. Ital. centr., pag. 25 (107). 
LOCARD, Descr. Faune tert. Corse, pag. 69. 
SACCO, Cat. pai. Bac. terz. Piemonte, n. 4387. 

NB. Le indicazioni di Conus Puschi Micht. riguardanti fossili tortoniani rientrano generalmente 
nella sinonimia del L. elatus. 

Tortoniano: Stazzano, S. Agata, Montegibbio (non rara). 

Osservazioni. — Il nome elongatus di Borson non può essere adottato già esi- 
stendo sin dal 1786 un Conus elongatus Chemnitz; quanto all'appellativo Haueri, quan- 
tunque già indicato nel 1842 dal Partsch, rimase solo nome di Catalogo sino al 1851 
quando l'Hornes figurò e descrisse la forma a cui esso era applicato, forma che quindi 
deve solo più considerarsi come una varietà del C. elatus. L'indicazione data dal 
Borson, che cioè questa forma si trovi nell'Astigiana è affatto errata, giacché in quasi 
un secolo di continue ricerche non si trovò nell'Astigiana alcun individuo di questa 
specie, ed inoltre dall'esame dell'esemplare tipico su cui il Borson fondò il suo C. elon- 
gatus potei accertarmi che anche esso proviene dal Tortoniano del Tortonese. Nella 
parte superiore degli ultimi anfratti esiste talora un cordoncino trasverso più o meno 
depresso, che però generalmente scompare nell'ultimo anfratto degli esemplari com- 
pletamente adulti. I primi anfratti sono generalmente più o meno granulosi. Notisi 
che nel tipo di questa specie gli anfratti sono alquanto angolosi e quindi la spira 
risulta scalarata, mentre che invece generalmente gli anfratti si presentano più o 
meno rotondeggianti. 

Il riferimento del C. elatus ai Leptoconus può ancora presentare qualche dub- 
biezza, quantunque a tale sottogenere si riferiscano forme viventi, alquanto simili, 
così il C. gradatus Gray, il C. acuminatus Brug., ecc.; però alcuni caratteri avvi- 
cinano il C. elatus ai Chelyconus. 



L. elatus var. depressulespirata Sacc. . 
(Tav. IV, fig. 16). 

Spira minus elata, ratione hahita, basi latiore; anfractus rotundatiores. 

Alt. 80-95 mm.: Lat. 35-45 mm. 

Tortoniano: Stazzano, Montegibbio (alquanto rara). 

Osservazioni. — Si avvicina alla var. Haueri (Partsch.). 



L. elatus var. taurobrevis Sacc. 
(Tav. IV, fig. 17). 

Testa minus elongata, spira minus elata; anfractus rotundatiores. 
Alt. 55 mm. : Lat. 27 mm. 



I MOLLUSCHI DEI TERRENI TERZIARI DEL PIEMONTE E DELLA. LIGURIA 



37 



Elveziano: Colli torinesi (rara). 

Osservazioni. — Collegasi colla var. depressulespirata. 

L. elatus var. tauroparva Sacc. 

(Tav. IV, fìg. 18). 

Testa minor, gracilior ; spira scalaratior. 
Alt. 40 mm. : Lat. 16 mm. 
Elveziano: Colli torinesi (rara). 

Osservazioni. — Ricorda alquanto il L. extensus (Partsch.), forma del Miocene 
(specialmente tortonianó) viennese che riscontrai nsW Elveziano della Sardegna, ma che 
finora non si incontrò in Piemonte. 

L. elatus ? var. taurotransiens Sacc. 

(Tav. IV, fìg. 19). 

Testa plerumque minor; spira, ratione habita, elatior. Anfractus breviores. 
Alt. 36-65 mm.: Lat. 16-26 mm. 
Elveziano: Colli torinesi (non rara). 

Osservazioni. — Sembra quasi far passaggio al C. oboesus Micht., per modo che 
la sua determinazione riesce alquanto incerta ; alcuni esemplari hanno la spira supe- 
riormente assai gracile, tanto da ricordare in piccolo la var. fusulatimspirata. 

L. elatus var. convexuloides Sacc. 
(Tav. IV, fig. 21). 

Spira minus scalarata, interdum aliquantulum elongatior. Anfractus convexiores, 
subrotundati. 

Tortonianó : Stazzano, Montegibbio (non rara). 
? Piacenziano: Borzoli (rarissima). 

Osservazioni. — Un individuo gigantesco di questa varietà raggiunge la lun- 
ghezza di 150 mm. Spesso nella parte superiore gli anfratti presentano un cordon- 
cino trasversale depresso. 

Quanto all'unico ed incompleto esemplare già citato dal Della Campana (1890, 
Conus Haueri ? Partsch, Pliocene Borzoli, pag. 28) conservato nel Museo geologico 
di Genova coll'indicazione di provenienza : Borzoli, credo opportuno mantenere qualche 
riserva sino ad ulteriori scoperte , trattandosi di una specie tanto schiettamente 
miocenica, ne parendomi impossibile che detto esemplare possa provenire invece dal 
tortonese. 



38 



FEDERICO SACCO 



L. elatus var. fusulatimspirata Sacc. 
(Tav. W, fig. 22). 

Testa aliquantulum elongatior. Spira valde dongatior, fusiformis; anfractus saepe 
rotundatiores, ultimo excepto. 

Alt. 70-125 mm.: Lat. 25-44 mm. 

Tortoniano: Stazzano, S. Agata fossili (alquanto frequente). 

Osservazioni. — L'esemplare molto guasto su cui il Borson fondò il suo G. elon- 
gatus ricorda alquanto questa varietà. Ad essa sono in gran parte riferibili le forme 
figurate nella Tav. Vili dal Da Costa come Conus Puschi. 

L. elatus var. fusuloparva Sacc. 
(Tav. IV, fig. 23). 

Testa minor, gracilis, fusiformis. Spira valde elongatior, f mutata. Anfractus ro- 
tundatiores. 

Alt. 50 mm.: Lat. 15 mm. 
Tortoniano: S. Agata fossili (rara). 

Osservazioni. — Probabilmente è forma non ancora completamente sviluppata. 
L. elatus var. perconicospirata Sacc. 

(Tav. IV, fig. 24). 

Testa aliquantidum elongatior. Spira regulariter conica; anfractus rotundatiores. 
Tortoniano : Stazzano, S. Agata (non rara). 

Osservazioni. — È interessante osservare come la tipica spira pupoide allun- 
gata, direi, si trasformi gradualmente in spira conica. Le è alquanto affine, ma più 
depressa, la var. haueriana Sacc. (1851, Conus Haueri Partsch. — Hoernes, Foss. 
Moli. Tert. Beck. Wien. — Tav. IV, fig. 5 (non 4) ). 

L. elatus var. funiformispirata Sacc. 
(Tav. IV, fig. 25). 

Spira subregulariter conica; anfractus perrotundanti, funiformes, profundis suturis 
disjuncti. 

Tortoniano : Stazzano (rara). 

Osservazioni. — Collegasi specialmente colla var. perconicospirata. 

L. elatus var. perlongespirata Sacc. 
(Tav. IV, fig. 26). 

Spira elongatior, in regione apicali constrictior, in regione basali valde dilatata. 
Anfractus ultimus subcanalicidatus. 
Tortoniano : Stazzano (rara). 

Osservazioni. — Passa gradualmente al tipo ed alla var. fusulatimspirata. 



I MOLLUSCHI DEI TERRENI TERZIARI DEL PIEMONTE E DELLA LIGURIA 



39 



Leptoconus tauroelatus Sacc. 

(Tav. IV, fig. 27). 

Testa elongata, subgracilis, subclamformis. Spira elato-pupoides, in parte superiore 
gracilis, subturrita, in regione externa rapide dilatata. Anfractus elongati, superne ro- 
tundati (exceptis primis subangulatis), suturis profundis disjuncti, caudam versus rapide 
imminuti. Apertura perlonga, per strida. 

Alt. 62 mm. : Lat. 22 mm. 

Elveziano: Colli torinesi (rara). 

Osservazioni. — Sembra appartenere al gruppo del L. elatus, ricordandone spe- 
cialmente la var. perlongespirata ; ma nel complesso pare dover costituire specie a se. 



Sottogen. CONOSPLKUS De Gregorio, 1890, 



Il De Gregorio nella sua " Monogr. Faune eoe. Alabama — pag. 21 „ istituisce 
questo nuovo sottogenere ponendovi a tipo il C. antediluvianus Brug. Dobbiamo però 
subito notare come il De Gregorio riunisca in questo sottogenere forme assai distinte 
appartenenti a sottogeneri diversi e già prima distinti, cosi per es. il C. stromboides 
su cui nell'anno precedente (1889) il Cossmann aveva fondato il sottog. Hemiconus. 

Inoltre, anche restringendo il sottog. Conospirus al gruppo del C. antediluvianus 
e forme affini, è certo che esso presenta graduali passaggi ai Leptoconus, per modo 
che tale distinzione mostrasi talora alquanto arbitraria. Contuttociò, pur riconoscendo 
la strettissima affinità dei Conospirus coi Leptoconus, tanto che probabilmente altri 
crederà opportuno tenerli riuniti, considerando però che le suddivisioni sottogeneriche 
presentano talora passaggi fra loro, accetto per ora tale distinzione, come quella che 
sembrami atta a meglio differenziare due gruppi di forme, bensì strettamente colle- 
gate, ma complessivamente distinte. 



Conospirus antediluvianus (Brug.). 



1786. 
1792. 
1798. 
1810. 
1814. 
1818. 
1820. 
1824. 
1826. 
1826. 
1827. 
1830. 
1831. 
1831. 



Vólutilites 

Conus antidiluvianus Brug. 

Vólutilites n. à 

Conus antidiluvianus Brug. 



antediluvianus 
antidiluvianus 

antediluvianus 



antediluvianus 
antidiluvianus 



WALCH u. KNORR, Naturg. Verstein.,11, pag. 160, Tav. CU, fig. 6. 
BRUGUIERE, Encicl. meth. Vers, I, pag. 637, Tav. 347, fig. 6. 
BORSON, Ad Orijct. pedem. auct., pag. 176. 
LAMARCK, Ann. Mus. Hìst. hai., tome XV, pag. 442. 
BROCCHI, Condì, foss. subapp., Il, pag. 291, Tav. II, fig. 11. 
DEFRANCE, Dict. Se. Nat., X, pag. 263. 
BORSON, Oritt. piemont., pag. 14 (193), 

DESHAYES , Descr. Cogu. foss. Paris, II, pag. 749, 750 (pars). 

RISSO, Hist. Nat. Europe mérid., IV, pag. 230. 

BONELLI, Cat. m. s. Museo Zool. Torino, n. 296, 

SASSO, Sagg. geol. Bac. terz. Albenga, pag. 482. 

BORSON, Cat. Mus. min. Turin, pag. 606. 

BRONN, Ital. tert. Gebild., pag. 12. 

DUBOIS DE MONTPÉREUX, Conch. foss. Walh., pag. 23 (pars). 



40 



FEDERICO SACCO 



1837. 


Conus 


angutanculus Desìi. 


1838. 




appenninicus Bronn. 


1838. 




antediluvianus „ 


1842. 




antidiluvianus Brug. 


1843. 




Bruguierii Nyst. 


1845. 




antediluvianus „ 


1847. 




antidiluvianus „ 


1847. 






1848. 




antediluvianus „ 


1851. 






1852. 




apenninensis Bronn. 


1853. 




antediluvianus Brug. 


1853. 






1857. 






1859. 






1862. 






1866. 






1872. 






1873. 




antidiluvianus „ 


1877. 






1877. 




antediluvianus „ 


1878. 




71 71 


1884. 


77 


77 77 


1885. 




77 77 


1885. 


77 


77 7! 


1886. 


n 


77 77 


1890. 


a 


apenninensis Bronn. 


1890. 


71 


antediluvianus Brug. 


1890. 


n 


77 7! 



PUSCH, Polens Pai Sontologie, pag. 115 (pars). 

BRONN, Lethaea geogn., II, pag. 1118, Tav. XLII, fig. 15. 

MICHELOTTI, Geogn. zool. Ansicht tert. Bild. Piemonts, pag. 397. 

SISMONDA, Syn. meth., l a ed., pag. 44. 

NYST, Coqu. et Polip. foss. Belgique, pag. 585. 

DESHAYES in LAMARCK, Hist. Nat. An., s. vert., XI, pag. 155. 

MICHELOTTI, Descript, foss. mioc., pag. 336. 

SISMONDA, Syn. meth., 2 a ed., pag. 43. 

BRONN, Index paleont., pag. 328. 

HOERNES, Foss. Moli. tert. Beck. Wien., pag. 38. 

D'ORBIGNY, Prodr. Pai. strat., Ili, pag. 56. 

BRONN, Lethaea .Geogn., Ili, pag. 584, Tav. XLII, fig. 15. 

BEYRICH, Conch. Nord-Deutsch. tert. Geo., pag. 19. 

NEUGEBOREN, Tert. Moli. Ober-Lapugy, pag. 228. 

CHENU, Manuel de Conchiol., pag. 241, fig. 1432. 

DODERLEIN, Giac. terr. mioc. It. centr., pag. 25 (107). 

DESHAYES, Descript. An. s. vert. Bassin Paris, III, pag. 418. 

KOENEN, Mioc. Nord-Deutschl. u. seine Moli. Fauna, pag. 213. 

COCCONI, En. Moli. mioc. plioc. Parma e Piacenza, pag. 154. 

LOCARD, Descript. Faune tert. corse, pag. 71. 

ISSEL, Fossili marne Genova, pag. 23. 

PARONA, Plioc. oltrepò pavese, pag. 66. 

DE GREGORIO, Studi Conch. medit., pag. 360. 

SACCO, Mass. elev. Plioc. mar. al piede delle Alpi, pag. 7. 

„ Studi geo-pai. territorio Bene Vagienna, pag. 10. 

„ Valle Stura di Cuneo, pag. 66. 

„ Cai. pai. Bac. terz. Piemonte, n. 4372. 

„ Cat. pai. Bac. terz. Piemonte, n. 4370. 
DELLA CAMPANA, Pliocene di Borzoli, pag. 27. 



Alt. 10-45-90 mm.: Lat. 4-17-30 mm. 

Tortoniano: S. Agata, Stazzano, Montegibbio (rara). 

Piacenziano: Astigiana, Chieri, Castelli uovo d'Asti, Bene Vagienna, Mondo vi, 
Carrù, Pianfei, Cervere, Cherasco ; Volpedo ; Piacentino ; Genova , Borzoli , Zinola , 
Albenga, R. Torsero, Bordighera, Bussana (abbondantissima). 

Astiano: Astigiana, Piacentino (alquanto rara). 

Osseev azioni. — Questa bella specie è quasi caratteristica (colla sua grande ab- 
bondanza) del Piacenziano, per essere forma essenzialmente di mare alquanto pro- 
fondo e tranquillo e dei fondi fangosi. 

Originariamente si credette che questa specie appartenesse all'eocene del bacino 
parigino, mentre invece è quasi caratteristica del pliocene, dal che nacquero molti 
errori e non poche confusioni, sia colle forme consimili veramente eoceniche, sia 
col C. Dujardini e col C. acutangulus, donde la proposizione di nuovi nomi, come 
appenninicus e Brughieri, per la forma pliocenica in esame. 

Il Brocchi ne diede tre figure le quali corrispondono giustamente ai 3 stadi prin- 
cipali di sviluppo di questa specie; è però notevole come nella regione della spira 
degli esemplari figurati dal Brocchi, gli anfratti siano più depressi e quindi la spira 
si presenti meno fusulata, più scalariforme, di quanto si verifichi in generale negli 
esemplari (circa mille) da me esaminati; quindi sugli esemplari che presentano più 
accentuati tali caratteri differenziali credetti opportuno fondare una varietà, la quale, 
in Piemonte ed in Liguria almeno, è assai più abbondante del tipo. Nella collezione 



I MOLLUSCHI DEI TERRENI TERZIARI DEL PIEMONTE E DELLA LIGURIA 



41 



Brocchi esistono 10 esemplari di cui però la maggior parte giovani e parecchi ap- 
partenenti all'anom. pseudogibbosa. 

Il Coppi (Paleont. mod., pag. 51) indica una var. major colle dimensioni di 
mm. 100 X 35. 

Anom. pseudogibbosa Sacc. (Tav. IV, Fig. 28). 

Anfractus ultimus, in regione medio-supera irregulariter venir icoso-inflata, gibbosa. 
Tortoniano : S. Maria di Stazzano (rara). 
Piacenziano : Piacentino, Bordighera (frequente). 

C. ANTEDILUVIANUS Vai'. DERTONENSIS SACC. 
(Tav. IV, fig. 29). 

Testa plerumque minor. Anfractus in regione spirae aliquantido depressiores, sub- 
canaliculati. Granulationes perspicuiores ; striolae transversae interdum etiam in regione 
ventrali anfractuum visibiles. 

Alt. 15-30-75 mm.: Lat. 7-12-23 mm. 

Tortoniano: S. Agata, Stazzano, Montegibbio (abbondantissima). 
Piacenziano: Castelnuovo, Liguria (rara). 

Osservazioni. — Per quanto questa forma passi gradualmente al tipo, special- 
mente agli individui giovani di esso, tuttavia sembrami che essa presenti nel com- 
plesso una facies propria tale da potersene costituire una varietà che è essenzialmente 
cararatteristica del Tortoniano. A questa forma avvicinasi alquanto il C. Berwerthi 
H. A., che però forse rappresenta solo individui giovani. 

C. ANTEDILUVIANUS Var. COMPEESSOSPIRA SACC. 
(Tav. IV, fig. 30). 

Spira depressior; granulationes interdum parvuliores. 
Alt. 15-32 mm.: Lat. 8-12 mm. 
Elveziano: Colli torinesi (rarissima). 
Tortoniano: Montegibbio (rara). 

Piacenziano: Castelnuovo d'Asti, Bussana (alquanto rara). 

Osservazioni. — Alcuni esemplari a granulazioni poco visibili si avvicinano a 
certe forme di Leptoconus leggermente granulate. 

C. ANTEDILUVIANUS Var. DERTOGRANOSA SACC. 
(Tav. IV, fig. 31). 

Testa plerumque minor; spira elatior, turritior. Granulationes perspicuiores, striolae 
transversae interdum etiam in regione ventrali anfractuum subvisibiles. 
Alt. 14-45 mm.: Lat. 6-13 mm. 

Tortoniano: S. Agata, Stazzano, Montegibbio (frequente). 
Osservazioni. — Passa gradualmente alla var. dertonensis. 

Seme II. Tom. XLIV. f 



42 



FEDERICO SACCO 



C. ANTEDILUVIANUS Var. TURRITOSPTRA SACC. 
(Tav. IV, fig. 32). 

Testa elongatior; spira elatior, turritior. Anfractus, ultimi praecipue, in regione 
spirae aliquanto minus depressi. 

Alt. 13-45-90 min.: Lat. 4-14-27 mm. 
Tortoniano: Stazzano (alquanto rara). 

Piacenziano : Astigiana, Castelnuovo,Chieri,Vezza,Cherasco, Bene-Vagienna, Carrù, 
Masserano; Piacentino; Borzoli, Savona-Fornaci, Zinola, Albenga, R. Torsero, Bordi- 
ghera, Bussana (abbondantissima). 

Osservazioni. — Passa insensibilmente sia al tipo (di cui è quasi più comune), 
sia alla var. turripina. 

C. ANTEDILUVIANUS Vai'. TURRIPINA De GrEG. 
(Tav. IV, fig. 33). 

Testa elongatior, fusuloidea; spira elatior, minus scalarata. Anfractus, ultimi prae- 
cipue, in regione spirae valde minus depressi, valde obtusius angulati. 
Alt. 22-50-80 mm.: Lat. 7-16-25 mm. 

1884. Conus antedil. Brug. var. turripinus De Greg. — DE GREGORIO, Studi Conch. medit., pag. 361. 

Tortoniano: Montegibbio, Stazzano (alquanto rara). 

Piacenziano: Astigiana, Castelnuovo, Chieri, Cherasco, Masserano; Piacentino; Bor- 
zoli, Savona ; Zinola, Albenga, R. Torsero, Bordighera, Bussana. 
Astiano: Astigiana (rara). 

Osservazioni. — Collegasi gradualissimamente colla forma tipica e colla var. 

turritospira. 

Anom. fusulatissima Sacc. (Tav. IV, fig. 34). — Testa fusulatior. Anfractus 
rotundatiores. 

Piacenziano: Castelnuovo d'Asti (rara). 

Osservazione. — Rappresenta solo un'esagerazione, direi, della var. turripina. 

C. ANTEDILUVIANUS Vai". FASCIORNATA SACC. 
(Tav. IV, fig. 35). 

Anfractus ultimus tribus fasciis brunneo-ochraceis (media et infera sat regularibus, 
supera subbifida et interrupta) munitus. 
Piacenziano: Zinola (rara). 

Osservazioni. — Siccome generalmente il C. antediluvianus si presenta con tinta 
uniforme, cosi credetti opportuno segnalare questa forma, la quale potrebbe rappre- 
sentare o semplicemente un'anomalia, oppure un residuo della vera colorazione del 
C. antediluvianus, ciò che ne accrescerebbe l'importanza pur facendola discendere dal 
grado di varietà distinta. 



I MOLLUSCHI DEI TERRENI TERZIARI DEL PIEMONTE E DELLA LIGURIA 



43 



C. ANTEDILUVIANUS Var. DERTOBLITA SACC. 
(Tav. IV, fig. 36). 

Testa crassa, fusidatior. Spira conica, saepe subìnflatula , valde minus scalar ata. 
Anfractus ultimi in regione spirae declives, valde minus planato-depressi. 
Alt. 30-66 mm.: Lat. 13-27 mm. 

Tortoniano: S. Agata, Stazzano, Montegibbio (non rara). 
Piacenziano: R. Torsero (rarissima). 

Osservazioni. — A primo tratto parrebbe una specie a parte che ricorda alquanto 
il C. oblitus Micht. per gli esemplari a spira più innata, ma per graduali passaggi 
collegasi strettamente col solito tipo del C. antediluvianus. Questa forma deriva proba- 
bilissimamente dalla var. tauroblitoides, a cui è affìnissima. Nel bacino viennese tro- 
vasi una forma simile come risulta dalla Fig. 2, di Tav. V, dell'opera di M. Hoernes: 
" Foss. Moli. tert. Beck. Wien. „. 

C. ANTEDILUVIANUS Var. CRASSOGRANOSA SACC. 
(Tav. IV, fig. 37). 

Testa crassa. Spira conica. Granidationes valde crassiores, subrotundatae. 
Tortoniano: Stazzano (rara). 

C. ANTEDILUVIANUS Var. MIOBLITA SACC. 
(Tav. IV, fig. 38). 

Testa elongatior, fusulatior. Spira subscalarata, plus minusve conica. Anfractus in 
regione spirae declives, non scalarati, non, vel parum, depresso-canaliculati. Granula- 
tiones numero minores, depressele, plus minusve suboblitae. 

Alt. 40-65 mm.: Lat. 11-25 mm. 

Elveziano: Colli torinesi (non rara). 

Osservazioni. — ■ Questa varietà sembrerebbe quasi formare passaggio al C. oblitus 
Micht., tanto più che il C. oblitus si presenta talora leggermente subgranulato nei 
primi anfratti ; ma d'altra parte sonvi variazioni simili in forme plioceniche di C. ante- 
diluvianus, come nella var. subagranulata, che è affìnissima alla presente. 

C. ANTEDILUVIANUS Vai'. TAUROBLITOIDES SACC. 
(Tav. IV, fig. 39). 

Testa affinis var. dertoblita, sed: minor; granulationes parvuliores, propinquiores, 
rotundatiores, in anfractibus ultimis interdum suboblitae vel oblitae. 
Alt. 15-40 mm.: Lat. 6 l U-17 mm. 
Elveziano: Colli torinesi (non rara). 

Osservazioni. — Passa assai gradualmente alla var. dertoblita; per alcuni carat- 
teri ricorda il C. oblitus Micht. 

C. ANTEDILUVIANUS vai'. TAUROASCALARATA SACC. 
(Tav. IV, fig. 40). 

Testa affinis var. dertoblita, sed: spira regulariter conica, ascalarata; granula- 
tiones parvidiores, depressiores, passim suboblitae. 



44 



FEDERICO SACCO 



Alt. 40 mm.: Lat. 11 mm. 
Elveziano: Colli torinesi (rarissima). 

Osservazioni. — È solo una modificazione della var. tauroblitoides. 

C. ANTEDILUVIANUS Var. MI0SUBAGRAN0SA SACC. 
(Tav. IV, fig. 41). 

Testa affinis var. dertoblita, sed: minor; spira plerumque minus infletta, mucro- 
nata; granulationes parvuliores, depressiores, plus minusve suboblitae. 
Alt. 15-30 mm.: Lat. 6-11 mm. 
Elveziano: Colli torinesi (non rara). 

Osservazioni. — Collegasi assai bene colla var. tauroblitoides, e per la graduale 
scomparsa delle granulazioni sembra passare ad alcune forme del L. Allionii e del 
C. Dujardini (var. pseudoantediluviana). Le forme a spira turrita paiono mancare 
nelY Elveziano piemontese, ma esistettero altrove durante tutta l'epoca miocenica, come 
ce lo indicano la var. junior Grat. (= var. scalata G-rat. a pie' della Tav. 45), la var. 
princeps Sacc. (1853 — Conus antediluvianus Brug — Beyrick — Conch. Norddeutsch. 
tert. Greb. Tav. I, Fig. 1), ecc. 

C. ANTEDILUVIANUS Vai". TAUROCATENATOIDES SACC. 
(Tav. IV, fig. 42). 

Testa minor; spira turritior. Anfractus in regione spirae minus depressi, decli- 
viores. Anfractus ultimus transverse, irregulariter, seriatim granulosus. 

Elveziano: Colli torinesi (non rara). 

Osservazioni. — Credo trattisi essenzialmente di forme giovanili, giacché le 
suddette granulazioni osservansi specialmente negli esemplari giovani di Conus appar- 
tenenti a diversi sottogeneri, particolarmente ai Conospirus; è probabilmente in modo 
simile che credo debbasi interpretare la forma excatenata Sacc. (1851 — Conus cate- 
natus Sow. — Hoernes — Foss. Moli. tert. Beck Wien, pag. 42, Tav. V, fig. 4) che sem- 
brami assai diverso dal vero C. catenatus, il Leptoconus Berwerthi H. A. (probabil- 
mente varietà del C. antediluvianus), il Conus Jungi Boett, il C. clanculus May., ecc. 

Quindi io credo che tale carattere delle granulazioni, sul quale vennero fondate 
diverse specie, non sia un carattere essenziale, ma sovente solo di età od individuale, 
e quindi per lo più appena segnalabile a titolo di varietà, apparendo d'altronde qua 
e là in diverse forme, cosi nel C. antediluvianus, nel C. Dujardini, nel C. Bronni, nel 
Leptoconus Allionii, ecc., ecc. 

C. ANTEDILUVIANUS Vai". EMPENA De GrEG. 
(Tav. IV, fig. 43). 

Spira brevior; in ultimis anfractibus granulationes oblitae. 

1823. Conus antidiluvianus BORSON, Oriti. Piemont., pag. 172 (304). 

1830. » „ „ Cai. Coli. Min. Turin, pag. 607. 

1884. „ antediluvianus var. empenus De Greg. DE GREGORIO, Studi Conch. Medit., pag. 361. 

1890. , » „ SACCO, Cat. pai. Bac. terz. Piemonte, n. 4371, 5430. 



I MOLLUSCHI DEI TERRENI TERZIARI DEL PIEMONTE E DELLA LIGURIA 



45 



Piacenziano : Astigiana, Masserano; Bordighera; Castellarquato (rara). 

Osservazioni. — Il carattere di questa varietà è comunissimo negli esemplari 
adulti di C. antediluvianus ; alcuni individui sembrano quasi far passaggio al L. Broc- 
chii var. antediluvianoides. 

CONOSPIRUS ANTEDILUVIANUS Vai'. TRANSIENS SACC. 
(Tav. IV, fig. 44). 

Testa fusulatior; angulus ànfractuum crassus, subrotundus, granulationibus omnino 
destitutus. 

Alt. 47 mm.: Lat. 20 mm. 
Astiano: Astigiana (rarissima). 

Osservazioni. — Questa forma per diversi caratteri avvicinasi moltissimo al 
L. Brocchii, tanto che altri potrebbe forse riferirlo a detta specie; però nell'assieme 
essa sembra piuttosto appartenere al gruppo del C. antediluvianus. Del resto credo 
trattisi di una forma anomala di non grande importanza. 

C. ANTEDILUVIANUS var. SUBAGRANULATA SACC. 
(Tav. IV, fig. 45). 

Testa fusulatior. Spira plus minusve elatior, minus scalarata. Anfractus in regione 
spirae decliviores, minus depressi; granulationes in anfractibus primis depressiores, sub- 
oblitae, in anfractibus ultimis oblitae. 

Alt. 26-73 mm.: Lat. 11-25 mm. 

Piacenziano: Astigiana, Castelnuovo; Piacentino; Zinola, Rio Torsero, Bordighera 
(non rara). 

Osservazioni. — I caratteri di questa varietà si riscontrano generalmente negli 
ultimi anfratti di tutti gli individui adulti; è la loro generalità in tutti gli anfratti 
ed anche nelle forme giovani, che, assieme agli altri caratteri sovraccennati, mi in- 
dusse ad elevare questa forma a varietà distinta; essa ricorda a primo tratto il 
C. Dujardini, ma anche il solo carattere del canaletto che osservasi sopra l'angolo 
degli anfratti, basta per distinguere nettamente le due forme; d'altra parte questa 
varietà si avvicina pure alquanto al L. Brocchii. 

Conospirus Dujardini (Desh.). 

(1831. DESILA. YES (C. acutangulus Desh., non C. acutangulus Chemn. 1772) in Appendi® to Lyell's 

Principles of Geologi/, pag. 40). 
(1831. DU BOIS DE MONTPÉREUX (C. antidìluvianus) , Condì, foss. Volhyn.-Podol., Tav. I, fig. 1). 
(1845. DESHAYES in LAMARCK (C. Dujardini), Hist. Nat. An. s. veri., XI, pag. 158). 

Osservazioni. — Questa forma credo sia molto importante costituendo quasi una 
specie-gruppo, specialmente caratteristica del Miocene, ed attorno alla quale raggrup- 
pansi molte e svariate forme. Sgraziatamente essa portò per lungo tempo un nome 
che cadeva in sinonimia, ed inoltre il suo autore ne diede per tipo una figura pre- 
sentata dal Dubois come C. antidiluvianus. Ne seguì una notevole confusione che dura 



46 



FEDERICO SACCO 



tuttora, tant'è che a questa specie si attribuirono specie diverse e, viceversa, di molte 
sue semplici varietà si crearono nuove specie. Inoltre è a notarsi come la figura del 
Dubois, che dobbiamo prendere come tipo del L. Dujardini, come ha proposto l'au- 
tore di questa specie, non rappresenti una delle forme più comuni di questo gruppo; 
ad ogni modo il nome subacutangulus dato a questa forma nel 1852 dal D'Orbigny 
cade assolutamente in sinonimia di C. Dujardini (1845). 

Nel Tortoniano di Stazzano osservai un esemplare che si avvicina molto al tipo, 
ma che per essere incompleto non è determinabile con certezza. 

C. Dujardini var. taurostriolata Sacc. 

(Tav. V, fig. 1). 

Testa plerumque aliquantulo minor. Spira paullulo acutior, magis pagodaeformis. 
Anfractus acute angulati, sub angulo circumspirali striolati, plerumque bistriolati. 
Alt. 5-28 mm.: Lat. 1 7 2 -ll mm. 
Elveziano: Colli torinesi (frequente); Sciolze (rara). 

Osservazioni. — Questa forma (come in generale i Conospirus) sembra avere 
abitato specialmente i fondi melmosi, giacché mentre essa fu sinora sconosciuta ai 
paleontologi piemontesi [il cui materiale di studio proviene specialmente dai depositi 
sabbiosi (molasse)], recentemente invece un raccoglitore dilettante il sig. Forma, me 
ne portò una gran quantità proveniente da uno speciale strato marnoso che trovasi 
al Monte dei Cappuccini. 

La caratteristica presenza delle indicate stride (oltre alla forma generale ed 
alle granulazioni dei primi anfratti) costituisce un nuovo punto di ravvicinamento del 
G. Dujardini al C. antediluvianus, quantunque sovente queste stride non compaiano, 
come, per esempio, nell'esemplare tipico figurato dal Dubois. 

C. Dujardini var. pseudoantediluviana Sacc. 
(Tav. V, fig. 2). 

Testa affinis var. taurostriolata, sed: depressae granulationes etiam in ultimis an- 
fractibus plus minusve visibiles. 

Elveziano: Colli torinesi (rara). 

Osservazioni. — Parrebbe quasi costituire un passaggio al C. antediluvianus. 
C. Dujardini var. pseudocatenata Sacc. 

(Tav. V, fig. 3). 

Testa affinis var. pseudoantediluviana, sed: spira minus scalarata; anfractus trans- 
versim seriis granularibus ornati. 
Elveziano: Colli torinesi (rara). 

Osservazioni. — Forma che da un lato indica sempre maggiormente il nesso 
esistente fra il G. Dujardini ed il C. antediluvianus e dall'altro fa sempre più rico- 
noscere come il carattere delle granulosità sia spesso solo un carattere accidentale, 
come già si disse parlando dell'affine G. antediluvianus var. taurocatenatoides. 



I MOLLUSCHI DEI TERRENI TERZIARI DEL PIEMONTE E DELLA LIGURIA 



47 



C. Dujardini var. depressulina Sacc. 
(Tav. V, fig. 4). 

Testa affinis var. taurostriolata, sed spira depressior. 
Alt. 20 mm.: Lat. 9 mm. 
Elveziano: Colli torinesi (rara). 

Osservazioni. — Collegasi insensibilmente colla var. taurostriolata. 
C. Dujardini var. tauro-minor Sacc. 

(Tav. V, fig. 5). 

Testa minor, fusulatior. Anfractus in regione spirae plerumque decliviores; ali- 
quantulo minus acute angulati. 

Alt. 13-23 mm.: Lat. 5-10 mm. 
Elveziano: Colli torinesi (non rara). 

Osservazioni. — Le stride accennate nelle altre varietà dell' 'Elveziano torinese 
quasi sempre mancano in questa forma, che sembra avvicinarsi ad alcune varietà 
di C. Bronni. 

C. Dujardini var. brevicaudata Sacc 

(Tav. V, fig. 6). 

Testa magis fusiformis. Spira elongatior. Cauda brevior. Sub angulo anfractuum 
2 striolae transversae conspiciuntur. 
Alt. 26 mm.: Lat. 12 mm. 
Elveziano: Bersano S. Pietro (rara). 

C. Dujardini var. astensis Sacc. 

(Tav. V, fig. 7). 

Testa aliquantulum latior. Spira magis conica. Granulationes suboblitae. Sub angulo 
anfractuum 1 vel 2 striolae parvillimae perspiciuntur. 
Alt. 50 mm.: Lat. 16 mm.' 
Astiano: Astigiana (rarissima). 

Osservazioni. — E notevole il grande prolungarsi di questa specie nel tempo, 
quantunque a dire il vero le forme tortoniane e plioceniche attribuite al G. Dujardini, 
come anche questa, tendano più o meno nettamente verso il gruppo del C. Bronni, 
tanto che talora lasciano dubbi sulla loro precisa collocazione subgenerica. A questa 
categoria appartengono per . esempio in parte le forme figurate (Tav. V, fig. 3) dal- 
l'Hoernes (Foss. Moli. tert. Beck. Wien.) come C. Dujardini e che il De Gregorio 
(1884, Studii Conch. Medit.) appellò asdensis, mentre il C. Brezinae H. A. tende 
già più fortemente verso il C. Bronni. Qualche cosa di simile deve ripetersi pel 
C. Dujardini var. funiculellata Sacc. (1869, Conus Dujardini var.-MANzoNi , Fauna 
mar. due lembi mioc. Alta Italia, pag. 482, tav. I, fig. 2). 



48 



FEDERICO SACCO 



In conclusione possiamo dire: 1° che il tipico C. Dujardini è specialmente carat- 
teristico dell' Elveziano, mentre il tipico C. Bronni, di cui però esistono numerose 
varietà ne\Y Elveziano, diventa pai-ticolarmente caratteristico del Tortoniano; 2° che 
queste due specie presentano diverse forme di collegamento, le quali ne indicano gli 
stretti rapporti, quantunque in complesso sembri più logico tener specificamente di- 
stinte dette due forme. 

Conospirus Bronni (Micht.). 
(Tav. V, fig. 8). 

Testa turbinato-elongata, turrita; spira dimidiam testacei partem eff ormante, scala- 
riformi, exerta, acuta; anfractibus subcarinatis, infra carinam sulco praeditis; suturis 
distinctis (Michelotti). 

1847. Conus Bronnii Micht. MICHELOTTI, Descript. Foss. mioc, pag. 339, Tav. XIV, fig. 3. 

1847. ■ oblitus Micht. var. SISMONDA, Syn. meth., 2 a ed., pag. 44. 
1852. „ •„ „ D'ORBIGNY, Prodi: Pai. strat., Ili, pag. 57. 

1890. „ Bronnii Micht. SACCO, Cat. pai. Bac. terz. Piemonte, n. 4381. 

Tortoniano: Stazzano, S. Agata, Montegibbio (non rara). 

Osservazioni. — Questa forma, che pur sembra collegarsi col C. Dujardini, pare 
se ne debba in complesso tener specificamente distinta; tale distinzione è certa- 
mente nettissima se si comparano le forme tipiche di ciascuna specie , ma va gra- 
datamente diminuendo se si osservano le forme intermedie, specialmente quelle 
elveziane. Notisi inoltre come l'esemplare tipico, che rifiguro, rappresenti in verità 
una forma un po' aberrante a spira molto svolta. 

Le figure date dall'Hoernes e specialmente dal Da Costa provano come nei ter- 
reni miocenici del Portogallo e di Vienna esistano numerose forme appartenenti a 
questo gruppo, le quali però finora vennero generalmente attribuite al C. Dujardini, al 
cui gruppo certamente si collegano. Negli esemplari meglio conservati si osserva 
sovente che i primi anfratti sono leggermente subgranulosi, carattere che collega 
sempre più il C. Bronni al C. Dujardini. 

C. Bronnii var. stazzanensis Sacc. 

(Tav. V, fig. 9). 

Testa aliquantulum latior, minus elongato-fusulata. Spira minus elongata, magis 
conica. 

Alt. 15-36 mm.: Lat. 7-14 mm. 

1847. Conus acutangulus Desk. MICHELOTTI, Descript. Foss. mioc, pag. 337. 

1851. „ Dujardini Desk. HOERNES, Foss. Moli. tert. Bech. Wien., pag. 40, 41. 

1852. „ „ „ BRONN, Lethaea geogn., Ili, pag. 584. 

1862 - v , „ DODERLEIN, Giac. terr. mioc. It. centr., pag. 107 (25). 

1866 - „ DA COSTA, Gast. terc. Portugal, pag. 27. 

1877 - n „ „ LOCARD, Descript. Faune tert. Corse, pag. 72. 

1890 - » * „ var. SACCO, Cat. pai. Bac. terz. Piemonte, n. 5455. 

? Elveziano: Colli torinesi (rara). 

Tortoniano: S. Agata, Stazzano, Montegibbio (frequentissima). 



I MOLLUSCHI DEI TERRENI TERZIARI DEL PIEMONTE E DELLA LIGURIA 



49 



Piacenziano: Castelnuovo d'Asti (rarissima). 

Osservazioni. — Questa forma dovrebbe considerarsi come il vero tipo del 
gruppo del C. Bronnii, se il Michelotti non avesse figurato per tipo di questa specie un 
esemplare alquanto aberrante. Le indicazioni indicate in sinonimia si riferiscono tutte 
alle forme tortoniane del C. Bronnii e non già al vero C. Dujardini che rimase finora 
sconosciuto nei depositi elveziani piemontesi. L'unico esemplare pliocenico che pos- 
seggo tende alquanto verso la var. subascalarata. 

C. Bronnii var. evolutospira Sacc. 
(Tav. V, fig. 10). 

Testa fusoidea. Spira perelata, rapide evoluta. Anfractus idtimi interdum minus 
angulosi; striolae transversae sub angulo anfractuum suboblitae. 
Alt. 17-30 mm.: Lat. 7-12 mm. 
Elveziano: Colli torinesi, Albugnano (non rara). 

Osservazione. — Si potrebbe considerare come la forma corrispondente, nel- 
ì'Elveziano, alla forma tipica del Tortoniano. 

C. Bronnii var. crassocolligens Sacc. 

(Tav. V, fig. 11). 

Testa crassior, latior, valde minus fusulata. Spira regularius conica. 
Alt. 25-32 mm.: Lat. 11-13 mm. 

Tortoniano: S. Agata, Stazzano, Montegibbio (non rara). 

Osservazioni. — Paragonata col tipo del C. Bronnii ne parrebbe specificamente 
diversa, presentando invece maggior somiglianza col C. Dujardini; però credo debba 
piuttosto collegarsi colla prima specie. 

C. Bronnii var. depressoastensis Sacc. 

(Tav. V, fig. 12). 

Testa latior, valde minus fusulata. Spira depressior, subconica, scalarata; striolae 
sub angulo anfractuum oblitae vel suboblitae. 
Alt. 23 mm.: Lat. 11 mm. 
Astiano: Astigiana (rarissima). 

Osservazioni. — Nel complesso si avvicina alquanto alla var. crassocolligens, 
ma tende pure molto verso il C. Dujardini. 

C. Bronnii var. subbiconica Sacc. 

(Tav. V, fig. 13). 

Testa affinis var. subascalarata, sed anfractus minus elongati, magis angulati, 
ratione habita latiores, striolis sub angulo interdum muniti. 
Alt. 20-28 mm.: Lat. 10-12 mm. 
Tortoniano: Stazzano (non rara). 
Piacenziano: Astigiana (rara). 

Osservazione. — Parrebbe quasi una esagerazione, direi, della var. subascalarata. 

Seeie ÌI. Tom. XLIV. g 



50 



FEDERICO SACCO 



C. Bronnii var. obtusangulata Sacc. 
(Tav. V, fig. 14). 

Testa minus longo-fusulata. Spira minus rapide evoluta. Anfractus obtuse angulati, 
interdum fere subrotundati. Striolae sub angulo anfractuum plerumque suboblitae. 
Elveziano: Colli torinesi (non rara). 
Tortoniano: Stazzano (non rara). 

Osservazioni. — Le è forse affine il C. strombellus Grat. var. minor Grat. 

C. Bronnii ? var. rotundulata Sacc. 
(Tav. V, fig. 15). 

Testa, minus longo-fusulata. Spira minus elongata. Anfractus non angulati sed sub- 
rotundati, saepe transversim striolati, primi plus minusve subgranulosi. Striolae sub 
angulo anfractuum interdum suboblitae. 

Elveziano: Colli torinesi (non rara). 

Osservazioni. — Per alcuni caratteri si avvicina alla var. obtusangulata ed alla 
var. taurotransiens, ma per altri ricorda assai alcuni esemplari giovani di C. Puschi, 
donde l'incertezza della sua determinazione; ciò tanto più che la forma in esame è 
assai variabile per lunghezza di spira, rotondità di anfratti, maggior o minor inten- 
sità ed estensione delle granulosità, ecc. Forse questa forma è alquanto affine al 
C. laevis (Grat.) o C. praelongus (Grat.) indicata dal D'Orbigny come C. subalsiosus. 

C. Bronnii? var. rotundospiratissima Sacc. 

Tav. V, fig. 15 bis. 

Testa affinis var. rotundulata, sed magis fusiformis, spira valde elongatior. 
Elveziano: Colli torinesi (alquanto rara). 

C. Bronnii? var. exfusus Sacc. 
(Tav. v, fig. 16). 

Testa fusiformis, spirae exertae, anfractubus striatis, granulis marginalibus asperis, 
major i transversim subgranulato striato, basi acuta (Borson). 

1823. Conus fusus Bors. BORSON, Oritt. piemont., pag. 173 (305), fig. 22. 

1831. „ fuscus Bors. „ Cat. Coli. min. Turin, pag. 607. 

1848. „ fusus „ BRONN, Index paleont., pag. 330. 

Elveziano: Colli torinesi (alquanto rara). 

Osservazioni. — Il nome del Borson non può mantenersi già esistendo un Conus 
fusus di Gmelin. La forma in esame è un po' variabile, poiché alcuni esemplari per 
il loro assieme si scostano alquanto dal tipo del Borson e si avvicinano, per la 
forma, alla var. taurotransiens, per modo che sembrano collegarsi a simili forme gra- 
nulose osservate nel gruppo del C. antediluvianus e del C. Dujardini. 



1 MOLLUSCHI DEI TERRENI TERZIARI DEL PIEMONTE E DELLA LIGURIA 



51 



0. Bronnii ? var. rotundulogranosa Sacc. 

(Tav. V, fig. 17). 

Testa affinis var. rotundulata Sacc. ; sed: anfractus seriis granularibus in regione 
ventrali et infera ornati. 

Elveziano: Colli torinesi (non rara). 

Osservazioni. — Passa gradualissimamente alla var. exfusus, talora anzi ne 
rappresenta solo una differenza di età, poiché i primi anfratti sono sovente angolosi 
e gli ultimi subrotondati* D'altra parte essa non è altro che la var. rotundulata or- 
nata di cingolelli granulari, ciò che sempre più dimostra il collegamento di queste 
varie forme e l'accidentalità delle granulazioni. 

C. Bronnii? var. taurotransiens Sacc. 

(Tav. V, fig. 18). 

Testa minus longo-fusùlata. Spira minus elongata. Anfractus minus ventrosi; primi 
interdum perdepresse subgranulosi. Striolae sub angulo anfractuum plerumqùe oblitae vel 
suboblitae. 

Alt. 20-30 mm.: Lat. 7 l / 2 -ll % mm. 

Elveziano: Colli torinesi, Baldissero, Bersano, Albugnano (frequente). 

Osservazioni. — Questa forma alquanto variabile sembra talora far passaggio 
al C. Dujardini (specialmente alla sua var. taurominor); alcuni esemplari a spira più 
largamente conica paiono passare al C. Brezinae H. A. che credo debba conside- 
rarsi piuttosto come una varietà che non come una specie a sè; collegasi d'altronde 
per diversi caratteri colla var. subascalarata. 

C. Bronnii? var. subascalarata Sacc. (an species distinguenda). 
(Tav. V, fig. 19). 

Testa minus longo-fusulata. Spira regulariter conica, ascalarata vel subascalarata 
Anfractus minus ventrosi. Striolae sub angulo anfractuum oblitae vel suboblitae. Anfractus 
interdum transversim lineati. 

Alt. 16-30-40 mm.: Lat. 7-12-14 mm. 

Elveziano: Colli torinesi, Baldissero (straordinariamente comune). 
Tortoniano: Stazzano (rara). 

Osservazioni. — Parrebbe quasi una specie a sè, ma collegasi con altre varietà 
del C. Bronnii. Gli esemplari elveziani generalmente hanno gli anfratti più rettilinei, 
un po' meno ventrosi nella parte media e la spira più nettamente conica che non 
gli esemplari tortoniani, per modo che ne potrebbero forse distinguere specificamente. 
Se si volesse portare la forma in esame al grado di specie, la var. tauroafusula ne 
costituirebbe una buona varietà. 

C. Bronnii? var. fusoliva Sacc. 
(Tav. V, fig. 20). 

Testa affinis var. subascalarata sed fusulatior, olivaeformis • anfractuum angulus 
superus subobtusus vel subrotundatus. 



FEDERICO SACCO 



Elveziano: Colli torinesi (alquanto rara). 
Tortoniano: Stazzano (rara). 

C. Bronnii? var. tauroafdsula Sacc. 

(Tav. V, fìg. 21). 

Testa af finis var. subascalarata, sed: saepe major et crassior; latior, minus fusoides; 
spira brevior, latius conica. 

Alt. 15-37 mm.: Lat. 7-16 min. 
Elveziano: Colli torinesi (frequente). 

Osservazioni. — Questa forma collegasi colla var. subascalarata sempre più al- 
lontanandosi dal tipico G. Bronni, per modo che parrebbe quasi logico di staccamela 
specificamente, tanto più che mancano le caratteristiche striole che nel C. Bronni 
stanno sotto all'angolo degli anfratti. Nel complesso essa ricorda alquanto alcune 
forme del gruppo del C. striatulus e del C. pelagicus. 

CONOSPIRUS? OBLONGOTURBINATUS (GRAT.). 
(1840. GRATELOUP (Conus antedilumanus var. oblongoturbinata), Conch. Bassin Adour, PI. 44, fìg. 2). 

È questa forma una specie assai spiccata, finora poco conosciuta, forse anche 
perchè la sua conchiglia è così gracile, almeno negli esemplari del Piemonte, che 
facilmente si rompe. Seguendo il mio solito metodo ho conservato a questa forma 
l'antico nome datole dal Grateloup, quantunque egli l'indicasse come varietà di una 
specie ben diversa, mentre invece il D'Orbigny pensò di imporle un nuovo nome, 
aquensis; sembrami assolutamente logico conservare i nomi primitivi, anche se dap- 
prima furono considerati come nomi di varietà, almeno quando le denominazioni si 
prestano, poiché in caso diverso si cade in una grande confusione che può trarre a 
pericolose conseguenze, potendo anche influire sulla debole natura umana riguardo 
al modo di considerare le specie e le varietà. La specie in esame sembra riferibile 
ai Conospirus quantunque per diversi caratteri ricordi pure i Leptoconus, sempre più 
dimostrandoci l'incertezza di tale distinzione sottogenerica. 

La forma tipica manca in Piemonte ed è quindi desiderabile che di essa venga 
presentata una diagnosi che manca tuttora. Pel confronto mi riferisco quindi solo 
alla figura tipica data dal Grrateloup. 

C. OBLONGOTURBINATUS Var. PROPEGALLICA SACC. 
(Tav. V, fig. 22). 

Testa minor, gracilior, minus infiala. Spira elongatior, fusulatior. 
Alt. 40-58 mm.: Lat. 16-20 mm. 
Elveziano: Colli torinesi (alquanto rara). 

Osservazione. — E la forma piemontese che meglio si avvicina al tipo francese. 



I MOLLUSCHI DEI TERRENI TERZIARI DEL PIEMONTE E DELLA LIGURIA 



53 



C. OBLONGOTURBINATUS Vai\ TAUROGRACILIS SACC. 
(Tav. V, fig. 23). 

Testa minor, valde gracilior, perfusulata, spira elatior, acutior, gracilior. In regione 
spirae anfractus primi granuloso-angulati, medii angulati, externi subangulati, decli- 
viores. Cauda valde gracilior et elongatior. 

Alt. 12-60 min.: Lat. 4 l j r 20 mm. 

Elvezia.no: Colli torinesi (frequente). 

Osservazioni. — Alcuni esemplari si presentano trasversalmente striolati in 
modo da ricordare assai il vivente C. D'Orbigntji. 

Anom. angulatissima Sacc. (Tav. V, fig. 24). — Spira perscalarata. Anfractus 
angulaiissimi. 

Elveziano: Colli torinesi (rara). 

Anom. rotundatissima Sacc. — 1 Spira perscalarata, sed anfractus rotundatissimi. 
Elveziano: Colli torinesi (rara). 

C. OBLONGOTURBINATUS Vai - . FUSOLAEVIS SACC. 
(Tav. V, fig. 25). 

Testa minor, gracilior, fusulatior, minus ventrosa. Spira minus scalarata. Anfractus 
magis involuti, rotundatiores, ad suturam non depressi. 
Elveziano: Colli torinesi (frequente). 

C. OBLONGOTURBINATUS Var. BICONOLONGA SACC. 
(Tav. V, fig. 26). 

Testa minor, gracilior, fusulatior, valde minus ventrosa. Spira ascalarata, conico- 
elongatissima. Anfractus regulariter involuti, ad suturam nihil subcanaliculati , suban- 
gulati, suturis subsuperficialibus disjuncti. 

Alt. 35-45 mm.: Lat. 11-14 mm. 

Elveziano: Colli torinesi (non rara). 

Osservazione. — Ricorda alquanto il gruppo del C. Bronni. ■ 

C. OBLONGOTURBINATUS Var. PAUCISPIRALATA. 
(Tav. V, fig. 27). 

Testa affinis var. fusolaevis, sed: brevior et latior; spira valde depressior, in 
regione externa subascalarata. Anfractus angulatiores. 
Alt. 33-52 mm.: Lat. 13-20 mm. 
Elveziano: Colli torinesi (non rara). 

C. OBLONGOTURBINATUS Vai. TAUROCHELTCONOIDES SACC. 
(Tav. V, fig. 28). 

Testa subovatior. Spira aliquantulum brevior. Anfractus, ultimus praecipue, ad su- 
turam superam minus depressi, rotundatiores. 



54 



FEDERICO SACCO 



Elveziano: Colli torinesi (rara). 

Osservazioni. — È quasi una forma intermedia fra il tipo e la var. subfusi- 
formis Gtrat. Ricorda alcune forme di Chelyconus. 



Avvertenza. — La fine, l'indice ed il resto delle Tavole della famiglia Conidae, 
nonché le Gonorbidae, si trovano nel fascicolo secondo della parte XIII, fascicolo 
che non potendo più essere inserito nelle Memorie della R. Accademia delle Scienze 
di Torino, durante il corrente anno accademico, fu stampato a spese dell'Autore, come 
le parti IX, X e XII, affinchè non fosse troppo ritardata la pubblicazione della presente 
Monografia. 

Tali parti trovansi in vendita presso la Libreria E. Loescher di C. Clausen - Torino. 



FEDERICO SACCO 



I MOLLUSCHI DEI TERRENI TERZIARI DEL PIEMONTE E DELLA LIGURIA 



54 bis 



Quadro comparativo dei LEPTOCONTJS e dei CONOSP1RUS 



attualità 



[ L. arcuatus 

L. thelassiarchus ' L. delessertianus 

L. Sieboldii 1 L. dispar 

[ L. borì 



C. P andangulus \ ~ G _ °- 9™narms — G. gradatm — C. insculptus^ 



) C. scalaris 
'} C. monilifer 



C. spiculum 



Astiano 



Tortoniano 



Elveziano 



Bartoniano 



L. Brocchii e var. crassospirata- 



Piacenziano L. Brocchii e var. 



fusulospirata 
crassospirata 



brevidepressula 



perfuniculata 
granulocatenata 
conicospirata 



ublita 



ars 

pupoidespira 

iespira 



var. e C. 

compressospira 



e var. turripina 
turripina 



L. Allioniì e var. Pf™nicospirata taurooblitoides 



empena 

subagranidata 

dertoblita 



dertoblita 
compressospira 



tauroascalarata 



dertonensis 
fasciornata 



var. e C. antediluv. e var. 



dertonensis 
dertogranosa 
turripina 

var. e C. antediluv. e var. / turritospira 



miosiwagranosa 

compressospira 

gracilissima 



crassogranosa 

Berwerthi 

excatenata 



var. e C. antediluv. var. S J wnlor 



Tongriano Leptoconus Ewaldi*— L. Semperi (pars) 



j pseudoantedil. 



C. Dujardini var. astensis 



i asdensis 
C. Dujardini var. Brezinae 

f funiculellata 



C. antediluv. var. princeps — ? — C. plicatilis — C. Beyrichi. 



depressastensis var. C. Bronni 



stazzanensis var. C. Bronni 



stazzanensis 

crassocolligens 

obtusangulata 

subascalarata 

subbiconica 

tauroafusula 



var. e C. Bronni 



taurocatenatoides j j pseudocatenata \ var ' e Gm Du ì ardml e var - J faurominor 

j brevicaudata I exfusus 



evolutospira 
obtusangulata 
taurostriolata subascalarata 
depressulina I taurotransiens 
' Brezinae 



var. e C. Bronni 



rotundulata I 
rotundospiratissima > 
rotundulogranosa 
stazzanensis ? 



C. ? parisiensis 



Parisiano 



Conospirus ? parisiensis 



; 




SPIEGAZIONE DELLA TAVOLA I. 



COLLEZIONE 



Fig. 








Località 


in cui è conservato 












l'esemplare figurato 


1. 


Dendrocotius 


betulinoides (Lk.) [es. preso a tipo dal Brocchi] . 


Astigiana 


Coli. Brocchi (Milano) 


o 
£i. 


Tri 

ia. 


Id. 




Vezza d'Alba 


Museo geol. Torino 


o 
o. 


Tri 


Id. 




Id. 


Id. 


A 
£ ±. 


Tri 
1U. 


Id. 


var. exlineata Sacc. [tipo del C. li- 














Astigiana 


Id. 


4 bis. 


Tri 
1(1. 


Id. 




Vezza d'Alba 


Id. 


K 
O. 


Tri 


Id. 




Id. 


Id. 


0. 


Tri 
1(1. 


Id. 




S. Agata 


Id. 


1 . 


Tri 
1U. 


Id. 




Stazzano 


Museo geol. Roma 


Q 
0. 


Tri 
1U. 


Id. 




Id. 


Id. 


Q 


Tri 


Berghausi (Micht.) [esemplare tipico del Michelotti] 


S. Maria- Stazzano Id. 


1U. 


Tri 


Id. 




S. Agata 


Museo geol. Torino 


1 1 
IX* 




Id. 




Id. 


Id. 


10 


Tri 
1U. 


Id. 




Borzoli 


Museo geol. Genova 


10. 


Tri 
1U. 


Id. 




Stazzano 


Museo geol. Torino 


1 4. 


Tri 

lu. 


Id. 




Id. 


Id. 


■1 ET 

lo. 


Tri 

la. 


Id. 




S. Agata 


Id. 


16. 


Id. 


Id. 




Stazzano 


Id. 


16 bis. 


Id. 


Id. 




Id. 


Id. 


17. 


Id. 


Id. 




Id. 


Id. 


18. 


Id. 


Id. 




Id. 


Id. 


19. 


Id. 


Id. 




Montegibbio 


Museo geol. Modena 


20. 


Id. 


Id. 




Stazzano 


Museo geol. Torino 


20 bis. 


Id. 


Id. 




Id. 


Id. 


21. 


Id. 


Id. 




S. Agata 


Id. 


22. 


Id. 




Stazzano 


Id. 


23. 


Id. 


Id. 




Id. 


Id. 


24. 


Id. 


Eschewegi 


(Da Costa) var. caelata (Dod. Sacc.) . . 


Montegibbio 


Museo geol. Modena 


24 èw. 


Id. 


Id. 




Stazzano 


Museo geol. Torino 


25. 


Id. 


Id. 


Id. var. depressoastensis (Sacc.) . 


Astigiana 


Id. 


26. 


Id. 


pyruloides (Dod. Sacc.) 


S. Agata 


Museo geol. Modena 


26 bis. 


Id. 


Id. 


Id 


Id. 


Museo geol. Torino 


26 ter. 


Id. 


Id. 


Id. (juv.) . ■ 


Id. 


Id. 


27. 


Id. 


Id. 




Id. 


Id. 



SPIEGAZIONE DELLA TAVOLA IL 



COLLEZIONE 
Località in cui è conservato 

l'esemplare figurato 



1. 


Lithoconus Mercatii (Be.) [esemplare tipico del Brocchi) . . . 


S. Miniato 


Coli. Brocchi (Milano) 


1 bis. 


Id. 


Id. 




Astigiana 


Museo geol. Torino 


2. 


Id. 


Id. 




Id. 


Id. 


2 bis. 


Id. 


Id. 




Villanuova d'Asti Id. 


3. 


Id. 


Id. 




Id. 


Id. 


4. 


Id. 


Id. 


var. Aldrovandi{Bn.) [esempi, tip. del Brocchi] 


Crete senesi 


Coli. Brocchi (Milano) 


5. 


Id. 


Id. 




Astigiana 


Museo geol. Torino 


6. 


Id. 


Id. 




Casaglia 


Museo geol. Roma 


7. 


Id. 


Id. 




Astigiana 


Museo geol. Torino 


8. 


Id. 


Id. 




Baldichieri (Astig.) Id. 


9. 


Id. 


Id. 




Astigiana 


Id. 


10. 


Id. 


Id. 




Id. 


Id. 


11. 


Id. 


Id. 




Id. 


Id. 


12. 


Id. 


Id. 


var. turricula (Br.) [esempi, tip. del Brocchi] 


Crete senesi 


Coli. Brocchi (Milano) 


13. 


Id. 


Id. 




Astigiana 


Museo geol. Torino 


14. 


Id. 


Id. 




Albenga 


Id. 


15. 


Id. 


Id. 


var. subaustriaca Sacc. 


Stazzano 


Museo geol. Roma 


16. 


Id. 


Id. 




Colli torinesi 


Museo geol. Torino 


17. 


Id. 


Id. 




Id. 


Id. 


18. 


Id. 


Id. 




Savona-Fornaci 


Id. 



SULLE 

PROPRIETÀ TERMICHE 



DEI VAPOEI 



PAETE V. 
STUDIO DEL VAPORE DI ALCOOL 

BISPETTO ALLE LEGGI IDI BOYLE E X5I GAY-LUSSAC 



MEMORIA 

DI 

ANGELO BATTELLI 

Professore di Fisica Sperimentale nella R. Università di Padova 



Approvata nell'Adunanza dell'll Giugno 1893 



1. — Le presenti esperienze vennero eseguite collo stesso apparecchio che mi 
servì nello studio analogo del vapore di solfuro di carbonio. 

La purificazione dell'alcool venne fatta con la massima cura; tenendo dapprima 
l'alcool già distillato sopra la calce viva polverizzata, per tre giorni, distillando poi 
il liquido decantato, e togliendo finalmente le ultime traccie di umidità con nuove 
distillazioni sopra la potassa caustica nel vuoto. 

2. Risultati delle esperienze. — Le tabelle che seguono, — come nelle prece- 
denti Memorie, — contengono nella colonna tt i pesi del vapore espressi in grammi; 
nella colonna v i volumi di un gramma di vapore, espressi in cm. 3 ; nella colonna p 
le pressioni esercitate sul vapore, espresse in millimetri di mercurio; nella colonna pv 
i prodotti delle pressioni per i volumi; e finalmente nella colonna ò i valori delle 
densità del vapore, riferite all'aria. I valori p, v, ò, sono ridotti alla temperatura 
media per ciascuna serie di esperienze. 

Serie II. Tom. XLIV. h 



58 



ANGELO BATTELLI 



Tabelle A. 



t 


TT 


V 


P 


pv 


ò 




1 









Temperatura media = - - 16°,24. 



— 16°,21 


0s r -,00101 


112564,0 


3,08 


346697 


1,5947 


—16 ,22 


)> 


104336,8 


3,31 


345355 


1,6008 


—16 ,23 


!) 


98514,0 


3,51 


345784 


1,5989 


—16 ,25 


» 


91043,3 


3,80 


345965 


1,6017 


—16 ,25 


» 


88656,2 


3,90 


345759 


1,5990 


—16 ,27 




86278,5 


4,00 


345114 


1,6020 



Temperatura media — - - 12°,06. 



— 12°,01 


0s r -,00101 


99334,2 


3,54 


351643 


1,5979 


—12 ,01 




91475,4 


3,85 


352180 


1,5954 


—12 ,04 


» 


86874,1 


4,05 


351840 


1,5970 


—12 ,06 




80416,5 


4,37 


351420 


1,5989 


—12 ,06 


» 


75330,8 


4,66 


351042 


1,6006 


—12 ,08 




69534,8 


5,06 


351846 


1,5969 


—12 ,10 




67485,4 


5,20 


350924 


1,6011 


—12 ,11 


J) 


65874,2 


5,32 


350451 


1,6033 



Temperatura media = — 8°,54. 



— 8°,52 


,00101 


84516,1 


4,21 


355813 


1,6005 


—8 ,52 


)) 


78428,2 


4,54 


356064 


1,5994 


—8 ,52 


II 


72544,6 


4,91 


356194 


1,5988 


—8 ,52 


)) 


66312,4 


5,36 


355435 


1,6022 


—8 ,53 


» 


65268,4 


5,45 


355713 


1,6009 


—8 ,54 


» 


61187,8 


5,81 


355501 


1,6019 


—8 ,56 




54367,6 


6,54 


355564 


1,6016 


—8 ,56 


» 


53321,6 


6,67 


355655 


1,6022 


—8 ,57 




51886,0 


6,84 


354900 


1,6046 



Temperatura media — — 1°,85. 



— 1°,80 


Op- ,00101 


72100,1 


5,05 


364105 


1,6037 


» 


» 


69800,2 


5,22 


364357 


1,6026 


« 


» 


60881,0 


5,98 


364068 


1,6039 


— 1 ,84 




52316,6 


6,96 


364123 


1,6036 


— 1 ,82 


« 


49392,4 


7,37 


364022 


1,6041 


— 1 ,86 




46207,2 


7,88 


364113 


1,6037 


— 1 ,88 


» 


43886,7 


8,29 


363821 


1,6050 


» 




41353,3 


8,80 


363909 


1,6046 


» 




40001,5 


9,09 


363614 


1,6059 




» 


37453,3 


9,71 


363671 


1,6056 


—1,86 




34956,7 


10,40 


363550 


1,6061 


— 1 ,87 




31258,2 


11,63 


363533 


1,6062 




» 


30852,6 


11,78 


363444 


1,6066 



SULLE PROPRIETÀ TERMICHE DEI VAPORI 



59 



t 


TT 


V 


P 


pv 


ò 











Temperatura media = 5°,40. 



5°,40 


0^,00101 


47254,3 


7,92 


374269 


1,6020 


n 




44809,2 


8,35 


374208 


1 C* A Ci O 

1,6023 




il 


42300,0 


8,85 


374368 


1,6015 


» 




39863,3 


9,39 


374316 


1,6017 


5 ,42 


» 


35890,2 


10,42 


374206 


1,6023 


» 


0,00284 


31541,8 


11,82 


373853 


1,6037 


» 


» 


27442,0 


13,60 


373211 


1 ; 6065 


5 ,39 




24305,4 


15,35 


373088 


1,6070 


» 




22005,5 


16,95 


372993 


1,6074 


5 ,38 




21152,4 


17,62 


372705 


1,6086 






Temperatura media = 8°, 75. 




8°,74 


0^ ,00284 


38916,8 


9,70 


377493 


1,6074 


lì 


;> 


36331,6 


10,39 


377485 


1,6074 


» 


5> 


34004,7 


11,10 


377452 


1,6076 




!) 


33266,2 


11,35 


377571 


1,6071 


8 "75 


)) 


30198,5 


12,51 


377783 


1,6062 




» 


28453,6 


13,26 


377295 


1,6082 


8 "76 


» 


22354,0 


16,89 


377559 


1,6071 


» 


J! 


20428,1 


18,47 


377307 


1,6082 




X 


17850,5 


21,12 


377002 


1,6095 


8 "77 


» 


16806,3 


22,42 


376797 


1,6104 



Temperatura media = 16°,22. 



16°,20 


0^- ,00284 


21335,8 


18,16 


387495 


1,6075 




» 


18755,6 


20,65 


387303 


1,6083 


16",21 


» 


15963,2 


24,27 


387422 


1,6078 




n 


14005,0 


27,65 


387238 


1,6086 


16 .23 




12541,4 


30,85 


386902 


1,6100 


16 ,24 




11567,7 


33,50 


386603 


1,6112 


1) 




10975,5 


35,21 


386448 


1,6119 






Temperatura media — 20°,41. 




20°,40 


0e r -, 00284 


14144,2 


27,67 


391407 


1,6125 




» 


12193,7 


32,15 


392028 


1,6120 


20",41 




11434,5 


34,26 


391746 


1,6131 


» 




10512,8 


37,26 


391706 


1,6133 




» 


9133,4 


42,85 


391366 


1,6147 




)! 


8740,3 
8589,8 


44,77 


391303 


1,6150 




)> 


45,55 


391265 


1,6151 



60 



ANGELO BATTELLI 



t 


TT 


V 


p 


pv 


ò 






Temperatura media = 24°,3 


3. 




,OU 


Agr. 00981 


14251,6 


27,88 


oy i ODO 


1 ai 1 7 
1,011 / 


91 31 


» 


12934,6 


30,72 


oy 1 001 


1 CI 1 7 

1,011 / 


23 ,33 




12003,7 


33,10 


397326 


1,6118 


» 


» 


10964,2 


36,22 


397123 


1,6126 




M 


10004,8 


39,65 


396690 


1,6143 


24",34 


)! 


9356,8 


42,35 


396261 


1,6161 


1) 


)! 


8831,0 


44,86 


396159 


1,6165 






7261,5 


54,54 


396042 


1,6170 




» 


7042,8 


56,21 


395876 


1,6177 


24",36 




6990,9 


56,62 


395825 


1,6179 






Temperatura media — 58°, 46. 




^8° ^9 


0s r - 09,18 

U° ,V/£IT:0 


4036,21 


109,25 


440956 


i,oiyo 


« 


» 


3625,14 


121,80 


441542 


1 <?i 70 

1,01 1 ù 


58 ^0 

OO ,OV/ 


ì) 


3525,63 


124,92 


440422 


l,0^1o 


^8 48 


» 


3140,61 


140,20 


440313 


1 fini 7 
l,0<sl / 


58 ,46 


» 


2514,80 


175,10 


440341 


1,6216 


58 ,44 


!! 


2196,40 


200,22 


439763 


1,6237 




1» 


2034,85 


216,20 


439935 


1,6231 


58",43 


» 


1983,41 


221,58 


439484 


1,6248 


!> 


» 


1775,54 


247,18 


438878 


1,6270 


3) 




1631,14 


269,05 


438858 


1,6270 


I) 


» 


1457,02 


301,10 


438709 


1,6276 


» 




1316,40 


332,45 


437637 


1,6316 






Temperatura media = 79°, 10. 




79°,15 


0s r - 0918 


2190,61 


211,70 


463752 


l,000O 






1931,45 


240,10 


463741 


l,0OOO 


79,12 


» 


1725,33 


268,92 


463976 


l,OooU 




)) 


1420,80 


326,20 


463465 


l,0o0o 


79",11 




1075,35 


431,10 


463583 


1,6364 


79 ,10 


» 


816,27 


567,00 


462825 


1,6390 


79 ,08 




704,35 


655,75 


461878 


1,6424 


79 ,07 


» 


643,27 


717,00 


461182 


1,6449 


» 


» 


630,26 


731,10 


460876 


1,6463 


» 




617,81 


745,65 


460670 


1,6467 






602,51 


764,10 


460378 


1,6477 




» 


582,82 


789,65 


460224 


1,6483 



SULLE PROPRIETÀ TERMICHE DEI VAPORI 



61 



f 

X 


TT 


e 


P 


pv 


s 








Temperatura media = 99°,83. 




non oo 

99°,o2 


Aer AO ^ Q 

U B ,U^4o 

» 


1235,30 


o A o a a 

398,20 


A A ^ n A A 

491799 


1 fiQCM 

l,0oo4 


H 


i A n A I A 

1Q70,43 


A f A O A 

459,60 


A f\-t AH A 

491970 


i,oooy 


» 


)) 


983,83 


499,70 


491620 


l,0o4U 


» 




961,53 


511,20 


491534 


1 fi Q A Q 
l,0o4o 


yy ,00 


» 


948,33 


518,15 


491377 


1 fiQlQ 
I,DOio 


)) 




905,36 


542,70 


491339 


1 fiQIQ 


?» 


» 


781,26 


627,35 


490123 


1 fiQQA 


w 




725,30 


675,20 


489723 


1 HA AQ 

1,04UÒ 


» 




645,27 


757,80 


488986 


1 fi i 9Q 
1,04^0 






532,68 


915,15 


487482 


1,6479 


99 ,84 


0,0734 


490,260 


993,50 


487073 


1,6493 


?» 


»» 


415,745 


1167,20 


485257 


1,6554 


»I 


» 


375,264 


1289,00 


483715 




») 


» 


305,281 


1575,30 


480909 


1,6704 


)l 


»> 


283,152 


1694,40 


479771 


1,6743 






Temperatura media = 134°,86. 




lo4°,oo 


Aer. A7Q J 

U B ,U 1 o4 


908,10 


595,7 


540955 


1 fi O \ 7 
1,0-j4 / 




»> 


837,26 


645,6 


540535 


1,0 Joy 


»> 




803,64 


672,2 


540207 


i,o^oy 




»! 


772,09 


700,05 


540504 


1 fiOfil 


» 


)> 


684,46 


788,1 


539423 


1 fiOQQ 

1,0 jyo 


)) 


n 


603,28 


892,3 


538307 


1 fi Q O 7 
1,00.3 / 


1 Q/( Qfi 
lo4 ,O0 


» 


523,27 


1026,8 


537294 


1 fiQt;7 

1,000 ( 


» 


!> 


442,817 


1210,4 


535986 


1 fi Q Q 7 

i,0oy 1 


1 Q/( Q7 
104 ,5 / 


7) 


314,659 


1688,8 


531396 


i,oooy 




)) 


198,315 


2630,55 


521677 


1,6847 




» 


175,264 


2962,7 


519255 


1,6926 


» 


)) 


148,515 


3462,4 


514218 


1,7091 


il 


J» 


126,100 


4031,8 


508410 


l,72o7 


» 


w 


109,312 


4597,7 


502575 


1,7487 




?» 


100,900 


4957,2 


500182 


1,7571 






Temperatura media — 150°,05. 




1 Kdo no 

lOU ,U4 


Aer. A7Q/( 

U B ,U / o4 


891,33 


633,5 


564658 


1 fi1 A K 
1,0140 


)) 


11 


804,52 


702,1 


564853 


1 ft1 A A 
1,014U 


1 Kl\ AQ 

iou ,Uo 


?» 


671,81 


838,4 


563246 


1 fil Qfi 
l,01o0 


1 K(\ CìA 
IOU ,U4 


II 


584,32 


964,95 


562543 


1 fiOAfi 
1,0*3U0 


»» 


» 


502,26 


1118,8 


561929 


1 fi O O A 
1,0.3.34 


« 


)) 


412,280 


1356,6 


559299 


1 fiQAQ 

l,0oUo 


1 t^A At; 
IOU ,U0 


!» 


294,614 


1880,4 


553992 


1 fi/l Kfi 
1,0400 






186,349 


2918,2 


543804 


1 6764 


150",06 


0,2262 


98,314 


5300,5 


521113 


l',7494 




»» 


76,616 


6539,9 


501061 


1,8194 


150",07 


?! 


70,420 


7140,7 


502848 


1,8130 


150 ,08 


» 


68,358 


7315,4 


500066 


1,8231 




?» 


67,400 


7415,1 


499778 


1,8241 



62 



ANGELO BATTELLI 



l 


TT 


V 




P 


pv 








Temperatura n 


Mia — 178°,41. 




178°,20 


gr -,2262 


454,638 


1325,3 


602532 


1,6146 




1) 


421,368 


1421,6 


599017 


1,6241 


178 ,22 




411,760 


1457,3 


600058 


1,6212 


178 ,28 


» 


385,648 


1550,2 


597832 


1,6273 


178 ,34 


w 


360,262 


1653,6 


595729 


l'6330 


178 ,38 


W 


312,486 


1901,5 


594192 


1,6372 


178 ,40 




254,109 


2326,6 


591210 


1,6455 


178 ,44 


)) 


210,751 


2790,8 


588164 


1^6540 


178 ,46 


» 


156,248 


3720,5 


581321 


1,6735 


5J 


» 


128,650 


4466,2 


574577 


1,6931 


') 


lì 


105,852 


5368,7 


568287 


l'7129 




D 


87,480 


6399,1 


558506 


1,7379 


1 78 47 


)J 


71 5fi4 


7650,9 


547529 


l . t i Do 




» 


59,247 


9031,7 


535101 


1,8180 


178 ,49 




51,654 


10162,3 


524924 


1,8533 






47,256 


10957,1 


517789 


1,8788 


1 78 51 


» 


40,334 


12501,4 


504232 


1 Q9QA 






36,518 


13952,9 


509532 


1 Q0Q3 


178" 53 




34,351 


14203,5 


487904 








Temperatura media = 198°,22. 




198°,12 


0& r -,2262 


418,332 


1498,1 


626703 


1,6205 




» 


406,815 


1540,0 


626495 


1,6210 


198 ,14 


w 


393,648 


1591,6 


626537 


1,6210 




w 


385,461 


1623,9 


625950 


1 6225 


198, 18 


w 


360,456 


1733,8 


624959 


1,6250 


198 ,18 




325,492 


1917,0 


623968 


l'6276 


198 ,20 


5> 


286,252 


2172,2 


621797 


1 6333 


198 ,21 


?J 


267,451 


2320,5 


620620 


1,6364 




7? 


208,254 


2957,1 


615829 


1,6491 


198 ,23 


M 


175,267 


3495,6 


612663 


1,6576 




» 


120,816 


4971,8 


600673 




198* ,25 


» 


89,312 


6620,5 


591290 


1,7176 


198 ,27 


fi 


77,253 


7533,4 


581978 


1,7451 


« 


» 


52,348 


10661,0 


558082 


1,8198 


1 98 29 


» 


38,264 


13902,7 


531973 


1 Q0Q1 


198 32 


lì 


29,816 


16923,5 


504591 


9 01 97 


198 33 




22,564 


20649,1 


465926 


9 1 7Q7 




Temperatura media = 215°,64. 




215°,58 


0^,2262 


382,405 


1698,0 


649324 


1,6219 


215 ,59 




361,580 


1794,6 


648892 


1,6230 


215 ,60 




343,648 


1886,9 


648430 


1,6242 


215 ,62 




316,905 


2050,6 


649845 


1,6247 


» 




283,615 


2282,9 


647465 


1,6266 


» 


n 


242,310 


2661,5 


644908 


1,6330 



SULLE PROPRIETÀ TERMICHE DEI VAPORI 



63 



t 


TT 


V 






b 


1 


| 

oegu( 


1 

ì Temperatura 


| 

media = 215 


RA 
,04:. 




215°,62 


0^,2262 


185,963 


3440,5 


639806 


1,6461 


215 ,63 


JJ 


161,564 


3951,6 


638436 


1,6496 


JJ 


il 


125,341 


5029,9 


630453 


1,6705 


215 ,64 


11 


95,374 


6505 ; 


620408 


1,6975 


JJ 


11 


81,489 


7520,8 


612862 


1,7184 


JJ 


11 


64,562 


9311,5 


601169 


1,7519 


215 ,66 


11 


47,318 


12260,0 


580119 


1,8154 


215 ,67 


n 


28,574 


18608,3 


531715 


1,9807 






24,372 


20961,3 


510869 


2,0615 


215, 68 


il 


20,155 


23965,8 


483031 


2,1803 


n 


il 


17,584 


26156.4 


459937 


2,2898 


il 


n 


15,618 


28079,6 


439558 


2,3960 


» 


il 


14,910 


29100,2 


433884 


2,4273 






Temperatura media — 231°,46. 




231°,41 


■ 0& r -,2262 


322,971 


2057,5 


664512 


1,6362 


231 ,42 


JJ 


304,622 


2182,0 


665078 


1,6358 


5) 


JJ 


285,624 


2326,3 


664447 


1,6364 


JJ 


JJ 


261,504 


2541,1 


664508 


1,6362 


231 ,43 


JJ 


228,334 


2898,4 


661803 


1,6429 


» 


JJ 


215,005 


3064,5 


658883 


1,6502 


231 ,45 


JJ 


183,412 


3572,9 


655313 


1,6592 


JJ 


JJ 


160,516 


4059,6 


650132 


1,6686 


JJ 


JJ 


133,364 


4847,8 


645035 


1,6856 


231 ,46 


JJ 


108,157 


5926,5 


640993 


1,6963 


JJ 


JJ 


90,372 


7031,2 


635424 


1,7111 


il 


JJ 


75,262 


8330,0 


626933 


1,7343 


231 ,47 


JJ 


68,152 


9133,4 


622460 


1,7468 




JJ 


52,314 


11610,5 


607392 


1,7901 


231 ,48 


JJ 


41,268 


14298,1 


590054 


1,8427 


231 ,49 


0,4005 


26,574 


20640,3 


548495 


1,9823 


231 ,50 


JJ 


21,348 


24312,7 


519028 


2,0949 


JJ 


JJ 


17,646 


28695,9 


506369 


2,1473 


JJ 


JJ 


12,912 


33710,0 


435264 


2'4980 


JJ 


» 


10,148 


37515,2 


380704 


2,8561 






Temperatura media — 239°,52. 




239°,50 


0g>--,4005 


297,510 


2280,5 


678472 


1,6282 




» 


283,264 


2395,2 


678474 


1,6282 


» 


?» 


266,546 


2541,2 


677454 


1,6306 




5» 


250,118 


2708,5 


677445 


l,boU / 




n 


208,150 


3230,4 


672408 


1,6429 


239,51 


JT 


191,102 


3509,8 


670730 


1,6470 


» 


1) 


174,856 


3812,5 


666638 


1,6571 




)) 


140,257 


4721,6 


662238 


1,6681 




31 


110,864 


5908,7 


655062 


1,6864 



64 



ANGELO BATTELLI 



t 


IT 


V 


P 


pv 







Seg 


uè Temperatura media = 239°,52. 




239° 52 


os r - 4005 


89,317 


7284,0 


650585 


1 6980 




11 


80,182 


8021,3 


643164 


1 71 7fi 




" 


65,464 


9538,2 


624409 


1 769?! 




11 


48,648 


12662,0 


615981 


1 7934 


239 53 


11 


24,187 


22846,9 


552598 


1 9991 

X j ij fJ iJ X 


» 


il 


18,206 


28230,8 


513970 


2,1493 


» 


11 


15,502 


31512,4 


488505 


2,2614 




11 


14,048 


33510,7 


470758 


2,3466 




11 


12,974 


35121,0 


455660 


2,4244 




« 


11,250 


37951,4 


426953 


2,5874 


239 ,54 




9,239 


41580,0 


384158 


2,8756 






8,622 


42675,6 


367949 


3,0023 


239 ,55 


11 


7,791 


44151,8 


344824 


3,2037 






Temperatura media — 241°,66. 




241°,58 


0e r -,4005 


280,416 


2430,6 


681579 


1 697fi 


241 ,59 


n 


274,714 


2480,2 


681346 


1 6281 


241 ,60 


ii 


251,180 


2710,9 


680924 


1 6991 


JJ 


» 


230,773 


2941,2 


678750 






)! 


215,710 


3134,8 


676208 


1 6405 


24l" ,62 


JT 


197,511 


3406,9 


672900 


1 6485 


241 ,65 




168,334 


3978,4 


669700 


1 6564 


241 ,67 




140,574 


4732,0 


665196 






» 


131,875 


5031,6 


662016 


1 675fi 




11 


109,874 


5997,5 


658970 


1 6834. 




11 


96,310 


6801,0 


655005 




24l",68 


n 


72,476 


8882,4 


643761 


1 7939 




ii 


65,264 


9784,3 


638562 


1 7379 




il 


48,340 


12808,7 


619172 


1 791 6 




il 


33,255 


17792,1 


573884 


1 Q3R0 




il 


25,186 


22302,1 


561699 


1 9749 




il 


20,314 


26291,7 


534090 


9 0770 




n 


15,864 


31400,0 


498130 


2 9970 




il 


12,915 


35680,5 


460814 


2 4-073 




il 


10,418 


40065,2 


417399 


2 ^77 




» 


8,751 


43185,1 


377913 


2,9354 




» 


6,274 


46134,6 


289449 


3,8325 


24l",69 


n 


5,258 


47020,0 


247231 


4,4870 


» 


n 


4,916 


47305,4 


232553 


4,7702 




il 


4,314 


47481,5 


204835 


5,4157 


» 


» 


3.895 


47851,8 


186383 


5,9519 


11 




3,153 


49334,8 


155553 


7,1315 






2,904 


52908,3 


153646 


7,2200 



SULLE PROPRIETÀ TERMICHE DEI VAPORI 



65 



t 


TT 




P 


pv 


ò 






Temperatura inedia = 244°, 83. 




944-0 7Q 


Os r - 4005 


272 315 


2524,1 


687350 


1 6238 






231,334 


2959^6 


684656 


1,6302 




» 


208,265 


3280,5 


683213 


1,6337 


244, 80 




164,831 


4110,0 


675897 


1,6514 






122,584 


5471,7 


670743 


1,6640 


244" ,81 


» 


97,362 


6791,2 


661205 


1 6880 


244 ,82 


» 


74,960 


8680,3 


650675 


1,7154 


244 ,83 




51,305 


12291,5 


630615 


1,7699 


244 ^84 




28,166 


20619,0 


580755 


1^9219 


244 ,85 




17,426 


29792,2 


519159 


2,1499 


244 ,86 


0,8620 


10,742 


40186,0 


431678 


2,5856 


244 ,87 




6,215 


48256,0 


299911 


3,7216 






4,883 


49985,0 


244077 


4,5730 


V 


I) 


3,268 


54244,1 


177270 


6,2964 


11 


!! 


2,754 


64350,0 


177220 


6,2982 



3. — Anche per il vapore d'alcool, come per quello delle altre sostanze da me 
studiate, si verifica il fenomeno, che la tensione del vapore va crescendo ancora, 
dopo cominciata la condensazione di mano in mano che il vapore si liquefa ; sebbene 
per l'alcool ciò si riveli soltanto ad alta temperatura, e meno sensibilmente che per 
le altre sostanze. 

Riferisco nel quadro seguente i valori dei volumi e delle tensioni del vapore, 
dopo cominciata la condensazione; e riferisco a lato i rapporti A- fra i valori p" 
assunti dalla pressione nel primo momento della condensazione, e quelli p' corrispon- 
denti alle tensioni massime, e i rapporti ~- fra gli aumenti subiti dalle pressioni 

e i decrementi avvenuti nei volumi, fino a raggiungere le tensioni massime a partire 
dal primo momento della condensazione. 



Tabelle E. 



V 


i 


V 


p 


Rapporti 


T 

86278,5 
84854,2 


imperatura = 

4,00 
4,00 


1 

— 16°,24; p 

1 80315,6 
67461,2 


' = 4 mm ,00; 

4,00 
4,00 


p' = 4 mm ,00. 

K- 1,000 



Sbeie II. Tom. XLIV. 



66 



ANGELO BATTELLI 



V 


P 




V 


Rapporti 


Temperatura = 


— 12°,06; i>" = 


1 

= 5 mm ,32; 


Y 

P' 


= 5 mm ,32. 


65874,2 

041oo,o 


5,32 


62245,8 
49312,6 




5,32 
5,32 






4- = 1,000 

p 




Temperatura 


= - 8°,54; 


P" 


= 6,84; 




p' = 


= 6,84. 


51886,0 
49658,4 


6,84 
6,84 


47234,0 
40316,8 




6,84 
6,84 






K = 1,000 
P 




Temperatura - 


= — 1°,85; p" = 


= 11,78; 


p> -- 


= 11,78. 


30852,6 
27484,5 


11,78 
11,78 


22184,0 
17451,1 




11,78 
11,78 






£ r = 1,000 

p 




Temperatura 


== 5°,40; p" 




17,62; 


p 


r 


17,62. 


21152,4 
19374,8 


17,62 
17,62 


17453,0 
12560,3 




17,62 
17,62 






A- = 1,000 
p 




Temperatura 


= 8°,75; p" 




22,42; 


P 


r „ 


22,42. 


16806,3 
14324,0 


22,42 
22,42 


11564,6 
9056,5 




22,42 
22,42 






K = 1,000 

P 




Temperatura 


= 16°,22; p" = 


= 35,21; 




35,21. 


10975,5 
9731,4 


35,21 
35,21 


7325,1 
593Ì,6 




35,21 
35,21 






K = 1,000 
P 




Temperatura 


— 20°,41; p" = 


: 45,55; 


p' = 


45,55. 


8589 8 
6934,6 


45,55 
45'55 


5136,4 
4751,4 




45,55 
45,55 






K- = 1,000 

p 




Temperatura 


= 24°,33; p" = 


-- 56,62; 


P ' = 


56,62. 


6990,9 
6631,4 


56,62 
56,62 


. 5834,8 
4136,8 




56,62 
56,62 






4- = 1,000 




Temperatura = 


= 58» 46; p" 




332,44; 


p> = 


332,45. 


1318,4 
1310,5 
1285,0 


332,44 
332,44 
332,45 


1220,5 
1108,0 
831,4 




332,45 
332,45 
332,45 






iC =- 0,99997 (?) 

p 

M = 0,000303 



SULLE PROPRIETÀ TERMICHE DEI VAPORI 



tì7 



V 


P 


V 


p 


Rapporti 




Temperatura - 


i= 79°,10; p" 


= 789,62; j 


1 

/ 


= 789,65. 


582,93 


789,62 


560,5 


789,64 




% = 0,99996 (?) 


580,40 


789,65 


500,3 


789,65 




^ _.; 0,000349 

Av 


574,00 


789,64 


404,6 


789,65 




Temperatura — 


99°,83; p" -. 


= 1694,00; p' 


= 1694,40. 


283,546 
283,340 
283,050 
281,204 


1694,00 
1694,20 
1694,20 
1694,30 


278,456 
251,340 
206,242 
184,218 
100,356 


1694,30 
1694,30 
1694,40 
1694,40 
1694,40 




K = 0,99976 

P 

^ = 0,0051948 

Av 


Temperatura — 


-- 134°,86; p" 


= 4954,4; p' 


= 4957,2. 


101,390 
101,055 
100,-870 
98,334 


4954,4 
4954,5 
4954,7 
4954,2 


90,156 
81,362 
70,050 
54,263 
40,370 


4956,3 
4957,0 
4957,2 
4957,2 
4957,2 




iC = 0,99944 

Jr 

|* = 0,088607 

Av 




Temperatura - 


= 150°,05; p" = 7401,2; 


V 


= 7415,1. 


67,554 
67,388 


7401,2 
7408,3 


50,812 
41,362 


7415,1 
7415,0 




K = 0,99814 
P 


66,282 
64,141 


7410,0 
7414,0 


33,505 


7415,1 
7422,0 




^ = 0,51482 
Av 


56,314 


7414,5 










Temperatura = 


178°,41; p" 


= 14188,7; j 


o' 


= 14203,5. 


34,610 
34,315 


14188,7 
14196,5 


22,415 
20,186 


14203,3 
14203,5 




K = 0,99896 

P 


33,200 


14199,6 


16,302 


14203,5 




^ = 1,6444 


31,142 


14202,0 




14220,0 




26,208 


14203,0 








Temperatura = 


198°,22 ; p" 


= 20604,0; 


V' 


= 20649,1. 


22,855 


20604,0 


17,156 


20649,0 




£i = 0,99782 

p 


22,548 


20621,5 


15,310 


20649,0 




22,004 
21,126 


20627,8 
20633,4 


14,225 


20649,1 
20833,0 




^ = 8,2000 

Av 


19,304 


20641,5 









68 



ANGELO BATTELLI 



P 



P 



Rapporti 



15,106 
14,874 
14,121 
12,340 



10,301 
10,151 
9,240 
8,030 
7,54 



Temperatura = 215°,64; p" = 29048,0; p' = 29100,2. 



29048,0 
29069,5 
29088,5 
29092,0 



11,318 

9,340 



29100,2 
29100,2 



= 0,99821 

P 

|^ 14,1081 

A?' 



Temperatura == 231°,46; p" = 37432,0; p' = 37515,2. 



37432,0 
37455,1 
37471,4 
37502,0 
37514,0 



7,003 
6,420 



37515,2 
37515,2 
37740,8 



p 
p 

Aj) 

A® 



0,99779 
30,8148 



Temperatura = 239°,52; p" = (?); p' == 44151,8. 



. »" 

I risultati mostrano che i rapporti - 7 tendono a diminuire leggermente man 

mano che la temperatura s'innalza; mentre ì rapporti -~ vanno crescendo coll'au- 
mentare della temperatura. 



4. — Ho applicato la formola di Biot ai valori delle tensioni massime del vapore 
d'alcool : 

log. p = a -\- ba l -f- cP'. 



Le costanti sono rispettivamente uguali ad 



a = 
h == 

c — 



5,0751023 
0,0435271 
4,0217800 
log. a 
log. p 



log. b = "2,6387597 
log. e = 0,6044184 
0,00336681 
-1,99683015. 



Per mostrare come la formola si adatti ai risultati sperimentali, riferisco nella 
seguente tabella i valori delle tensioni massime dati dall'osservazione nella colonna p'^ 
e di fronte ad essi, nella colonna p' c , i valori relativi ottenuti dal calcolo. 



SULLE PROPRIETÀ. TERMICHE DEI VAPORI 

Tabella C. 



09 



t 


P'o 


p\ 


t 


P'o 




— 16°,26 


4,00 


3,8511 


79,10 


789,65 


790,803 


— 12 ,06 


5,32 


5,2838 


99,83 


1694,40 


1691,14 


— 8 ,54 


6,84 


6,8277 


134,86 


4957,2 


4954,76 


— 1 ,85 


11,78 


12,003 


150,05 


7415,1 


74144,35 


5 ,40 


17,62 


17,943 


178,41 


14203,5 


14287,37 


8 ,75 


22,42 


22,335 


198,22 


20649,1 


21414,22 


16 ,22 


35,21 


35,642 


215,44 


29100,2 


29743,5 


20 ,41 


45.55 


45,824 


231,46 


37515,2 


39369,7 


24 ,33 


56,62 


57,605 


239,52 


44151,8 


24991,7 


58 ,46 


332,45 


330,282 









Anche Eégnault (*) e Ramsay e Joung (**) determinarono fino ad alte tempe- 
rature le tensioni massime del vapor d'alcool ; e dedussero rispettivamente le costanti 
dalla formola di Biot. 

Sarà bene porre a confronto nella tabella seguente i valori che si hanno dalla 
formola da me calcolata e dalle formole calcolate da Régnault e da Ramsay e Joung. 

La colonna p' R contiene i valori secondo Régnault, la p' R7 i valori secondo 
Ramsay e Joung, e la colonna p's i valori calcolati colla mia formola. 



Tabella D. 



t 


P'r 


p'ry 


P'b 


— 15° 


mm. 

4,69 


mm. 

5,10 




mm. 

4,234 


— 10° 


6,58 


6,47 




6,153 


— 5 


9,21 


9,09 




8,824 





12,83 


12,70 


12 mm ,24 


12,498 


5 


17,73 


17,62 




17,488 


10 


24,30 


24,23 


23,73 


24,180 


15 


33,02 


32,98 




33,061 


20 


44,48 


44,46 


43,97 


44,712 


25 


.59,35 


59,37 




59,843 


30 


78,49 


78,52 


78,11 


79,280 


35 


102,87 


102,91 


103,969 


40 


133,64 


133,69 


133,42 


135,250 


45 


172,14 


172,18 




174,288 


50 


219,88 


219,90 


219,82 


222,584 



(*) Mém. de l'Acad. des Sciences, voi. 26, p. 349. 

(**) Philos. Trans, of the Boy. Society, Parte I, 1886, p. 123. 



7(1 



ANGELO BATTELLI 



i 

V 


P'x 


P RY 




55° 


mm. 

278,61 


mm. 

278,59 




281,646 


60 


350,26 


350,21 


O K A ir» in C\ 1 

350 mm ,2l 


o k o n An 

353,798 


65 


436,99 


436,90 




440,952 


70 


541,21 


541,15 


K A A A 1 

540,91 


546,721 


75 


665,52 


665,54 




671,545 


O a 

80 


812,76 


812,91 


Oli o*-f 

811,81 


817,115 


Ci K 

85 


985,97 


985,40 




994,066 


A A 

90 


1188,43 


1189,30 


1186,5 


1 1 A /"» i A A 

1196,409 


95 


1423,52 


1425,13 




1430,528 


100 


1694,92 


1697,55 


1692,3 


1 !~, A o o A r 

1 /03,395 


i A r 

105 


2006,34 


2010,38 




OA"! O A Ari 

2013,907 


liO 


2361,63 


2367,64 


a o r a o 

2359,8 


Anno C\Ci A 

2373,984 


115 


2764,74 


2773,40 




AP700 /"»OA 

2783,630 


"1 OA 

120 


3219,68 


3231,73 


O 00,0 A 

3223,0 


O Ci O A A H? A 

3234,670 


125 


3730,41 


3746,88 




375/, 954 


1 OA 

130 


4301,04 


4323,00 


A O 1 O !"7 

4318,7 


4330,719 




4935,40 


4964,22 




< A O O A O 1 

4923,621 


140 


5637,00 


5674,59 


5686,6 


k H I /\ O A A 

5710,809 


"1 y< C 

145 


6410,62 


6458,10 




; f* f ( \ Ci r" O 1 

6508,531 


ICA 

150 


7258,73 


7318,40 


7368,7 


7392,517 


loO 






A A A A A 

9409,9 


A i OO OA A 

9423,804 


170 






11858 


11904,63 








1 A HRA 
li 1 Di 


i Anni aq 


190 






18185 


18183,05 


200 






22182 


22183,05 


210 






26825 


26812,25 


220 






32196 


32173,50 


230 






38389 


38387,37 


240 






45519 


45482,81 



L'accordo dei risultati della mia forinola con quelli delle forinole di Régnault 
e di Ramsay e Joung è assai soddisfacente. 

5. — Ho ricavato di poi i valori dei volumi specifici del vapor saturo alle 
diverse temperature; e a tal uopo, identicamente a quanto avevo fatto per le prece- 
denti sostanze, ho costruito le isotermiche fino al punto spettante al primo momento 
della condensazione; ed ho poi continuata ciascuna curva, secondo l'andamento che 
aveva, fino a incontrare la parallela all'asse delle ascisse condotta dall'ordinata della 
tensione massima. Il volume corrispondente al punto d'incontro rappresentava il vo- 
lume del vapore allo stato di saturazione completa. 

Tali volumi del vapore saturo si trovano riferiti nella seguente tabella, sotto 
la lettera v s ; mentre sotto la lettera v', si hanno i volumi del vapore nel primo 
momento della condensazione; nella stessa tabella le colonne ò s e ò' s contengono le 
densità rispetto all'aria rispondenti ai suddetti due stati del vapore. 



SULLE PROPRIETÀ TERMICHE DEI VAPORI 71 



Tabella E. 



t 










— 16,24 


86278,5 


1,60201 






— 12,06 


65874.2 


1,60335 






— 8,54 


51886,0 


1,60465 






— 1.85 


30852.6 


1,60665 






5,40 


21152,4 


1,60499 






8,75 


16806,3 


1,61041 






16,22 


10975,5 


1,61190 






20,41 


8589,8 


1,61514 






24,33 


6990,9 


1,61792 






58.46 


1316,40 


1,63161 


1317,47 


1,62922 


79,10 


582,82 


1,64830 


582,97 


1,64793 


99,83 


283,152 


1,67437 


283,548 


1,67242 


134,86 


100,900 


1,75716 


101,390 


1,74964 


150,05 


67,400 


1,82416 


67,556 


1,82335 


178,41 


34,351 


1,99396 


34,619 


1,98059 


198,22 


22,564 


2,17976 


22,856 


2,15660 


215,64 


14,910 


2,42736 


15,106 


2,40017 


231,46 


10,148 


2,85610 


10,301 


2,81983 


239,52 


7,791 


3,20372 







Coi valori di v s , v'„ ò.,, ò',, come ordinatele prendendo le temperature come 
ascisse, ho descritto le curve che si trovano nella Tav. I, indicate successivamente 
coi numeri 1, 2, 3, 4. 

Il millimetro nelle ascisse rappresenta un grado di temperatura; e nelle ordi- 
nate rappresenta 100 ec - per le curve dei volumi, e il valore 0,01 per le curve delle 
densità. Inoltre l'origine dei, volumi è zero, quello delle densità è 1,6000. Come si 
vede le due curve dei volumi v s e v' s in così piccola scala, coincidono insieme. 

6. — Nella Tav. II poi ho riportato i disegni delle isotermiche del vapore di 
alcool, in piccola scala. Esse sono distribuite in cinque gruppi. 

Le curve del 1° gruppo corrispondono alle temperature — 16°24, — 12°,06, 
— 8°,54, — 1,85, -f-5°40. Esse sono disegnate a tratto continuo; nelle ascisse 1 mm. 

rappresenta 500 cc -, e nelle ordinate ~- di millimetro di mercurio. L'origine degli assi 

cui è riferito il gruppo ha, rispetto al sistema di assi della tavola, le coordinate 

v=: — 21152,4 
p == _ 3,08. 

Le isotermiche del secondo gruppo (segnate per punti) sono quelle delle tempe- 
rature -f-8°,75 ; 16°,22; 20°,41; 24°,33. Esse sono riferite ad un sistema di assi la 
cui origine rispetto al sistema della tavola ha per coordinate 

v = 

p = — 9,70; 



72 



ANGELO BATTELLI 



e nelle ascisse 1 mm. equivale a 200 cc -, e nelle ordinate a di millimetro di 
mercurio. 

Le curve spettanti alle temperature di 58°,46; 79°,1; 99°,83 compongono il 
3° gruppo e sono disegnate a punti e tratti. L'origine degli assi di questo gruppo 
ha rispetto agli assi della tavola le coordinate 

v = 
p = 100; 

e 1 mm. nelle ascisse rappresenta 20 cc -, e nelle ordinate la pressione di 10 milli- 
metri di mercurio. 

Le curve del 4° gruppo (disegnate a tratti interrotti) spettano alle temperature 
di 134°,86; 150°,05; 198°,22; 215°,64. Per esse non si è fatto trasporto di coordi- 
nate; e 1 mm. nelle ascisse vale 10™-, e nelle ordinate 200 millim. di mercurio. 

Infine il 5° gruppo di isotermiche è disegnato a tratti alternati con due punti. 
In esso 1 mm. nelle ascisse rappresenta 3 CC -, e nelle ordinate 500 cc -. L'origine degli 
assi cui sono riferite le curve ha rispetto agli assi della tavola le coordinate 

v == — 240 
p = -Lf. 35000. 

Il quadro delle isotermiche porge il mezzo di determinare il punto critico. Però 
non avendo più ottenuto la condensazione a 241°,66, ho dovuto costruire brevi tratti 
di isotermica con determinazioni fatte alle temperature di 240°,1, 240°,8, 241°, 2 
temperature ottenute successivamente con grande stento dall'ebollizione di una stessa 
qualità di petrolio frazionato. I tratti di tali isotermiche si trovano in piccola scala 
nella Tav. I: così ho potuto riconoscere che la temperatura critica è posta fra 241°,2 
e 241°,6. Ho preso come valore più approssimato 

t e = 241°,4. 

Ad essa corrisponde 

p t = 47,348 mm. v c = 4,38 ce. 

Dallo stesso quadro delle isotermiche disegnate in grande scala, ho dedotto i 
volumi assunti dal vapore alle diverse temperature sotto le pressioni di 5 121 ™, 10 mm , 
30 mm , 200 mm , 300 mm , 500 mm , 800 mm , 2000 mm , 5000 mm , 10000 mm , 20000 mm , 30000™ 11 ; 
ed ho calcolato sotto ciascuna pressione i coefficienti di dilatazione per successivi 
intervalli di temperatura, mediante la solita formola: 

k _ n — 

Nelle tabelle seguenti si trovano i valori di tali coefficienti. 



SULLE PROPRIETÀ. TERMICHE DEI VAPORI 



73 



Tabella F. 



Pressione 


— 5 mm. 


jrìesswne — 


1 A 


mm. 


Temperature 


Coefficienti 


Temperature 




Coefficienti 


Ì.Ù \J. 1 

— io • • 

— 8 • • 

— 6 

— 4 ' ' 

— 2 S ' • 


. . . 0,003806 
. . . 0,003784 
003762 
. . . 0,003732 
. . . 0,003724 


Oo P 

+ 4 • • 
4-6 • • 
4-8 • ' 
+ 10 » •. ■ 




0,003821 
0,003778 
0037^2 
0,003730 


Pressione ■ 


= 30 mm. 


Pressione = 


200 


mm. 


Temperature 


Coefficienti 


Temperature 




Coefficienti 


4- 16° C. , 

18 • • 

22 " ' 
24 \ • • 


. . . 0,003985 
. . . 0,003866 
. . . 0,003781 
. . . 0,003740 


4- 58° C. , 

60 ' • 

70 • * 
75 ■ ■ 
80 \ • ■ 




0,004025 
0,003950 
0,003882 
0,003766 
0,003738 


Pressione 


300 mm. 


Pressione = 


500 


mm. 


J. tJlll Ucl ti LUX tJ 


1 iAÙTTI T'1 /2kTl "f~l 

VUUlJJ.01cI.Lul 


± t;iii|jt;i diuru 




Coefficienti 


4- 58° C. , 
60 

65 - ' 

70 * 

75 ' • 
80 < " ■ 
85 • " 

90 

1ÓÒ < • ■ 


. . . 0,004136 
. . . 0,004100 
. . . 0,003985 
. . . 0,003868 
. . . 0,003781 
. . . 0,003764 
. . . 0,003748 
. . . 0,003710 


4- 70° C. i 
75 

80 ' ' 

85 

90 ■ • 
95 \ ' • 
100 } • • 
no • • 

120 

130 1 ' ' 




0,004108 
0,004037 
. 0,003895 
0,003801 
0,003768 
0,003749 
. 0,003732 
. ; 003720 
0,003704 



Serie II. Tom. XLIV. 



74 



ANGELO BATTELLI 



Segue Tabella F. 



Pressione = 


800 mm. 


Pressione — 


2000 mm. 


Temperature 


Coefficienti 


Temperature 


Coefficienti 


4- 95° C. , 

ioo • • 

120 . • ' 
130 ' ' 
140 
150 


. . . 0,004110 
. . . 0,004050 
. . . 0,003902 
. . . 0,003820 
. . . 0,003775 
. . . 0,003741 


4- 130° c. , 

140 ' * 

160 * • 
170 ' ' 
180 ' • 
190 

200 ■ • 

220 1 •■ 


. . . 0,004435 
. . . 0,004287 
. . . 0,003920 
. . . 0,003857 
. . . 0,003795 
. . . 0,003766 
. . . 0,003752 
. . . 0,003731 


Pressione = 


10000 mm. 


Pressione = 


20000 mm. 


Temperature 


Coefficienti 


Temperature 


Coefficienti 


+ 198° C. , 

205 * • 
210 • * 
215 • • 
220 • • 
230 • * 
240 V • ' 


. . . 0,004880 
. . . 0,004621 

A AA/IOOA 

. 0,004339 
. . . 0,004107 
. . . 0,003980 
. . . 0,003906 


4- 200° C. , 

205 ; • * 

220 

230 

240 < • ' 


. . . ; 005328 
. . . 0,004948 

a a A /( no 1 

. . . 0,004380 




Pressione = 


30000 mm. 






Temperature 


Coefficienti 






4- 230° C. , 

235 • ' 
240 ■ • 
245 1 * * 


. . . 0,005178 
. . . 0,004812 
. . . 0,004668 





Da queste tabelle scaturiscono le medesime conclusioni a cui si giunse nello 
studio delle precedenti sostanze, che, cioè : 

1° I coefficienti di dilatazione del vapore d'alcool sotto pressione costante 
aumentano col diminuire della temperatura e tanto più rapidamente quanto più il 
vapore si avvicina alla liquefazione; 

2° I valori assoluti dei coefficienti medesimi e le loro variazioni fra gli stessi 
limiti di temperatura aumentano col crescere della pressione sotto cui trovasi il 
vapore. 



SULLE PROPRIETÀ TERMICHE DEI VAPORI 



75 



7. — Dalle medesime isotermiche ho dedotto i valori delle pressioni corrispon- 
denti a volumi eguali di un gramma di vapore, per le successive temperature; e 
con questi valori ho poi costruite le curve di egual volume o isocore, che trovansi 
disegnate in piccola scala nella Tav. IV, dove il millimetro nelle ascisse rappresenta 
un grado di temperatura, e nelle ordinate rappresenta 200 millimetri di pressione. 

Nella medesima tavola si trova la curva delle tensioni massime del vapore, la 
quale congiunge le estremità di tutte le isocore. — Su ciascuna isocora ho scelto 
poi a diversi intervalli tante coppie di punti abbastanza vicini da poter calcolare 

con buona approssimazione il rapporto -~- ossia il coefficiente di aumento di pres- 
sione a volume costante. 

I valori di tali coefficienti si trovano nelle tabelle che seguono : 



Tabelle G. 



Volume di 1 gr. di vapore = 10 cc 


Volume di 1 gr. di vapore = 20 cc 


Temperature Coefficienti 

JKt U \ . . . . 0,008195 
itt j . . . . 0,008051 
tZ (..'.-. 0,007940 
244 {. . . .• ;. 0,007710 


Temperature Coefficienti 

OAE.0 P 

90Q > • • • • 0,004510 
oVS j . . . . 0,004430 
i\i i . . . . 0,004400 
Ì£ ì . . . . 0,004335 

( . . . . 0,004280 

).;!.. 0,004210 
ooV ( • • • • 0,004160 
gjjj ! . . . . 0,004065 


Volume di 1 gr. di vapore = 40 ce 


Volume di 1 gr. di vapore = 60 cc 


Temperature Coefficienti 
1 7^° C 

! . . . . 0,003480 
\L* ! . . . . 0,003264 

( . . . . 0,003150 

j . . . . 0,003050 
«Vx j . . . . 0,002970 

( . . . . 0,002890 
230 ! • • • • 0,002815 


Temperature Coefficienti 

C - ( . . . . 0,003220 
\™ j . . . . 0,003185 
}a[J (...:. 0,003048 
| . . . . 0,002920 
Jon j • • • • 0,002835 
fri ! . . . . 0,002740 
1 • • • • 0,002648 
ì . . . . 0,002563 



70 ANGELO BATTELLI 



Segue Tabelle G. 



Volume di 1 gr. di vapore = 80 cc 


Volume di 1 gr. di vapore == 100 ec 


Temperature Coefficienti 
145° C 

\ll ^ | . . . . 0,003180 
:™ f . . . . 0,002990 
|5n ( . . . . 0,002885 
!' ( . . . . 0,002795 
{So 1 • • • • 0,002700 
L 9 " | . . . . 0,002615 
2jq ( . . . . 0,002540 


Temperature Coefficienti 

\ Ò ± T C - j . . . . 0,00306 
\f! j . . . . 0,002955 
,S i • • • • 0,002850 
j . . . . ' ■'; 0,002778 
! ■ • • • 0,002705 
( . . . . 0,002625 
\ " \ . . . . 0,002565 
200 1 • • ■ • 0,002510 


Volume di 1 gr. di vapore — 400 cc 


Volume di 1 gr. di vapore = 800 cc 


Temperature Coefficienti 
95° C 

inn I • • • • 0,002825 
1^ ( . . . . 0,002741 
\\ { . . . . 0,002690 
7qJJ j . . . . 0.002630 
f2n (•'•'•'• 0,002580 
j^JJ j . . . . 0,002530 


Temperature Coefficienti 

QAo n 

or } • • • • 0,002710 
^ 1 . . . . 0,002650 
^ ( . . . . 0,002605 
„ ( . . . . 0,002560 
tJn ( • • • • 0,002520 
(...'. 0,002495 


Volume di 1 gr. di vapore = 1500 cc 


Volume di 1 gr. di vapore = 12000 cc 


Temperature Coefficienti 

H° C - Ì . . . . 0,002535 
™ }..-.. 0,002495 
| . . . . 0,002460 
IX } . . . . 0,002430 
g[J { • .. . . 0.002410 


Temperature Coefficienti 

]T C - j . . . . 0,002455 
^ | . . . . 0,002428 
j . . . . 0,002409 
24 ( . . . . 0,002389 



I valori riferiti ci dicono che : 

1° 1 coefficienti di aumento di pressione, per un dato volume, vanno dimi- 
nuendo col crescere della temperatura ; 

2° Tali variazioni si fanno più rapide di mano in mano che i volumi sono 
più piccoli ; 

3° Mentre i volumi vanno crescendo, diminuiscono i valori assoluti di questi 
coefficienti. 



SULLE PROPRIETÀ TERMICHE DEI VAPORI 77 

8. Comportamento del vapor d'alcool rispetto alla legge di Boyle. — 

Si può avere d'un colpo d'occhio l'idea del comportamento del vapor d'alcool rispetto 
alla legge di Boyle, descrivendo come per i vapori delle sostanze precedenti anche 
per esso le curve rappresentanti a ciascuna temperatura i valori dei prodotti pv in 
funzione delle pressioni. Tali curve si trovano riportate in piccola scala nella Tav. ILT, 
e sono distinte in cinque gruppi. 

Quelle del 1° gruppo, disegnate a tratto continuo, corrispondono alle tempera- 
ture di — 16°,24; — 12°,06; — 8°,54; — 1°,85. Per esse 1 millimetro sulle ascisse 

rappresenta la pressione di ~ di millim. di mercurio, e sulle ordinate il valore 200. 

L'origine del sistema cui sono riferite le curve ha, rispetto agli assi della tavola, 
le coordinate 

x = 

y = — 345.114. 

Le curve del 2° gruppo, disegnate per punti, spettano alle temperature di 4-5°,40; 
8°, 75; 16°,22; 20°, 41. Per esse 1 millim. sulle ascisse vale -g- di millim. di mer- 
curio, e sulle ordinate 100 unità pv. L'origine delle ordinate è stata trasportata 
verso il basso della quantità 372.705. 

Nel terzo gruppo sono comprese le curve delle temperature di 24°, 33; 58°,46; 
79°,10; 99°,83, e sono segnate a tratti. Il millimetro sulle ascisse rappresenta 10 
millim. di mercurio, e sulle ordinate 500 unità pv; mentre che l'origine delle ordi- 
nate è stata trasportata verso il basso di 395.825. 

Le curve a punti e tratti alternati riguardano le temperature di 

134°,8; 150",05; 170°,41; 198°,22. 

Nelle ascisse 1 millim. corrisponde a 100 millimetri di mercurio, e nelle ordi- 
nate a 1000 unità pv. L'origine delle ordinate poi è trasportata verso il basso di 
465.926. 

Finalmente al 5° gruppo appartengono le curve spettanti alle temperature di 
215°,64; 231°,46; 239°,52; 241°,66. 

Per esse 1 millim. rappresenta sulle ascisse 200 millim. di mercurio, e sulle 
ordinate 200 unità pv. 

L'origine degli assi cui le curve sono riferite ha, rispetto agli assi della tavola, 
le coordinate 

* = 

y — — 344.824. 

Da queste curve poi ho ricavato i valori dei prodotti p 1 v 1 corrispondenti per 
ciascuna temperatura allo stato di gas; ed ho calcolato quindi i valori di a nella 

formola — 1 -f- a. Essi trovansi riferiti in parte nella tabella che segue : 



'78 



ANGELO BATTELLI 

Tabella H. 




Temperatura = — 1°,85. 



6,96 
7,37 
7,88 
8,29 
8,80 
9,09 
9,71 
10,40 
11,63 
11,78 



0,00021 
0,00048 
0,00023 
0,00104 
0,00079 
0,00159 
0,00145 
0,00178 
0,00183 
0,00208 



Temperatura = -\- 24°, 33. 



33,10 
36,22 
39,65 
42,35 
44,86 
54,54 
56,21 
56,62 



0,00006 
0,00057 
0,00166 
0,00272 
0,00305 
0,00332 
0,00372 
0,00385 



Temperatura = 58°,46. 



124,92 
140,20 
175,10 
200,22 
216,20 
221,58 
247,18 
269,05 
332,45 



0,00133 
0,00158 
0,00152 
0,00284 
0,00347 
0,00486 
0,00490 
0,00525 
0,00771 



Temperatura = 99°, 83. 



511,20 
518,15 
542,70 
627,35 
675,20 
757,80 



0,00044 
0,00076 
0,00084 
0,00332 
0,00414 
0,00565 



Segue Temperatura = 99°,83. 



915,15 
993,50 
1167,20 
1289,00 
1575,30 
1694,40 



0,00876 
0,00960 
0,01338 
0,01661 
0,02254 
0,02497 



Temperatura = 134°,86. 



672,2 
700,05 
788,1 
892,3 
1026,8 
1210,4 
1688,8 
2630,55 
2962,7 
3462,4 
4031,8 
4597,7 
4957,2 



0,00128 
0,00019 
0,00274 
0,00482 
0,00671 
0,00917 
0,01788 
0,03682 
0,04169 
0,05189 
0,06391 
0,07626 
0,08141 



Temperatura = 178°,41. 



1550,2 
1653,6 
1901,5 
2326,6 
2790,8 
3720,5 
4466,2 
5368,7 
6399,1 
7650,9 
9031,7 
10162,3 
10957,1 
12501,4 
13952,9 
14203,5 



0,00530 
0,00885 
0,01146 
0,01656 
0,02184 
0,03385 
0,04599 
0,05756 
0,07361 
0,09766 
0,12315 
0,14493 
0,16070 
0,19191 
0,17951 
0,23180 



SULLE PROPRIETÀ TERMICHE DEI VAPORI 

Segue Tabella H. 



79 



V 


a 


P 


a 


Temperatura 


== 215°,64. 


Temperatura 


= 239°,52. 


2282,9 


0,00253 


2541,6 


0,00150 


2661,5 


0,00650 


2708,5 


0,00151 


3440,5 


0,01453 


3230,4 


0,00902 


3951,6 


0,01670 


3509,8 


0,01154 


5029,9 


0,02958 


3812,5 


0,01775 


6505,0 


0,04625 


4721,6 


0,02451 


7520,8 


0,05913 


5908,7 


0,03573 


9311,5 


0,07974 


7284,0 


0,04286 


12260,0 


0,11891 


8021,3 


0,05489 


18608,3 


0,22077 


9538,2 


0,08658 


20961,3 


0,27052 


12662,0 


0,10145 


23965,8 


0,34381 


22846,9 


0,22778 


26156,4 


0,37367 


28230,8 


0,32006 


28079,6 


0,43289 


31512,4 


0,38887 


29100,2 


0,46112 


33510,7 


0,44123 






35121,0 


0,48898 






37951,4 


0,58910 






41580,0 


0,76612 






42675,6' 


0,84392 






44151,8 


0,96758 



I presenti dati bastano per mostrare : 

1° Che i valori di et aumentano per ciascuna temperatura sempre più rapida- 
mente, man mano che si avvicina lo stato di saturazione; 

2° Che gli stessi valori, nelle vicinanze della saturazione, vanno crescendo 
coli' aumentare della temperatura. 

9. — Dalle medesime curve dei prodotti pv in funzione delle pressioni, ho rica- 
vato i valori delle pressioni p 1 e quindi dei volumi v x , a cui può dirsi che il vapore 
comincia a comportarsi come un gas ordinario. 

Essi trovansi qui sotto riferiti : 



80 



ANGELO BATTELLI 



Tabella I. 



t 


Pi 


Vi 


— 16°,24 


3,40 


101765 


— 12 ,06 


4,00 


87975,0 


— 8' ,54 


4,90 


72673,5 


— 1 ,85 


5,90 


61728,8 


4- 5 ,40 


8,45 


44307,7 


8 ,75 


11,20 


33714,3 


16 ,22 ■ 


20,00 


19372,4 


20 ,41 


29,10 


13460,5 


24 ,33 


35,40 


11224,6 


58 ,46 


121,00 


3644,71 


79 ,10 


265,00 


1750,00 


99 ,83 


490,00 


1003,57 


134 ,86 


650,50 


832,154 


150 ,05 


830,00 


680,241 


178 ,41 


1368,0 


439,328 


198 ,22 


1598,0 


392,053 


215 ,64 


1790,0 


362,627 


231 ,46 


2050,0 


324.390 


239 ,52 


2300,0 


294,987 


241 ,66 


2400.0 


283,958 



La tabella dimostra, come trovai pure pei vapori delle precedenti sostanze, che 
i valori delle pressioni pi vanno continuamente crescendo e quelli dei volumi v 1 
continuamente diminuendo coll'aumentare della temperatura. 

10. — Ho fatto l'applicazione anche dei presenti risultati alle forinole di Herwig 
e di Clausius; o per meglio dire, ho calcolato alle diverse temperature i valori del 
coefficiente che Herwig aveva creduto invariabile, ed ho determinato le costanti 
della forinola di Clausius, sotto la forma che avevo adottata pei vapori da me pre- 
cedentemente studiati. 

Formola di Herwig. — In questa forinola: 

m- = o i/t; 

p V T 

piv l rappresenta il prodotto della pressione pel volume, allorché il vapore comincia 
a comportarsi come un gas, e p'v' il corrispondente prodotto spettante al vapore 
nello stato di saturazione; c è una costante, e T è la temperatura assoluta. 
Qui sotto sono riportati i valori di c che risultano dalle mie esperienze : 



SULLE PROPRIETÀ. TERMICHE DEI VAPORI 



81 



44- = 0,062568 f/273 — 16,24 

p V 



= 0,062161 |/273 — 12,06 



== 0,061700 j/273 - - 8,54 



== 0,060855 f/273 — 1,85 



= 0,060067 |/273 + 5,40 



= 0,059702 |/273 + 8,75 



0,058954 f/273 + 16,22 



= 0,058445 j/273 + 20,41 
= 0,058217 |/273 4- 24,33 



= 0,055350 f/273 -f 58,46 



= 0,053701 f/273 + 79,10 



0,053083 f/273 -f- 99,83 



= 0,053547 /273 + 134,86 
= 0,054925 f/273 f 150,05 



= 0,057977 f/273 + 178,41 
= 0,061943 f/273 + 198,22 



„ = 0,067677 f/273 -f 215,64 
„ = 0,077772 f/273 -f 231,46 

Si vede adunque che i valori di c pel vapore d'alcool vanno diminuendo fino a 
100° circa; dopo di che prendono a crescere continuamente colla temperatura. L'an- 
damento di queste variazioni è ben rappresentato dalla curva controdistinta colla 
lettera /* nella Tav. I, la quale è costruita prendendo come ascisse le temperature 
e come ordinate i valori di c. Un millimetro nelle ascisse rappresenta un grado, e 
nelle ordinate il numero 0,0002. Inoltre l'origine delle ordinate è trasportata di 0,05 
verso il basso. 

11. Formola di Clausius. — Ho adottato per essa la forma da me usata per 
l'innanzi : 

RT wT^ 1 — wT v 

P ~~ o - a (*.-(- P)V * 

Le costanti hanno i valori seguenti : 

R = 1343,80 
m = 432.449.000 
n = 14.10- 8 
M — 0,71373 
v = 4,7151 
a == 0,941 
$ — 0,851 

Serie IL Tom. XLIV. k 



82 



ANGELO BATTELLI 



Nelle seguenti tabelle si trovano corrispondentemente a ciascun volume i valori 
delle pressioni osservate e quelli delle pressioni calcolate colla presente forinola. 



Tabelle L. 



V 


P 


Po 


V 


p 


Pc 


1 1 

Temperatura = — ] 


6°,24. 


1 1 
Segue Temperatura — - 


- 10,85. 


112564,0 


3,08 


3,07 


41353,3 


8,80 


8,80 


104336,8 


3,31 


3,31 


40001,5 


9,09 


9,10 


98514,0 


3,51 


3,50 


37453,3 


9,71 


9,72 


91043,3 


3,80 


3,79 


34956,7 


10,40 


10,41 


88656,2 


3,90 


3,89 


31258,2 


11,63 


11,64 


86278,5 


4,00 


4,00 


30852,6 


11,78 


11,79 








Temperatura = -\- 5°,40. 


Temperatura = — 12°,06. 














47254,3 


7,92 


7,90 


99334,2 


3,54 


3,53 


44869,2 


8,35 


8,33 


91475,4 


3,85 


3,84 


42300,0 


8,85 


8,84 


86874,1- 


4,05 


4,04 


39863,3 


9,39 


9,38 


80416,5 


4,37 


4,36 


35890,2 


10,42 


10,39 


75330,8 


4,66 


4,65 


31541,8 


11,82 


11,81 


69534,8 


5,06 


5,04 


27442,0 


13,60 


13,62 


67485,4 


5,20 


5,19 


24305,4 


15,35 


15,38 


65874,2 


5,32 


5,32 


22005,5 


16,95 


16,99 








21152,4 


17,62 


17,67 


Temperatura = — 


8°,54. 


Temperatura = 8° 


,75. 


84516,1 


4,21 


4,20 


38916,8 


9,70 


9,68 


78428,2 


4,54 


4,53 


36331,6 


10,39 


10,41 


72544,6 


4,91 


4,90 


34004,7 


11,10 


11,13 


66312,4 


5,36 


5,35 


33266,2 


11,35 


11,38 


65268,4 


5,45 


5,44 


30198,5 


12.51 


12,54 


61187,8 


5,81 


5,80 


28453,6 


13,26 


13,30 


54367,6 


6,54 


6,53 


22354,0 


16,89 


16,92 


53321,6 


6,67 


6,67 


20428,1 


18,47 


18,51 


51886,0 


6,84 


6,84 


17850,5 


21,12 


21,19 








16806,3 


22,42 


22,50 


Temperatura = — 


1°,85. 


Temperatura — 16°,22. 


72100,1 


5,05 


5,05 


21335,8 


18,16 


18,21 


69800,2 


5,22 


5,22 


18755,6 


20,65 


20,70 


60881,0 


5,98 


5,98 


15963,2 


24,27 


24,32 


52316,6 


6,96 


6,96 


14005,0 


27,65 


27,71 


49392,4 


7,37 


7,37 


12541,4 


30,85 


30,94 


46207,2 


7,88 


7,88 


11567,7 


33,50 


33,54 


43886,7 


8,29 


8,29 


10975,5 


35,21 


35,35 



SULLE PROPRIETÀ TERMICHE DEI VAPORI 83 



V 


p 


Po 


V 


p 


P» 


Temperatura = 20°,41. 


1 

Segue Temperatura = 


79°,10. 


14144,2 


27,67 


27,82 


617,81 


745,65 


750,33 


12193,7 


32,15 


32,29 


602,51 


764,10 


768,99 


11434,5 


34,26 


34,42 


582,82 


789,65 


794,40 


10512,8 


37,26 


37,44 




9133,4 


42,85 


43,08 








8740,3 


44,77 


45,02 


Temperatura = 99°,83. 


8589,8 


45,55 


45,80 














1235,30 


398,20 


402,00 








1070,43 


459,60 


463.11 


Temperatura = 24°, 33. 


983,83 


499,70 


503,40 








961,53 


511,20 


514,94 


14251,6 


27,88 


28,00 


948,33 


518,15 


522,02 


12934,6 


30,72 


30,89 


905,36 


542,70 


546,49 


12003,7 


33,10 


33,24 


781,26 


627,35 


632,03 


10964,2 


36,22 


36,38 


725,30 


675,20 


680,03 


10004,8 


39,65 


39,87 


645,27 


757,80 


762,88 


9356,8 


42,35 


42,62 


532,68 


915,15 


920,66 


8831,0 


44,86 


45,15 


490,260 


993,50 


998,47 


7261,5 


54,54 


54,89 


415,745 


1167,20 


1172,49 


7042,8 


56,21 


56,59 


375,264 


1289,00 


1295,10 


6990,9 


56,62 


57,00 


305,281 


1575,30 


1580,81 








283,152 


1694,40 


1699,28 • 


Temperatura = 58 


°,46. 














Temperatura == 134°,86. 


4036,21 


109,25 


109,97 








3625,14 


121,80 


122,39 


908,10 


595,7 


597,51 


3525,63 


124,92 


125,83 


837,26 


645,6 


647,32 


3140,61 


140,20 


141,18 


803,64 


672,2 


674,08 


2514,80 


175,10 


176,12 


772,09 


700,05 


700,91 


2196,40 


200,22 


200,55 


684,46 


788,1 


789,85 


2034,85 


216,20 


217,37 


603,28 


892,3 


894,47 


1983,41 


221,58 


222,97 


523,27 


1026,8 


1028,67 


1775,54 


247,18 


248,86 


442,817 


1210,4 


1211,71 


1631,14 


269,05 


270,70 


314,659 


1688.8 


1690,38 


1457,02 


301,10 


302,74 


198,315 


2630,55 


2634,68 


1316,40 


332,45 


334,32 


175,264 


2962,7 


2963,03 








148,515 


3462,4 


3461,16 








126,10 


4031,8 


4028,94 


Temperatura = 79°, 10. 


109,312 


4597,7 


4592,72 








100,900 


4957,2 


4951,7 


2190,61 


211,70 


214,71 




1931,45 


240,10 


243,38 








1725,33 


268,92 


272,24 


Temperatura = 15C 


°,05. 


1420,80 


326,20 


330,08 








1075,35 


431,10 


434,87 


891,33 


633,5 


630,90 


816,27 


567,00 


570,75 


804,52 


702,1 


699,05 


704,35 


655,75 


659,81 


671,81 


838,4 


855,39 


643,27 


717,00 


721,28 


584,32 


964,95 


958,62 


630,26 


731,10 


735,81 


502,26 


1118,8 


1112,52 



84 ANGELO BATTELLI 



V 


p 




V 


p 


Ve 


1 

Segue Temperatura == 




Temperatura === 215°,64. 


412,280 


1356,6 


1 99 


382,415 


1698,0 


1690,45 


294,614 


1880.4 


LO 1 0,00 


361,580 


1794,6 


1786,19 


186,389 


2918,2 


2911,10 


343,648 


1886,9 


1877,76 


98,314 


5300,5 


5298.25 


316,905 


2050,6 


2035,75 


76,616 


6539,9 


6515,56 


283,615 


2282,9 


2266,83 


70,420 


7140,7 


7112,40 


242,310 


2661,5 


2643,67 


68,358 


7315,4 


7297,96 


185,963 


3440,5 


3418,86 


67,400 


7415,1 


7388 


161,564 


3951,6 


3916,93 








125,341 


5029,9 


4993,30 


Temperatura = 178°,41. 


95,374 


6505,0 


6463,04 








81,489 


7520,8 


7482,40 


454,638 


1325,3 


1312,65 


64,562 


9311,5 


9262,87 


421,368 


1421,6 


1414,49 


47,318 


12260,0 


12201,86 


411,760 


1457,3 


1446,90 


28,574 


18608,3 


18518,96 


385,648 


1550,2 


1542,97 


24,372 


20961,3 


20887,65 


360,262 


1653,6 


1649,46 


20,155 


23965,8 


23885,35 


312,486 


1901,5 


1895,64 


17,584 


26156,4 


26094,4 


254,109 


2326,6 


2318,35 


15,618 


28079,6 


27999,3 


210 ; 751 


2790,8 


2778,39 


14,910 


29100,2 


28937,1 


156,248 


3720,5 


2701,16 


128,650 


4466,2 


4448,68 








105,852 


5368,7 


5338,40 


Temperatura = 23] 


°,46. 


87,480 


6399,1 


6362,15 








71,564 


7650,9 


7625,99 


322,971 


2057,5 


2048,75 


59,247 


9031,7 


9005,12 


304,622 


2182,0 


2184,40 


51,654 


10162,3 


10129,15 


285,624 ' 


2326,3 


2328,28 


47,256 


10957,1 


10914,55 


261,504 


2541,1 


2538,56 


40,334 


12501,4 


12420,57 


228,334 


2898,4 


2898,54 


36,518 


13952,9 


13882,98 


215,005 


3064,5 


3073,69 


34,351 


14203,5 


14124,07 


183,412 


3572,9 


3587,42 








160,516 


4059,6 


4081,74 


Temperatura = 198°,22. 


133,364 


4847,8 


4878,42 








108,157 


5926,5 


5958,56 


418,332 


1498,1 


1489,88 


90,372 


7031,2 


7060,31 


406,815 


1540,0 


1531,38 


75,262 


8330,0 


8374,81 


393,648 


1591,6 


1581,73 


68,152 


9133,4 


9177,63 


385,461 


1623,9 


1614,76 


52,314 


11610,5 


11666,64 


360,456 


1733,8 


1724,70 


41,268 


14298,1 


14374,51 


325,492 


1917,0 


1906,17 


26,574 


20640,3 


20713,9 


286,252 


2172,2 


2161,40 


21,348 


24312,7 


24455,7 


267,451 


2320,5 


2309,56 


17,646 


28695,9 


27959,6 


208,254 


2957,1 


2945,07 


12,912 


33710,0 


33834,5 


175,267 


3495,6 


3478,25 


10,148 


37515,2 


37639,2 


120,816 


4971,8 


4959,32 


89,312 


6620,5 


6603,06 








77,253 


7533,4 


7513.92 


Temperatura = 239°,52. 


52,348 


10661,0 


10628,16 








38,264 


13902,7 


13840.26 


297,510 


2280,5 


2275,16 


29,816 


16923,5 


16844.98 


283,264 


2395,2 


2387,49 


22,564 


20649,1 


20562,3 


266,546 


2541,6 


2534,33 



SULLE PROPRIETÀ. TERMICHE DEI VAPORI 85 



V 


P 


Pc 


V 


P 


Po 


1 i 

Segue Temperatura = 


1 

239°,52. 


1 

Segue Temperatura = 


24K66. 


250,118 


2708,5 


2697,36 


65,264 


9784,3 


9798,89 


208,150 


3230,4 


3227,62 


48,340 


12808,7 


12869,43 


191,102 


3509,8 


3507,87 


33,255 


17792,1 


17821,28 


174,856 


3812,5 


3826,61 


25,186 


22302,1 


22370,55 


140,257 


4721,6 


4732,81 


20,314 


26291,7 


26399,7 


110,864 


5908,7 


5929,20 


15,864 


31400,0 


31434,4 




798 1 fi 


7296,85 


12,915 


35680,5 


35775,9 


80,182 


8021,3 


8035,85 


10.418 


40065,2 


40172,9 


65,464 


9538,2 


9556,48 


8,751 


43185,1 


43370,4 


48,648 


12662,0 


12723,46 


6,274 


46134,6 


47624,1 


24,187 


22846,9 


22932,1 


5,258 


47020,0 


48590,0 


18,206 


28230,8 


28333,5 


4,916 


47305,4 


48732,0 


15,502 


31512,4 


31603,2 


4,314 


47481,5 


48875,0 


14,048 


33510,7 


33637,2 


3,895 - 


47851,8 


49179,4 


12,974 


35121,0 


35274,8 


3,153 


49334,8 


52817,4 


11,250 


37951,4 


38143,8 


2,904 


52908,3 


56873,3 


9,239 


41580,0 


40281,2 








8,622 


42675,6 


46196,1 








7,791 


44151,8 


44341,1 


Temperatura = 244°, 83. 








272,315 


2524,1 


2509,07 


Temperatura = 241°,66. 


231,334 


2959,6 


2943,92 








208,265 


3280,5 


3262,20 


280,416 


2430,6 


2421,98 


164,831 


4110,0 


4094,86 


274,714 


2480,2 


2471,32 


122,584 


5471,7 


5463,38 


251,180 


2710,9 


2698,15 


97,362 


6791,2 


6789,90 


230,773 


2941,2 


2931,50 


74,960 


8680,3 


8684,46 


215,710 


3134,8 


3131,39 


51,305 


12291,5 


12302,51 


197,511 


3406,9 


3412,47 


28,166 


20619,0 


20667,84 


168,334 


3978,4 


3986,39 


17,426 


29792,2 


29881,9 


140,574 


4732,0 


4744,71 


10,742 


40186,0 


40353,0 


131,875 


5031,6 


5044,49 


6,215 


48256,0 


49448,7 


109.874 


5997,5 


6009,08 


4,883 


49985,0 


51254,1 


96,310 


6801,0 


6810,55 


3,268 


54244,1 


56275,8 


72,476 


8882,4 


8893,24 


2,754 


64350,1 


66898,0 



L'accordo fra i valori sperimentali e i valori calcolati può dirsi almeno discreto : 
esso sarebbe più che soddisfacente, se non si incontrassero notevoli divergenze alle 
più alte temperature sotto grandissime pressioni. 

12. — Colla forinola di Glausius si possono calcolare approssimativamente i 
valori degli elementi critici. Sebbene le più recenti esperienze inducano a ritenere 
che alla temperatura critica (definita dall'isotermica che non possiede più il tratto 
rettilineo) non si abbia l'uguaglianza di densità fra il liquido ed il vapore, tuttavia 
tale isotermica può sempre considerarsi come quella che presenta un punto d'infles- 
sione, ove la tangente è parallela all'asse dei volumi. E allora si ha dalla forinola 
di Clausius : 



86 



ANGELO BATTELLI 



v c = a -4- 2t 
mi? — nlc 27 



1 RT 



8 T ' 



dove y = a -f" fi- 
Sostituendo i valori sopra notati delle costanti, si ottiene 

v c = 4 CC ,525 

T,. = 513°,1 (contata dallo zero assoluto) 
p c = 48,096 mm. 

Dall'esperienza si era ottenuto 

v c = 4 CC ,38 ; T c = 514°,4 ; p e = 47.348 mm. 

L'accordo fra i risultati dell'esperienza e del calcolo può ritenersi assai buono. 

13. — Un'altra verificazione della forinola di Clausius si avrà dalla relazione : 

R ' = fS?f = 13 «. 7 

dove il numeratore: 2153,05 è il valore di R spettante all'aria, e 1,59479 è la 
densità teorica del vapore d'alcool. 

Il valore di R' dato da questa relazione concorda bene con quello adoperato 
nella formola di Clausius. 

14. — Ho finalmente calcolato anche pel vapore d'alcool il numero di gruppi 
molecolari di due molecole che nello stato di incipiente condensazione si possono 
formare alle diverse temperature. Tali numeri si trovano nella tabella seguente, e 
si riferiscono ciascuno a mille molecole semplici, ossia sono stati calcolati mediante 
la formola : 

n = dl 7 d 1000 ; 

a 



dove n è il numero delle molecole doppie sopra mille molecole del vapore, e d e d x 
sono rispettivamente la densità teorica e la densità nel primo momento della con- 
densazione : 



SOLLE PROPRIETÀ TERMICHE DEI VAPORI 



87 



Tabella P. 



t 


P 


n 


. 

— 16°,24 


mm. 

4,00 


4,5272 


— 12 ,06 


5,32 


5,3675 


— 8 ,54 


6,84 


6,1826 


— 1 ,85 


11,78 


7,4367 


+ 5,40 


17,62 


8,7159 


8 ,75 


22,42 


9,7944 


16 ,22 


35,21 


10,729 


20 ,41 


45,55 


12,760 


24 ,33 


56,62 


14,503 


58 ,46 


332,44 


21,589 


79 ,10 


789,62 


33,321 


99 .83 


1694,00 


48,677 


134 ,86 


4954,4 


97,097 


150 ,05 


7401,2 


143,32 


178 ,41 


14188,7 


241,91 


198 ,22 


20604,0 


352,28 


215 ,64 


29048,0 


505,01 


231 ,46 


37432,0 


768,15 


239 ,52 


44151,8 


1008,9 



La tabella mostra che il numero dei gruppi molecolari di due molecole che si 
formano nel vapore d'alcool nel primo momento della condensazione, cresce rapi- 
damente colla temperatura quando questa è elevata ; e che al di sopra della tempe- 
ratura critica si debbono formare, per sufficienti compressioni, anche molecole triple, 
quadruple, ecc. 



88 



A N GELO BATTELLI 



Conclusioni. 

15. — Le esperienze riferite possono riassumersi nelle seguenti conclusioni : 
1° La tensione del vapore d'alcool nel primo momento della condensazione, 
a temperature superiori ai 50° C, si manifesta alquanto più piccola della tensione 
massima dello stesso vapore: i rapporti fra le due tensioni tendono a diminuire 
man mano aumenta la temperatura. Invece il rapporto fra la differenza delle tensioni 
medesime e la corrispondente diminuzione di volume del vapore cresce colla tem- 
peratura. 

2° Le tensioni massime del vapore di alcool sono bene rappresentate dalla 
forinola di Biot, da —16° a +240° C. 

3° I valori dei prodotti pv della pressione per il volume, spettanti allo stato 
di saturazione vanno dapprima aumentando col crescere della temperatura, fino a 
circa 140° C, e da questa temperatura in su vanno poi sempre diminuendo. 

4° I coefficienti di dilatazione del vapore d'alcool sotto pressione costante 
aumentano col diminuire della temperatura e tanto più rapidamente quanto più il 
vapore si avvicina alla saturazione. Aumentando la pressione sotto cui trovasi il 
vapore, aumentano fra gli stessi limiti di temperatura i valori assoluti dei coeffi- 
cienti, non che le loro variazioni. 

5° I coefficienti di aumento di pressione per un dato volume, vanno diminuendo 
col crescere della temperatura. Man mano poi che i volumi diventano più piccoli, i 
valori assoluti di questi coefficienti divengono più grandi, e le loro variazioni si 
fanno più rapide. 

6° Le differenze a = —~ — 1 (essendo spettante allo stato di gas e pv 
a quello di vapore) per ciascuna temperatura vanno aumentando di man in mano 
che il vapore si avvicina allo stato di saturazione; e alle diverse temperature, in 
prossimità della saturazione, essi vanno crescendo rapidamente col l'innalzarsi delle 
temperature stesse. 

7° Anche per l'alcool, come per le sostanze da me precedentemente studiate, 
i prodotti pv spettanti al principio dello stato di gas vanno continuamente crescendo 
colla temperatura. 

8° Il rapporto della forinola di Herwig (appartenendo p l v ì allo stato 

pv V T 

di gas, e p'v a quello di vapore saturo) va per l'alcool via via diminuendo fino a 
circa 110° C, dove tocca un minimo; e quindi comincia a crescere. 

9° La forinola di Clausius si adatta discretamente ai risultati delle esperienze 
sull'alcool, quando le si dia la forma, che le diedi nel caso degli altri vapori da 
me studiati, cioè 

RT mT-V — wT v 

P ~~~ v - a (« + P) 2 * 

10° Il numero dei gruppi molecolari di due o più molecole che si formano 
nel vapore d'acqua nel primo momento della condensazione cresce rapidamente colla 
temperatura quando questa è elevata ; e per lo meno al di sopra della temperatura 
critica, si debbono per certo formare, a sufficienti compressioni, oltreché molecole 
doppie, anche molecole triple, quadruple, ecc. 

Istituto Fisico dell'Università di Padova, Aprile 1893. 




Lit.Salussolia -Torino 




Lit Salussolia -Tonino 



LATITUDINE DI TORINO 



DETERMINATA COI METODI DI GUGLIELMO STRUVE 

DA 

F. PORRO 



Approvata nell'Adunanza del 25 Giugno 1893. 



INTRODUZIONE 

Una Comunicazione Preliminare " sulle determinazioni di latitudine eseguite negli 
anni 1888, 1889, 1890 all'Osservatorio di Torino „ è stata presentata all'Accademia 
nell'adunanza del 27 aprile 1890 ed accolta nel volume XXV degli Atti. La discus- 
sione definitiva dell'intero materiale d'osservazione, ivi annunziata, forma oggetto 
della Memoria che oggi sollecita il medesimo onore. 

Alle 120 osservazioni allora pubblicate (ed eseguite tutte, secondo il metodo di 
Guglielmo Struve, con doppia inversione del cannocchiale) altre 12 qui si aggiungono, 
nelle quali la estrema vicinanza della stella allo zenit rese necessario l'uso del filo 
mobile, pure suggerito da Struve. Così l'intera determinazione fu condotta in confor- 
mità alle classiche norme dettate dal grande astronomo di Dorpat, e può considerarsi 
come un modesto, ma sincero omaggio che io sono lieto di rendere a tanto maestro, 
mentre della sua nascita si commemora solennemente il centesimo anniversario. 

Ben sessantotto osservazioni mancano ad esaurire il programma prestabilito. 
Otto di esse, tutte relative alla stella ijj Ursae majoris, che culmina circa due minuti 
d'arco al Nord dello zenit, furono eseguite nel 1888 all'istrumento Repsold C della 
Commissione Geodetica, ma non poterono poi essere ridotte, essendosi guastato il 
reticolo prima che io ne avessi compiuto il necessario studio. Alle altre ho rinun- 
ziato per tre motivi, che non credo inutile esporre. Anzitutto me ne distolse la lunga 
interruzione dovuta alle misure astronomiche e geodetiche dell'azimut assoluto di Monte 
Vesco, che mi occuparono dall'aprile 1890 al settembre 1891. Ultimate queste, avrei 
potuto ritornare alla latitudine, se non me lo avesse impedito lo stato di quasi 
assoluta rovina del Cupolino Occidentale, destinato a proteggere la stazione. A stento 
si riuscì dal 1885 in poi a riparare dalle intemperie gii strumenti collocati in questo 
Cupolino, che ora va in isfacelo, come del resto più o meno tutta la vecchia ed 
infelice costruzione del Plana ; collocarvi adesso uno strumento delicato come il nostro 
Repsold sarebbe un'imprudenza che io non oso commettere. Così l'Osservatorio di 
Torino è costretto a tenere nelle casse l'unico apparecchio atto ad una ricerca astro- 
nomica di alta precisione! 

Serie II. Tom. XLIV. l 



90 



F. PORRO 



Il terzo motivo che mi ha indotto a sospendere le determinazioni merita mag- 
giore spiegazione, perchè si connette ad una questione astronomica di grande attualità 
ed importanza. E noto come nel 1888 il signor Kùstner, astronomo a Berlino (ora 
meritamente chiamato a Bonn quale successore di Argelander e di Schònfeld), abbia 
pubblicato un poderoso lavoro, avente per oggetto una nuova determinazione della 
costante dell'aberrazione (1). Ritiene il Kùstner (e ne discusse profondamente le 
ragioni) che la forte discordanza del valore da lui ottenuto, rispetto a quelli deter- 
minati da Struve e da Nyren a Pulkova, non possa attribuirsi ad altra causa, che 
ad un leggero spostamento dell'asse terrestre nell'interno del globo, per il quale la 
latitudine di Berlino fu per due decimi di secondo inferiore nella primavera del 1885 
di quanto fu nella primavera precedente. Un simile risultato non era nuovo, perchè 
già molti astronomi, segnatamente italiani, avevano discusso le possibilità teoriche 
di un movimento relativo delle verticali e dell'asse di rotazione della Terra, dovuto 
all'influenza delle azioni geologiche e meteorologiche ; e non erano mancati indizi di 
effettive sensibili variazioni in molte serie di osservazioni di latitudine, fra le quali 
meritano speciale menzione quelle del Nobile a Capodimonte (2). Ad ogni modo il 
risveglio nelle ricerche teoriche e pratiche su tale importantissimo problema data 
dalla pubblicazione del Kiistner, e dalla conseguente deliberazione dell'Associazione 
Geodetica Internazionale di istituire un sistema di osservazioni contemporanee in 
differenti punti sopra la superficie del globo, eseguite con rigorosa uniformità di 
metodo e con tutte le cautele atte ad eliminare le cause di errore. Dalla prima serie 
di tali osservazioni concordate risultò una diminuzione di circa 0",5, riconosciuta 
simultaneamente a Berlino, a Potsdam ed a Praga fra il settembre 1889 ed il feb- 
braio 1890; mentre la seconda serie, nella quale era inclusa una stazione molto 
lontana in longitudine dalle tre ora citate (Honolulu nelle isole Sandwich) rivelò in 
questa un andamento della latitudine affatto opposto a quello ottenuto nelle altre, 
confermando così l'ipotesi di un effettivo spostamento dell'asse di rotazione entro la 
massa del globo. 

Con rapidità veramente americana il dott. S. C. Chandler ha approfittato di 
queste scoperte per raccogliere e discutere in una serie di articoli dell' Astronomical 
Journal tutte le più importanti determinazioni di latitudine eseguite dalla metà del 
secolo scorso in poi da molti astronomi con vari metodi e con diversi strumenti in 
differenti Osservatorii ; ed il risultato mirabile cui è giunto si riassume nelle due 
leggi seguenti, da lui enunciate nel settimo de' suoi articoli (3): 

" 1. La variazione osservata della latitudine è la curva che risulta da due flut- 
" tuazioni periodiche sovrapposte l'una all'altra. La prima di esse, e generalmente 
" la più considerevole, ha un periodo di circa 427 giorni, ed una semiamplitudine di 
" circa 0",12. La seconda ha un periodo annuo, con un'ampiezza variabile da 0",04 
" a 0",20 durante l'ultimo mezzo secolo. Durante un'epoca intermedia di questo 



(1) Neue Methode sur Bestimmung der Constante der Aberration nebst Untersuchungen ilber die 
Veranderlichlceit der Polhohe (Berlin 1888, in-4°). 

(2) Una estesa bibliografia di quanto si è pubblicato sull'argomento prima del 1890 si trova a 
pagina 449 del tomo VI del Bulletin Astronomique. 

(3) " Astronomical Journal „, N. 277, Voi. XII, 1892 novembre 4. 



LATITUDINE DI TOKINO 



91 



8 intervallo, caratterizzata all'ingrosso come compresa fra il 1860 e il 1880, prevalse 
u il valore rappresentato dal limite inferiore, ma prima e dopo queste date, il supe- 
" riore. Il minimo ed il massimo di questa componente annua della variazione acca- 
u dono, sul meridiano di Greenwich, circa dieci giorni avanti, rispettivamente, agli 
" equinozi di primavera e di autunno, e il suo annullarsi prima dei solstizi di 
u altrettanto. 

" 2. Come risultante di questi due movimenti la variazione effettiva della lati- 
" tudine è soggetta ad una alterazione sistematica in un ciclo della durata di sette 
" anni, che risulta dalla commensurabilità dei due periodi. Secondo che essi cospi- 
" rano od interferiscono, l'ampiezza totale varia fra un massimo di due terzi di 
" secondo, ed un minimo che, generalmente parlando, non è superiore a pochi cen- 
" tesimi di secondo „. 

Non è questo il luogo di investigare le ragioni teoriche che si possono addurre 
a spiegazione di queste singolari variazioni. Il Newcomb (1) ed il Gylden (2) hanno 
ripreso in esame la teoria del movimento dell'asse istantaneo di rotazione della Terra 
intorno all'asse di massimo momento od asse d'inerzia; ed hanno trovato che il 
classico periodo di 305 giorni, stabilito da Eulero nell'ipotesi dell'assoluta rigidità 
della Terra, si può aumentare sino a differire di pochissimo dal periodo del Chandler 
(427 giorni), quando a quell'ipotesi inammessibile altre se ne sostituiscano, più con- 
sentanee alle nozioni che la geografia fisica possiede (3). D'altra parte il periodo 
secondario di un anno che si sovrappone al primo trova la sua spiegazione ovvia 
in fenomeni aventi lo stesso periodo, come sarebbero ad esempio i fenomeni meteo- 
rologici. Che poi l'una e l'altra variazione siano dovute ad un effettivo spostamento 
dell'asse istantaneo entro il globo, e non ad un trasporto del polo astronomico (e 
quindi di tutta la Terra insieme co' suoi poli) è ingegnosamente dimostrato dal 
Chandler col mettere in evidenza l'accordo delle determinazioni assolute colle relative 

Quanto alle variazioni secolari, che furono le prime in ordine di data ad essere 
sospettate (4), gli ultimi risultati delle ricerche del Chandler e delle conclusioni teo- 
riche del Newcomb e del Grylden si accordano nel dimostrarle affatto problematiche ; 
ne gli argomenti dati dal Comstock nell'ultimo volume dell' 'Astronomica! Journal 
(passim) sembrano resistere alle acute obbiezioni del Chandler. 

Da questi cenni sommarii sulla storia della questione nell'ultimo quinquennio, 
appare chiaro che lo stato delle cose ha subito una radicale mutazione dal giorno 
in cui comparve la mia Comunicazione Preliminare ad oggi; ed a questa mutazione 



(1) On the Dynamics of the Earth's Rotation, ivith respect to the Periodic Variations of Latitude 
(Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Voi. LII, March 1892). 

(2) Ueber die Erklarung der periodischen Veriinderungen der Polhbhen (Astronomische Nachrichten, 
N. 3157). 

(3) È curioso notare che il periodo di Chandler supera la durata di una rivoluzione della Terra 
esattamente di quanto questa supera il ciclo euleriano. 

(4) Fergola, Determinazione novella della latitudine del E. Osservatorio di Capodimonte (Napoli, 
1872). A proposito di questa Memoria scrive il D'Abbadie nel nono volume del Bulletin Astronomique : 
" C'est peut-étre à M. Fergola , astronome de Naples , que les historiens futurs de la Géodésie 
" décerneront l'honneur d'avoir mis en question l'invariabilité attribuée aux latitudes terrestres 
" quand on les détermine par l'observation des astres ; il a certainement le mérite d'avoir porte 
" dernièrement cette affaire à l'ordre du jour et Fon s'en préoccupe enfin ,. 



92 



F. PORRO 



corrispondere doveva un cambiamento nei criteri ai quali si ispirava il mio lavoro. 
Già in quella Comunicazione ho esposto per quali motivi non era possibile far con- 
correre l'opera mia (iniziata con più modeste intenzioni) alla ricerca delle leggi di 
variazione dell'altezza del polo, che allora erano affatto sconosciute; ora, dopo che 
una rappresentazione empirica di notevole precisione ci fa conoscere (appunto per 
l'epoca abbracciata dalle mie osservazioni) l'ampiezza ed il periodo di quelle oscillazioni, 
il contributo delle mie misure, eseguite nelle condizioni più sfavorevoli, non potrebbe 
essere che illusorio. Senza discutere se variazioni superiori (e spesso doppie e triple) 
dell'amplitudine massima determinata dal Chandler trovino o non trovino la loro 
giustificazione in cause più o meno conosciute di errori sistematici locali, strumentali 
o personali, credo onesto dichiarare francamente che serie di latitudine affette da 
variazioni cosi cospicue non debbono contribuire allo studio delle variazioni realmente 
spettanti a spostamenti del polo. Come ben nota il Chandler in una sua Nota suc- 
cessiva alle già citate, le variazioni periodiche della latitudine rimettono in questione 
molti valori numerici ritenuti come fondamentali per l'astronomia, primo fra tutti 
quello della costante di aberrazione; ed il voler fare concorrere una serie di lati- 
tudine allo studio delle variazioni equivale al farla pure concorrere simultaneamente 
alla ricerca di questa costante, della parallasse delle stelle osservate e di altre 
minute correzioni del medesimo ordine di grandezza, legate fra loro da equazioni di 
condizione. Si vede quindi che lo studio di quelle variazioni è ormai diventato uno 
dei problemi più delicati dell'astronomia fondamentale, riservato a quei fortunati che 
non hanno una stazione a 42 metri sul suolo, circondata da vie frequentatissime, 
in una piazza percorsa da vetture, da carri e da tramways a vapore. Quand'anche 
le mie condizioni d'osservazione fossero meno sfortunate, non sarebbe quello un 
lavoro da intraprendersi così per incidenza, come corollario di altro lavoro meno 
preciso e meno importante! 

Ma se ho creduto conveniente di rinunziare all'attraente speranza di poter dire 
anch'io una parola nell'argomento oggi di moda, non ritenni poi inutile di tener 
conto per il mio scopo più modesto dei risultati già raggiunti da altri. Prescindere 
dai risultati del Chandler non è più permesso ; fortunatamente la sua formula empi- 
rica si applica all'epoca delle mie osservazioni meglio che ad ogni altra, grazie alla 
influenza predominante che nel determinarla ebbero le due serie di osservazioni cor- 
rispondenti istituite dall'Associazione Geodetica intorno all'epoca stessa. Come dunque 
ho preso per la mia determinazione le declinazioni dal Berliner Jahrbuch, l'aberra- 
zione da Struve, e così via, così mi parve consentaneo al carattere relativo della 
determinazione stessa prendere le variazioni della latitudine dal Chandler. Dirò a 
luogo opportuno come il calcolo sia stato effettivamente condotto. 

Ritornando alle osservazioni propriamente dette ed ai metodi di riduzione, 
esporrò nelle due parti che seguono ordinatamente ciò che è necessario a dar ragione 
dei risultati, destinando la prima parte alle osservazioni fatte col metodo di doppia 
inversione e la seconda alle rimanenti, fatte col filo mobile. Nella terza parte saranno 
raccolti e discussi i risultati definitivi. 

Debbo qui una parola di sincero ringraziamento ai signori ing. Tomaso Aschieri 
e dott. Alberto Manaira, che mi coadiuvarono efficacemente nelle riduzioni. L'opera 
dell'ultimo in particolare mi fu veramente preziosa. 



LATITUDINE DI TORINO 



93 



PAETE PIUMA 



Osservazioni eseguite col metodo dell'inversione su entrambi i verticali. 

Poco ho da aggiungere circa queste osservazioni a quanto ho detto nella Comu- 
nicazione Preliminare, che appunto ad esse è destinata. Tutti i trattati di astronomia 
contengono un'esposizione del metodo di Struve, e sarebbe affatto superfluo ripor- 
tarla. Ciò che nessuno ha messo in evidenza, e che mi sembra meriti essere detto 
e ripetuto, è l'incontestabile superiorità di questo metodo sopra ogni altro che si 
possa applicare in osservazioni allo strumento dei passaggi in primo verticale. Tutta 
la genialità del creatore di Pulkova si è trasfusa in questa pur semplice e, quasi 
direi, ovvia modificazione del metodo di Bessel; eppure ancor oggi gli astronomi 
tedeschi (ed anche italiani) vanno in cerca di ragioni più o meno fondate per non 
abbandonare le norme dettate dal grande maestro di Konigsberg. L'Albrecht (al 
quale nessuno può certo negare profonda competenza in materia) scrive a questo 
proposito le seguenti parole (1): 

" Rispetto alla bontà di questo procedimento a paragone di quello dianzi accen- 
" nato, si deve riconoscere un reale inconveniente nella grande molteplicità del 
" numero delle inversioni, perchè in un caso simile l'ipotesi della invariabilità del- 
" l'azimut, che per osservazioni di questa natura è condizione indispensabile, è molto 
" meno garantita, che nel modo di procedere, per il quale il numero delle inversioni 
" è ridotto ad una o due per sera „. 

Questa obbiezione dell'illustre osservatore prussiano, ribadita da tutti coloro che 
si trovarono a dar la preferenza al metodo di Bessel sopra il metodo di Struve, mi 
pare non giustificata. Ammetto con lui che ogni inversione disturbi l'azimut del- 
l'istrumento, e quindi che il numero delle inversioni debba essere ridotto al minimo, 
sempre quando il vantaggio di questa precauzione non superi il danno dovuto ad 
altre cause. Ma quando — come è raccomandato nelle Istruzioni dettate dallo stesso 
Albrecht (2) — per evitare scosse all'istrumento lo si lascia per alcune ore di seguito 
nella medesima posizione, osservando successivamente i passaggi di parecchie stelle 
ad un Verticale, per poi riosservarli a cannocchiale invertito nell'altro Verticale, mi 
domando se le scosse accidentali che l'istrumento riceve durante tutte queste ope- 
razioni non siano più nocive alla stabilità azimutale di quella scossa dovuta alla 



(1) Formeln und Hiilfstafeln filr Geographische Ortsbestimmungen — Zweite Auflage (Leipzig, 1879). 

(2) Astronomisch-Geodàtische Arbeiten in den Jahren 1881 und 1882 (Publication des k. Preuss. 
Geodàtischen Institutes. Berlin 1883; pag. 9). 



94 



F. PORRO 



inversione, che un osservatore scrupoloso e prudente, adoperando un istrumento 
solido e munito di un buon apparecchio di rovesciamento, può rendere piccola quanto 
si vuole. Si noti poi che un brusco leggerissimo spostamento in azimut per effetto 
dell'inversione può contribuire a far variare apparentemente l'errore di collimazione, 
e può quindi eliminarsi per effetto di simmetria quasi completamente, come le con- 
siderazioni seguenti mostrano senz'altro. 

Uno spostamento in azimut per effetto di scosse dovute all'inversione può ascri- 
versi a due cause, un urto ricevuto dai sostegni ed uno spostamento effettivo del- 
l'asse di rotazione. Questa, che, se l'istrumento è sorretto da solidi piedritti, sarà 
inevitabilmente assai maggiore dell'altra causa, si comporrà alla sua volta di due 
cause, una accidentale, che varierà da caso a caso senza legge alcuna, ed una costante, 
dovuta alle irregolarità di figura dei perni e dei guanciali, che agirà in senso inverso 
nelle due inversioni necessarie per ogni stella, secondo il metodo di Struve, e che 
sarà l'unica alla quale sia applicabile una teoria. Esaminiamone l'effetto. Esso è di 
aumentare l'azimut di una piccola quantità a (e quindi di ritardare l'appulso ai sin- 
goli fili) per la seconda parte della osservazione ad Est e per la prima parte della 
osservazione ad Ovest. Detti t 1} U, t 3 e t é i quattro istanti degli appulsi, avremo per 
questa causa sostituito a U e t 3 : U — a cosec q>, t z — a cosec q>, dove, il termine cor- 
rettivo sarà certamente una piccola frazione di secondo siderale, che potremo indi- 
care con t. Allora, se ricordiamo la formula che dà la latitudine 

tg <p = tg b sec A sec o", 

dove 

A _ fa — h) — (fr — h) __ (k — u) + (t 3 — <g) 

4 ' — 4 

vediamo senz'altro che la doppia inversione elimina la correzione t. L'effetto di questo 
errore sistematico rimane invece tutto quando si inverta una volta sola, nell'inter- 
vallo fra i passaggi ad Est e ad Ovest. 

Che poi la parte accidentale si possa rendere piccola assai, quando si inverte, 
è cosa che non si può immediatamente dimostrare, senza lunghi calcoli sopra i risul- 
tati delle osservazioni. Fortunatamente mi è facile trovare altrove argomenti che 
confortano questa mia affermazione, cosi nel caso dell'istrumento Repsold C (che 
servì alla piccola serie gennaio-giugno 1888), come in quello del nuovo Repsold, 
adoperato dal novembre di quell'anno in poi. Il primo fu studiato in moltissime 
determinazioni della Commissione Geodetica, e segnatamente nella determinazione di 
azimut assoluto eseguita a Milano dal prof. Rajna (1) ; dell'altro mi resi ben conto 
nell'analoga determinazione a Torino (2). Già nelle operazioni del Rajna e nelle 
successive di longitudine le inversioni si sono moltiplicate senza scrupolo alcuno, e 
gli effetti ne furono tutt'altro che tali da diminuire la precisione dei risultati; ma 
nelle mie determinazioni di azimut sono arrivato al punto di invertire su ogni stella, 



(1) Azimut Assoluto del Segnale trigonometrico del Monte Paiamone sull'orizzonte di Milano (Pub- 
blicazioni del Reale Osservatorio di Brera in Milano, N. XXXI). 

(2) Pubblicazioni del Reale Osservatorio di Torino, N. I. 



LATITUDINE DI TORINO 



95 



portando il numero delle inversioni ad una ventina per sera, senza il menomo danno 
apprezzabile alla stabilità dell'istrumento, facilmente controllabile in osservazioni di 
questa natura. Un'altra conferma dell'innocuità assoluta delle inversioni si ha nel- 
l'uso ormai generale di eseguire le livellazioni con inversione dell'asse senza solle- 
varne il livello: data l'estrema mobilità di questo, e la squisita perfezione colla 
quale presentemente lo si lavora, esso dovrebbe rivelare ben gravi anomalie ad ogni 
inversione. Invece, come hanno mostrato molti osservatori (1), la determinazione 
dell'errore di inclinazione con inversione dell'asse presenta molto minori cause d'er- 
rore di quella con inversione del livello sui perni. Se adunque scomponiamo l'effetto 
dell'urto prodotto dall'inversione in due parti, troviamo che quella verticale (presu- 
mibilmente la più grande) è insensibile o quasi; e possiamo quindi inferirne che 
anche l'altra non sarà molto grande. 

Eimossa (od almeno grandemente attenuata) l'unica obbiezione seria al metodo 
di Struve, non è chi non veda le forti ragioni che gli fanno avere la preferenza 
sopra il besseliano. E sono : 

I. L'eliminazione rigorosa su ogni verticale delle distanze dei fili, dell'errore 
di collimazione e delle eventuali variazioni di questo col tempo (essendo ogni pas- 
saggio osservato in pochi minuti, durante i quali soltanto la collimazione si deve 
ritenere invariabile). 

IL La tranquillità assoluta nella quale l'istrumento rimane durante l'intervallo 
fra il passaggio della Stella ad Est e ad Ovest ; osservandosi ad una parte soltanto 
del reticolo, non è neppur necessario trasportare l'oculare successivamente innanzi 
ai fili colla vite di Maskeline. 

III. La facilità e speditezza dei calcoli di riduzione. 

IV. La semplicità colla quale si elimina l'errore di azimut, quando questo sia 
tanto considerevole da dover essere tenuto in conto. Basta infatti moltiplicare tg cp 

per il coseno di a — — | . 

Premesse queste giustificazioni relative alla scelta del metodo (che sarebbero 
troppo prolisse veramente, se non fossero rese necessarie dall'opposizione che esso 
incontra ancor oggi), passiamo all'esame delle correzioni istrumentali. 

Collimazione. — Questo errore si elimina, come vedemmo, da ogni passaggio 
osservato su di un verticale. Ad ogni modo, per curiosità, e per rendermi conto del 
suo effetto nelle poche osservazioni eseguite coll'altro metodo, non ritenni inutile 
determinarne alcuni valori, i quali mostrano colla loro costanza e regolarità di anda- 
mento le eccellenti condizioni del nostro Repsold da questo punto di vista, dovute, 
oltre che alla solida costruzione di ogni pezzo e dell'insieme, al felice accorgimento 
di collocare le viti di correzione dell'asse ottico non (come si usava dianzi) all'ocu- 
lare, bensì nell'interno del cubo ; di guisa che la correzione si fa toccando il prisma. 



(1) Vedasi ad esempio la pag. 5 della Memoria di Rajna sulla " Determinazione della Latitu- 
dine dell'Osservatorio di Brera in Milano e dell'Osservatorio della R. Università in Parma „ (Pub- 
blicazioni del Reale Osservatorio di Brera in Milano, N. XIX). 



96 F. PORRO 

Ecco le collimazioni, calcolate dalle stesse osservazioni di latitudine mediante 
la formula (1): 

sin c = sin o" sin A cos ò sin qp: 



Data c. 


Data 


c. 


Data 


c. 


1888 Novembre 25 + 52",47 


1889 Febbraio 16 


— 8",65 188 


!9 Maggio 31 


— 9",12 


1889 Gennaio 7—16 ,96 


19 


— 9 ,45 


Ottobre 23 


— 3 ,00 


19—7 ,54 


24 


— 8 ,42 


Novem. 8 


— 3 ,61 


27—5 ,19 


Marzo 14 


— 8 ,51 


15 


— 5 ,74 


31—7 ,73 


16 


— 10 ,62 


17 


— 8 ,81 



Avverto che i due primi valori, troppo forti e discordi, appartengono al periodo 
di prova, dopo il quale le viti di correzione non furono più toccate. 

Inclinazione. — La grande importanza che in tutte le determinazioni di lati- 
tudine spetta al livello, è inerente alla natura del problema; che si vuol conoscere 
in fatti se non la posizione della verticale rispetto alle direzioni fondamentali della 
sfera celeste? Io credo che tutti gli sforzi degli artefici e degli osservatori per fissare 
con esattezza la verticale senza ricorrere al livello a bolla d'aria (2) non abbiano 
ancora raggiunto il loro intento, anzi ne siano ben lontani; pur ammirando gli 
espedienti ingegnosissimi ideati a tale scopo, trovo che nelle mani del Kùstner e 
degli altri astronomi di Berlino il livello ha dato recentemente risultati di alta pre- 
cisione, che dimostrano ingiustificato o, quanto meno, prematuro l'ostracismo che gli 
si vuol dare. Ne mi sembra che procedimenti simili a quelli usati ora per il tele- 
scopio zenitale (e segnatamente l'uso di un livello di controllo) siano inapplicabili 
all'istrumento dei passaggi in primo verticale, dove l'errore delle livellazioni forma 
tanta parte dell'errore totale di una determinazione. 

Nelle mie osservazioni ho cercato di eliminare tutte le cause perturbatrici delle 
indicazioni del livello ; e, lasciando questo permanentemente appeso all'asse di rota- 
zione, lo osservai con molta frequenza per ricavarne il valore possibilmente più esatto 
dell'inclinazione. Non di meno, debbo riconoscere che le condizioni della stazione mi 
impedirono di curare, come avrei voluto, questo elemento ; credo anzi che l'incertezza 
di esso e delle variazioni accidentali dell'azimut (delle quali parlerò in seguito) abbia 
la massima parte nelle anomalie presentate dalle osservazioni. Nella discussione 
finale mostrerò come l'imperfetta conoscenza degli errori strumentali spieghi il valore 
relativamente forte di alcune divergenze di valori singoli dalla media; per ora mi 



(1) Questa formula è valida quando l'inclinazione b e l'azimut k si ritengano zero. L'errore che 
si commette trascurando queste correzioni strumentali è dato da 

— b sin 1" cos b cos cp sin A -f- k sin 1" cos ò cos o sin A, 

ed è quindi trascurabile affatto. 

(2) Scrive il D'Abbadie (Bulletin Astronomique, IX, pag. 93): " L'emploi du niveau à bulle d'air 
' doit ètre exclu désormais de toutes les observations astronomiques où l'on voudra atteindre la 
" dernière limite de l'exactitude „. 



LATITUDINE DI TORINO 



97 



limito ad esprimere la mia convinzione che tutte queste minute cause d'errore, 
trattate come accidentali, abbiano potuto compensarsi nella media finale. 

Il valore di una divisione angolare del livello annesso al Repsold C risulta dalle 
misure eseguite sull'esaminatore della Specola di Milano nel corso dell'anno 1885 
per opera del prof. Rajna e mia. I risultati di queste misure sono rappresentati (1) 
dalla formula: 

(1) P = 1",5300 + 0",0046 (l — 35 p ,0), 

dove l rappresenta la lunghezza della bolla (in divisioni del livello). Da una comu- 
nicazione posteriore del medesimo collega Rajna risulta che anche le determinazioni 
fatte nell'estate 1888 (quando ristrumento fu adoperato nella determinazione della 
differenza di longitudine Milano-Napoli) diedero valori quasi identici. Coi risultati 
della formula (1), tenendo conto della lunghezza della bolla per calcolare il termine 
dipendente dalla temperatura, si sono ridotte tutte le inclinazioni determinate fra 
il gennaio ed il giugno 1888. 

Quanto al nuovo Repsold, ecco i risultati delle determinazioni eseguite in 
parecchie occasioni all'Osservatorio di Torino: 



Data 

1888 Novembre 12,13 

1889 Aprile 12-16 

1890 Giugno 15-17 

1891 Ottobre 15-16 
1891 Dicembre 13 



Temperatura 
+ 2°,8 
+ 14 ,9 
+ 23 ,0 
+ 7,0 
+ 2,0 



Valore di una parte 
1",7235 
1 ,6948 
1 ,7019 
1 ,6960 
1 ,7050 



Osservatore 
Porro 
Aschieri 
Porro 
Rizzo 
Rizzo 



Se si pensa che queste determinazioni vennero eseguite in anni ed in stagioni 
differenti, da tre diversi osservatori, con due diversi esaminatori (v. le mie citate 
memorie sulla latitudine di Torino e sull'azimut di Monte Vesco), e che fra il 1890 
e il 1891 fu cambiato il liquido nella bolla, si trova che il valore medio 1",71, 
adottato per calcolare tutte le osservazioni di latitudine fatte a questo strumento, 
non si può ragionevolmente ritenere errato di più di un centesimo di secondo. 

Nella prima serie la somma delle inclinazioni positive risultò di 8", 057, quella 
delle inclinazioni negative di 12", 501 ; abbiamo un'eccedenza negativa di 4",444, 
ripartita sopra 16 osservazioni. 

Invece nella seconda serie si ebbe una somma di inclinazioni positive uguale 
a 102",056 ed una somma di negative uguale a 68", 965 : differenza positiva 33", 091, 
che si riparte sopra 104 osservazioni. 

Nell'uno e nell'altro caso sono osservate mediocremente le due prescrizioni di 
tenere l'inclinazione possibilmente piccola e di equilibrare possibilmente i suoi valori 
negativi e positivi. Meglio si sarebbe fatto, senza le oscillazioni periodiche ed acci- 



(1) Porro, Determinazione della latitudine della Stazione Astronomica di Termoli mediante passaggi 
di stelle al primo verticale (Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino, voi. XXII, adunanza 
del 20 febbraio 1887). 

Serie II. Tom. XLIV. m 



98 



F. PORRO 



dentali del livello, dovute all'ubicazione ; ad ogni modo, data la cura colla quale si 
è studiato l'uno e l'altro livello, si può essere certi che la latitudine non può riu- 
scire errata, per un errore nella conversione delle letture in arco, di più di qualche 
millesimo di secondo. 

Azimut. — La correzione dovuta all'azimut non fu applicata alle osservazioni 
pubblicate nella Comunicazione preliminare. Avendo poi riconosciuto che il suo effetto 
doveva essere sensibile, sopratutto per il periodo maggio-giugno 1888, nel quale, 
non so come, inavvertentemente lasciai l'istrumento molto fuori dal Primo Verticale, 
mi decisi a calcolarla con rigore nel seguente modo. 

Il logaritmo volgare di tg cp deve essere sommato con 



log cos 



« - 1 (h + h + f 3 + k) 



essendo t u t 2 , t 3 , £ 4 i tempi degli appulsi, corretti per l'inclinazione e per l'errore 
dell'orologio. E perchè quel coseno è molto vicino all'unità, si potrà utilmente invece 
sottrarre il logaritmo della secante. Questo termine negativo, in unità dell'ultima 
decimale, è d'altra parte: 

d log tg cp — gj^qj ^"P? essendo M il modulo dei logaritmi volgari, 

donde 

d<p" = d l0 ^ g 9 == [5,3756096] d log tg cp = 237490,44 d log tg cp. 



Data quindi, in unità della settima decimale, la correzione da applicarsi a log tg cp 

(sempre negativa, ed uguale a log sec [a ^- -4- 1 2 -f- 1 3 -4- , la correzione (pure 

negativa) della latitudine si ottiene senz'altro, espressa in secondi, con una semplice 
moltiplicazione per quel coefficiente costante. 

L'esecuzione di questo calcolo per ciascuna delle 120 stelle ha potuto dare una 
idea degli spostamenti dell'istrumento in azimut. Detto t il valore della media dei 
quattro appulsi corretti come ho detto, l'andamento dei valori di a — t dà indizio di 
forti sbalzi, più accidentali che progressivi, che si sottraggono fatalmente ad ogni 
previsione e ad ogni interpretazione, e formano il più efficace commento alle mie 
geremiadi sulla instabilità della Specola di Torino. 

Formando le differenze fra valori successivi di a — t in una medesima sera, ho 
trovato i seguenti numeri, che rappresentano le variazioni dell'azimut ; per gli oppor- 
tuni confronti ho posto a fronte anche le variazioni corrispondenti dell'inclinazione. 



1888 




Aia — t) 


Ai 


1889 




A(a-t) 


Ai 


Gennaio 


19 


+ 2 S ,23 


— 0",016 


Gennaio 


8 


— S ,05 


+ 0",305 


Giugno 


5 


— 0,64 


— ,914 




17 


+ 0,16 


— ,666 




5 


— 0,44 


- 1 ,203 




18 


+ 0,12 


+ ,301 




8 


— 0,49 


— 1 ,553 


Marzo 


6 


+ 0,40 


— ,169 



LAT1TDDIKE DI TORINO 



99 



1888 



A (a — t) A / 



1889 A (a — t) 

Marzo 12 — ,20 + 



Ai- 



Dicembre 1 



1 — 1 ,43 + ,996 

1 — ,10 -\- ,304 

3 _ ,11 +0 ,602 

7 — 0,11 +0 ,469 



Giugno 6 + ,04 — 



17 + ,41 — 
25 +0,18 — 



,056 
,362 
,183 
,866 
,039 
,482 
,688 
,903 
,208 
,124 
,236 



10 



— ,16 +0 ,564 



6 + ,92 — 1 

15 +0,09 — 1 

17 + ,48 — 

19 — 0,93 - 



Ottobre 23 — ,65 + 
Novembre 8 — ,49 + 
9 — ,81 + 



Grandi conclusioni non si possono ricavare da questi numeri: irregolari tutti, 
però dinotanti coli' aggruppamento di certi segni la persistenza di certe cause ad 
operare per qualche tempo in una determinata direzione. 

Passiamo ora alla esposizione dei risultati. Nel primo e più lungo quadro che 
segue sono dati, stella per stella, i tempi dei quattro appulsi, e la latitudine che se 
ne è ricavata, filo per filo, calcolata colle note tavole di Otto Struve (1), senza 
tener conto dell'andamento dell'orologio e degli errori strumentali. Ogni osservazione 
consta per lo più di trentadue appulsi ad otto fili; il quadretto relativo è seguito 
dal valore corrispondente di a — t in secondi di tempo, dalla degnazione apparente 
della stella osservata e dall'error medio calcolato esclusivamente in base all'ac- 
cordo dei fili. Si vedrà nell'ultima parte di questo lavoro che l'error medio e di 
un'osservazione, calcolata in base all'accordo dei valori di latitudine forniti dalle 
diverse osservazioni di una medesima stella, è uguale a + 0",405, mentre in gene- 
rale le e-y si aggirano intorno a + 0",100 : dunque di gran lunga la parte maggiore 
di e è imputabile all'imperfetta correzione degli errori strumentali, e solo dal numero 
considerevole delle osservazioni, distribuite in anni e mesi differenti, si può sperare 
una compensazione di questi errori. 

Il secondo quadro raccoglie i valori medii della latitudine cp' dati da ciascuna 
stella, le correzioni relative all'inclinazione i dell'asse e all'azimut istrumentale, il 
termine dovuto all'andamento dell'orologio (che si è dedotto a vista da alcune tavo- 
lette calcolate per le singole stelle secondo le norme date a pag. v dell'introduzione 
alle citate tavole di Struve) e finalmente il valore concluso della latitudine qp. 

Come ho detto nella Comunicazione preliminare, le declinazioni si sono dedotte 
esclusivamente dal Berliner Jahrbuch: per interpolazione dalle effemeridi decadiche 
quelle delle Fondamentali di Pulkova, calcolando la riduzione al luogo apparente 
quelle delle altre stelle (Zusatz- Sterne). Furono calcolati rigorosamente i piccoli ter- 
mini della nutazione lunare. 



(1) Tabulae Auxiliares ad transitus per plantari primum verticale reducendos inservientes — Edidit 
Otto Struve, Speculae Pulcovensis director (Petropoli, 1868). 



100 



F. PORRO 



QUADKO PEIMO 



TEMPI DEGLI APPULSI E LATITUDINI DEDOTTE 



1888 Gennaio 19 — (S Aurigae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


<p' 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


5 h 21 m 4 S .63 

21 58 .63 

22 50 .64 

24 19 .65 

25 12 .66 

26 8 .67 


5 h 41 m 12 s .27 
39 9 .25 
37 23 .24 
34 20 .22 
33 1 .71 
31 45 .70 


6 h m 40 6 .39 
2 50 .41 
4 37 .92 

7 40 .44 

8 57 .45 
10 16 .46 


6 h 20 m 55 s .54 
20 9 .03 
19 22 .03 
17 40 .52 
16 48 .01 
15 53 .00 


45° 4' 9".98 

8 .10 
7 .15 

9 .74 
9 .14 
9 .76 



a — t —■ — 8 3 .89 ò = 44° 56' 3".42 €! = 0".4595 



1888 Gennaio 19 — X TJrsae Majoris. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Sud Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


8 h 50 m 23 s .50 

50 42 .30 

51 .01 
51 32.81 

51 50.71 

52 8 .02 
52 26 .82 


8 h 57 m 59 s .07 
57 37.56 
57 18 .06 
56 43 .76 
56 24.95 
56 5 .85 
55 46 .05 


l.l h 21 m 57 s .54 
22 18 .04 

22 37 .65 

23 12 .05 
23 31 .05 

23 50 .26 

24 9 .56 


ll h 29 m 34M0 
29 14 .59 
28 56 .09 
28 23 .99 
28 6 .08 
27 49 .08 
27 30 .08 


45° 4' 11".40 
9 .19 
9 .29 
8 .62 

8 .41 

9 .74 
9 .43 



a — t = — 6 S .56 ò = 43° 28' 13".10 e x = 1".4090 



LATITUDINE DI TORINO 101 



1888 Gennaio 20 — f3 Aurigae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


<p' 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


5" 20 m 57 s .00 

21 44.51 

22 33 .72 

23 24 .53 

24 14 .04 

25 7 .05 

26 1 .56 

27 58 .58 


5 h 41 m S .22 
38 52 .20 
37 2 .68 
35 24.16 
34 1 .14 
32 40 .63 
31 25 .62 
29 12 .60 


6 h m 38 s .84 
2 48 .36 
4 34 .37 

6 12 .38 

7 35 .39 

8 54 .40 
10 8 .91 
12 24.93 


gh 40 s .51 
19 53 .00 
19 4 .49 
18 12 .48 
17 24.47 
16 30.96 
15 34 .45 
13 39 .44 


45° 4' 9".16 
9 .26 
9 .12 
9 .14 
9 .52 
9 .52 
9 .54 
9 .45 



a — t = — 5 S .27 ò = 44° 56' 3".56 e x = 0".2089 



1888 Gennaio 22 — p Aurigae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


5 h 19 m 19 s .50 

20 44 .72 

21 32 .52 

22 21 .83 

23 11 .74 

24 2 .05 

24 55 .86 

25 51 .07 
27 46 .08 


5 h 47 m gs >25 

40 44 .22 
38 36 .70 
36 47 .68 
35 7 .16 
33 48 .14 
32 28 .13 
31 13.62 
28 54 .60 


5 h 53 m 40 s .30 
6 19 .35 
2 28 .87 

4 17 .89 

5 55 .90 

7 20.11 

8 38 .42 

9 53.13 
12 7 .44 


6 n 21m 453 33 

20 21 .02 
19 34 .01 
18 44 .50 
17 53 .99 
17 2.98 
16 8.97 
15 14.16 
13 18 .45 


45° 4' 7".70 
7 .34 
7 .48 

7 .28 

8 .19 
7 .36 
7 .01 

7 .24 

8 .19 



a _ t = — 4 S .93 ò = 44° 56' 3".83 d = 0".2311 



1888 Maggio 3 — 53 Bootis. 



Verticale Est 


Verticale 0> st 


<p' 


Oculare Nord 


Oculare' Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


14 h 3 m 17 s .29 
a 55 .68 

4 34 .12 

5 57 .73 

6 39 .20 

7 22.17 
9 40.16 

10 29 .02 


14 h 30 m 24 s .41 
28 .20 
26 7 .39 
22 50 .31 
21 28.87 
20 14 .36 
16 48 .47 
15 45 .43 


14* 47 m 2 S .57 
49 29 .65 
51 20.97 

54 37 .96 

55 59 .28 
57 17 .14 

15 31 .99 
1 42 .96 


15 h 14 m 1P.39 
13 31 .17 
12 53 .93 
11 31 .45 
10 48 .76 
10 5 .71 
7 48.59 
6 58 .29 


45° 4' 8".88 
9 .09 
9 .21 
9 .79 
9 .60 
9 .58 
7 .95 
9 .30 



a — * == + 52 3 .72 ò == 44° 53' 17".16 e t = 0".2441 



102 F. PORRO 

1888 Maggio 6 — 53 Bootis. 


Verticale Est 


Verticale Ovest 


q>' 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


14 h 3 m 20 6 .57 

3 58.13 

4 36 .76 

5 59 .39 

6 41 .73 

7 24 .69 

8 9 .81 

8 55 .49 

9 41 .89 
10 31 .75 


14 h 30 m 35M6 
28 8 .06 
26 13.97 
22 57 .61 
21 34 .59 
20 19 .46 
19 4.69 
17 57 .31 
16 52 .81 
15 50 .37 


14 h 46 m 56 8 .58 
49 21 .53 
51 15.16 

54 32 .89 

55 56 .24 

57 13 .82 

58 27 .98 

59 33 .98 
15 38 .35 

1 42 .35 


15 h 14 m ll s .39 
13 34 .28 
12 55.12 
11 31 .20 
10 49 .27 
10 6 .64 
9 20 .43 
8 36 .16 
7 49 .36 
7 0.29 


45° 4' 7". 62 
8 .69 
8 .36 
8 .55 
8 .69 
8 .79 
8 .93 
8 .81 
8 .88 
8 .93 


a — t = + 52 s .08 ò = 44° 53' 17".98 e, = 0".1250 
1888 Maggio 9 — 33 Bootis. 


Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


14 h 7 m 48 s .40 

8 32 .80 

9 19.67 
10 9 .24 
10 58 .94 


14 h 19 m 29 s .40 
18 19 .43 
17 14.56 
16 11.79 
15 10.31 


14 h 57 m 50 s .79 
59 .37 
15 7 .52 

1 11 .39 

2 10 .83 


15" 9 m 32 s .31 
8 44 .23 
7 59 .07 
7 11 .05 
6 20 .76 


45° 4' 8".31 

7 .83 

8 .07 
7 .71 
7 .55 



a — t = -f 52 3 .74 ò = 44° 53' 17".86 e } = 0".1342 



1888 Maggio 25 — 33 Bootis. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


14 h 4 m 14 s .90 
4 59.51 
6 17.17 

6 59 .33 

7 44 .05 

8 29 .69 

9 16.13 
10 2.91 
10 52 .84 


14" 27 m 21U4 
25 16 .82 
22 26 .99 
21 4 .59 
19 49 .40 
18 37.71 
17 30 .99 
16 27.87 
15 25 .67 


U h 50 m S .67 
52 4 .68 
54 54 .97 

56 16.79 

57 32 .57 

58 42 .30 

59 51 .50 
15 55 .29 

1 57 .43 


15" 13 m 10 s .49 
12 26.61 
11 8.79 
10 24 .88 
9 40 .98 
8 57 .60 
8 10.57 
7 22 .64 
6 33 .89 


45° 4' 10".00 
10 .55 

9 .81 
10 .02 

9 .79 
10 .10 
10 .24 
10 .29 
10 .60 



a — t = + 45 3 .72 ò = 44° 53' 23".08 e, = 0".0970 



LATITUDINE DI TORINO 103 



1888 Maggio 29 — cr Herculis. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Ofiilfirp Sud 


14 h 59 m 


3 S .38 


15 h 5 m 


12 s .26 


18 h 4 m 


6M8 


18 10 m 13 3 .02 


45° 4' 10".60 


59 


18 .34 


4 


56 .47 


4 


23 .02 


9 58 .70 


11 


.10 


59 


34 .60 


4 


39 .93 


4 


38 .98 


9 42 .48 


9 


.67 


15 


.54 


4 


11 .28 


5 


6 .93 


9 16.47 


11 


.17 





15 .18 


3 


56 .74 


5 


23 .53 


9 1 .86 


11 


.90 





30 .17 


3 


41 .86 


5 


37 .60 


8 49 .37 


12 


.29 





43 .93 


3 


26 .76 


5 


51 .26 


8 32 .59 


10 


.14 





58 .90 


3 


11 .69 


6 


7 .69 


8 19 .09 


11 


.98 


1 


14.18 


2 


56 .57 


6 


22 .04 


8 4.12 


10 


.86 


1 


28 .79 


2 


41 .19 


6 


38 .07 


7 50 .69 


12 


.38 



a — t = -j- 44 s .88 b = 42° 40' 8".52 e t = 0".1837 



1888 Giugno 2 — 35 Bootis. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


14 h 3 m 


44 s .35 


14 h 30 m 


55 s .79 


14 h 47 m 


3 3 .71 


15 h 14 m 


19\87 


45° 4' 9".14 


4 


23.58 


28 


30 .42 


49 


30 .22 


13 


39 .69 


8 


.64 


5 


1 .60 


26 


36 .68 


51 


25 .32 


13 


1 .78 


8 


.86 


6 


26 .10 


23 


19 .14 


54 


46 .73 


11 


38 .48 


9 


.12 


7 


9 .07 


21 


55 .94 


56 


9 .19 


10 


56 .00 


8 


.95 


7 


52 .39 


20 


39 .42 


57 


26 .55 


10 


12 .86 


9 


.02 


8 


34 .59 


19 


31 .42 


58 


34 .16 


9 


29 .89 


8 


.64 


9 


23 .27 


18 


17 .34 


59 


47 .43 


8 


41 .02 


8 


.74 


10 


10 .16 


17 


12 .69 


15 


50 .99 


7 


53 .48 


8 


.74 


11 


.45 


16 


9 .80 


1 


54 .00 


7 


3.72 


8 


.48 


12 


41 .04 


14 


15.93 


3 


48 .83 


5 


25 .33 


8 


.79 



a — t = + 46 s .41 b = 44° 53' 24".84 ^ = 0".0635 



1888 Giugno 5 — 33 Bootis. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


14 h 5 m P.74 


14 h 27 m 52 s .28 


14 h 50 m 32 s .09 


15 h 13 m 29 s .99 


5 45 .67 


25 54 .42 


52 35 .36 


12 45 .72 


7 3 .88 


23 2 .26 


55 27 .60 


11 27 .86 


7 47 .26 


21 41 .36 


56 50 .63 


10 44.11 


8 32 .42 


20 25 .32 


58 7 .79 


9 58 .58 


9 16 .80 


19 15.18 


59 11 .04 


9 15.56 



<P' 



45° 4' 4".88 
4 .88 
4 
4 
4 
4 



.67 
.69 
.50 
.02 



a — t =-f- 44 s .04 



b = 44° 53' 25".62 



ej = 0".1312 



104 



F. PORRO 

1888 Giugno 5 — cr Herculis. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


cp' 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


14 h 59 m 41 s .50 
59, 55 .35 

15 24 .39 
Q 38 .53 
1 21 .99 
1 36 .60 
1 51 .72 


15 h 5 m 29 s .94 
5 16 .44 
4 45 .33 
4 30 .50 
3 46 .07 
3 31 .19 
3 16.37 


18 b 4 m 40 s .38 

4 54.87 

5 25 .07 

5 40 .16 

6 24 .57 
6 39 .93 
6 55 .19 


18" 10 m 29 s .52 
10 15.71 
9 46 .83 
9 32.19 
8 48 .83 
8 34 .59 
8 19 .83 


45° 4' 6".90 

5 .93 

6 .24 
6 .19 

5 .57 

6 .14 
5 .62 



t = -f 43 3 .40 



ò = 42° 40' 10".55 



0".2225 



1888 Giugno 5 — ò Cygni. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculaw 


Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


19 h 9 m 


6 S .09 


19 h 32 m 


25 s .28 


19 h 59 m 


44 s .22 


20 h 23 m 


5 S .24 


45° 4' 7".76 


9 


43 .17 


30 


51 .14 


20 1 


16 .93 


22 


25 .47 


6 


.83 


10 


18.78 


29 


25 .93 


2 


41 .16 


21 


49 .59 


7 


.88 


11 


39 .5,4 


26 


51 .17 


5 


17 .17 


20 


30 .46 


7 


.69. 


12 


19.59 


25 


42 .10 


6 


24.73 


19 


49.91 


7 


.38 


1Ì3 


0.52 


24 


37 .54 


7 


29 r .77 


19 


8.68 


7 


.12 


13 


42 .89 


23 


43 .88 


8 


33.13 


18 


26 .47 


5 


.50 


14 


25 .20 


22 


35 .09 


9 


32 .74 


17 


43 .18 


7 


.21 


}5 


10 .14 


2Ì 


37 .40 


10 


30.97 


16 


59 .61 


7 


.33 


15 


54 .96 


20 


39 .29 


11 


27 .86 


16 


11 .97 


7 


.74 


17 


28 .40 


18 


57 .28 


13 


11 .26 


14 


40 .37 


7 


.43 



t == + 42 s .96 ò == 44° 51' 23".06 € x = 0".2001 



1888 Giugno 7 — ò Cygni. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


9' 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


19 h 10 m 18 s .27 

11 35 .97 

12 18 .53 

12 58 .37 

13 40 .33 

14 23 .73 

15 8.97 
15 54.38 
17 26 .00 


19 h 29 m 28 s .73 
26 54.02 
25 44.89 
24 39.04 
23 35.89 
22 35 .11 
21 37 .71 
20 41 .69 
18 59 .41 


20" 2 m 44 s .39 
5, 19 .55 

6 27 .96 

7 32 .69 

8 33.19 

9 35.52 
10. 32.86 
11 29.10 
13 12.16 


20 h 21 m 54 s .45 
20' 34.06 
19 54 .65 
19 13.99 
18 34.77 
17 48.74 
17 4.83 
16 18.27 
14 47 .98 


45° 4' 10".24 
10 .33 
9 .77 
10 .10 
10 .55 
10 .29 
9 .98 
9 .88 
10 .19 



a — t = + 44 s .62 ò = 44° 51' 23". 78 == 0".0808 



LATITUDINE DI TORINO 105 



1888 Giugno 8 — a Hereulis. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


<P 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


14 h 59 m 


26 s .37 


15 h 5 m 


47 s .63 


18 h 4 m 


25 s .26 


18 h 10 m 


46U7 


45° 4' 8".83 


59 


41 .03 


5 


32 .28 


4 


40 .85 


10 


31 .53 


8 


.60 


59 


55 .22 


5 


17 .77 


4 


55 .44 


10 


17 .65 


8 


.02 


15 


23.71 


4 


47 .13 


5 


25 .21 


9 


48 .75 


8 


.07 





37.91 


4 


32 .40 


5 


40 .19 


9 


33 .10 


6 


.98 





52 .63 


4 


17 .57 


5 


55 .29 


9 


19.97 


7 


.76 


1 


6 .40 


4 


2 .98 


6 


9 .59 


9 


5 .35 


7 


.43 


1 


22 .07 


3 


46 .35 


6 


25 .06 


8 


50 .77 


8 


.21 


1 


36 .26 


3 


32 .76 


6 


40 .09 


8 


36 .00 


7 


.52 


1 


51 .00 


3 


16 .92 


6 


55 .26 


8 


21 .29 


8 


.29 



a — t = + 44 s .86 5 = 42° 40' 11".53 % = 0".3032 



1888 Giugno 8 — b Cygni. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


19 h 9 m 


3 S .98 


19 h 32 m 


30 s .58 


19 h 59 m 


37 s .29 


20 h 23 m 


6 S .00 


45° 4' 8".24 


9 


40 .67 


30 


55 .36 


20 1 


14 .21 


22 


29 .31 


8 


.83 


10 


18 .29 


29 


32 .43 


2 


38 .42 


21 


52 .67 


8 


.67 


11 


37 .40 


26 


56 .57 


5 


13 .95 


20 


33 .62 


8 


.83 


12 


18 .27 


25 


46 .11 


6 


25 .79 


19 


52 .91 


9 


.07 


12 


58 .41 


24 


40 .58 


7 


31 .45 


19 


12.23 


9 


.42 


13 


49 .99 


23 


40.12 


8 


31 .58 


18 


31 .12 


6 


.26 


14 


22 .35 


22 


38 .11 


9 


33 .47 


17 


47 .08 


9 


.53 


15 


8 .08 


21 


41 .72 


10 


32 .00 


17 


2 .99 


9 


.07 


15 


54 .21 


20 


43 .47 


11 


28 .37 


16 


17 .24 


9 


.44 


17 


25 .99 


19 


1 .69 


13 


11 .95 


14 


43.38 


8 


.86 



a — t = + 44 9 .37 b == 44° 51' 24".06 % = 0".2735 



1888 Novembre 19 — k Andromedae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


<P' 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


22 h 14 m 54 s .21 
15 24.76 

15 43 .47 

16 8 .09 
16 33 .08 

16 52 .52 

17 24 .27 

18 28 .50 


22 h 28 m 10 s .41 
27 32 .78 
27 10 .99 
26 42 .40 
26 12.81 
25 51 .44 
25 15 .96 
24 5 .09 


34 20 .83 

34 42 .14 

35 11 .44 

35 40 .84 

36 1 .87 

36 38.11 

37 49 .02 


h 47 m S .45 
46 29 .61 
46 11 .00 
45 45 .99 
45 20 .60 
45 2 .38 
44 30 .42 
43 26 .62 


45° 4' 3".40 
4 .57 
4 .12 
4 .12 
4 .62 
4 .36 

4 .36 

5 .05 



.o — t = + 6 S .40 b = 44° 43' 16".66 e x = 0".1698 



Serie II. Tom. XLIV. 



106 



F. PORRO 

1888 Novembre 21 — k Andromedae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud j Oculare Nord 


22 h 15 m 8 S .88 
15 27.79 

15 52 .44 

16 17 .34 

16 35.77 

17 8.63 

18 12.56 

18 53.76 

19 5 .96 
19 50.66 


22 h 27 m 15\47 
26 53 .40 
26 24 .21 
25 55 .93 
25 34 .48 
24 58 .48 
23 48 .29 
23 3 .90 
22 51 .39 
22 5 .28 


34 26 .99 

34 56 .08 

35 25 .57 

35 46 .59 

36 22 .07 

37 32 .86 

38 17 .06 

38 29 .68 

39 15 .62 


h 4gm 12 . 5Q 

45 54 .27 
45 28 .27 
45 3 .29 
44 45 .58 
44 13.51 
43 9 .59 
42 27 .93 
42 17 .09 
41 32 .31 


45° 4' 3".86 
4 .12 
3 .71 

3 .88 

4 .62 

3 .76 

4 .07 
4 .02 
4 .45 
3 .76 



a — t = -f- 6 3 .89 ò = 43° 43' 16".88 e x = 0".0969 



1888 Novembre 22 — k Andromedae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


? 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


22" 14m 


26M3 


22 h 27 m 


45 s .73 


h 33 m 


17M9 


h 46 m 


36 s .02 


45° 4' 4".64 


14 


57.81 


27 


8 .13 


33 


54 .11 


46 


4.81 


4 


.31 


15 


15 .98 


26 


46 .49 


34 


16.22 


45 


46 .20 


4 


.50 


15 


41 .19 


26 


17 .25 


34 


45 .33 


45 


21 .25 


4 


.38 


16 


6 .49 


25 


48 .17 


35 


13 .87 


44 


56 .22 


4 


.19 


16 


25 .27 


25 


27 .07 


35 


34 .65 


44 


37 .39 


3 


.64 


16 


57 .38 


24 


51 .50 


36 


11 .19 


44 


5.57 


3 


.74 


18 


1 .03 


23 


41 .59 


37 


21 .88 


43 


1 .29 


3 


.74 


18 


42 .59 


22 


56 .68 


38 


5 .39 


42 


20 .36 


3 


.76 


18 


53 .09 


22 


44 .41 


38 


17 .66 


42 


9 .75 


5 


.02 


19 


38 .78 


21 


57 .69 


39 


5 .07 


41 


24 .03 


4 


.29 



a — t = + 7 S .29 ò = 43° 43' 16".97 € t = 0".1324 



1888 Novembre 23 — k Andromedae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


<P' 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


22 h 14 m 


16 s .07 


22 h 27 m 


34 8 .99 


h 33 m 


6\93 


h 46 m 


26 8 .77 


45° 4' 5".52 


14 


47 .75 


26 


57 .07 


33 


44.75 


45 


55 .31 


5 


.67 


15 


6 .13 


26 


35 .64 


34 


6 .40 


45 


36.51 


5 


.24 


15 


31 .39 


26 


7 .09 


34 


35 .36 


45 


11 .19 


4 


.45 


15 


56 .38 


25 


37 .79 


35 


4.49 


44 


46 .59 


5 


.14 


16 


15 .16 


25 


16 .55 


35 


25 .55 


44 


27 .86 


4 


.90 


16 


47 .12 


24 


40 .56 


36 


1 .96 


43 


55 .87 


5 


.14 


17 


51 .14 


23 


29 .93 


37 


11 .76 


42 


52 .25 


5 


.24 


18 


32 .47 


22 


46 .29 


37 


57 .87 


42 


9.71 


5 


.43 


18 


43 .48 


22 


33 .57 


38 


10 .00 


41 


57.81 


5 


.55 


19 


28 .84 


21 


46 .96 


38 


55 .01 


41 


14.72 


5 


.12 



a _ t = + 7 3 .26 ò = 43° 43' 17".06 e 1 = 0".0946 



LATITUDINE DI TORINO 

1888 Novembre 24 — a Cygni. 



107 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


<P 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


19 h 56 m 


49 B .73 


20 h 27 m 


33 s .81 


20" 38 m 


2 S .25 


21 h 8 m 


56 8 .78 


45° 4' 7".57 


57 


29 .46 


24 


14.04 


41 


27 .00 


8 


19 .03 


7 


.90 


58 


23 .40 


21 


9 .91 


44 


32 .46 


7 


24.12 


7 


.60 


59 


18 .99 


18 


44 .66 


46 


59 .55 


6 


29 .42 


7 


.83 


20 


0.63 


17 


12 .96 


48 


31 .76 


5 


46 .68 


7 


.36 


1 


14.47 


14 


52 .04 


50 


53 .52 


4 


32 .85 


7 


.40 


3 


49 .99 


10 


56 .81 


54 


47 .60 


1 


57 .70 


7 


.02 


4 


36 .18 


9 


57 .08 


55 


47 .68 


1 


11 .05 


7 


.24 


4 


47.17 


9 


44.13 


56 


0.02 


1 


.21 


6 


.98 


5 


11 .38 


9 


15 .75 


56 


29 .40 





37 .10 


7 


.21 



a — t = -f 9 9 .24 ò = 44° 53' 15".ll €j = 0".1018 



1888 Novembre 25 — k Andromedae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord Oculare Sud 


22" 14 m 28 s .41 

14 58 .86 

15 21 .56 

15 46 .30 

16 12.57 

16 34 .39 

17 6.75 

18 10.89 


22 h 26 m 28 s .71 
25 53 .33 
25 26 .83 
24 58 .03 
24 28 .79 
24 4 .37 
23 28 .95 
22 20 .31 


h 33 m 30 s .50 
34 5 .80 

34 32 .50 

35 .03 
35 30 .62 

35 54 .50 

36 30 .20 

37 38 .50 


h 45 m 25 s .46 
44 55 .67 
44 33 .14 
44 8 .30 
43 41 .85 
43 19 .88 
42 48.12 
41 43 .20 


45° 4' 6".67 

6 .74 

7 .17 

6 .98 

7 .17 

6 .83 

7 .17 
6 .07 



a — t = + 8 S .80 ò = 43° 43' 17".18 e 1 = 0".1321 



1888 Dicembre 1 — a Cygni. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


19 h 25 m 42 s .5 

26 38 .0 

27 24 .5 

28 34 .0 
31 .0 


19 h 56 m 5 S .5 
51 58 .5 
49 31 .5 
46 40 .0 
42 9 .5 


20 b 7 m 10 s .5 
11 22 .0 
13 53 .0 
16 48 .0 
21 16.5 


20 h 37 m 43 8 .5 
36 48 .5 
36 2 .0 
34 51 .5 
32 26 .5 


45° 4' 6''.29 
5 .31 
5 .67 

5 .79 

6 .26 



a — t = + 10 s .00 



ò = 44° 53' 13".97 



ej = 0".1855 



108 



F. PORRO 

1888 Dicembre 1 — i Andromedae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


21 h 51 m 7 S .07 
51 31 .37 

51 45 .59 

52 5 .26 
52 24 .28 

52 39 .78 

53 3 .63 
53 52 .91 


21 h 58 m 43 s .49 
58 17 .59 
58 2 .20 
57 41 .84 
57 20 .89 
57 5.87 
56 40 .26 
55 48 .87 


h 56» 30 s .98 

56 57 .30 

57 12.99 
57 33.78 

57 54 .90 

58 9 .89 

58 35 .81 

59 25 .73 


l h 4 m ll s .63 
3 46.91 
3 32 .29 
3 12 .61 
2 53 .40 
2 38 .12 
2 14.24 
1 24 .92 


45° 4' 5".24 

4 .81 

5 .00 

4 .48 

5 .95 

4 .05 

5 .48 
5 .38 



a — t = -j- 8 S .57 ò = 42° 39' 20".05 e 1 = 0'\2421 



1888 Dicembre 1 — v Per sei. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


l h 49 m 4 S .79 
49 23 .79 

49 39 .20 

50 2.17 
50 46 .96 


l h 55 m 17 s .44 
54 57 .53 
54 41 .33 
54 17 .68 
53 30 .89 


5 h 9 m 54 8 .08 
10 13.79 
10 29 .95 

10 54 .04 

11 40.59 


5 h 16 m 9 S .93 
15 51 .46 
15 36.17 
15 13.29 
14 28 .39 


45° 4' 4".24 
4 .26 
4 .36 
4 .24 
4 .79 



a — t = -f 8 S .47 ò = 42° 13' 35'\35 €! = 0".1054 



1888 Dicembre 2 — i Andromedae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


21 h 50 m 29 s .61 

50 53 .08 

51 10 .96 
51 29 .80 

51 49 .87 

52 6 .82 

52 31 .05 

53 20 .01 


21 h 59 m 20 3 .73 
58 55 .40 
58 36.16 
58 15 .43 
57 54.29 
57 36 .35 
57 10.76 
56 19 .53 


h 55 m 54\05 
56 19 .52 
56 38.16 

56 58 .97 

57 20 .44 

57 37.67 

58 3 .80 
58 54 .57 


l h 4 m 43 s .20 
4 19 .21 
4 1 .82 
3 43 .13 
3 22 .99 
3 5 .67 
2 41 .78 
1 52 .64 


45° 4' 6".00 
5 .29 

5 .10 

6 .02 
5 .76 

4 .83 

5 .67 
5 .69 



a — t = -4- 8 8 .46 



ò = 42° 39' 20".10 



ej = 0".1518 



LATITUDINE DI TORINO 

1888 Dicembre 3 — k Andromedae. 



109 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


q>' 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


22 h 14 m 21 a .58 

14 51 .87 

15 15 .29 

15 39 .59 

16 5 .68 
16 27.58 
16 59 .82 
18 4.10 


22 h 26 m 17 s .96 
25 42 .51 
25 16 .20 
24 47 .38 
24 17.73 
23 53 .40 
23 18 .69 
22 8 .76 


h 33 m 21M5 

33 56 .99 

34 23 .62 

34 51 .58 

35 22.00 

35 45 .67 

36 20 .67 

37 30 .05 


h 45 m 16 s .75 
44 46 .50 
44 24 .03 
43 58 .92 
43 32 .55 
43 10 .95 
42 38 .40 
41 34.15 


45° 4' 6".50 
6 .64 
6 .57 

6 .76 

7 .24 
6 .98 
6 .07 
6 .76 



a — t = + 8 S .63 ò = 43° 43' 17".42 e x = 0".1145 



1888 Dicembre 3 — v Per sei. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


<p' 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


l h 48 m 3M6 
48 25 .13 
48 41 .22 

48 59 .01 

49 17 .79 
49 33 .35 

49 56 .10 

50 40 .82 


l h 56 m 14 s .80 
55 51 .63 
55 34 .03 
55 15 .10 
54 55 .66 
54 39 .32 
54 15 .61 
53 29.17 


5 h 8 m 50 s .50 
9 14 .40 
9 31 .60 
9 50 .25 
10 10 .01 
10 26 .38 

10 49 .71 

11 36 .50 


5" 17 m 2 S .27 
16 40 .37 
16 23 .94 
16 6 .22 
15 47 .67 
15 32.19 
15 9 .82 
14 24 .45 


45° 4' 5".36 
5 .24 
5 .29 
5 .14 

4 .95 

5 .02 

4 .93 

5 .00 



a — t = + 8 S .52 ò = 42° 13' 35".65 Si = 0".0584 



1888 Dicembre 4 — k Andromedae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


22 h 15 m 3 8 .70 
15 35 .50 

15 53 .95 

16 19.62 

16 45.10 

17 4.31 

17 37.15 

18 42 .22 


22 h 25 m 21 s .98 
24 45 .30 
24 23 .89 
23 55 .60 
23 26 .81 
23 6 .32 
22 31 .27 
21 22 .43 


h 34 m 10 s .49 

34 47 .17 

35 8 .23 

35 36 .87 

36 4 .83 

36 25 .79 

37 1 .31 

38 10 .25 


h 44 m 29 8 .43 
43 57 .20 
43 38 .52 
43 12 .97 
42 47 .46 
42 28 .50 
41 56.10 
40 50 .78 


45° 4' 6".98 
7 .02 
7 .26 
7 .07 
7 .29 
7 .14 
7 .24 
7 .57 



a — t = + 8 3 .98 



ò = 43° 43' 17".46 



C, = 0".0670 



110 



F. PORRO 



1888 Dicembre 5 — i Andromedae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


<P 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


21 h 50 m 55 6 .20 
51 19 .20 
51 34.13 

51 53 .45 

52 12 .95 
52 27 .45 

52 52 .52 

53 41 .73 


21 h 58 m 34'.87 
58 8 .27 
57 52 .83 
57 31 .07 
57 10 .43 
56 55 .90 
56 30 .37 
55 39 .93 


h 56 m 22M7 

56 48 .80 

57 3.76 
57 24.71 

57 45 .51 

58 .27 

58 26 .47 

59 17 .30 


T 4 m l s .50 
3 37 .21 
3 22 .33 
3 2 .70 
2 43 .10 
2 28 .58 
2 4.05 
1 14.63 


45° 4' 6".52 
7 .71 

6 .55 

7 .64 
7 .79 
7 .00 
6 .88 
6 .71 



a — * = + 9M4 ò = 43° 39' 20".26 €, = 0".1943 



1888 Dicembre 6 — i Andromedae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


<P 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


21 h 51 m 14 s .00 
51 29 .63 

51 49 .27 

52 8 .65 
52 23 .28 

52 47 .90 

53 37 .60 


21 h 58 m 6 S .02 
57 50.70 
57 29 .89 
57 9 .20 
56 54 .36 
56 28 .06 
55 37 .69 


h 56 m 44M8 

56 59.56 

57 20 .38 
57 40 .74 

57 55 .64 

58 21 .55 

59 12 .41 


l h 3 m 35 s .35 
3 20.77 
3 1 .49 
2 41 .84 
2 27 .65 
2 2 .62 
1 12 .92 


45° 4' 8".50 
8 .10 

7 .64 

8 .10 
7 .10 
7 .45 
6 .60 



a — t = + 8 8 .98 b = 42° 39' 20".29 e, = 0".1885 



1888 Dicembre 7 — i Andromedae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


21" 51 m 14 s .00 
51 34 .26 

51 50 .83 

52 15 .22 

53 4 .05 


21 h 58 m S .70 
57 39 .34 
57 21.71 
56 56 .02 
56 5 .07 


0* 56 m 42 s ,84 
57 5 .00 
57 22 .74 

57 48 .20 

58 39.11 


l h 3 m 29 s .46 
3 9 .42 
2 52 .45 
2 28 .46 
1 39 .37 


45° 4' 6".90 
7 .26 
7 .14 
7 .31 
7 .31 



a — t = -f 9 S .71 ò = 42° 39' 20".30 e 1 == 0".0775 



LATITUDINE DI TORINO IH 



1888 Dicembre 7 — v Persei. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


l h 47 m 5P.87 
48 13 .35 
48 29 .79 

48 47 .33 

49 5 .83 
49 21 .39 

49 44 .14 

50 29 .07 


l" 56 m S .79 
55 37 .60 
55 20 .20 
55 1 .50 
54 41 .50 
54 25 .40 
54 1 .80 
53 15.14 


5 h 8 m 39 s .20 
9 2 .65 
9 20 .10 
9 38 .75 
9 58 .61 
10 14.75 

10 38 .18 

11 25 .06 


5" 16 m 48 s .73 
16 26 .66 
16 10.68 
15 53 .05 
15 34 .07 
15 18 .76 
14 56 .30 
14 11.17 


45° 4' 6".33 
6 .17 
6 .38 
6 .43 
6 .55 
6 .38 
6 .24 
6 .60 



a — t = + 9 S .60 ò = 42° 13' 36".38 e x = 0".0511 



1888 Dicembre 8 — i Andromedae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


q>' 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


21 h 50 m 27 s .69 

50 52 .00 

51 6 .28 
51 25 .60 
51 45 .10 

51 59 .60 

52 24 .40 

53 13.61 


21" 58 m 43 s .66 
58 17 .08 
58 1 .92 
57 40 .93 
57 20 .27 
57 5 .18 
56 39 .05 
55 48 .10 


0" 55 m 53 s .33 
56 19 .60 
56 35 .01 

56 55 .87 

57 16 .46 
57 31 .93 

57 37 .80 

58 48 .84 


1" 4 m 9 S .95 
3 45 .68 
3 31 .41 
3 12 .08 
2 52 .51 
2 38 .09 
2 13 .56 
1 24 .33 


45° 4' 7".83 
8 .02 

7 .93 

8 .33 
8 .10 
8 .14 
8 .33 
8 .36 



a — t = + 9 3 .67 ò = 42° 39' 20".28 €j = 0".0702 



1888 Dicembre 9 — i Andromedae. 



Verticale Est 



Oculare Sud 


Oculare Nord 


21 b 50 m 


26 3 .32 


21" 58 m 


38 s .73 


50 


49 .80 


58 


13.40 


51 


7 .57 


57 


54 .57 


51 


26 .69 


57 


34.14 


51 


46 .97 


57 


12 .55 


52 


3.54 


56 


54.78 


52 


28 .43 


56 


28 .93 


53 


16 .98 


55 


38 .13 



Verticale Ovest 














<P' 












Oculare Nord 


Oculare Sud 






0" 55* 52 3 .78 


1" 4 m 


4 5 .21 


45° 4' 7".33 


56 18 .25 


3 


40 .56 


7 


.36 


56 37 .38 


3 


23 .34 


7 


.60 


56 57 .50 


3 


3.76 


7 


.05 


57 19 .03 


2 


43 .29 


6 


.95 


57 36 .50 


2 


26 .69 


7 


.19 


58 1 .95 


2 


2 .38 


7 


.05 


58 53 .10 


1 


13 .60 


8 


.19 



a — t — -H 93 - 72 



b = 42° 39' 20".25 



e, = 0".1423 



112 F. PORRO 



1888 Dicembre 10 — i Andromedae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


<P' 


flfll'lOVO Silfi 


(ì otti Or £» nJ-Awì 


\JL>u.LClL C J.1 UIU 


OiAlll'SliTtì Silfi 


21 h 50 m 24 s .20 

50 47 .93 

51 5 .59 
51 24 .50 

51 44 .67 

52 1 .38 

52 25 .97 

53 15 .03 


21 h 58 m 36 8 .32 
58 10 .82 
57 51.97 
57 31 .49 
57 10 .04 
56 52 .45 
56 26 .83 
55 36 .18 


h 55 m 50 s .41 
56 16.60 
56 34 .39 

56 55.12 

57 16 .50 
57 34 .33 

57 59.89 

58 50 .45 


l h 4 m 2M8 
3 38 .47 
3 20 .94 
3 1 .81 
2 41 .46 
2 24 .69 
2 .24 
1 11 .24 


45° 4' 7' .62 
7 .83 

6 .88 

7 .40 
7 .24 
7 .36 
7 .31 
7 .21 



a — t = + 8 S .79 ò = 42° 39' 20".20 €j = O'MOOO 



1888 Dicembre 10 — v Per sei. 



















Verticale Est 




Verticale Ovest 








Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 




l b 47 m 56 s .57 


l h 55 m 


38 s .27 


5 h 8 m 45 s .09 


5 h 16 m 


26 s .90 


45° 4' 6".71 


48 19.10 


55 


14.03 


9 9.11 


16 


4.58 


6 


.93 


48 32 .62 


54 


59 .97 


9 23.08 


15 


51 .00 


6 


.21 


48 50.77 


54 


41 .06 


9 42 .52 


15 


33 .25 


6 


.50 


49 8 .90 


54 


21 .84 


10 1 .07 


15 


14 .98 


6 


.05 


49 22 .00 


54 


7 .65 


10 15 .59 


15 


1 .36 


6 


.62 


49 44 .73 


53 


44 .06 


10 39 .21 


14 


38 .90 


6 


.79 


50 30 .29 


52 


57.22' 


11 25.70 


13 


53 .47 


6 


.40 



a — t = + 8 S .63 ò = 42° 13' 36".87 ^ = 0".1051 



1888 Dicembre 13 — v Per sei. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


9' 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


1* 47m 4 8 s 66 

48 10 .99 
48 24 .70 

48 42.62 

49 .53 
49 13.95 

49 36 .89 

50 22 .30 


l h 55 m 27 s .74 
55 3 .60 
54 49.12 
54 30 .25 
54 11.27 
53 57.18 
53 33 .59 
52 47 .08 


5 h 8 m 38 8 .20 
9 2 .26 
9 16.80 
9 35 .80 
9 54 .70 
10 8 .69 

10 32 .49 

11 19 .20 


5 h 16 m 17 6 .69 
15 54.76 
15 41 .80 
15 23.70 
15 5.61 
14 52 .40 
14 29 .38 
13 44.10 


45° 4' 8".74 

8 .74 

9 .28 
9 .09 
9 .07 
9 .23 
8 .83 
8 .64 



a — t = + 8 S .82 



b = 42° 13' 37".19 



€l = 0".0866 



LATITUDINE DI TORINO 113 



1889 Gennaio 7 — v Persei. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


1" 46 m 13 s .78 
46 36 .50 

46 49 .59 

47 7 .61 
47 25 .67 

47 38 .80 

48 2 .00 
48 47 .40 


1" 53 m 56 s .66 
53 31 .87 
53 17.95 
52 58 .95 
52 39 .83 
52 25 .67 
52 2.13 
51 15 .40 


5 h 6 m 59 s .29 
7 23 .30 
7 37 .30 

7 56 .58 

8 15 .70 
8 29 .87 

8 53 .65 

9 40 .29 


5 h 14 m 44 8 .90 
14 20 .40 
14 6 .61 
13 48 .90 
13 30 .70 
13 17 .50 
12 54 .38 
12 9 .13 


45° 4' 5".24 
5 .55 

4 .95 

5 .36 
5 .36 
5 .98 
5 .24 
5 .19 



a — t = + 6 8 .58 ò = 42° 13' 40".05 ^ = 0".1074 



1889 Gennaio 8 — v Persei. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


cp' 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


l h 46 m 33 3 .04 

46 49 .37 

47 7 .66 
47 25 .60 

47 41 .05 

48 3 .78 
48 24 .79 
48 49 .02 


l h 53 m 23 s .90 
53 6 .56 
52 47 .92 
52 27 .90 
52 11 .82 
51 48 .39 
51 26 .36 
51 1 .50 


5 h 7m 21 ,- 30 

7 38 .70 

7 57 .51 

8 16.97 
8 33 .58 

8 56 .80 

9 19 .00 
9 43 .00 


5 h 14 m 1T.80 
13 55 .64 
13 37 .97 
13 19 .00 
13 3 .40 
12 40 .85 
12 19.13 
11 55 .50 


45° 4' 6".02 
6 .19 

5 .52 

6 .31 
6 .50 
6 .17 
6 .26 
6 .12 



a — t = + 6 S .44 ò == 42° 13' 40".10 e x = 0".1003 



1889 Gennaio 8 — uj 5 Aurigae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


9' 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


5 h 16 m 4 S .41 
16 26 .93 

16 51 .80 

17 17.65 

17 39 .90 

18 10.88 

18 41 .91 

19 15.13 


5 h 25 m 53 s .66 
25 27 .84 
25 .30 
24 31 .25 
24 7 .09 
23 32.60 
23 .10 
22 24 .63 


7 h 37 m 1S>70 

37 26 .68 

37 54.40 

38 24 .07 

38 47.73 

39 21 .98 

40 1 .73 
40 30 .27 


7" 46 m 50 s .69 
46 28 .31 
46 3 .35 
45 37 .23 
45 15.19 
44 43 .38 
44 6 .57 
43 39 .77 


45° 4' 7".43 
7 .29 

6 .83 

7 .38 

6 .88 

7 .26 
7 .14 
7 .60 



a — t = + 6 S .39 ò = 43° 41' 10".32 ^ = 0".094O 



Serie II. Tom. XLIV. o 



114 



F. PORRO 

1889 Gennaio 17 — v Per sei. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


<p' 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


l h 45 m 40 3 .77 


l h 53 m 


17 3 .79 


5 h 6 m 


26 3 .40 


5 h 14 m 


2M0 


45° 4' 3".24 


46 2 .75 


52 


54 .47 


6 


49 .62 


13 


40 .28 


3 


.36 


46 19 .09 


52 


37 .15 


7 


6 .78 


13 


24 .00 


3 


.17 


46 36 .39 


52 


18.31 


7 


24 .98 


13 


6 .22 


3 


.12 


46 54 .92 


51 


58 .70 


7 


45.12 


12 


47 .61 


3 


.74 


47 11 .03 


51 


42 .19 


8 


1 .03 


12 


32 .02 


3 


.12 


47 33 .60 


51 


18 .79 


8 


24 .45 


12 


9 .49 


3 


.08 


48 18 .93 


- 50 


31 .90 


9 


11 .62 


11 


24.17 


3 


.83 


48 30 .03 


50 


21 .34 


9 


24 .10 


11 


11 .50 


2 


.79 



a — t = + 3 S .69 ò = 42° 13' 40".68 = 0".1083 



1889 Gennaio 17 — i|i 5 Aurigae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


<P' 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


5 b 15 m 


5 5 .35 


5 h 26 m 


3 .50 


7 h 35 m 


54M7 


7 h 46 m 


49 s .03 


45° 4' 3 f \86 


15 


35 .63 


25 


25 .20 


36 


28 .47 


46 


18 .80 


3 


.95 


15 


57 .82 


24 


59 .69 


36 


54 .78 


45 


55 .91 


3 


.97 


16 


22 .90 


24 


31 .79 


37 


21 .77 


45 


31 .37 


3 


.69 


16 


48 .60 


24 


2 .63 


37 


50 .98 


45 


5.20 


4 


.10 


17 


10.77 


23 


39 .03 


38 


15 .30 


44 


43 .50 


3 


.93 


17 


42 .71 


23 


4.24 


38 


49 .68 


44 


11 .59 


3 


.88 


18 


46 .33 


21 


56 .67 


39 


57.78 


43 


7 .80 


4 


.21 


19 


4.41 


21 


38 .00 


40 


15 .70 


42 


49 .99 


3 


.79 


19 


13.80 


21 


28 .39 


40 


25 .71 


42 


40 .32 


3 


.74 


19 


18 .00 


21 


24 .10 


40 


29 .31 


42 


36 .17 


3 


.31 



a — t == + 3 S .85 b = 43° 41' 11".46 Cl = 0".0711 



1889 Gennaio 18 — v Persei. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


<p' 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


l h 45 m 37 5 .96 
46 .72 
46 14.17 
46 32 .02 

46 50 .06 

47 3 .67 

47 26 .70 

48 11 .72 


l h 53 m 15 s .80 
52 51 .43 
52 37 .39 
52 18 .37 
51 59 .29 
51 45 .27 
51 21 .50 
50 34 .82 


5 h 6 m 23 6 .01 

6 47.02 

7 1 .39 
7 20 .33 
7 39 .50 

7 53 .50 

8 17 .38 

9 3.89 


5 h 14 m IMI 
13 38 .37 
13 24 .77 
13 6.87 
12 49 .19 
12 35 .88 
12 12 .92 
11 27.51 


45° 4' 4".40 
4 .17 
3 .86 

3 .95 

4 .52 
4 .36 
4 .17 
4 .24 



a — t = + 3M4 



b == 42° 13' 40".75 



e x = 0".0789 



LATITUDINE DI TORINO 

1889 Gennaio 18 — vjj 5 Aurigae. 



115 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


5 h 15 m l s .40 
15 32 .62 

15 50.99 

16 16 .03 

16 41 .53 

17 .20 

17 32 .41 

18 36.19 


5 h 25 m 59 s .50 
25 22 .88 
25 2 .40 
24 33 .93 
24 6 .18 
23 45 .30 
23 10 .48 
22 2 .18 


7 h 35 m 50 8 .39 
36 26 .38 

36 46 .63 

37 15 .16 

37 43 .39 

38 4 .28 

38 39 .50 

39 47 .50 


7 h 46 m 48 s .70 
46 16 .80 
45 58 .70 
45 33 .38 
45 8 .40 
44 50 .33 
44 17 .69 
43 13 .89 


45° 4' 5".05 
4 .90 
4 .83 
4 .55 

4 .40 

5 .14 

4 .79 

5 .12 



a — t = + 3 S .26 ò = 43° 41' 11".65 6j = 0".0941 



1889 Gennaio 19 — v Persei. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


q>' 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


l h 45 m 35 8 .88 

45 58 .77 

46 12 .01 
46 29 .98 

46 47 .90 

47 1 .28 

47 24 .48 

48 9 .92 


l h 53 m 13 8 .30 
52 48 .80 
52 34 .80 
52 15 .81 
51 56.90 
51 42 .90 
51 18.99 
50 32 .23 


5 b 6 m 20 6 .86 
6 44 .67 

6 59 .04 

7 18 .00 
7 37.10 

7 51 .29 

8 14.60 

9 1 .50 


5 h 13 m 58 s .47 
13 35 .43 
13 22 .30 
13 4 .47 
12 46 .20 
12 32 .98 
12 10 .40 
11 24 .69 


45° 4' 4".29 
3 .59 
3 .83 
3 .78 

3 .80 

4 .12 
3 .29 
3 .57 



a — t = + 3 3 .03 ò = 42° 13' 40".82 e, == 0".1117 



1889 Gennaio 24 — e Aurigae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


q>' 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord Oculare Sud 


3 b 29 m 22V87 

29 52 .63 

30 15 .07 

30 39 .77 

31 5 .52 
31 26 .87 
31 58 .48 
33 1 .92 


3 b 40 m 10 s .90 
39 36 .51 
39 10 .80 
38 43 .28 
38 14 .99 
37 50 .70 
37 16 .63 
36 9 .70 


5 h 51 m 36 s .36 
52 10 .42 

52 35 .90 

53 3 .22 
53 31 .60 

53 55 .40 

54 29 .33 

55 36 .40 


6 h 2 m 23 8 .04 
1 53 .20 
1 30 .08 
1 5 .70 
40 .02 
18 .40 

5 59 47.15 
58 43 .63 


45° 4' 4'MO 
4 .05 
3 .76 
3 .63 
3 .29 
3 .95 
3 .90 
3 .66 



a — t = 4- 5 8 .21 



b = 43° 39' 31".66 



ei == 0".0940 



116 F. PORRO 



1889 Gennaio 25 — e Aurigae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


<p' 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


i imi lo va Sin ri 


Opn 1 ex va ^Irtrrl 
U^Uicli e li KJL U. 


3 h 29 m 15 s .74 

29 46 .47 

30 5 .24 
30 30 .07 

30 55 .18 

31 13 .55 

31 45 .66 

32 49 .23 


3 h 40 m 8 S .53 
39 32 .47 
39 11 .75 
38 44 .09 
38 16 .18 
37 55 .27 
37 20 .50 
36 13.33 


5 h 51 m 29 s .80 
52 5 .33 
52 26 .23 

52 54 .28 

53 21 .62 

53 42 .08 

54 17 .28 

55 25 .19 


6 h 2 m 22 s .55 
1 51 .13 
1 33 .13 
1 7 .97 
43 .01 
24 .83 
5 59 53 .30 
58 49 .43 


45° 4 6 .21 
6 .26 
6 .12 
5 .81 

5 .60 

6 .24 
6 .69 
6 .45 



a — t = + 5 3 .27 ò = 43° 39' 31".83 ei = 0".1250 



1889 Gennaio 27 — e Aurigae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


3 h 29 m 8 3 .03 

29 37 .62 

30 .29 
30 24 .62 

30 50 .39 

31 12.12 

31 43 .81 

32 46 .57 


3 h 40 m S .29 
39 24 .97 
38 59 .84 
38 31 .89 
38 4 .13 
37 40 .54 
37 6 .10 
35 58 .55 


5 h 51 m 22M5 

51 56 .38 

52 21 .98 

52 49 .32 

53 18.16 

53 41 .83 

54 15 .70 

55 23 .00 


6 k 2 m 14 s .60 
1 44 .60 
1 21 .83 
57 .27 
31 .94 
10 .10 

5 59 38.57 
58 35 .67 


45° 4' 6".43 
6 .95 
6 .43 
6 .62 
6 .57 
6 .24 

6 .12 

7 .10 



a — t = + 6 3 .10 ò = 43° 39' 31".86 $ = 0M17S 



1889 Gennaio 31 — e Aurigae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


3 h 28 m 54 8 .87 
29 25.08 

29 42.70 

30 7 .87 
30 32 .96 

30 51 .49 

31 23.14 

32 27.47 


3 h 39 m 45M0 
39 8 .73 
38 47 .68 
38 20 .13 
37 52.16 
37 31 .60 
36 56.57 
35 49.40 


5 h 51 m 5 ? .60 

51 41 .80 

52 2 .00 
52 30 .09 

52 57 .64 

53 18 .94 
53 53 .29 
55 .30 


6 h l m 5'6\50 
1 24 .82 
1 7 .20 
41 .99 
17.18 
5 59 58.77 
59 26.53 
58 23 .61 


45° 4' 2".93 

3 .69 

4 .12 
3 .79 

3 .81 

4 .50 
4 .52 
3 .90 



a — t = + 9 3 .25 b = 43° 39' 32".31 e x = 0".1734 



117 



1889 Febbraio 1 — e Aurigae. 



Verticale Est 



Oculare Sud 


Oculare Nord 


3 h 48 s .70 


3 h 39 m 37 s .96 


29 18 .99 


39 3 .30 


29 40 .90 


38 37 .96 


30 5 .93 


38 10 .68 


30 31 .63 


37 42 .39 


30 53 .35 


37 18 .49 


31 24.71 


36 44 .40 


32 28 .18 


35 36 .93 



Verticale Ovest 




Oculare Nord 


Oculare Sud 


5" 51 m 3 S .35 

51 38 .38 

52 3 .63 
52 31 .33 

52 59 .68 

53 23 .45 
53 56 .90 
55 4 .90 


6 h l m 53 s .03 
1 23.17 
1 .07 
36 .52 
10 .90 
5 59 48.62 
59 17 .49 
58 13 .95 


45° 4-' 7" 50 
7 .76 
7 .48 
7 .71 
7 .55 
7 .24 
7 .12 
7 .69 



t = + 9 S .13 



ò =S 43° 39' 32".41 



e, =5 0".0804 



1889 Febbraio 5 — e Aurigae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


3 n 2 gm 28 s .55 

28 59 .63 

29 17 .83 

29 42 .72 

30 7 .73 
30 26 .47 
30 58 .57 
32 1 .95 


3 h 39 m 20 s .49 
38 45 .07 
38 23 .72 
37 56 .00 
37 28 .08 
37 7 .60 
36 33.50 
35 26 .01 


5 h 50 m 42 3 .80 ! 
51 18.77 

51 38 .83 

52 6 .63 
52 35 .30 

52 56 .00 

53 30 .11 

54 37 .71 


6 h l m 35 s .45 
1 4 .45 
46.10 
20 .17 
5 59 56.18 
59 37 .39 
59 5 .87 
58 2 .30 


45° 4' 7".69 
7 .64 
7 .60 

6 .62 

7 .83 
7 .79 
7 .24 
7 .31 


a — t = + 8 3 .08 ò = 43° 39' 32".66 éj = 0M419 
1889 Febbraio 6 — e Aurigae. 


Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


3 h 28 m 25M3 

28 55 .19 

29 17 .77 

29 41 .89 

30 7 .95 

30 29 .03 

31 .48 

32 4 .33 


3 h 39 m 13M9 
38 38.49 
38 12.90 
37 44.67 
37 16.70 
36 52.99 
36 19 .09 
35 11.21 


5 h 50 m 4P.30 
51 14' .95 

51 40.67 
52- 7 .70 

52 37.07 

53 .48 

53 34.55 

54 41.08 


6 h l m 28 3 .05 
57 .99 
35 .71 
10.91 
5 59 44 .92 
59 23.45 
58 52 .27 
57 48 .78 


45° 4' 8".52 
8 .05 
8 .19 
8 .48 
8 .26 
8 .52 
8 .60 
8 .38 



t = -f 8 8 .00 



ò z= 43° 39' 32".77 



0".0677 



118 



F. PORRO 

1889 Febbraio 11 — e Aurigae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


<P 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


3 h 28 m 2 E .02 
28 33 .80 

28 51 .93 

29 16 .48 
29 41 .52 

29 59 .67 

30 31 .87 

31 35 .38 


3 h 38 m 54'.33 
38 18 .40 
37 57 .49 
37 29 .30 
37 1 .68 
36 41 .87 
36 6 .98 
34 59 .80 


5 h 50 m 16 e .27 

50 53 .09 

51 12.89 

51 41 .72 

52 8 .83 

52 29 .08 

53 3 .53 

54 11 .30 


6 h l m 9M8 
38 .66 
20 .09 
5 59 54.89 
59 30 .25 
59 11 .22 
58 39 .52 
57 36.18 


45° 4' 7".90 
8 .52 

7 .98 

8 .55 
8 .26 
7 .76 
7 .69 
7 .76 



a — t = + 5 8 .70 b = 43° 39' 32".93 e, = 0".1225 



1889 Febbraio 13 — e Aurigae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


q>' 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


3 h 27 m 55 s .41 


3 h 38 m 


43M9 


5 h 50 m 


9 S .80 


6 h m 


56 6 .98 


45° 4' 7' 


.07 


28 25 .44 


38 


8.69 


50 


43 .90 





27 .09 


6 


.90 


28 48 .20 


37 


43 .50 


51 


9 .58 





4.30 


6 


.40 


29 12 .69 


37 


15.20 


51 


36 .90 


5 59 


40 .15 


7 


.02 


29 38 .20 


36 


46 .92 


52 


5 .60 


59 


13 .79 


6 


.69 


30 0.17 


36 


23 .31 


52 


29 .10 


58 


52 .09 


6 


.26 


30 31 .58 


35 


49 .20 


53 


2 .85 


58 


21 .16 


6 


.48 


31 34 .73 


34 


41 .39 


54 


10 .81 


57 


17.65 


7 


.43 



a — t = + 5 8 .99 b == 43° 39' 33".07 e, = 0".1530 



1889 Febbraio 16 — e Aurigae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


q>' 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


3 h 27 m 43\05 
28 14 .08 
28 32 .68 

28 57 .39 

29 22 .33 

29 40 .76 

30 12 .66 

31 16 .73 


3 h 38 m 34 B .27 
37 58 .09 
37 37 .70 
37 9 .98 
36 41 .62 
36 21 .43 
35 46.56 
34 39 .46 


5 h 49 m 55 8 .30 
50 31 .20 

50 51 .80 

51 20 .20 

51 47 .77 

52 8 .13 

52 43 .00 

53 50.11 


6 h m 47 s .00 
15 .73 

5 59 57.89 
59 33 .24 
59 7 .78 
58 49 .73 
58 17 .58 
57 14.07 


45° 4' 5".55 
5 .76 
5 .50 
5 .86 

5 .79 

6 .05 
6 .10 
5 .33 



a — t = + 5 S .29 



b = 43° 39' 33".12 



e, = 0".0949 



LATITUDINE DI TORINO 

1889 Febbraio 19 — \y 5 Aurigae. 



119 



Verticale Est 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


5 h 22 m 53 5 .92 


5 h 33 m 52 3 .97 


23 25 .25 


33 16 .40 


23 44 .07 


32 55 .79 


24 9 .13 


32 27 .02 


24 34 .06 


31 59 .25 


24 53 .18 


31 38 .59 


25 25 .70 


31 3 .40 


26 29 .67 


29 55 .57 



Verticale Ovest 




Oculare Sud 


Oculare Nord 


7 h 43 m 40 s .58 


7 h 54 m 39 a .34 


45° 4' 6".31 


44 16 .37 


54 8 .09 


6 .38 


44 37 .43 


53 49 .39 


5 .74 


45 6 .02 


53 24 .08 


6 .05 


45 34.15 


52 58 .55 


5 .88 


45 54 .63 


52 40 .51 


6 .19 


46 29 .41 


52 8 .60 


5 .88 


47 38 .19 


51 4 .29 


5 .90 



a — t = -f 5 S .57 



ò = 43° 41' 15".89 



e, = 0".0815 



1889 Febbraio 23 — ip 5 Aurigae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


5 h 22 m 57 s .73 
23 27 .74 

23 50 .18 

24 15 .07 

24 40 .23 

25 2 .67 

25 34 .73 

26 38 .96 


5 h 33 m 50 s .91 
33 16 .05 
32 50 .11 
32 22 .35 
31 53 .40 
31 29 .35 
30 54 .99 
29 47 .06 


7 h 43 m 45 3 .55 
44 20 .68 

44 46 .51 

45 14.16 

45 43 .11 

46 7 .04 

46 41 .27 

47 49 .52 


7 h 54 m 38 5 .83 
54 8 .47 
53 45 .93 
53 20 .93 
52 54 .86 
52 33 .31 
52 1 .20 
50 57 .87 


45° 4' 7".64 

7 .90 

8 .21 

7 .83 

8 .38 
8 .19 
7 .62 
7 .69 



a — t = + 5 S .43 ò = 43° 41' 16". 19 e x = 0".1033 



1889 Febbraio 24 — ijj 5 Aurigae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


5 h 22 m 56 s .07 
23 27 .82 

23 46 .20 

24 11.17 
24 36 .39 

24 55 .40 

25 27 .46 

26 31 .62 


5 h 33 m 53 s .69 
33 17 .35 
32 55 .57 
32 27 .89 
31 59 .10 
31 38 .88 
31 3.71 
29 56.15 


T 43 m 43 s .80 
44 18 .78 

44 41 .31 

45 9 .20 
45 37 .38 

45 58 .15 

46 33 .35 

47 41 .37 


7 h 54 m 42M5 
54 10 .88 
53 52 .40 
53 27 .14 
53 2 .21 
52 43 .19 
52 11 .40 
51 7 .46 



45° 4' 8".45 

7 .67 

8 .95 
8 .38 
8 .98 
8 .45 
8 .93 
8 .52 



a — t = -\- 5 8 .53 



ò = 43° 41' 16".26 



6j = 0".1510 



120 F. PORRO 



1889 Marzo 6 — iy 5 Aurigae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


g>' 


Oculare Sud 




Orili a vé» i^Jorrì 


Oculare Sud 


5 h 23 m ll s .63 

23 42 .01 

24 4 .33 
24 29 .21 

24 55.17 

25 17 .39 

25 49 .13 

26 52.77 


5 h 34 m 10 s .30 
33 34 .28 
33 9 .21 
32 41 .24 
32 12.46 
31 48 .56 
31 13 .69 
30 5 .87 


7 h 43 m 56 s .53 
44 31 .57 

44 57 .53 

45 25 .50 

45 54 .40 

46 18 .20 
46 53 .20 
48 1 .03 


7* 54m 54s -2 8 
54 24 .20 
54 1 .59 
53 36 .63 
53 10 .47 
52 48 .62 
52 17 .02 
51 13.10 


A Ko A' 1 A 
40" 4 .14 

5 .88 
5 .74 
5 .64 
5 .48 
5 .07 
5 .67 
5 .86 



a — t == + 7M7 b = 43° 41' 17".28 e, = 0M091 



1889 Marzo 6 — li Ursae Majoris. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


8 h 29m 4 s_ 31 

29 25 .60 
29 41 .45 

29 58 .38 

30 16 .60 
30 31 .80 

30 53 .96 

31 37 .94 


8 h 36 m 28 s .63 
36 6 .02 
35 48 .79 
35 30 .68 
35 11 .59 
34 55 .95 
34 33 .14 
33 48 .00 


ll h 55 m 37 s .92 
56 .39 
56 17 .02 
56 35 .39 

56 54 .49 

57 10 .02 

57 32 .92 

58 17.70 


12 h 3 m 1 5 .47 
2 40.10 
2 24 .44 
2 6.54 
1 49 .01 
1 33 .41 
1 11 .63 
27 .56 


45° 4' 5".81 
5 .50 
5 .90 

5 .74 

6 .38 
5 .52 
5 .62 
5 .21 



a — t = + 7 3 .57 b = 42° 3' 24".77 e a = 0".0939 



1889 Marzo 12 — 31 Lyncis. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


6 h 56 m 32 s .68 
57 2 .50 
57 20 .22 

57 44 .20 

58 8 .37 
58 26 .20 

58 56 .85 

59 58.18 


7 h 6 m 58 s .64 
6 24 .47 
6 4.17 
5 38.13 
5 11 .34 
4 51 .90 
4 18 .98 
3 14 .07 


9 h 24 m 25 s .00 

24 59 .01 

25 19 .22 

25 45 .77 

26 12 .37 

26 32 .10 

27 4 .99 

28 9 .90 


9 h 34 m 51 E .85 
34 21 .58 
34 4 .29 
33 39 .98 
33 16.01 
32 58 .60 
32 27 .28 
31 26.17 


45° 4' 6".90 
7 .05 
7 .69 

6 .93 

7 .14 
7 .55 
6 .88 
6 .57 



a — t = + 8 8 .27 b = 43° 32' 39".57 e v = 0".1303 



LATITUDINE DI TORINO 121 



1889 Marzo 12 ■ — 58 Ursae Majoris. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


10" 11» 20 3 .04 

11 52 .39 

12 11.49 

12 37 .29 

13 3 .34 
13 22 .67 
13 55.78 
15 2 .20 


10" 22 m 43 8 .03 
22 5 .27 
21 42 .88 
21 13.57 
20 44 .20 
20 22 .90 
19 46 .49 
18 36.08 


12" 27 m 15 s .94 

27 53 .83 

28 15 .80 

28 45 .20 

29 14.67 

29 36 .21 

30 12 .37 

31 22 .88 


12" 38 m 39 s .30 
38 6 .93 
37 47 .91 
37 22 .01 
36 56 .06 
36 36 .97 
36 3 .70 
34 57 .60 


45° 4' 7".12 
7 .17 
7 .40 
7 .33 
7 .57 
7 .69 
7 .60 
7 .14 



a — t = 4- 8 8 .07 ò = 43° 46' 53".29 e, = 0".0794 



1889 Marzo 13 — 31 Lyncis. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


q>' 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


6 h 56 m 34 8 .68 


7 b 6 m 59 s .58 


9" 24 m 28 s .79 


9 h 34 m 52 s .49 


45* 4' 8". 17 


57 3 .65 


6 26 .52 


25 1 .68 


34 23 .38 


8 .07 


57 25 .23 


6 2.60 


25 25 .98 


34 1 .89 


7 .93 


57 48 .86 


5 35 .72 


25 52 .23 


33 38 .29 


8 .29 


58 13 .70 


5 8 .75 


26 19.76 


33 13 .44 


8 .17 


58 34 .69 


4 45 .79 


26 42 .33 


32 52 .54 


8 .12 


59 4 .70 


4 13.20 


27 15 .06 


32 22 .10 


8 .26 ; 


7 6.27 


3 8 .82 


28 19 .51 


31 21 .22 


8 .07 



et — f = + 8M6 ò — 43° 32' 39".81 e, = 0".0416 



1889 Marzo 14 — 10 Ursat Majoris. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


7* 9 m 39 s .31 
10 2.19 
10 15 .07 
10 33.19 

10 51 .66 

11 5 .09 

11 27.70 

12 13.20 


7 h 17 m 16 s .34 
16 52 .08 
16 38.12 
16 19.17 
16 .30 
15 46 .50 
15 22 .49 
14 35 .45 


10" 30 m 37 s .80 
31 2 .05 
31 16 .61 
31 35.17 

31 53 .99 

32 8 .28 

32 31 .62 

33 18.73 


IO" 38 m 16 s .09 
37 54.02 
37 39 .78 
37 21.79 
37 4 .00 
36 50 .70 
36 27 .81 
35 42 .20 


45° 4' 7".93 
8 ,31 
8 .00 
7 .43 
7 .02 
7 .12 
7 .10 
7 ,38 



a — t — + 7 S .96 ò = 43° 13' 19".88 e, = 0'M709 



Serie II. Tom. XLIV. 



122 F. PORRO 

1889 Marzo 16 — 10 Ursae Majoris. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


_r 
<P 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


7 h 9 m 44 3 .87 
10 6 .67 
10 22.71 
10 40 .45 

10 58 .90 

11 14.94 

11 37.37 

12 22.17 


7 h 17 m 20 8 .27 
16 56.67 
16 39 .68 
16 20.87 
16 1 .30 
15 45 .04 
15 21 .32 
14 34.95 


10 h 30 m 45 s .20 
31 8 .39 
31 25 .79 

31 44 .57 

32 3 .89 
32 20 .29 

32 43 .70 

33 30 .20 


10 h 38 m 19 5 .48 
37 57 .67 
37 41 .80 
37 24 .08 
37 5 .32 
36 49 .77 
36 27 .32 
35 41 .20 


45° 4' 9".26 
9 .40 
9 .79 
9 .88 
9 .70 
9 .40 
9 .81 
9 .30 



a — t = + 9 S .01 ò = 43° 13' 20".26 e x = 0".0886 



1889 Marzo 17 — 31 Lyncis. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


6 h 56 m 43M2 
57 12 .84 
57 30 .86 

57 54 .56 

58 18.80 

58 36 .69 

59 7 .29 
7 8 .53 


7 h 7m 8 S .89 
6 34 .32 
6 14 .32 
5 47 .67 
5 21 .08 
5 1 .50 
4 28 .43 
3 23.81 


9 h 24 m 37 8 .20 
25 11 .28 
25 31 .29 

25 57 .65 

26 24.15 

26 43 .60 

27 17.10 

28 22.10 


9 h 35 m 3 8 .87 
34 33 .93 
34 16 .22 
33 52 .36 
33 28 .08 
33 10 .34 
32 39.63 
31 38 .30 


45° 4' 10".14 
10 .55 
10 .43 
10 .45 
10 .19 
10 .29 
10 .50 
10 .50 



a — t = + 8 S .93 ò = 43° 32' 40".35 ^ = 0".0546 



1889 Marzo 17 — 58 Ursae Majoris. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


10 h ll m 32 s .31 


10 h 22 m 50 ! .54 


12 h 27 m 3P.08 


12 h 38 m 48 3 .44 


45° 4' 10".29 


12 3 .50 


22 14 .33 


28 7 .45 


38 17 .37 


10 .34 


12 26 .47 


21 47 .30 


28 33 .95 


37 54.19 


10 .55 


12 52 .30 


21 18 .43 


29 2 .80 


37 28 .39 


10 .07 


13 19.22 


20 48 .65 


29 33 .00 


37 1 .51 


9 .91 


13 41 .82 


20 23 .20 


29 57 .83 


36 39 .38 


10 .36 


14 14 .29 


19 47 .52 


30 33 .86 


36 6 .49 


10 .55 


15 20 .68 


18 37.12 


31 44 .32 


35 .29 


10 .36 



a — t = + 9 8 .34 ò == 43° 46' 57".42 ^ = 0".0776 



LATITUDINE DI TORINO 123 



1889 Marzo 25 — 31 Lyncis. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


q>' 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


6° 57 m 9 S .30 

57 38 .35 

58 .29 

58 48 .44 

59 9 .49 
59 39 .87 

7 41 .23 


7 h 7 m 35 8 .00 
7 2 .10 
6 37 .30 
6 43 .55 
5 21 .03 
4 48 .50 
3 43 .90 


9 n 25 m 1 6 .46 
25 34 .36 

25 58 .39 

26 52 .70 

27 15.61 

27 47 .80 

28 52 .46 


9 h 35 m 26 s .21 
34 56 .79 
34 35 .55 
33 46 .79 
33 25 .92 
32 55 .49 
31 54 .50 


45° 4' 7".29 
6 .83 

6 .98 

7 .48 
7 .36 

6 .90 

7 .05 



a — f = + 7 9 .71 b = 43° 32' 41".16 £l = 0".0942 



1889 Marzo 25 — 58 Ursae Majoris. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


cp' 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


10 h ll m 58 s .66 
12 30 .06 

12 53 .39 

13 18.61 

13 45 .97 

14 8 .20 

14 40 .80 

15 47 .70 


10 h 23 m 18 s .53 
22 42 .11 
22 15 .20 
21 46 .26 
21 16.01 
20 50 .99 
20 15 .23 
19 4.98 


12» 27 m 52 8 .76 
28 29 .20 

28 55 .95 

29 24 .90 

29 55 .56 

30 19 .83 
30 56 .29 
32 5 .90 


12 h 39 m 12 s .52 
38 41 .13 
38 17 .97 
37 52 .47 
37 25.14 
37 2.77 
36 30 .13 
35 23 .85 


45° 4' 7".12 

6 .90 

7 .05 
7 .17 
6 .98 

6 .93 

7 .48 
6 .38 



a — t = + 7 3 .89 ò = 43° 46' 58".95 ^ = 0".1099 



1889 Marzo 27 — n Ursae Majoris. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


<p' 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


8 n 29 m 54 s .20 
30 15 .91 
30 28 .98 

30 46 .54 

31 4 .05 
31 17 .32 
31 39 .18 


36 55 .39 
36 42 .04 
36 23 .05 
36 5.19 
35 51 .33 
35 28 .04 


ll b 56 m 25 8 .21 

56 48 .70 

57 2 .49 
57 21 .03 
57 39 .50 

57 52 .98 

58 16 .08 


12° 3 m 50 s .50 
3 28 .48 
3 15.81 
2 58.16 
2 40 .55 
2 27 .70 
2 5 .30 


45° 4' 5".64 
6 .31 
6 .19 
6 .48 
6 .07 
6 .17 
6 .52 



a — t = + 9 8 .50 o = 42° 3' 28".33 e, = 0".1117 



124 



F. PORRO 



1889 Marzo 28 — u Ursae Majoris. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


cp' 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


8 h 29 m 55 s .40 




20 5 .06 


ll h 56 m 


28U4 


12 h 3 m 51\30 


45° 4' 7' 


'.45 


30 16 .95 


36 


57 .30 


56 


50 .20 


3 30 .49 


7 


.14 


30 32 .33 


36 


40.17 


57 


7 .13 


3 14 .30 


7 


.69 


30 49 .90 


36 


22 ,43 


57 


25 .46 


2 57 .13 


7 


.19 


31 8 .07 


36 


2.40 


57 


44 .18 


2 38 .76 


7 


.62 


31 23 .18 


35 


47 .36 


58 


.27 


2 23.74 


7 


.36 


31 44 .90 


35 


24 .23 


58 


23 .20 


2 1 .55 


7 


.81 


32 29 .10 


34 


38 .90 


59 


8.01 


1 17 .60 


7 


.48 



a — t = + 9 a .68 ò =: 42° 3' 28".61 ^ — 0".0831 



1889 Maggio 31 — 33 Bootis. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


14 h 2 m 12 3 .40 
3 4.20 

3 58 .26 

4 39 .29 

5 50 .10 
8 19 .80 


14 h 34 m 18 a .97 
29 33 .70 
26 34 .20 
24 45 .02 
22 8 .20 
17 55 .07 


U h 42 m 39 a .74 
47 30 .79 
50 29 .70 
52 17 .27 
54 55 .65 
59 9 .93 


15 h 14 m 53\49 
13 59 .58 
13 7.16 
12 25 .40 
11 14.42 
8 45 .70 


45° 4' 5".26 
5 .31 
5 .62 
5 .31 
5 .71 
5 .90 



a — t = — 4 3 .25 ò = 44° 53' 7".63 e t = 0".1074 



1889 Giugno 1 — 33 Bootis. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


<P 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


14 h 2 m 2P.20 

3 13.10 

4 8.58 
4 57.05 
6 8 .53 

8 38 .01 

9 27 .81 
9 50 .44 

10 .20 


14 h 33 m 10".49 
29 5 .08 
26 6 .19 
24 7 .07 
21 37 .46 
17 32 .34 
16 25 .38 
15 54.76 
15 42 .06 


14 h 43 m 56 s .63 
48 4 .30 
51 1 .80 
53 2 .66 
55 31 .66 
59 38 .59 
15 45.07 
1 15 .18 
1 28 .25 


15 h 14 m 48 s .05 
13 56.12 
12 59.62 
12 12 .38 
11 0.33 
8 30 .70 
7 41 .04 
7 17 .29 
7 7 .70 


45° 4' 6".95 
6 .67 
6 .83 
6 .93 
6 .45 
6 .71 
6 .31 
6 .45 
6 .76 



a — t = — 3 3 .80 



ò = 44° 53' 7".83 



€l = 0".0752 



LATITUDINE DI TORINO 125 



1889 Giugno 4 — a Heroulìs. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


cp' 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oeulare Sud 


Oculare Nord 


14 h 57 m 54M8 
58 18 .53 
58 33 .07 

58 52 .50 

59 12 .01 
59 26 .46 
59 50 .68 

15 40 .30 


15" 6 m 12\04 
5 45 .10 
5 29 .79 
5 8 .82 
4 47 .62 
4 32 .37 
4 7 .20 
3 15 .89 


18" 2 m 55 s .59 
3 22 .35 
3 37.87 

3 58 .20 

4 19 .00 

4 33 .92 

5 0.41 
5 51 .73 


lg h 11IB 13 s 78 

10 49 .39 
10 35 .10 
10 15 .56 
9 55 .73 
9 41 .14 
9 16 .47 
8 27 .28 


45° 4' 8".95 
9 .60 
9 .47 
9 .16 
9 .30 

8 .76 

9 .16 
9 .40 



a — i = — 4 3 .44 o = 42° 40' 0".23 ^ =ss 0".0977 



1889 Giugno 6 — 55 Bootis. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


9' 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


14 h 2 m 28 s .20 

3 20 .81 

4 15 .20 
4 56 .50 
6 7 .30 

8 36 .29 

9 16 .83 
9 26 .30 
9 49 .06 


14 h 34 m 20 s .91 
29 43 .98 
26 46 .20 
24 58 .87 
22 21 .39 
18 7 .70 
17 12.01 
16 59 .50 
16 28 .72 


14 h 43 m ll s .91 
47 52.20 
50 51 .00 
52 39 .50 
55 14 .73 
59 29 .43 

15 24 .78 

37.19 

1 8 .17 


15 h 15 m 9 3 .40 
14 15.87 
13 21 .68 
12 41 .39 
11 30 .95 
9 0.93 
8 20 .90 
8 11 .50 
7 47 .48 


45° 4' 7".62 
7 .33 
7 .12 
7 .21 

7 .62 

8 .05 
7 .60 
7 .45 
7 .45 


a — t == — 4 S .03 ò = 44° 53' 8". 91 e x = 0".0916 
1889 Giugno 6 — Gr. 2533. 


Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Nord 


Oeulare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


16 h 30 m 19'.87 
30 42 .01 

30 55 .40 

31 12 .83 
31 30 .87 

31 43 .68 

32 6 .40 
32 50 .90 


16* 37 m 49 s .70 
37 25 .90 
37 12 .20 
36 53 .28 
36 34 .63 
36 21 .24 
35 57 .80 
35 11 .97 


19 h 54" 47 3 .05 
55 10 .48 
55 24 .49 

55 43 .38 

56 1 .60 
56 15 .34 

56 38 .78 

57 24 .33 


20 h 2 m 16 8 .57 
1 54 .73 
1 41 .33 
1 23 .66 
1 5 .80 
52.67 
30 .40 

19 59 45.95 


45° 4' 10".98 
11 .24 

10 .67 

11 .29 
10 .55 
10 .55 
10 .29 
10 .55 



a — t —— 3 3 .99 



b = 42° 1' 16".05 



€ 1 = 0M270 



126 F. PORRO 

1889 Giugno 6 — a Cygni. 


Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


20 h 5 m 7*.09 

5 59 .26 

6 51 .92 

7 32 .88 

8 42 .37 
11 10.60 

11 52.10 

12 1 .20 
12 24.21 


20 h 35 m 34 s .60 
31 44 .70 
28 56 .70 
27 15 .00 
24 43 .87 
20 39.27 
19 44 .47 
19 31 .58 
19 0.70 


20 h 47 m 49 s .44 
51 46 .60 
54 33 .51 
56 15 .07 
58 45 .18 

21 2 52 .30 
3 24 .60 

3 36 .47 

4 8.00 


21 h 18 m 22".88 
17 30 .90 
16 37 .80 
15 57 .02 
14 46 .25 
12 18.65 
11 55 .60 
11 46.01 
11 23.28 


45° 4' 10".48 

10 .57 

11 .38 
11 .07 
11 .45 
11 .31 
10 .62 
10 .48 
10 .79 


a — t = — 3 8 .06 b = 44° 52' 52".55 €j = 0".1309 

1889 Giugno 8 — Gr. 2533. 


Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


16 h 30 m 25 8 .32 

30 46 .77 

31 2.79 
31 19 .88 
31 38 .53 

31 54 .07 

32 16 .05 

33 .40 


16 h 37 m 53 s .60 
37 30 .38 
37 13.73 
36 55 .26 
36 36 .10 
36 20 .00 
35 56 .39 
35 11 .25 


19 n 54 m 52 6 .20 
55 15 .07 
55 31 .99 

55 50 .41 

56 9 .85 
56 25 .72 

56 49 .12 

57 34 .30 


20 h 2 m 20M9 
1 58 .48 
1 42 .80 
1 25 .35 
1 6.78 
51 .50 
29 .39 

19 59 44.80 


45° 4' 11".02 
11 .02 
11 .24 
11 .38 
11 .00 

10 .81 

11 .95 
11 .02 



a _ t = — 3 8 .98 b = 42° V 16".67 e ì = 0".1253 



1889 Giugno 15 — o" Herculis. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


q>' 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


14 h 58 m 37 8 .70 


15 h 6 m 54 s .43 


18 h 3 m 37 8 .60 


18 h ll m 53*.90 


45° 4' 8".95 


59 1 .79 


6 29 .02 


4 3.33 


11 29 .81 


8 .12 


59 19 .07 


6 10 .24 


4 22 .10 


11 12 .48 


8 .40 


59 38 .05 


5 49 .14 


4 42 .50 


10 53 .33 


8 .98 


59 58.17 


5 28 .20 


5 4.09 


10 32 .68 


8 .40 


15 14 .99 


5 10.18 


5 21 .76 


10 16 .20 


8 .86 


39 .66 


4 44.77 


5 47 .36 


9 51 .48 


8 .29 


1 28 .80 


3 53 .70 


6 38 .46 


9 2 .36 


8 .76 



a — t = — 2 8 .66 b = 42° 40' 3".38 e ì = 0".1170 



LATITUDINE DI TORINO 127 



1889 Giugno 15 — b Cygni. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


19" 7 m 58 3 .32 

8 43 .45 

9 32 .80 

10 27 .44 

11 13.60 

12 21 .40 

14 44 .88 

15 30 .98 

15 53 .60 

16 2 .50 


19 h 37 m 38 3 .69 
34 50 .50 
32 22 .80 
30 13 .99 
28 38 .25 
26 32 .98 
22 55 .01 
21 54 .42 
21 26 .60 
21 15 .02 


19 h 54 ra 45 3 .76 
57 39 .62 
20 7 .51 

2 16 .48 

3 52 .31 
5 58 .08 
9 34 .69 

10 36 .42 

11 3.59 
11 13 .90 


20 h 24 m 32 s .51 
23 46 .64 
22 57 .81 
22 3 .32 
21 18 .08 
20 9 .40 
17 46 .48 
16 59.18 
16 37.17 
16 28 .30 


45° 4 r 8".36 

8 .17 

9 .05 
8 .31 
8 .26 
8 .24 
8 .24 
8 .33 
8 .26 
8 .31 



a — t = — 2 S .57 ò = 44° 51' 31".78 e 1 = 0".0842 



1889 Giugno 17 — 0" Rerculis. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


14 h 58 m 5P.76 
59 16 .55 
59 30 .80 
59 50 .32 

15 9 .96 
24.17 

48 .93 

1 38 .30 


15 h 7 m 10 s .60 
6 43 .89 
6 28 .37 
6 7 .49 
5 46 .50 
5 31 .51 
5 5 .38 
4 14 .32 


18 h 3 m 5P.44 
4 17 .65 
4 33 .20 

4 53 .97 

5 14 .84 
5 30 .00 

5 55 .83 

6 47 .13 


lg h 12 m 10 s 48 

11 45 .84 
11 31 .46 
11 11.96 
10 52 .40 
10 37 .88 
10 13 .37 
9 24 .30 


45° 4' 9".72 
9 .23 
9 .42 
9 .33 
9 .49 
9 .33 
9 .53 
9 .84 


a — t = — l s .79 b = 42° 40' 3".84 £l = 0".0824 

1889 Giugno 17 — a Cygni. 


Verticale Est 


Verticale Ovest 


m r 
<P 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


20 h 6 m 15 s .47 

7 6.51 

8 3.40 
8 50 .48 

10 2.18 

12 29 .65 

13 18.18 
13 42 .97 
13 52.58 


20 h 35 m 45 s .98 
32 14 .28 
29 27 .78 
27 35 .39 
25 10 .59 
21 11 .05 
20 6 .10 
19 35 .32 
19 23 .60 


20 h 49 m 26 8 .33 
53 .75 
55 47 .17 
57 42 .02 

21 7 .10 

4 5.39 

5 11 .55 
5 41 .47 
5 54 .26 


21" 19 m 2 S .84 
18 11.14 
17 15.65 
16 28 .46 
15 18 .06 
12 47 .98 
12 .33 
11 37.50 
11 27.66 


45° 4' 9".91 
9 .84 
9 .77 
9 .67 
9 .72 
9 .53 
9 .74 
9 .72 
9 .77 



a — t = — 1 8 .31 b = 44° 52' 55".94 e 1 = 0".0354 



128 



F. PORRO 



1889 Giugno 19 — a Herculis. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


14 b 59 m 6 8 .06 


15* 7 m 22 8 .35 


18 h 4 m 5 S .49 


18* 12* 2P.39 


59 29 .93 


6 56 .70 


4 31 .19 


11 58.11 


59 47 .51 


6 38 .18 


4 49.69 


11 40 .45 


15 6 .59 


6 17 .42 


5 10 .10 


11 21 .34 


26 .78 


5 56.12 


5 31 .84 


11 .49 


43 .74 


5 38 .02 


5 49 .68 


10 43 .72 


1 8.07 


5 12.15 


6 15.70 


10 19 .55 


1 57.15 


4 21 .72 


7 6 .06 


9 30 .50 



<P' 



48* 4* 9".09 

9 .33 

8 .64 

8 .93 

8 .45 

8 .81 

9 .70 
9 .19 



1 3 .30 



b = 42° 40' 4",31 



c = 0".l4l0 



1889 Giugno 19 — b Cygni. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


cp' 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud j Oculare Nord 


19 h 9 m 8 .49 
9 51 .78 

10 43 .64 

11 23.57 

12 31 .68 

14 54.53 

15 31 .98 

15 41 .05 

16 3 .41 


19 h 35 m 54 s .78 
33 21 .87 
31 10 .70 
29 45 .99 
27 34 .58 
23 51 .26 
23 ì .43 
22 48 .90 
22 20 .58 


I9 h 57 m 28\70 
20 4 .78 

2 15 .45 

3 42 .43 
5 52 .81 
9 37 .32 

10 27 .77 

10 40 .29 

11 6 .67 


20* 24 m 26 B .40 
23 35 .33 
22 43 .21 
22 4 .33 
20 56 .60 
18 33 .89 
17 56.18 
17 46 .97 
17 25 .30 


45° 4' 9".42 
8 .83 
8 .88 
8 .79 
8 .93 
8 .95 
8 .74 
8 .95 
8 .67 



a — t = — 2 3 .23 b == 44° 51' 32".88 Cj = 0".0623 



1889 Luglio 28 — b Cygni. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


19 k ll m 33".69 

12 20 .33 

13 10.67 

14 4 .20 

14 50 .56 

15 59 .38 
18 22.28 


19 h 41 10 36 e .47 
38 39 .14 
36 7 .61 
33 54 .83 
32 18 .17 
30 10 .67 
26 32 .86 


19 h 57 m 42M9 
20 41 .20 
3 7 .81 

5 25 .54 : 

6 59 .64 
9 7.95 

12 51 .04 


20" 27*° 46*.01 
27 1 .96 
26 10 .89 
25 18 .01 
24 29 .79 
23 21 .79 
20 56 .39 


45° 4' 10".90 
10 .86 

10 .21 

11 .31 
9 .93 

10 .17 

11 .74 



a — t = — 8 .62 



b = 44° 51' 45".43 



€ a = 0".2443 



LATITUDINE DI TORINO 1^9 



1889 Luglio 29 — Or. 2533. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


cp' 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


16" 34 m 27\89' 

34 50.34 

35 3 .38 
35 20.92 
35 38 .78 

35 52.02' 

36 14' .52 
36 59 .07 


ite* 41™ 58 s .36 
41 34 .39 
41 20.83 
41 2.04 
40 43 .17 
40 29.99 
40 6 .47 
39 20 .28 


19 h 58™ 44 6 .71 
59 8 .55 
59> 22 .51 
59 41.08 
59 59 .72 

20 13 .39' 

36 .86 

1 22.76 


20" 6 m 16 s .81 
5 54.49 
5 41 .45' 
5 23.99 
5 6 .17 
4 52 .% 
4 30.54 
3 45 .79 


45o 4.' q" AQ' 

9 .51 
9 .35 
9 .67 
9 .49 
9 .00' 
9 .28 
9 .44 



a — t = — 1 3 .51 b = 42° 7' 31". 19 e, = 0".0707 



1889 Luglio 31 — R Lijrae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


17" 47™ 3 S .45 


17" 58" 29 6 .28 


20" l m 48 E .83 


20 h 13 m 13 8 .31 


45° 4' 4".95 


47 35 .10 


57 52.20 


2 26.07 


12 41.48 


4 .98 


47 58 .47 


57 24» .67 


2 53.03 


12 18.39 


5 .48 


4£f 24 .18 


56 55.26 


3 22 .20 


11 52 .86 


5 .62 


48 51.06 


56 25.22 


3 52.40 


11 25.86' 


5 .48 


49 : 13.60 


55 59'.58 


4 17.99 


11 2.69 


5 .79 


49 47 .20 


55 23 .53 


4 54.10 


10 29 .80 


5 .50 


50 53.40 


54 12 .90 


6 5 .34 


9 23.23 


5 .67 



a — t — — S .61 b = 43° 47' 72".27 €j = 0".1091 



1889 Settembre 14 — b Cygni. 



Verticale Est 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


19 h 15 m 25 s .50* 

16 16.24 

17 8 .97 

17 48 .19 

18 57.19 
20 9 .90 
20 17 .60 

20 39 .35 

21 22 .22 


19" 43 m 17 s .72 
40 24 .52 
3$ 5 .49 
36 36.37 
34 19.35 
32 16.48 
32 2.59 
31 30.74 
30 29 .48 







Verticale Ovest 



Oculare Sud 



20 1 



2 B 

5 

7 

9 
11 
13 
13 
14 
15 



21 s .63 
11 .80 
32.11 
1 .78 
17 .52 
20 .80 
33.89 
7.29 
7 .90 



Oculare Nord 



20" 30 m 


12 s .97 


45° 4' 8".74 


29 


20 .88 


8 .55 


28 


28.98 


8 .67 


27 


49\53' 


8 .71 


26* 


40 .40 


8 .60 


25 


28.80 


8 .71 


25 


19 .82 


9 .09 


24- 


58-V70 


8 .76 


24 


16 .04 


8 .26 



a — t = — 2 3 .66 

Serie II. Tom. XLIV. 



b = 44° 51' 56".60 



6l = 0".0726 



130 



F. PORRO 



1889 Settembre 17 — 5 Cygni. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


19 h 53 m 37M1 

53 54 .44 

54 24 .83 

55 24 .87 


20 h m 35 3 .98 
17 .49 
19 59 44.82 
58 40 .85 


22 h 24 m 17 8 .88 

24 36 .30 

25 9 .22 

26 12 .48 


22 h 31 m 17 s .30 
30 59 .40 
30 29 .19 
29 29 .38 


45° 4' 12".10 

10 .76 

11 .38 
11 .76 



a — t = — 4M1 ò = 43° 29' 26".48 e x = 0".2473 



1889 Settembre 18 — 5 Cygni. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


q>' 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


19 h 52 m 13 8 .08 

52 41 .46 

53 3 .01 
53 25 .76 

53 50 .46 

54 10 .90 

54 41 .00 

55 41 .18 


20" 2 m 22 s .50 
1 50 .30 
1 26 .27 
1 .50 
33 .43 
11 .38 

19 59 39.28 
58 36 .32 


22 h 22 m 43 s .36 
23 16 .22 

23 40 .20 

24 5 .50 
24 32 .67 

24 54 .70 

25 26 .99 

26 29 .87 


22 h 32 m 53M6 
32 24 .62 
32 3 .02 
31 39 .73 
31 15 .30 
30 54 .10 
30 24 .66 
29 24 .80 


45° 4' 12".17 
12 .55 
12 .36 
12 .43 
12 .69 
12 .02 
12 .33 
12 .07 



a — t = — 8 3 .51 ò = 43° 29' 26".69 % = 0".0822 



1889 Settembre 22 — 2 Cygni. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


<P' 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


19 h 53 m 33 s .03 

53 57 .22 
• 54 14 .86 

54 44 .84 

55 15 .62 
55 19 .36 
55 27 .99 
55 45 .44 


20 h l m 14 s .37 
48 .47 
29 .50 
19 59 57.11 
59 23 .87 
59 20 .59 
59 11.15 
58 53 .12 


22 h 24 m 6 8 .85 
24 32 .69 

24 52 .00 

25 24 .80 

25 57.17 

26 1 .25 
26 10 .05 
26 28 .90 


22 h 31 m 48 s .77 
31 24 .80 
31 7 .27 
30 37 .53 
30 7 .07 
30 3 .00 
29 54 .38 
29 37 .20 


45° 4' 6".69 
6 .45 
6 .05 
6 .60 
6 .98 
6 .43 
6 .50 
6 .95 



a — t = — 11 8 .04 ò é= 43° 29' 27".37 e x == 0".1090 



LATITUDINE DI TORINO 131 



1889 Settembre 25 — l Cygni. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


19 h 52 ffi 32 8 .00 


20" 2 m 40'.21 


22» 22 m 56 s .95 


22 h 33 m 6 S .67 


45° 4' 7".21 


53 1 .76 


2 6 .07 


23 30 .49 


32 36 .78 


7 .33 


53 19 .60 


1 46 .66 


23 50 .59 


32 19 .42 


7 .38 


53 42 .75 


1 20 .46 


24 17 .09 


31 55 .95 


8 .00 


54 6 .43 


54 .80 


24 43.01 


31 32 .59 


7 .98 


54 24 .12 


36 .04 


25 2 .32 


31 15 .07 


7 .86 


54 54 .57 


3.00 


25 34 .85 


30 44 .27 


7 .69 


55 54 .70 


19 58 59.52 


26 38 .22 


29 44.10 


7 .71 



a — t = — 15M8 b = 43° 29' 27".84 6j = 0".1077 



1889 Settembre 26 — E Cygni. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


19 h 52 m 30 8 .79 

52 59 .57 

53 19 .98 

53 43 .58 

54 8 .29 
54 28 .64 
54 58 .58 


20 h 2 m 50M0 
2 17 .46 
1 53 .85 
1 27 .80 
1 1 .03 
38 .22 
5 .98 


22 h 22 m 57\00 
23 29 .14 

23 52 .79 

24 18 .50 

24 45 .66 

25 8.17 
25 40 .02 


22 h 33 m 14 s .82 
32 46 .30 
32 24 .96 
32 1 .59 
31 36 .80 
31 16 .62 
30 46 .37 


45° 4' 7".88 

7 .76 

8 .05 
7 .81 

7 .55 

8 .33 
8 .00 



a — t = — 15 s .88 ò == 43° 29' 28".03 ^ = 0".0935 



1889 Settembre 27 — l Cygni. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


9' 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


19 h 52 m 37 s .41 
53 7 .37 
53 24 .41 

53 48 .13 

54 11 .95 
54 29 .49 
54 59 .87 
56 .05 


20 h 2 m 46 s .23 
2 13.10 
1 53 .61 
1 27 .06 
1 1 .25 
41 .86 
9 .57 

19 59 6.12 


22 h 23 m 4 B .44 
23 37 .60 

23 57 .30 

24 23 .41 

24 49 .70 

25 8 .81 

25 41 .10 

26 44 .89 


22 h 33 m 14'.38 
32 45 .20 
32 27 .30 
32 3 .75 
31 40 .36 
31 22 .60 
30 52 .52 
29 51 .88 


45° 4' 10".02 
9 .63 
9 .67 
9 .81 
10 .00 
10 .07 
9 .81 
9 .70 



a — t — — 16 3 .46 b = 43° 29' 28".23 ^ — 0".0670 



132 



F. PORRO 



1889 Ottobre 3 — 5 Cygni. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


fp' 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


19 h 41 m 37 s .78 
,42 6 .63 
42 27 .70 

42 51 .00 

43 15 .27 

43 36 .26 

44 6 .10 

45 5 .74 


19 h 51 m 56 3 .70 
51 24.15 
50 59 .79 
50 3,4 .20 
50 7 .20 
49 44 .73 
49 12 .93 
48 9 .57 


22 h 12 m 4M 6 

12 36 .60 

13 0.18 
1-3 25 .81 

13 52.67 

14 15.45 

14 47 .58 

15 50 .60 


22 h 22 m 22M2 
21 53 .10 
21 31.62 
21 8 .64 
20 43 .93 
20 23 .44 
19 54 .07 
18 53 .70 


45° 4' 9".72 
9 .'35 
9 .47 
9 .40 
9 .44 
9 .53 
9 .74 
9 .70 



a — t = — 18 s .94 ò == 43° 29' 29".32 e t == 0".0549 



1889 Ottobre 14 — E Cygni. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


9' 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


19 h _42 m 9 S .68 


19 b 52 m 25 3 .37 


22 h 12 m 33 s .50 


22 h 22 m 49 a .63 


45° 4' 8".45 


.'42 38.17 


51 53 .06 


13 7.19 


22 20 .98 


9 .19 


42 59 .80 


5,1 29 .19 


13 30 .60 


21 59 .51 


8 .60 


43 23 .19 


51 3.43 


13 56.17 


21 36 .29 


8 .38 


43 47 .35 


50 36 .37 


14 23.15 


21 11 .89 


8 .86 


44 7 .95 


50 13 .90 


14 45 .53 


20 51 .42 


9 .00 


44 37 .64 


49 41 .60 


15 17.66 


20 21 .77 


9 .40 


45 38 .00 

- , -- - 


48 38 .80 

- ■ 


16 20 .43 


19 21 .33 


8 .40 



a — t = — 9 3 .54 ò = 43° 29' 30".64 e x == 0".1371 



1889 Ottobre 15 — l .Cygni. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


19 h 42 m 12 s .53 

42 41 .12 

43 2 .70 
43 25 .33 

43 50 .20 

44 10 .85 

44 41 .01 

45 40 .68 


19 h 52 m 29 s .20 
51 56 .68 
51 32 .77 
51 6.70 
50 40 .00 
50 17 .49 
49 45 .65 
48 42 .07 


22 h 12 m 38 5 .80 
13 11 .40 

13 35.12 

14 1 .07 
14 27 .80 

14 50 .40 

15 22 .40 

16 25 .48 


22" 22 m 54 s .26 
22 26 .31 
22 ,4 .52 
21 40 .94 
21 16 .80 
20 56 .25 
20 25 .94 
19 26 .50 


45° 4' 10".62 
11 .26 

10 .67 

11 .12 

10 .90 

11 .12 

10 .43 

11 .19 



a _ * — _ 9 3 .33 ò = 43° 29' 30".74 € x = 0".1087 



LATITUDINE DI TORINO 133 



1889 Ottobre 16 — £ Gygni. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


y 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


19" 42? 20 s .45 

42 50 .04 

43 7 .59 

43 31 .04 
.43 54 .79 

44 12 .29 

44 42 .81 

45 42 .60 


19" 52 m 30 s .58 
51 57.14 
51 37 .69 
51 11 .58 
50 45 .05 
50 26.18 
49 53 .77 
48 50 .03 


22" 12? 47M5 
13 20 .68 

13 39 .63 

14 6 .09 
14 32 .35 

14 52 .01 

15 24.06 

16 27.70 


22" 22 m 58 3 .02 
22 28 .32 
22 11 .02 
21 47.18 
21 23 .60 
21 6 .22 
20 35 .90 
19 35 .50 


45° 4' 12".05 

n .95 

11 .60 

11 .69 

12 .19 
12 .57 
14 .95 
12 .31 



a — t.= — 9 S .49 ò == 43° 29' 30".83 % = 0".1117 



1889 Ottobre 23 — ,b .Cijgni. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare .Sud 


19" 5 m 


39 s .80 


19" 37 m 


3.8 S .84 


19" 49 m 


43 s .58 


20" 21 m 


44 8 .70 


45° 4' 8' 

8 


.26 


6 


24.88 


34 


2 .58 


53 


21 .50 


20 


59 .48 


.43 


7 


15.93 


ai 


15 .18 


56 


8 .60 


20 


.8 .70 


8 


.10 


8 


10 .57 


28 


53 .00 


5.8 


30 .51 


19 


13 .91 


7 


.67 


<8 


56 .08 


27 


8 .90 


20 


15 .49 


18 


28 .30 


8 


.38 


10 


4 .96 


24 


57 .77 


2 


27 .30 


17 


19 .16 


7 


.86 


11 


25 .47 


22 


45 .12 


4 


38 .98 


15 


59 .23 


7 


.62 


11 


45 .72 


22 


12 .38 


5 


11 .40 


15 


37 .70 


7 


.98 


1,1 


54 .99 


21 


19 .56 


5 


24.63 


15 


29 .23 


7 


,95 


12 


28 .96 


21 


9 .68 


6 


14.00 


14 


54.67 


8 


.26 



a — r= — 8 8 .98 ' "l = 4F 51' 59".08 " €l ' ='0>".088'é 



1889 Ottobre 23 — i Andromedae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


cp' 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


21" 58 m 31 8 .70 

58 49 .27 

59 8 .37 
59 28 .55 
59 45 .49 

22 9 .60 
58 .60 


22" 6 m 2M9 
5 43 .23 
5 22.75 
5 1 .00 
4 4B.59 
4 17 .55 
3 27 .17 


1" 3 m 50 s .50 
4 9 .57 
4 30.40 

4 51.33 

5 9.20 
5 34 .80 
.6 25 .65 


1" ll m 20 s .77 
11 2 .80 
10 43 .92 
10 23 .69 
10 6 .93 
9 42 .46 
8 54 .89 


45° 4' 7".76 

7 .81 

8 .14 
7 .95 
7 .74 

9 .16 
9 .40 



a — t = — 9 S .63 ò = 42° 39' 34".78 e x = 0".2646 



134 



F. PORRO 



1889 Novembre 7 



i Andromedae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


21 h 58 m 26 8 .77 

58 51 .34 

59 5 .67 
59 25 .20 
59 44 .69 
59 59 .27 

22 23 .98 
1 13.12 


22 h 6 m 41 s .02 
6 14 .70 
5 59.11 
5 38 .39 
5 17 .38 
5 2 .38 
4 36 .58 
3 45 .64 


l h 3 m 42 s .43 
4 8 .71 
4 24 .48 

4 45 .19 

5 5 .78 
5 21 .03 

5 47 .16 

6 38 .00 


1 L ll m 56 s .71 
11 32 .37 
11 17.96 
10 58 .80 
10 38.19 
10 24 .58 
10 .05 
9 10 .99 


45° 4' 8".50 

7 .88 

8 .24 
8 .29 
7 .45 

7 .88 

8 .10 
8 .24 


a — i = — 10 8 .02 ò = 42° 39' 37".17 6j = 0".1164 
1889 Novembre 8 — a Cygni. 


Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


20 h 4 m 1 6 .63- 

4 54 .70 

5 49 .04 

6 29 .83 

7 42 .20 

8 57 .46 

9 6.67 
9 28 .68 

10 12 .60 


20 h 36 m 46 8 .39 
31 30 .20 
28 24 .91 
26 33 .98 
23 55 .70 
21 37 .49 
21 21 .51 
20 46 .58 
19 39 .07 


20 h 43 m 14 s .86 
48 35 .67 
51 41 .80 
53 35 .00 
56 15 .04 
58 32 .40 

58 48.71 

59 24 .71 
21 31 .49 


21 h 16 m 9 8 .47 
15 17.15 
14 22 .37 
13 41 .27 
12 28 .74 
11 13.59 
11 4.75 
10 42 .82 
9 58.19 


45° 4' 10".83 
10 .93 

10 .69 

11 .10 
10 .71 

10 .74 

11 .10 
11 .07 
11 .02 



a — t = — 9 S .17 



44° 53' 26".52 



6j = 0".0570 



1889 Novembre 8 — k Andromedae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


22 h 22 m 27 8 .53 

22 59 .12 

23 17.96 

23 43 .40 

24 8 .87 

24 27 .77 

25 .10 

26 5 .73 


22 h 33 m 29 s .77 
32 53 .12 
32 31 .42 
32 2 .91 
31 34.57 
31 13 .56 
.30 38 .28 
29 29 .01 


h 41 m 19 s n 

41 55 .49 

42 16 .00 

42 45 .90 

43 14 .41 

43 35 .57 

44 11 .04 

45 20 .03 


h 52 m 22M8 
51 50 .24 
51 31 .81 
51 6 .26 
50 40 .95 
50 21 .97 
49 49 .59 
48 44 .19 


45° 4' 10".12 
9 .81 
9 .63 
10 .07 
10 .14 
10 .31 
10 .45 
9 .72 



a — t = — 9 8 .66 ò = 43° 43' 34".48 € x = 0'M035 



LATITUDINE DI TORINO 

1889 Novembre 9 — a Cygni. 



135 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


20 b 4 m 1 3 .02 

4 52 .04 

5 49 .30 

6 37 .09 

7 48 .70 
9 11 .69 
9 33 .89 
9 43 .51 

10 19 .90 


20 h 38 m 3 .06 
31 58 .81 
28 49 .08 
26 29 .90 
23 51 .03 
21 20 .35 
20 46 .39 
20 31 .90 
19 37 .28 


20 h 41 m 56 5 .36 
48 6 .87 
51 27 .15 
53 36 .35 
56 14.59 

58 45 .13 

59 19 .30 
59 35 .12 

21 28 .64 


21 h 16 m 5 S .77 
15 13 .47 
14 17 .40 
13 28 .44 
12 17.21 
10 54.13 
10 31 .13 
10 22 .67 
9 46 .08 


45° 4' 6".69 
6 .52 
6 !43 
6 .21 
6 .55 
6 .79 
6 .05 
6 .36 
6 .14 



a — t = — 9 8 .54 ò = 44° 53' 26".53 e, = 0".0833 



1889 Novembre 9 — k Andromedae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


22" 22 m 23'.50 

22 54 .31 

23 17 .27 

23 42 .39 

24 8 .87 

24 30 .90 

25 2 .89 

26 7 .69 


22 h 33 m 34\46 
32 58 .45 
32 32 .38 
32 4.25 
31 34 .70 
31 10 .50 
30 35 .43 
29 26 .18 


h 41 m 11 s_ 42 

41 46 .70 

42 13 .32 

42 41 .13 

43 10 .51 

43 35 .34 

44 10 .20 

45 19 .07 


h 52 m 21 s .87 
51 50 .60 
51 28 .29 
51 3.12 
50 36 .50 
50 14 .40 
49 41 .84 
48 37 .02 


45° 4' 5".98 

5 .57 

6 .02 
5 .55 
5 .33 
5 .52 
5 .31 
5 .48 



a — t = — 10 3 .35 ò = 43° 43' 34".65 ^ = 0".0947 



1889 Novembre 15 — k Andromedae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


22 h 22 m 7\60 

22 38 .37 

23 1 .17 
23 26 .21 

23 52 .71 

24 14 .33 

24 46 .87 

25 51 .20 


22 h 33 m 16M5 
32 40 .48 
32 14 .53 
31 45 .97 
31 16 .70 
30 52 .52 
30 17 .06 
29 8 .14 


0" 40 m 55U0 
41 30 .91 

41 56 .65 

42 25 .36 

42 54 .60 

43 18 .83 
43 54 .32 
45 3 .00 


h 52 m 3 S .24 
51 32 .93 
51 9 .49 
50 44 .53 
50 18 .30 
49 56 .11 
49 23 .77 
48 18 .14 


45° 4' 6".07 
6 .45 

5 .76 

6 .19 
6 .00 
6 .05 
6 .24 
5 .93 



a — t = 



— 9 8 .22 



ò = 43° 43' 35".41 



e x = 0".0741 



136 



F. PORRO 



1889 Novembre 17 — ip 5 Aurigae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


<p' 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


5 h 24 m 52^33 


5 h 35 m 49V57 


7 h 45 m 48S> 32 


7 h 56 m 46 s .09 


45° 4' 6".57 


25 23 .90 


35 13.26 


46 24\76 


56 14 .72 


6 .64 


25 42 .02 


34 52 .26 


46 45 .50 


55 56.32 


6 .69 


26 7 .57 


34 ; 23.80 


47 13.84 


55 30.92 


6 .36 


26 32 .51 


33 55.90 


47 41 .83 


55 5.76 


6 .43 


26 50 .87 


33 35.18 


48 3 .06 


54 46 .83 


6 .90 


27 23 .37 


33 0.23 


48 37 .71 


54 15.48 


6 .98 


28 27 .39 


31 52 .54 


49 45.41 


53 11 .09 


6 .24 



a - _ t = — 7M9' b = 43° 41' 4". 74' e x = 0".0907 



1889 Novembre 21 — \\> 5 Aurigae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


5 h 24 m 41 8 .68 
25 11 .75 
25 33 .97 

25 59 .00 

26 25 .18 

26 46 .76 

27 18 .49 

28 22 .51 


5 h 35 m 40 s .01 
35 5 .08 
34 39 .48 
34 11 .36 
33 42.50 
33 18 .29 
32 43 .99 
31 35.91 


7 h 45 m 38 8 .03 
46 13.18 

46 39.13 

47 6.87 
47 35 .82 

47 59 .57 

48 34 .22 

49 41 .59 


7 h 56 m 36 s .65 
56 6 .56 
55 43 .40 
55 18 .92 
54 52 .50 
54 30.68 
53 58, .64 
52 55 .46 


45° 4' 7".10 
7 .45 
7 .38 
7 .40 
7 .02 
7 il 
7 .02 
7 .29 



or — f = — 7 S .42 ò == 43° 41' 4".89 e 1 = 0".0672 



1889 Novembre 30 — i|) 5 Aurigae. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


5 h ' 24 m 4 s .5'4r 


5 h 35 m 6 .55 




7 h 55 m 56 s .01 


45° 4' 5".93 


24 35 .72 


34 24* .50 


45 35 .27 


55 24 .37 


5 .79 


24 53 .78 


34 3 .69 


45 1 55.13 


55 6 .07 


5 .33 


25 18 .84 


33 35.00 


46 24 .57 


54 40.70 


6 .05 


25 44 .39 


33' 6 .70 


46 52.29 


54 15.86 


6 .00 


26 3 .46 


32 46.60 


47 13.40 


53 57 .00 


5 .67 


26 35 .46 


32 11' .83 


47 48 .33 


53 25 .25 


5 .86 


27 39.12 


31 3.64 


48^ 56.58 


52 21.19 


6 Ì9 



a — t = — 8 S .62 b 43° 41' 5".65 € x — 0".0937 



LATITUDINE DI TORINO 



137 



1889 Dicembre 1 — 31 Lyncis. 



Verticale Est 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


6 h 57 m 7M6 


? h jm 31 s_28 


57 37 .46 


6 57 .07 


57 55.18 


6 37 .01 


58 18 .97 


6 10.82 


58 43 .08 


5 44.11 


59 .93 


5 24 .47 


59 31 .74 


4 51 .49 


7 32 .93 


3 47 .06 



Verticale Ovest 



Oculare Sud 



Oculare Nord 



25 D 

25 

26 

26 

27 

27 

27 

29 



19 s .38 
53 .30 
13.07 
39 .80 

6 .40 
26 .14 
59 .27 

3.26 



35 n 

35 

34 

34 

34 

33 

33 

32 



43M0 
13.28 
55 .56 
31 .88 
7 .35 
49 .85 
19 .18 
18 .01 



45° 4' 11".69 
11 .52 
11 .52 
11 .55 
11 .38 
11 .86 
11 .74 
11 .14 



— t = — 8 3 .41 



ò = 43° 32' 20".19 



e, = 0".0791 



1889 Dicembre 3 — 31 Lyncis. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


q>' 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


6 h 57 ,n S .89 
57 29.77 

57 51.14 

58 15 .21 

58 40 .00 

59 .81 
59 31 .10 

7 31 .86 


7 h 7 m 23 s .05 
6 50 .07 
6 25 .91 
5 59 .69 
5 32 .07 
5 9 .45 
4 37 .10 
3 32 .68 


9 h 25 m 9 S .53 

25 42 .32 

26 6 .48 

26 22 .62 

27 .28 
27 22.79 

27 55 .58 

28 59 .60 


9 h 35 m 3P.50 
35 2.57 
34 41 .09 
34 17 .22 
33 52 .48 
33 31 .86 
33 1 .23 
32 .40 


45° 4' 7". 12 
7 .12 
7 .21 

6 .64 

7 .17 
7 .14 

6 .93 

7 .10 



a — t = — 6 S .38 b = 43° 32' 20". 15 e t = 0".0659 



1889 Dicembre 20 — 36 Lyncis. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


T 49 m 47 s .78 
50 18 .30 

50 40 .93 

51 5 .30 
51 31.12 

51 52.89 

52 24.56 

53 28.10 


8 h m 40 s .36 
5 .67 

7 59 39.91 
59 12.53 
58 43 .68 
58 19 .74 
57 45 .70 
56 38 .48 


10 h ll m 32 s .30 
12 6.94 

12 32 .57 

13 .34 
13 29 .28 

13 53.07 

14 27.08 

15 34 .54 


10" 22 m 24 s .23 
21 54 .57 
21 32 .00 
21 7 .37 
20 41 .24 
20 19 .24 
19 47.79 
18 44 .59 


45° 4' 7".76 
7 .76 
7 .76 
7 .81 
7 .88 
7 .69 
7 .50 
7 .71 



a — t = -\- 7 S .29 ò = 43° 40' 9". 17 ^ = 0".0393 

Serie II. Tom. XLIV. r 



138 



F. POREO 



1889 Dicembre 21 — 10 Ursae Majoris. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


<P' 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


7 h 8 m 32 s .49 


7 h 16 m 9M3 


10 h 29 m 43 s .26 


10" 37 m 20 s .52 


45° 4' 7".33 


8 54 .62 


15 45 .24 


30 7 .29 


36 57 .93 


7 .38 


9 8 .34 


15 31 .03 


30 21 .62 


36 44 .58 


7 .19 


9 26.21 


15 12 .06 


30 40 .27 


36 26 .96 


7 .26 


9 42 .18 


14 52 .92 


30 59 .50 


36 8 .69 


7 .43 


9 57 .58 


14 39.18 


31 13.76 


35 55 .39 


7 .50 


10 20 .67 


14 15 .35 


31 37 .20 


35 32 .58 


7 .07 



a — t = + 7 s .ll ò = 42° 12' 58".38 

1889 Dicembre 23 — 10 Ursae Majoris. 



e, = 0".1230 



Verticale Est 



Oculare Sud 



Oculare Nord 



T 8 m 


25 s .53 


8 


47 .31 


9 


3.39 


9 


21 .28 


9 


39 .55 


9 


55 .57 


10 


17 .80 



16 n 

15 

15 

15 

14 

14 

14 



3 S .90 
40 .80 
23 .38 

4.50 
44.85 
28 .48 

5 .26 



Verticale Ovest 



Oculare Nord 



Oculare Sud 



10 h 29 m 35 s .91 
29 59 .29 



30 
30 
30 
31 
31 



16 .72 
35 .23 
54 .88 
10 .96 
34.67 



10 h 



37" 

36 
36 
36 
35 
35 
35 



14M1 
52 .46 
36 .10 
18 .38 
59 .50 
44 .33 
21 .53 



45° 4' 6".02 

6 .29 

6 .31 

6 .10 

6 .29 

6 .14 

6 .21 



t = -f- 6 3 .82 ò = 42° 12' 58".38 

1890 Febbraio 9 — 31 Lyncis. 



e, = 0".0421 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


<P 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


6 h 52 m 10 s .57 
52 40 .73 

52 58 .16 

53 22 .43 

53 46 .46 

54 4 .30 

54 34 .83 

55 36 .07 


7 h 2 m 34 s .70 
2 .34 
1 40 .51 
1 13 .88 
47 .22 
27 .71 

6 59 55.19 
58 50 .18 


9 h 20 m 16 s .29 

20 50 .27 

21 10.27 

21 37 .27 

22 3.67 
22 22 .99 
22 56 .52 
24 .83 


30 10.67 
29 53 .03 
29 29 .06 
29 4 .75 
28 46 .90 
28 16 .37 
27 14.88 


45° 4' 9".86 
10 .02 
10 .26 
10 .19 
9 .42 
10 .00 
9 .44 
9 .84 


a — t = + 3 S .78 ò = 43° 32' 26".33 e x = 0".1103 
1890 Marzo 1 — 10 Ursae Majoris. 


Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


7 h 3 m 34 s .58 

3 56 .47 

4 12.67 
4 30 .31 

4 49 .13 

5 4.57 

5 27 .23 

6 12.09 


7" ll m 10 s .52 
10 47 .30 
10 29 .99 
10 11.07 
9 51 .64 
9 35 .42 
9 12.10 
8 25 .47 


10» 24 m 42M9 
25 5 .67 
25 22 .90 

25 41 .63 

26 1 .05 
26 17 .20 

26 20 .93 

27 27 .43 


1Q h 32 m 17 s_ 77 

31 56.25 
31 39 .85 
31 22 .05 
31 3 .28 
30 47 .80 
30 25 .06 
29 40.16 


45° 4' 8".62 
8 .83 
8 .74 
8 .93 
8 .36 
8 .36 

8 .26 

9 .00 



t = — P.00 



ò = 42° 13' 6". 13 



O'UOIO 



LATITUDINE DI TORINO ] 39 



1890 Marzo 10 — 31 Lijncis, 



Verticale Est 


Verticale Ovest 




Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


6 h 49 m 37 s .70 


7 h m 5 S .70 


9 h 17 m 35 s .47 


9 h 2 S .78 


45° 4' 4".29 


50 6 .70 


6 59 32.45 


18 9 .28 


27 33 .27 


4 .90 


50 28 .39 


59 8.18 


18 33 .03 


27 11.19 


3 .80 


50 51 .80 


58 41 .82 


18 59 .41 


26 47 .87 


4 .26 


51 17.02 


58 14.13 


19 27 .02 


26 23 .33 


4 .36 


51 37 .59 


57 51 .51 


19 49 .40 


26 2 .29 


4 .36 


52 8 .04 


57 18.79 


20 22 .35 


25 31 .64 


4 .26 


53 9 .20 


56 14.89 


21 26 .42 


24 31 .11 


3 .97 



a — t = + 4 3 .51 b = 43° 32' 30".78 €j = 0".1139 



1890 Marzo 28 — 36 Lyncìs. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


q>' 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


7 h 42m 54 s >60 


7 h 53 m 5P.67 


10 h 4 m 30 s .72 


10" 15* 26 s .88 


45° 4' 10".00 


43 24 .63 


53 16.97 


5 5 .04 


14 56 .62 


9 .74 


43 47 .40 


52 51 .18 


5 31 .09 


14 34 .02 


9 .86 


44 11 .68 


52 23 .70 


5 58 .85 


14 9 .50 


10 .02 


44 37 .95 


51 54 .58 


6 27 .40 


13 43.69 


9 .93 


44 59 .80 


51 30 .58 


6 51 .19 


13 21.74 


9 .74 


45 31 .36 


50 56 .57 


7 25 .63 


12 50.15 


9 .93 


46 34 .55 


49 48 .90 


8 33 .37 


11 46.66 


10 .29 



a — t = -f 3 S .51 b = 43° 40' 21".28 ^ = 0".0625 



1890 Marzo 29 — \ Ursae Majoris. 



Verticale Est 


Verticale Ovest 


<P 


Oculare Nord 


Oculare Sud 


Oculare Sud 


Oculare Nord 


g h 42 m 6 S .37 
42 35 .89 

42 52 .90 

43 16 .57 
43 39 .96 

43 57 .63 

44 27 .28 

45 27 .28 


8 b 52 m 12 s .33 
51 39 .09 
51 19.92 
50 53 .82 
50 28 .00 
50 8 .86 
49 37 .09 
48 33 .76 


ll h 13 m 48\24 
14 21 .62 

14 40 .86 

15 6.79 
15 32.78 

15 51.67 

16 24.16 

17 27 .04 


ll b 23 m 55 s .25 
23 25 .68 
23 8 .36 
22 44 .80 
22 21 .50 
22 4.16 
21 34 .03 
20 34.16 


45° 4' 9".30 
9 .28 
9 .28 
9 .09 
9 .51 
9 .49 
9 .51 
9 .44 



a — t = + 3 8 .00 b = 43° 27' 51".94 6j = 0".0530 



F. PORRO 



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LATITUDINE DI TORINO 



141 



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LATITUDINE DI TORINO 



143 





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144 



F. PORRO 



PASTE SECONDA 



Osservazioni eseguite colta del filo nobile. 



I metodi di Bessel e di Struve, basati sull'osservazione dei passaggi ai fili fissi 
del reticolo, cessano di essere applicabili utilmente quando la distanza zenitale 
meridiana dell'astro arrivi solo a pochi minuti di arco. In questo caso è preferibile 
osservare (come ha suggerito Struve) mediante un filo m'osso da una vite micro- 
metrica, la quale permetta di assegnare con precisione ad ogni istante la distanza 
angolare dal filo medio, e quindi (noto l'errore di collimazione) dall'asse ottico. 
Sostanzialmente questo metodo non è che una modificazione di quello di Bessel, ana- 
loga a quella che si pratica nelle osservazioni meridiane, quando si sostituisce il filo 
mobile ai fili fissi sulle stelle polari. Ha il vantaggio sopra l'altro metodo di potersi 
applicare anche a stelle culminanti a Nord dello zenit, di esigere pochi minuti per 
un numero anche considerevole di puntate, infine di attenuare tutte le cause di errore 
che dipendono dalla maggior durata di un'osservazione, perniciosissime fra tutte le 
variazioni dell'azimut istrumentale nell'intervallo fra il passaggio ad Est e quello 
ad Ovest. Questi notevoli meriti del metodo sono accompagnati da difetti non meno 
degni di nota: primo fra gli altri l'enorme influsso dell'azimut sulle osservazioni, 
tale da rivelarsi ad una prima occhiata nella serie delle latitudini date dalle singole 
puntate, quando appena la deviazione dell'asse orizzontale dal primo verticale sia 
sensibile. In queste condizioni sarebbe desiderabile poter determinare colla massima 
precisione tale errore di azimut, per poi tenerne conto nel calcolo della latitudine ; 
invece, quando non si disponga di una mira nel primo verticale, non è possibile 
ricavare dalle osservazioni stesse il valore dell'azimut, e bisogna (come ho fatto io) 
limitarsi a calcolarne empiricamente l'effetto, deducendolo a posteriori dall'andamento 
delle latitudini date dalle singole puntate. 

Prima condizione per l'uso razionale di questo metodo è la conoscenza esatta 
del valore di una rivoluzione del micrometro, de' suoi errori periodici e progressivi, 
e della posizione del filo mobile relativamente ai fili fissi. Nel corso delle osserva- 
zioni di latitudine non fu necessaria altra ricerca che quest'ultima ; lo studio accurato 
del micrometro fu fatto in seguito, durante le osservazioni per l'azimut di Monte 
Vesco, ed i risultati ne sono diffusamente esposti nella relazione che di quelle osser- 



LATITUDINE DI TORINO 



145 



vazioni ho pubblicato. Senza ripetere la discussione contenuta nelle pagine 5-14 di 
quella Memoria, basterà che qui sia riportata la formula definitiva 

F = 0",5725 (V — m), 

che serve per calcolare la distanza angolare F di uno dei tre fili mobili dal filo di 
mezzo del reticolo fisso, quando sia V la lettura del filo mobile ed m quella del filo 
di mezzo. Entrambe queste letture s'intendono corrette per gli errori periodici della 
vite, che sono molto piccoli, e rappresentati dalla formula 

e = + p ,1297 sin (<p — 62°,83). 

Di errori progressivi non risultò traccia: la vite è di una rara perfezione da 
un capo all'altro della sua corsa. 

Per assicurarmi dell'invariabilità di posizione del reticolo fisso rispetto all'origine 
della numerazione sul reticolo mobile, ho osservato undici volte in dieci sere (nelle 
quali ho pure fatto osservazioni di latitudine con questo metodo) le coincidenze del 
filo mobile M coi 17 fili fìssi. Confrontando il quadro delle coincidenze, che dò qui 
in appresso, col quadro analogo a pag. 6 del citato mio lavoro, si vede che la posi- 
zione reciproca dei due reticoli non ha mutato. L'invariabilità di forma del reticolo 
fisso è pure attestata dal quadro successivo, che dà gl'intervalli fra i fili fissi con- 
tigui, espressi in parti del micrometro. 



Serie II. Tom. XLIV. 



B 



146 



F. PORRO 



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LATITUDINE DI TORINO 



147 



Novemb. 16 


1.399 
0.769 
1.069 
1.092 
0.795 
1.353 
2.692 
4.032 
4.021 
2.691 
1.334 
1.926 
2.121 
1.062 
0.975 
1.311 


Novemb. 15 

luce lampada 


1.354 
0.796 
1.076 
1.086 
0.798 
1.360 
2.692 
4.026 
4.021 
2.688 
1.338 
1.937 
2.107 
1.068 
0.973 
1.324 


Novemb. 15 

luce diurna 


1.365 
0.797 
1.084 
1.068 
0.810 
1.355 
2.694 
4.020 
4.040 
2.667 
ì.347 
1.928 
2.107 
1.067 
0.980 
1.314 


Novembre 1 


1.356 
0.811 
1.084 
1.069 
0.797 
1.351 
2.706 
4.012 
4.045 
2.667 
1.352 
1.915 
2.117 
1.080 
0.965 
1.317 


Maggio 17 


1.362 
0.793 
1.073 
1.093 
0.798 
1.361 
2.685 
4.018 
4.046 
2.672 
1.337 
1.924 
2.127 
1.059 
0.979 
1.329 


Marzo 16 


1.366 
0.794 
1.074 
1.097 
0.787 
1.357 
2.686 
4.034 
4.026 
2.674 
1.351 
1.921 
2.107 
1.064 
0.976 
1.331 


Marzo 14 


1.355 
0.806 
1.082 
1.078 
0.798 
1.358 
2.689 
4.025 
4.024 
2.688 
1.335 
1.927 
2.119 
1.065 
0.969 
1.315 


Gennaio 28 


1.367 
0.789 
1.085 
1.090 
0.793 
1.361 
2.689 
4.019 
4.033 
2.676 
1.345 
1.928 
2.120 
1.069 
0.974 
1.327 


Gennaio 7 


1.355 
0.798 
1.080 
1.083 
0.804 
1.363 
2.681 
4.026 
4.024 
2.689 
1.339 
1.921 
2.123 
1.066 
0.975 
1.317 


1889 
Gennaio 5 


1.360 
0.796 
1.078 
1.084 
0.793 
1.370 
2.679 
4.015 
4.029 
2.678 
1.351 
1.927 
2.113 
1.065 
0.976 
1.315 


1888 
Novemb. 30 


1.364 
0.798 
1.086 
1.089 
0.774 
1.374 
2.698 
4.016 
4.037 
2.672 
1.336 
1.935 
2.101 
1.080 
0.969 
1.328 


Intervalli 
dei fili 


II — I 

III— II 

iv— ni 

V— IV 

VI— V 

vn— vi 

Vili— VII 
IX— Vili 

X— IX 

XI— X 

xn— xi 
xm— xn 
xiv— xm 

XV— XIV 

XVI— XV 
XVII— XVI 



148 



F. PORRO 



L'accordo di questi numeri inter se e con gli analoghi determinati poi in occa- 
sione della misura dell'azimut è veramente superiore ad ogni aspettazione, e dà 
un'alta idea della solida costruzione del pezzo oculare, che, a parer mio, non rara- 
mente costituisce il tallone d'Achille di istrumenti consimili. 

Nei quadri successivi è riunito tutto ciò che importa conoscere delle riduzioni 
fatte per ricavare la latitudine dalle dodici osservazioni al filo mobile. La prima 
colonna contiene i tempi siderali degli appulsi (tempi osservati al cronografo, e cor- 
retti per l'errore dell'orologio); la seconda le corrispondenti letture micrometriche, 
corrette d'error periodico ; la terza le distanze angolari v dal filo di mezzo, calcolate 
colla formula data sopra; la quarta gli angoli orari t; la quinta le espressioni 

2 sin <p cos o sin 2 — , v \ 

R = : — -y, ; la sesta le differenze R — v, le quali , se non esistessero 

sin 1 

gli errori strumentali, dovrebbero essere nuli' altro che <p — ò, e presentare solo le 
piccole divergenze residue. 

È noto (1) che nell'immediata prossimità dello zenit, il coefficiente dell'azimut 
varia con tale rapidità, da rendere sensibilmente diverse le cp — b date dalle suc- 
cessive puntate. Ciò si verifica anche nel mio caso ; e perchè non ho altro mezzo di 
valutare l'azimut fuorché da questo suo più cospicuo effetto, ecco in quale maniera 
ne tengo conto. Poste le R — v come termini noti di altrettante equazioni di con- 
dizione della forma 

n — x -\- ay , 

ricavo coi minimi quadrati i valori di x ed y da ciascun sistema (essendo il coeffi- 
ciente a dell'azimut uguale a — sin t cos ò). In fine ad ogni quadro sono date le x e y 
risultanti da tale calcolo : le R — v calcolate in base alla formula sono poste nella 
colonna settima, di fianco alle R — v osservate; e gli errori residui scritti nell'ottava 
ed ultima colonna mostrano come la rappresentazione dei risultati sia soddisfacente. 

E con questi residui che si è calcolato l'errore medio e 1 di una osservazione, 
scritto in seguito ai valori di x e y. 

Per avere dalle x la distanza zenitale che si sarebbe osservata in primo verti- 
cale, occorre diminuirla di y sin t cos b. La media delle due distanze così determi- 
nate a Verticale Est e a Verticale Ovest, sommata colla declinazione apparente, dà 
una latitudine cp' che, corretta per l'inclinazione dell'asse orizzontale, diventa la lati- 
tudine definitiva. Il quadro successivo, intitolato : " Risultati delle Osservazioni „ con- 
tiene questi calcoli finali. 

Non è inutile insistere sul carattere affatto empirico dell'incognita y, che rap- 
presenterebbe realmente l'azimut strumentale nel solo caso che le divergenze fra i 
valori osservati di R — v provenissero esclusivamente dal diverso effetto di questa 
correzione. Ora, nel caso nostro specialmente, si è molto lungi dal ritenere soddis- 
fatta questa condizione ; di un andamento sistematico delle R — v si potrebbe dare 
la colpa anche agli spostamenti progressivi del pilastro, che le variazioni dell'incli- 
nazione dell'asse rivelano chiaramente. Ad ogni modo la natura del problema non 
ammette una diversa trattazione, come ho verificato io stesso, facendo molti calcoli 
in ipotesi differenti; e del resto l'esiguità dei residui e la distribuzione irregolare 
dei loro segni provano che la compensazione è riuscita soddisfacente. 

(1) Una discussione molto accurata degli effetti di errori strumentali sulle osservazioni di questo 
genere si trova nell'eccellente: " Lehrbuch der Spharischen Astronomie in ikrer Amvendung auf 
Geographische Ortsbestimmung „ di Herr e Tinter (Wien, 1887), pag. 452 e seguenti. 



LATITUDINE DI TORINO 149 

1888 Novembre 25 — a Oygni. 



Verticale Est. 



Tempi siderali 


Letture 
corrette 


v 


t 




(R-v) 
osservate 


(R-v) 
calcolate 


V 


— Kj 


20 h 6 m 


31M4 


1783 p .39 


23U p .99 


31 m 


6'. 19 


951.33 


720.34 


720.14 


J_ 


0.20 


7 


45 .88 


1656 .19 


158 .16 


29 


51 .45 


876.73 


718.57 


719.74 




1.17 


8 


43 .94 


1558 .07 


101 .99 


28 


53 .39 


820.90 


718.91 


719.43 




0.52 


9 


34.10 


1475 .93 


54 .97 




3 .23 


774.12 


719.15 


719.16 




0.01 


10 


16.46 


1409 .54 


17 .13 


27 


20 .87 


735.57 


718.44 


718.93 




0.49 




37 .10 


1379 .92 


0.00 




0.23 


717.32 


717.32 


718.82 




1.50 


12 


2.07 


1245 .73 


76 .82 


25 


35.26 


644.16 


720.98 


718.37 


+ 


2.61 




58 .75 


1164.62 


123 .26 


24 


38 .58 


597.48 


720.74 


718.06 




2.68 


13 


50.17 


1099 .48 


160 .55 


23 


47 .16 


556.71 


717.26 


717.79 


0.53 


14 


44 .52 


1025 .76 


202 .76 


22 


52.81 


514.98 


717.74 


717.49 


+ 


0.25 


15 


21 .86 


977 .32 


230 .48 




15 .47 


487.50 


717.98 


717.29 




0.69 


16 


0.81 


931 .40 


256 .78 


21 


36 .52 


459.52 


716.30 


717.08 




0.78 


17 


18.74 


837 .92 


310.41 


20 


18 .59 


405.98 


716.39 


716.66 




0.27 


18 


6.94 


782 .59 


341 .79 


19 


30-39 


374.53 


716.50 


716.42 


+ 


0.08 


19 


17 .84 


708 .46 


384 .41 


18 


19-49 


330.55 


714.96 


716.02 




1.06 


20 


12.91 


650 .52 


417 .58 


17 


24.42 


298.30 


715.88 


715.72 


+ 


0.16 


21 


35 .76 


572 .66 


462 .16 


16 


1 .57 


252.85 


715.01 


715.28 




0.27 



x = 710.08 y = 4- 104.98680 e l = 0".2771 



Verticale Ovest. 



Tempi siderali 


Letture 
corrette 


V 




t 


R 


(R-v) 
osservate 


(R-v) 
calcolate 


O — C 


20 h 46 m 


30M2 


2278 p .30 


51 4P. 38 




52 s .79 


77.65 


592.03 


592.51 


— 0.48 


47 


44.63 


2237 .32 


490 .92 


10 


7 .30 


100.88 


591.80 


592.14 


— 0.34 


48 


25 .21 


2212 .76 


476 .86 




47 .88 


114.81 


591.67 


591.96 


— 0.29 


49 


6.77 


2185 .36 


461 .17 


11 


29 .44 


130.02 


591.19 


591.77 


— 0.68 




12.74 


2185 .36 


461 .17 




35 .40 


132.26 


593.43 


591.74 


-f 1.69 


50 


20 .79 


2134 .72 


432.18 


12 


43 .46 


159.41 


591.59 


591.42 


+ 0.17 




58 .79 


2104 .50 


414 .88 


13 


21 .46 


175.68 


590.56 


591.24 


— 0.68 


52 


8 .27 


2050 .98 


384 .22 


14 


30.94 


207.44 


591.66 


590.91 


+ 0.75 




41 .76 


2020 .72 


366 .91 


15 


4.43 


223.70 


590.60 


590.75 


— 0.15 


54 


32.11 


1919 .01 


308 .69 


16 


54 .78 


281.60 


590.29 


590.23 


-f 0.06 


55 


35 .69 


1855 .59 


272 .38 


17 


58 .36 


317.87 


590.25 


589.93 


+ 0.32 


56 


42 .72 


1783 .39 


231 .04 


19 


5 .39 


358.69 


589.73 


589.62 


+ 0.11 


57 


38 .70 


1719 .41 


194 .41 


20 


1 .37 


394.59 


589.00 


589.36 


— 0.36 


58 


35 .68 


1653 .70 


156 .80 




58 .35 


432.92 


589.72 


589.09 


+ 0.63 


59 


52 .33 


1556 .39 


101 .09 


22 


15 .00 


487.14 


588.23 


588.73 


— 0.50 


21 


40 .37 


1493 .87 


65 .29 


23 


3 .04 


522.86 


588.15 


588.50 


— 0.35 


1 


28 .81 


1428 .29 


27 .75 




51 .48 


560.06 


587.81 


588.27 


— 0.46 


2 


4.80 


1379 .92 


0.00 


24 


27 .47 


588.59 


588.59 


588.10 


4- 0.49 



x = 595.02 



y = + 91.65279 



6j m 0'M435 



150 F. PORRO 



1889 Gennaio 5 — (3 Aurigae. 



Verticale Est. 



Tempi 


siderali 


Letture 
corrette 


V 


t 


R 


(R — v) 
osservate 


(R-v) 
calcolate 


— C 


5 h 23™ 


57 s .80 


977 p .32 


230P.49 




2P.83 


735.94 


505.45 


504.09 


4- 1.36 


25 


12.69 


1086 .58 


167 .94 


26 


6.94 


670.44 


502.54 


503.95 


— 1.45 


26 


27 .98 


1197 .68 


104 .33 


24 


51 .65 


607.59 


503.26 


503.80 


f\ .fi* A 

— 0.54 


27 


17.96 


1264.18 


66.29 




1 .67 


567.58 


501.29 


503.70 


— 2.41 




58 .60 


1323 .95 


32.04 


23 


21 .03 


536.09 


504.05 


503.63 


-f 0.42 


29 


7.49 


1414 .37 


19 .72 


22 


12.14 


484.70 


504.42 


503.59 


+ 0.83 


30 


25.25 


1508 .64 


73 .69 


20 


54.38 


429.81 


503.50 


503.34 


-f 0.16 


31 


13.22 


1566 .21 


106 .65 




6.41 


397.55 


504.20 


503.25 


+ 0.95 


32 


8.28 


1629.19 


142.71 


19 


11 .35 


362.13 


504.84 


503.15 


-j- 0.69 


33 


27 .43 


1709 .44 


188 .65 


17 


52.20 


314.11 


502.76 


502.99 


— 0.23 


34 


40 .64 


1783 .39 


230 .99 


16 


38 .99 


272.69 


503.68 


502.85 


-f 0.83 


35 


57 .90 


1852 .61 


270 .61 


15 


21 .73 


232.16 


502.77 


502.70 


4- 0.07 


37 


0.60 


1903 .50 


299 .75 


14 


19 .03 


201.64 


501.39 


502.58 


— 1.19 




53 .20 


1947 .32 


324 .84 


13 


26.43 


177.72 


502.56 


502.48 


+ 0.08 


38 


52 .20 


1989 .57 


349 .02 


12 


27 .43 


152.67 


501.69 


502.47 


— 0.78 



x = 500.92 y = + 37.59831 e x = 0".2681 



Verticale Ovest. 



Tempi siderali 


Letture 
corrette 


V 


t 


R 


(R-v) 
osservate 


(R-v) 
calcolate 


— C 


6 h m 


29 s .57 


708?. 46 


384P.41 


9 m 


9 S .94 


82.67 


467.08 


469.04 


— 1.96 




35 .35 


708 .46 


384 .41 




15.72 


84.40 


468.81 


469.03 


— 0.12 


1 


28 .07 


735 .32 


369 .03 


10 


8 .44 


101.18 


470.21 


468.98 


+ 1.23 


2 


31 .66 


774 .75 


346 .46 


11 


12 .03 


123.42 


469.88 


468.93 


+ 0.95 


3 


9.80 


799 .88 


332 .07 




50.17 


137.84 


469.91 


468.89 


-j- 1.02 


4 


9.32 


845 .33 


306 .05 


12 


49 .69 


161.90 


467.95 


468.84 


— 0.89 


5 


1 .69 


882 .39 


284 .84 


13 


42 .06 


184.66 


469.50 


468.79 


4- 0.71 


6 


20 .92 


949 .42 


246 .46 


15 


1 .29 


221.98 


468.44 


468.72 


— 0.28 




51 .73 


977 .32 


230 .49 




32.10 


237.41 


467.90 


468.69 


— 0.79 


7 


47 .04 


1026 .67 


202 .24 


16 


27 .41 


266.39 


468.63 


468.64 


— 0.01 


8 


31 .78 


1069 .09 


177 .95 


17 


12 .15 


291.08 


469.03 


468.60 


4- 0.43 


9 


42 .59 


1141 .83 


136 .41 


18 


22 .96 


332.38 


468.69 


468.53 


+ 0.16 


10 


15.10 


1176 .72 


116 .33 




55.47 


352.18 


468.51 


468.50 


+ 0.01 




52 .68 


1218 .61 


92.35 


19 


33 .05 


375.92 


468.27 


468.47 


— 0.20 


11 


35.16 


1266 .21 


65 .07 


20 


15 .53 


403.51 


468.60 


468.43 


4- 0.17 


12 


30 .04 


1291 .01 


27 .49 


21 


10 .41 


440.84 


468.33 


468.38 


— 0.05 


13 


8.77 


1379 .92 


.00 




49 .14 


468.12 


468.12 


468.35 


— 0.23 



x = 469.54 



y = 4- 17.74523 



£l = 0".1883 



LATITUDINE DI TORINO 151 

1889 Gennaio 7 — (ì Aurigae. 



Verticale Est. 



Tempi siderali 


J-J CUI. 1 wx c 

corrette 


V 


t 


E 


("R y\ 

osservate 


Cg, v ) 

calcolate 


O 


— c 


5 h 23 m 


34 s .06 


93P.50 


256?. 72 


27m 


49 s .73 


761.17 


504.45 


505.71 




1.26 




59.30 


977 .32 


230 .49 




24 .49 


738.35 


507.86 


505.60 


4- 


2.26 


25 


30.35 


1110 .44 


154 .28 


25 


53 .44 


658.96 


504.68 


505.15 




0.47 


26 


6.96 


1166 .31 


122 .29 




16 .83 


628.25 


505.96 


504.98 


4- 


0.98 




49 .46 


1224 .05 


89 .24 


24 


34 .33 


594.43 


504.19 


504.77 




0.58 


27 


41 .13 


1294 .17 


49.09 


23 


42 .66 


552.76 


503.67 


504.52 




0.85 


28 


13.22 


1338 .12 


23.93 




10.57 


528.09 


504.16 


504.36 




0.20 




42 .99 


1379 .92 


.00 


22 


40 .80 


505.76 


505.76 


504.22 


4- 


1.54 


29 


18.52 


1422 .04 


24 .11 




5 .27 


479.69 


503.80 


504.05 




0.25 


30 


26.66 


1503 .50 


70 .75 


20 


57 .13 


431.66 


502.41 


503.72 


— 


1.31 


31 


2.83 


1546 .72 


90 .49 




20.96 


407.19 


502.68 


503.54 




0.96 




36 .22 


1584.88 


117 .34 


19 


47 .57 


385.28 


502.62 


503.38 




0.76 


32 


13.62 


1628 .79 


142 .48 




10 .17 


361.41 


503.89 


503.20 




0.69 




53 .03 


1669 .19 


165 .61 


18 


30.76 


337.05 


502.66 


503.00 




0.34 


33 


27 .58 


1705 .01 


186 .11 


17 


56.21 


316.47 


502.58 


502.83 




0.25 




56 .75 


1735 .72 


203 .69 




27 .04 


299.54 


503.23 


502.69 


+ 


0.54 


34 


45 .35 


1783 .39 


230 .99 


16 


38 .64 


272.69 


503.48 


502.46 




1.02 


35 


54 .24 


1844 .93 


266 .22 


15 


29 .55 


236.11 


502.33 


502.12 




0.21 


36 


33 .33 


1878 .41 


285 .38 


14 


50.46 


216.67 


502.05 


501.93 




0.12 


37 


10.06 


1908 .13 


302 .40 




13 .73 


199.18 


501.58 


501.75 




0.17 



x = 497.59 y = 4 94.80325 e, = 0.2063 



Verticale Ovest. 



Tempi siderali 


Letture 
corrette 


V 


t 


R 


(R-v) 

osservate 


(R-v) 
calcolate 


O — C 


5 h 59» 


4P.27 


690P.57 


399^.80 


8 m 


17 s .48 


67.64 


467.44 


463.79 


4 3.65 


6 


11 .16 


708 .46 


384.41 




47 .37 


77.53 


461.94 


463.62 


— 1.68 




56 .89 


727 .79 


373 .34 


9 


33.10 


89.77 


463.11 


463.37 


— 0.26 


2 


8.83 


768 .30 


350 .15 


10 


45 .04 


113.71 


463.86 


462.98 


4 0.88 




44 .53 


793 .77 


335 .57 


11 


20 .74 


126.68 


462.25 


462.79 


— 0.54 


3 


15 .36 


813 .36 


324 .36 




51 .57 


138.36 


462.72 


462.68 


4 0.04 


4 


21 .34 


861 .74 


296 .66 


12 


57 .55 


165.21 


461.87 


462.26 


— 0.39 




49 .71 


883 .78 


284 .04 


13 


25.92 


177.50 


461.54 


462.11 


— 0.57 


5 


21 .02 


909 .04 


269 .58 




57 .23 


191.55 


461.13 


461.94 


— 0.81 


6 


40 .65 


977 .32 


230 .49 


15 


16.86 


229.71 


460.20 


461.50 


— 0.30 


7 


34 .83 


1024 .96 


203 .21 


16 


11 .04 


257.65 


460.86 


461.21 


— 0.35 


8 


10.60 


1056 .66 


183 .92 




46.81 


276.96 


460.88 


461.01 


— 0.13 




41 .45 


1088 .57 


166 .80 


17 


17 .66 


294.22 


461.02 


460.84 


4 0.18 


9 


19.97 


1130 .30 


142 .91 




56 .18 


316.46 


459.37 


460.63 


— 1.26 




56 .96 


1167 .30 


121 .72 


18 


33 .17 


338.57 


460.29 


460.43 


— 0.14 


11 


11 .49 


1248 .42 


75 .28 


19 


47 .70 


385.37 


460.65 


460.03 


4 0.62 




49.66 


1292 .87 


49 .84 


20 


25 .87 


410.50 


460.34 


459.82 


4 0.52 


12 


42 .69 


1356 .09 


13.64 


21 


18 .90 


446.79 


460.43 


459.53 


4 0.90 


13 


0.19 


1379 .92 


0.00 




36 .40 


459.12 


459.12 


459.44 


— 0.32 




52.95 


1444.73 


37 .10 


22 


29 .16 


497.27 


460.17 


459.15 


4 1.02 



x = 466.50 y == 4 105.99216 e, = 0.2517 



152 Fi. porro 



1889 Gennaio 19 — p Aurigae. 



Verticale Est. 



Tempi siderali 


Letture 
corrette 


V 


t 


R 


(R-v) 

osservate 


(R-v) 
calcolate 


O 


— c 


5 h 25* 59 s .54 


1124P.35 


146P.31 


25* 


24 s .23 


632.98 


48fi.67 


486.38 


+ 


0.29 


26 


38 .01 


1174 .64 


117 .52 


24 


45.76 


601.43 


483.91 


486.41 




2.50 


27 


15.12 


1232 .56 


84 .36 




8 .65 


571.34 


486.98 


486.44 


+ 


0.54 


28 


8.12 


1303 .70 


43 .64 


23 


15.65 


530.80 


487.16 


486.48 


+ 


0.68 


29 


6.85 


1379 .92 


0.00 


22 


16.92 


487.04 


487.04 


486.53 


+ 


0.51 


30 


13.62 


1461 .35 


46 .62 


21 


10.15 


439.64 


486.26 


486.58 


0.32 




52 .09 


1509 .94 


74 .44 


20 


31 .68 


413.39 


487.83 


486.61 


+ 


1.22 


31 


20 .34 


1541 .13 


92.29 




3.43 


394.71 


487.00 


486.64 


+ 


0.36 


32 


14.45 


1601 .59 


126 .91 


19 


9 .32 


360.04 


486.95 


486.68 


+ 


0.27 




50.14 


1636 .52 


146 .90 


18 


33.63 


338.08 


484.98 


486.71 




1.73 


33 


27 .64 


1680 .00 


171 .80 


17 


56.13 


315.69 


487.49 


486.74 




0.75 


34 


11 .31 


1724 .76 


197 .42 




12.46 


290.58 


488.00 


486.77 


+ 


1.23 


35 


14.10 


1783 .39 


230 .99 


16 


9 .67 


256.23 


487.22 


486.82 




0.40 


36 


23 .53 


1843 .43 


265 .36 


15 


0.24 


220.96 


486.32 


486.88 




0.56 




51 .12 


1865 .81 


278 .17 


14 


32 .65 


207.65 


485.82 


486.90 




1.08 



x = 487.60 V — — 15.57296 e 1 = 0.2769 



Verticale Ovest. 



Tempi siderali 


Letture 
corrette 


V 


t 


R 


(R-v) 
osservate 


(R-v) 
calcolate 


O C 


5 h 57» 


28 8 .00 


623". 95 


432P.79 


6 m 


4 8 .23 


36.18 


468.97 


469.52 


— 0.55 


58 


22 .25 


643 .33 


421 .70 




58 .48 


47.78 


469.48 


469,35 


+ 0.13 




59 .72 


660.16 


412.06 


? 


35.95 


56.69 


468.75 


469.24 


— 0.49 


6 


40.92 


708 .46 


384 .98 


9 


17 .15 


84.65 


469.63 


468.93 


+ 0.70 


1 


40 .62 


743 .83 


364 .16 


10 


16.85 


103.76 


467.92 


468.75 


— 0.83 


2 


19.36 


764 .23 


352 .48 




55 .59 


117.19 


469.67 


468.64 


-f 1.03 


3 


0.60 


793 .07 


335 .97 


11 


36 .83 


132.40 


468.37 


468.51 


— 0.14 




35 .74 


817 .00 


322 .27 


12 


11 .97 


146.09 


468.36 


468.40 


— 0.04 


4 


29 .91 


857 .08 


299 .32 


13 


6.14 


170.65 


469.97 


468.24 


+ 1.73 


5 


5.32 


883 .58 


284.15 




41 .55 


184.02 


468.17 


468.13 


-f- 0.04 




33 .60 


906 .01 


271 .31 


14 


9 .83 


196.91 


468.22 


468.05 


+ 0.17 


6 


4.42 


933 .21 


255.74 




40.65 


211.44 


467.18 


467.95 


— 0.77 




55 .06 


977 .32 


230 .49 


15 


31 .29 


236.45 


466.94 


467.80 


— 0.86 


7 


29 .22 


1006 .92 


213 .54 


16 


5.45 


254.11 


467.65 


467.70 


— 0.05 


8 


4.57 


1040 .23 


194.47 




40.80 


273.05 


467.52 


467.59 


— 0.07 



x = 470.62 



y m 58.88191 



fej m 0,1850 



LATITUDINE DI TORINO 153 

1889 Gennaio 28 — p Aurigae. 



Verticale Est. 



Tempi siderali 


Letture 
corrette 


v 


t 


R 


R — v) 
osservate 


(R-v) 
calcolate 


KJ — u 


5 h 15 m 


45 3 .70 


60?. 83 


755U8 


35» 


38\01 


1246.94 


491.76 


492.09 


— 0.33 


16 


54.17 


196 .65 


677 .42 


34 


29 .54 


1169.30 


491.88 


491.81 


4- 0.07 


17 


33 .93 


277 .03 


631 .40 


33 


49 .78 


1124.26 


492.86 


491.65 


+ 1.21 


18 


31 .61 


384 .77 


569 .72 


32 


52.10 


1061.25 


491.53 


491.41 


+ 0.12 


19 


30 .39 


492 .95 


507 .79 


31 


53.32 


999.22 


491.43 


491.17 


+ 0.26 


20 


14.98 


572 .76 


462.10 




8 .75 


953.10 


491.00 


490.99 


+ 0.01 


21 


32 .51 


708 .46 


384 .41 


29 


51 .20 


875.73 


491.32 


490.67 


4- 0.65 




50 .24 


736 .42 


368 .40 




33.47 


858.48 


490.08 


490.60 


— 0.52 


22 


56.11 


845 .63 


305 .88 


28 


27 .60 


796.01 


490.13 


490.33 


— 0.20 


23 


37 .31 


910 .85 


268 .54 


27 


46.40 


758.11 


489.57 


490.16 


— 0.59 


24 


18.90 


977 .32 


230 .49 




4 .81 


720.75 


490.26 


489.99 


+ 0.27 


25 


12.81 


1056.19 


185 .33 


26 


10 .90 


693.77 


489.44 


489.77 


— 0.33 




57 .61 


1123 .54 


146 .78 


25 


26 .10 


635.96 


489.18 


489.58 


— 0.40 


26 


45.89 


1190.67 


108 .35 


24 


37 .82 


596.38 


488.03 


489.39 


— 1.36 


28 


3.09 


1298 .08 


46.85 


23 


20.62 


535.75 


488.90 


489.07 


— 0.17 


29 


5.35 


1379 .92 


.00 


22 


18 .36 


489.15 


489.15 


487.78 


+ 1.37 



* = 483.29 y = -4- 80.30976 e 1 = 0.1661 



Verticale Ovest. 



Tempi siderali 


Letture 
corrette 


V 


t 


R 


(R-v) 
osservate 


(R-v) 
calcolate 





— C 


6 h m 


44 s .94 


708P.46 


384P.41 


9 m 


2P.23 


86.08 


470.49 


471.00 




0.51 


3 


14.06 


797 .88 


333 .22 


11 


50.35 


137.89 


471.11 


470.49 


+ 


0.62 




55 .39 


827 .08 


316 .50 


12 


31 .68 


154.41 


470.91 


470.29 




0.62 


4 


31 .86 


854 .79 


300 .64 


13 


8 .15 


169.75 


470.39 


470.22 




0.17 


5 


24 .74 


897 .38 


276 .25 


14 


1 .03 


193.28 


469.53 


470.04 


0.51 


6 


58 .55 


977 .32 


230 .49 


15 


34.84 


238.81 


469.30 


469.72 




0.42 


7 


34 .23 


1008 .13 


212.85 


16 


10 .52 


257.36 


470.21 


469.60 


+ 


0.61 


8 


22 .83 


1055 .79 


185 .56 




59 .12 


288.76 


469.22 


469.44 


0.22 


9 


19 .54 


1112.86 


152 .89 


17 


55 .83 


316.23 


469.12 


469.24 




0.12 




52 .36 


1148 .82 


132 .30 


18 


28 .65 


335.77 


468.07 


469.13 




1.05 


10 


33.57 


1190 .87 


108.34 


19 


9 .86 


361.20 


469.54 


468.99 


+ 


0.55 


11 


12.75 


1235 .82 


8 2 .50 




49 .04 


386.22 


468.72 


468.86 


0.14 


12 


15.11 


1308 .64 


40 .81 


20 


51 .40 


427.72 


468.52 


468.64 




0.12 


13 


13.90 


1379 .92 


.00 


21 


50.19 


468.82 


468.82 


468.44 




0.38 




45.99 


1420 .42 


23.19 


22 


22.28 


492.05 


468.86 


468.33 


0.53 


14 


21 .01 


1467 .70 


50 .25 




57 .30 


518.07 


467.82 


468.21 




0.39 



x = 472.92 y = + 66.49520 e x = 0.1265 

Serie IL Tom. XLIV. t 



154 F. PORRO 

1889 Febbraio 17 — P Àurigae. 



Verticale Est. 



Tempi siderali 


Tiùtfni'D 

corrette 


V 


t 


R 


V" V J 
osservate 


CR v ) 

calcolate 


- C 


5 h 20 m 


18 s .21 


572 p 76 


462U0 




5M9 


949.49 


487.39 


487.09 


-j- 0.30 


21 


36 Ì69 


708 .46 


384 .41 


29 


46 .71 


871.34 


486.93 


486.76 


-[- 0.17 


22 


29 .04 


795 .47 


334 .60 


28 


54 .36 


821.11 


486.51 


486.55 


— 0.04 


23 


15.88 


87 1 27 

Oli e *W i 


5*91 20 




7 .52 


777.40 


486.20 


486.36 


0.16 




52 .86 


928 .39 


258 .50 


27 


30 .54 


743.77 


485Ì27 


486Ì20 


— 0.93 


24 


23 .38 


977 .32 


230 .49 




.02 


716.54 


486.05 


486.08 


— 0.03 


25 


31 .99 


1081 .49 


170 .85 


25 


51 .41 


656.73 


485.88 


485.80 


+ 0.08 


26 


6.05 


1130 .10 


143 .02 




17 .35 


628.66 


485.64 


485.66 


— 0.02 




39 .46 


1177 .71 


115 .76 


24 


43 .94 


601.12 


485.56 


485.52 


+ 0.04 


28 


1 .31 


1290 .77 


51 .04 


23 


22 .09 


636.87 


485.83 


485.28 


4- 0.55 




34 .36 


1334 .22 


26 .16 


22 


49 .04 


511.92 


485.76 


485.04 


-j- 0.72 


29 


11 .00 


1379 .92 


0.00 




12.40 


484.86 


484.86 


484.89 


— 0.03 


30 


38 .89 


1486 .98 


60.72 


20 


40.91 


423.28 


484.00 


484.53 


— 0.53 


31 


34.06 


1550 .71 


97 .78 


19 


49 .34 


486.42 


484.20 


484.30 


— 0.10 


32 


11 .18 


1591 .27 


121 .00 




12.22 


362.68 


483.68 


484.15 


— 0.47 




55 .54 


1639 .23 


148 .45 


18 


27 .86 


335.90 


483.35 


483.96 


-f 0.39 



x = 479.37 y — -f 80.63636 6] = 0.1005 



Verticale Ovest. 



Tempi siderali 


Letture 
corrette 


V 


t 


R 


(R-v) 
osservate 


(R-v) 
calcolate 


- C 


6 h m 


40M7 


708?. 46 


384P.41 


9 m 


16 s .77 


84.72 


469.13 


469.41 


— 0.28 


2 


7.24 


759 .66 


355 .10 


10 


43 .84 


113.29 


468.39 


469.26 


— 0.87 




55 .98 


787 .78 


339 .00 


11 


32.58 


131.08 


470.08 


469.17 


+ 0,91 


3 


38 .03 


817 .20 


322.16 


12 


14.63 


147.48 


469.64 


469.10 


-f- 0.54 


4 


15.68 


846 .03 


305 .65 




52.28 


162.95 


468.60 


469.03 


— 0.43 


5 


12.67 


889 .97 


280 .50 


13 


49 .27 


187.93 


468.43 


468.93 


— 0.50 




53.18 


921 .84 


262 .25 


14 


29 .78 


206.71 


468.96 


468.86 


+ 0.10 


6 


56 .80 


977 .32 


230 .49 


15 


33.40 


238.06 


468.55 


468.74 


— 0.19 


7 


25 .35 


1001 .49 


216 .65 


16 


1 .95 


252.59 


469.24 


468.69 


+ 0.55 


8 


5.77 


1040 .33 


194 .41 




42.37 


274.55 


468.96 


468.62 


-j- 0.34 




59 .30 


1093 .07 


164 .22 


17 


35 .90 


304.61 


468.83 


468.52 


4- 0.31 


9 


34 .78 


1130.30 


142 .91 


18 


11 .38 


325.48 


468.39 


468.46 


— 0.07 


10 


29.91 


1188 .47 


109 .60 


19 


6 .51 


359.10 


468.70 


468.36 


+ 0.34 


11 


7 .46 


1231 .00 


85.26 




44.06 


382.98 


468.24 


468.29 


— 0.05 


12 


5.47 


1297 .98 


46.91 


20 


42 .07 


421.38 


468.29 


468.19 


+ o.io 


13 


11 .38 


1379 .92 


.00 


21 


47 .98 


467.27 


467.27 


468.07 


— 0.80 



x = 470.41 



y = 4- 34.76543 



€j = 0.1225 



LATITUDINE DI TORINO 155 

1889 Febbraio 18 — f} Aurigae. 



Verticale Est. 



Tempi siderali 


Letture 
corrette 


V 




t 


R 


(R — v) 
osservate 


(R — v) 
calcolate 





— c 




39 9 .79 


i ìoyp.uo 


I/CO .44 




4o .oy 


QA A QQ 


AH 1 QO 

4/ 1 .oc 


4/U.DO 


1 


O.oo 


33 


20 .27 


1 1 J / .10 


1 K.A 1 O 




O .11 


OcU.Ol 


4/U.Do 


AH C\ K ~* 


+ 


A AO 




53 .03 


lUoo .lo 


1 AC! 1 T 

loò Al 


1 / 


ÓO .DO 


oUl .41 


a fin kq 


A 1 A A fi 

4/U.40 




A OO 

U.bo 


34 


48 .55 


1031 .10 


199 .70 


16 


34 .83 


270.42 


470.12 


470.31 




0.19 


35 


16.10 


1004 .91 


214 .69 




7 .28 


255.66 


470.35 


470.24 


4- 

1 


0.11 




46 .34 


977 .32 


230 .49 


15 


37 .04 


239.92 


470.41 


470.15 


+ 


0.26 


37 


2.72 


912 .16 


267 .79 


14 


20 .66 


202.41 


470.20 


469.94 


+ 


0.26 




34 .54 


888 .57 


281 .30 


13 


48 .88 


187.75 


469.05 


469.86 




0.81 


38 


5.34 


863 .04 


295 .91 




18 .04 


174.05 


469.96 


469.77 




0.19 




59.48 


824 .84 


317 .78 


12 


23 .90 


151.23 


469.01 


469.62 




0.61 


39 


33.49 


800 .18 


331 .90 


11 


49 .89 


137.72 


469.62 


469.53 


+ 


0.09 


40 


6.25 


777 .51 


344 .88 




17 .13 


125.31 


470.19 


469.44 




0.75 


41 


20 .33 


732 . 1 1 


370 .87 


10 


3.05 


99.39 


470.26 


469.24 


+ 


1.02 


42 


8.69 


708 .46 


384 .41 


9 


14 .69 


84.09 


468.50 


469.10 




0.60 


43 


12.01 


676 .72 


402 .58 


8 


11 .37 


65.99 


468.57 


468.93 




0.36 




49.32 


659 .36 


412 .52 


7 


34 .06 


56.35 


468.87 


468.83 


+ 


0.04 



x = 467.58 y =-V 53.38537 ^ = 0.1356 



Verticale Ovest. 



Tempi siderali 


Letture 
corrette 


v 


t 


R 


(R-v) 
osservate 


(R-v) 
calcolate 





- C 


6 b m 


7 S .31 


2102P.20 


413P.50 


gm 


43 3 .93 


75.02 


488.52 


484.65 


+ 


3.87 




53 .09 


2069 .68 


394 .89 


9 


29 .71 


88.70 


483.59 


484.41 




0.82 


1 


44 .35 


2050 .98 


384 .18 


10 


.97 


98.70 


482.88 


484.24 




1.36 


2 


23.54 


2017 .30 


364 .90 


11 


.16 


119.12 


484.02 


483.93 


+ 


0.09 


3 


0.81 


1989 .27 


348 .85 




37 .43 


132.87 


481.72 


483.74 




2.02 




34 .95 


1969 .09 


337 .30 


12 


11 .57 


146.27 


483.57 


483.56 


I 

T" 


0.01 


4 


13.43 


1941 .13 


321 .29 




50 .05 


161.54 


482.83 


483.35 




0.52 


5 


11 .12 


1896.17 


295 .55 


13 


47 .74 


187.21 


482.76 


483.05 




0.29 




50 .86 


1864.23 


277 .27 


14 


27 .48 


205.63 


482.90 


482.84 


+ 


0.06 


6 


27 .76 


1832 .81 


259 .30 


15 


4.38 


223.49 


482.79 


482.65 




0.14 


7 


21 .72 


1783.39 


230 .99 




58 .34 


250.95 


481.94 


482.36 


0.42 


8 


24 .91 


1724 .78 


197 .41 


17 


1 .53 


285.11 


482.52 


482.03 


+ 


0.49 


9 


1 .87 


1685 .98 


175 .22 




38 .49 


306.-11 


481.33 


481.84 




0.51 


10 


3.47 


1622 .74 


139 .01 


18 


40 .09 


342.75 


481.76 


481.52 


+ 


0.24 




33 .83 


1587 .88 


119 .06 


19 


10 .45 


361.56 


480.62 


481.35 


0.73 


11 


6.70 


1553 .30 


100 .40 




43 .32 


382.50 


482.90 


481.18 


+ 


1.72 



x = 487.41 



y = 



€j = 0.3250 



156 F. PORRO 



1889 Febbraio 25 — P Aurigae. 



Verticale Est. 



Tempi siderali 


Letture 
corrette 


V 

V 


t 


il. 


(R-v) 
osservate 


(R-v) 
calcolate 


fi o 


5 h 31 m 


15 s .53 


125P.71 


73 p .40 


20 m 


7 S .70 


398.42 


471.82 


472.28 


— 0.46 


33 


2.45 


1132 .31 


141 .76 


18 


20 .78 


331.05 


472.81 


472.08 


+ 0.73 




46 .63 


1086 .58 


167 .94 


17 


36 .60 


305.02 


472.96 


471.99 


0.97 


34 


18.68 


1057 .18 


184 .77 




4 .55 


286.80 


471.57 


471.93 


— 0.36 


35 


13 .90 


1003 .80 


215.33 


16 


9 .33 


256.73 


472.06 


471.82 


4- 0.24 




46 .07 


977 .32 


230 .49 


15 


37 .16 


239.98 


470.47 


471.76 


— 1.29 


36 


33 .94 


935 .02 


254 .70 


14 


49 .29 


216.09 


470.79 


471.66 


— 0.89 


37 


24.13 


891 .67 


279 .52 


13 


59 .10 


192.40 


471.92 


471.57 


4- 0.35 




54.81 


868 .00 


293 .07 




28 .42 


178.59 


471.66 


471.51 


+ 0.15 


38 


31 .98 


840 .93 


308 .57 


12 


51 .25 


162.55 


471.12 


471.43 


— 0.31 


39 


22 .91 


802 .39 


330 .64 




.32 


141.79 


472.43 


471.34 


4- 1.09 




54 .69 


782 .59 


341 .97 


11 


28 .54 


129.56 


471.53 


471.27 


-f 0.26 


40 


55.10 


745 .83 


363 .02 


10 


28 .13 


107.82 


470.84 


471.16 


— 0.32 


41 


27 .48 


725 .87 


374 .44 


9 


55 .75 


97.00 


471.44 


471.09 


4- 0.35 


42 


1 .09 


708 .46 


384 .41 




22.14 


86.37 


470.78 


471.03 


— 0.25 




44 .50 


686 .17 


397 .57 


8 


38 .73 


73.53 


470.70 


470.94 


— 0.24 



x = 469.93 y — + 37.92685 e 1 = 0.1577 



Verticale Ovest. 



Tempi siderali 


Letture 
corrette 


V 


t 


R 


(R-v) 
osservate 


(R-v) 
calcolate 


— C 


5 h 56 m 


29 s .37 


2185^.36 


46P.11 


5 m 


6M4 


25.62 


486.73 


486.32 


4- 0.41 


57 


53 .49 


2156 .29 


444 .47 


6 


30.26 


41.62 


486.09 


486.01 


+ 0.08 


58 


28.15 


2142.13 


436 .36 


7 


4.92 


49.40 


485.76 


485.88 


— 0.12 


59 


6.03 


2126 .07 


427 .17 




42.80 


58.54 


485.71 


485.74 


— 0.03 


6 


5.70 


2097 .18 


410 .64 


8 


42.47 


74.59 


485.23 


485.52 


— 0.29 




50 .86 


2072 .26 


396 .36 


9 


27 .63 


88.06 


484.42 


485.36 


— 0.94 


1 


33 .53 


2050 .98 


384.18 


10 


10 .30 


101.75 


485.93 


485.20 


4- 0.73 


2 


29.15 


2015 .38 


363 .80 


11 


5.92 


121.18 


484.98 


485.00 


— 0.02 




59 .74 


1994 .87 


352 .05 




36 .51 


132.57 


484.62 


484.89 


— 0.27 


3 


31 .53 


1974.15 


340 .20 


12 


8 .30 


144.96 


485.16 


484.77 


4- 0.39 


4 


39 .99 


1922 .94 


310 .88 


13 


16.76 


173.48 


484.36 


484.52 


— 0.16 


5 


14.44 


1896 .68 


295 .85 




51 .21 


188.80 


484.65 


484.39 


4- 0.26 



x = 487.44 



y = 4- 71.30278 



6j = 0.1233 



LATITUDINE DI TORINO 157 

1889 Maggio 17 — 55 Bootis. 



Verticale Est. 



Tempi siderali 


Letture 
corrette 


V 




t 


R 


(R — v) 
osservate 


(R — v) 
calcolate 


— C 


1 Ah Om 


y .o i 


OAKrtn no 


o84 p .lo 


OOm 
OC 


O A s Ad 

o4 s .49 


104o.37 


o59. 19 


Afri nn 

659.99 


— 0.80 




47 .79 


ì me no 
19/D .ve 


OA 1 *7Q 


Q 1 


OD .Ci 




ì o a 
obi .24 


ceri q/2 


-J- l.oo 


3 


17.38 


1925 .56 


312 .38 




26 .68 


972.38 


660.00 


659.76 


4- 0.24 


4 


14.06 


loco .yj t 


eoo . ^±C 


ou 


qn nn 
OU .V)VJ 


ni a co 


ooy.'i / 


ooy .o / 


U. 1U 




38 .79 


1783 .39 


230 .99 




5 .27 


890.35 


659.36 


659.48 


— 0.12 


5 


7 .87 


1734 .02 


202 .82 


29 


36 .19 


861.85 


659.03 


659.38 


— 0.35 




55.16 


1656 .49 


158 .43 


28 


48 .90 


816.70 


658.27 


659.22 


— 0.95 


6 


33.19 


1592.77 


121 .96 




10 .87 


781.26 


659.30 


659.09 


+ 0.21 


7 


15.88 


1427 .08 


82.24 


27 


28 .18 


742.27 


660.03 


658.95 


+ 1.08 


8 


52 .66 


1379 .92 


0.00 


25 


51 .40 


657.81 


657.81 


658.60 


— 0.79 


9 


36 .63 


1314 .47 


37 .57 




7 .43 


621.02 


658.59 


658.45 


-f- 0.14 


10 


16.55 


1258 .66 


69 .52 


24 


27 .51 


588.66 


658.18 


658.32 


— 0.14 


11 


26 .06 


1163.04 


124 .26 


23 


18 .00 


534.22 


658.48 


658.08 


+ 0.40 


12 


1 .18 


1118 .61 


149 .70 


22 


42 .88 


507.75 


657.45 


657.95 


— 0.50 




41 .39 


1066 .31 


179.64 




2 .67 


478.22 


657.86 


657.82 


+ 0.04 


13 


53 .76 


977 .32 


230 .59 


20 


50 .30 


427.40 


657.99 


657.57 


4- 0.42 



x = 653.28 y = + 66.88489 % = 0.1570 



Verticale Ovest. 



Tempi siderali 


Letture 
corrette 


V 


t 


R 


(R-v) 
osservate 


(R -v) 
calcolate 


— C 


14 h 41 m 


37 s .42 


2464M3 


620P.80 


6 m 


53 s .36 


46.74 


667.54 


667.78 


— 0.24 


42 


12.48 


2449 .42 


612.38 


7 


28 .42 


55.01 


667.39 


667.64 


— 0.25 




45 .03 


2435 .22 


604 .16 


8 


0.97 


63.28 


667.44 


667.50 


— 0.06 


44 


14.16 


2389 .84 


578 .18 


9 


30.10 


88.91 


667.09 


667.13 


— 0.04 




55 .79 


2366 .31 


564 .71 


10 


11 .73 


102.37 


667.08 


666.96 


+ 0.12 


45 


29.16 


2345 .93 


553 .04 




45.10 


113.83 


666.87 


666.82 


-f- 0.05 


46 


26 .50 


2308 .03 


531 .34 


11 


42 .44 


134.96 


666.30 


666.58 


— 0.28 


47 


11 .06 


2278 .30 


514.32 


12 


27 .00 


152.63 


666.95 


666.40 


+ 0.55 




46 .86 


2250 .42 


498 .36 


13 


2.80 


167.71 


666.07 


666.25 


— 0.18 


49 


10.67 


2185 .36 


461 .11 


14 


26 .61 


205.40 


666.51 


665.90 


-f 0.61 




46.18 


2154 .10 


443 .22 


15 


2 .12 


222.58 


665.80 


665.76 


4- 0.04 


50 


41 .03 


2105 .71 


415 .51 




56 .97 


250.99 


666.50 


665.53 


4- 0.97 


51 


38 .68 


2050 .98 


384.18 


16 


54.62 


281.52 


665.70 


665.29 


-f- 0.41 


52 


16.59 


2012.06 


361 .90 


17 


32 .53 


302.96 


664.86 


665.13 


— 0.27 


53 


12.01 


1951 .31 


327 .12 


18 


27 .95 


335.04 


662.16 


664.90 


— 2.74 




51 .24 


1914 .78 


306 .21 


19 


7 .18 


359.83 


666.04 


664.74 


+ 1.30 



x = 669.50 y = + 80.59067 6! = 0.2135 



158 F. FOREO 



1889 Novembre 1 — a Cygni. 



Verticale Est. 



Tempi siderali 


Letture 
corrette 


V 


t 


R 


(R — v) 
osservate 


(R-v) 
calcolate 


— c 


20" 15 m 


9 S .86 


1 1 A Av OQ 


1 Q/tP QQ 


22 m 


29 s .98 


AQQ 1 9 
4yo. 1/C 


aoo AK 
Ooo.UO 




1 A OA 

-j— yj.iCK) 




44 .90 


1098 .78 


160 .95 


21 


54 .94 


472.55 


633.50 


633.05 


-f 0.45 


16 


17.67 


1058 .07 


184 .26 




22 .17 


449.41 


633.67 


633.23 


-f- 0.44 




46 .68 


1024 .15 


203 .68 


20 


53.16 


429.29 


632.97 


633.39 


— 0.42 


17 


26 .36 


977 .32 


230 .49 




13 .48 


402.55 


633.04 


633.60 


— 0.56 


18 


21 .41 


913 .56 


266 .99 


19 


18 .43 


366.86 


633.85 


633.91 


— 0.06 




56 .47 


873 .95 


289 .67 


18 


43 .37 


345.04 


634.71 


634.10 


+ 0.61 


19 


30 .55 


840 .33 


308 .91 




9 .29 


324.43 


633.34 


634.29 


— 0.95 


20 


24 .39 


784 .08 


341 .12 


17 


15.45 


293.16 


634.28 


634.58 


— 0.30 


21 


1 .30 


748 .12 


361 .70 


16 


38 .54 


272.64 


634.34 


634.78 


— 0.44 




43 .75 


708 .46 


384 .41 


15 


56 .09 


249.97 


634.38 


635.02 


— 0.64 


22 


32.47 


663 .73 


410 .02 




7.37 


225.13 


635.15 


635.29 


— 0.14 


23 


8.98 


631 .50 


428 .47 


14 


29 .86 


206.92 


635.39 


635.49 


— 0.10 




55.93 


590 .07 


452 .19 


13 


43.91 


185.63 


637.82 


635.74 


+ 2.08 


24 


23 .92 


572 .76 


462 .10 




15 .92 


173.23 


635.33 


635.90 


— 0.57 




57 .31 


545 .83 


477 .52 


12 


42.53 


159.02 


636.54 


636.09 


+ 0.45 



x = 640.28 y = — 106.94706 e, = 0.1888 



Verticale Ovest. 



Tempi 


siderali' 


Letture 
corrette 


V 


t 


R 


(R-v) 
osservate 


(R-v) 
calcolate 


— C 


20 h 42 m 


12M7 


2472". 06 


625P.25 




32 s .33 


20.29 


645.54 


645.41 


-f 0.13 




43 .65 


2463 .83 


620 .54 


5 


3 .81 


25.25 


645.79 


645.60 


+ 0.19 


43 


18.42 


2453 .30 


614 .51 




38 .58 


31.42 


645.93 


645.80 


+ 0.13 




48 .88 


2443 .93 


609 .15 


6 


9 .04 


37.25 


646.40 


645.99 


4- 0.41 


44 


50 .37 


2419 .11 


594 .94 


7 


10.53 


50.70 


645.64 


646.35 


— 0.91 


45 


57 .67 


2389 .84 


578 .18 


8 


17 .83 


67.78 


645.96 


646.75 


— 0.79 


46 


35 .27 


2372.16 


568 .06 




55.43 


78.42 


646.48 


646.98 


— 0.50 


47 


39 .04 


2338 .52 


548 .80 


9 


59 .20 


98.19 


646.99 


647.35 


— 0.36 


48 


31 .54 


2307 .83 


531 .22 


10 


51 .70 


116.15 


647.38 


647.67 


— 0.29 


49 


20 .87 


2278 .30 


514 .32 


11 


41 .03 


134.40 


648.72 


647.96 


+ 0.76 




54.57 


2255 .89 


501 .49 


12 


14 .73 


147.59 


649.08 


648.16 


-(- 0.92 


50 


35 .22 


2225 .36 


485 .01 




55.38 


164.42 


649.43 


648.40 


4- 1-03 


52 


11 .11 


2149 .52 


440 .50 


14 


31 .27 


207.58 


648.08 


648.97 


— 0.89 




50 .52 


2118 .91 


423 .07 


15 


10 .68 


226.78 


649.85 


649.21 


4- 0.64 


53 


26 .65 


2085 .48 


403 .93 




46.81 


245.12 


649.05 


649.42 


— 0.37 


54 


4.25 


2050 .98 


384 .18 


16 


24.41 


264.97 


649.15 


649.64 


— 0.49 


x = 


= 643.78 




y = 




115.52481 




6j — 0.1583 



LATITUDINE DI TORINO 



159 



1889 Novembre 15 — a Cygni. 



Verticale est. 



Tempi siderali 


Letture 
cori-ette 


v 


t 


R 


(R — v) 
osservate 


(R-v) 
calcolate 


— C 


20 h 4 m 12 s .93 

5 25 .09 

6 23.18 

7 2.62 
33 .04 
5b .13 

8 45 .40 

9 21 .20 
53 .09 

10 57 .32 

1 1 22 .77 

12 8 .39 
56 .67 

13 33 .80 

14 27.16 

15 3 .07 
27 .09 


572P.76 
708 .46 
814 .27 
884 .98 
935 .82 
977 .32 
1059 .36 
1119 .21 
1170 .08 
1271 .17 
1310.04 
1379 .92 
1448 .72 
1499 .68 
1572 .66 
1620 .02 
1651 .31 


462U0 
384 .41 
323 .83 
283 .35 
254 .25 
230 .49 
183 .52 
149 .26 
120 .13 
62.26 
40 .01 
0.00 
39 .39 
68 .56 
110 .34 
137 .46 
155 .37 


33 m 27 s .52 
32 14 .36 
31 16.27 
30 36 .83 
6 .41 
29 43 .32 
28 54 .05 

18 .25 
27 46 .36 
26 42.13 

16 .68 
25 31 .06 
24 42 .78 
5 .65 
23 12 .29 
22 36 .38 

12.36 


1100.50 
1021.74 
961.51 
921.57 
891.35 
868.73 
821.43 
787.91 
758.68 
701.39 
679.28 
640.21 
600.84 
571.19 
529.81 
502.87 
485.19 


638.40 
637.33 
637.68 
638.22 
637.10 
638.24 
637.91 
638.65 
638.55 
639.13 
639.27 
640.21 
640.23 
639.75 
640.15 
640.33 
640.50 


637.19 
637.54 
637.82 
63S.01 
638.16 
638.27 
638.51 
638.69 
638.84 
639.16 
639.28 
639.50 
639.73 
639.92 
640.18 
640.35 
640.47 


+ 1.21 

— 0.21 

— 0.14 
-f 0.21 

— 1.06 

— 0.03 

— 0.60 

— 0.04 

— 0.29 

— 0.03 

— 0.01 
+ 0.71 
+ 0.50 

— 0.17 

— 0.03 

— 0.02 
+ 0.09 


x = 646.98 y = — 95.02701 ^ = 0.1203 

Verticale Ovest. 


Tempi siderali 


Letture 
corrette 


V 


t 


R 


(R — v) 
osservate 


(R-v) 
calcolate 


— c 


21 h m 46 s .09 

1 13 .26 
47 .99 

2 22 .26 

3 17 .66 
49.79 

4 29 .69 

5 5.49 

6 4.99 
40 .39 

7 14.45 
32 .66 

8 20 .51 
53 .66 

9 29 .97 
10 3.86 


1170P.08 
1206 .51 
1253 .40 
1299 .78 
1379 .92 
1427 .28 
1486 .28 
1542 .23 
1636 .82 
1698 .97 
1751 .71 
1783 .39 
1864 .92 
1922 .24 
1987 .48 
2050 .98 


Ì20U3 
99.28 
72 .43 
45.88 
0.00 
27 .11 
60.89 
92.92 
147 .07 
179 .79 
212 .85 
230 .99 
277 .66 
310.48 
347 .83 
384 .18 


23 m 6 S .64 
33.81 

24 8 .54 
42 .81 

25 38 .21 

26 10 .34 
50.24 

27 26 .04 

28 25 .54 

29 0.94 
35.00 
53 .21 

30 41 .13 

31 14.21 
50 .52 

32 24 .41 


525.50 
546.28 
573.43 
600.85 
646.57 
673.82 
708.49 
740.27 
794.67 
827.97 
860.61 
878.36 
925.89 
959.41 
996.81 
1032.50 


645.63 
645.56 
645.86 
646.73 
646.57 
646.71 
647.60 
647.35 
647.60 
648.18 
647.76 
647.37 
648.23 
648.93 
648.98 
648.32 


645.76 
645.91 
646.11 
646.19 
646.61 
646.79 
647.02 
647.22 
647.55 
647.75 
647.94 
648.04 
648.31 
648.50 
648.70 
648.89 


— 0.13 

— 0.35 

— 0.25 
4- 0.54 

— 0.04 

— 0.08 
+ 0.58 
4- 0.13 
-L 0.05 
4- 0.43 

— 0.18 

— 0.67 

— 0.08 
+ 0.43 
+ 0.28 

— 0.57 



x = 637.94 y = — 109.68269 ^ = 0.09210 



160 



F. PORRO 



1889 Novembre 16 — a Cygni. 



Verticale Est. 



Tempi 


siderali 


Letture 
corrette 


V 


t 


R 


(R — v) 

osservate 


(R — v) 
calcolate 


— C 


OAh 1 Km 


oo . lo 


lUo / p .OO 




21 m 


4P.27 


4D/C.OO 


bou. 19 


OoO.bO 


A A 1 

— U.41 


16 


28 .99 


1048 .72 


189 .61 




10 .43 


441.17 


630.78 


630.77 


+ 0.01 


17 


8 .90 


999 .58 


217 .74 


20 


30 .50 


413.92 


631.66 


630.99 


4- 0.67 




29 .35 


977 .32 


230 .49 




10.07 


399.63 


630.12 


631.10 


+ 0.02 


18 


30 .74 


906 .52 


271 .02 


19 


8 .68 


360.73 


631.75 


631.43 


+ 0.32 




58 .98 


874 .84 


289.16 


18 


40.44 


343.23 


632.39 


631.58 


4- 0.81 


19 


28 .81 


845.13 


386 .17 




10.61 


325.23 


631.50 


631.74 


— 0.24 




55 .90 


816.29 


322 .68 


17 


43 .52 


309.28 


631.96 


631.89 


+ 0.07 


20 


45 .26 


767 .10 


350 .84 


16 


54 .16 


281.24 


632.08 


632.16 


— 0.08 


21 


20 .33 


733 .01 


370 .36 




19.09 


262.13 


632.49 


632.35 


-f 0.14 




47 .33 


708 .46 


384 .41 


15 


52.09 


247.88 


632.29 


632.50 


— 0.21 


22 


23.65 


674 .25 


404 .00 




15.77 


229.33 


633.33 


632.69 


— 0.36 


23 


18.97 


629 .90 


429 .39 


14 


20 .45 


202.47 


631.86 


632.99 


— 1.13 




44 .65 


606 .01 


443 .06 


13 


54 .77 


190.48 


633.54 


633.13 


-|- 0.41 


24 


28 .81 


572 .66 


462.16 




10 .61 


170.94 


633.10 


633.37 


— 0.27 


25 


9.83 


541 .23 


480.15 


12 


29 .59 


153.67 


633.82 


633.60 


+ 0.22 



x 637.67 y a= — 105.57484 e, = 0.1137 



Verticale Ovest. 



Tempi siderali 


Letture 
corrette 


V 


t 


R 


(R-v) 

osservate 


(R-v) 

calcolate 


— C 


20 h 59 m 


29 s .65 


1699". 58 


183 p .00 


21 m 


50 s .23 


469.22 


652.22 


652.61 


— 0.39 




59 .06 


1663.46 


162 .33 


22 


19 .64 


490.50 


652.83 


652.79 


-f 0.04 


21 


34.42 


1619 .62 


377 .23 




55.00 


516.76 


653.99 


652.99 


-j- 1-00 


1 


7.89 


1572 .94 


110.50 


23 


28 .47 


542.19 


652.69 


653.19 


— 0.50 


2 


7.77 


1491 .07 


63.63 


24 


28 .35 


589.26 


652.89 


653.54 


— 0.65 




38 .73 


1449 .22 


39 .67 




59 .31 


614.27 


653.94 


653.72 


4- 0.22 


3 


10.73 


1401 .69 


12 .46 


25 


31 .31 


640.80 


653.26 


653.91 


— 0.65 




27 .83 


1379 .92 


.00 




48 .41 


655.03 


655.03 


654.01 


-f 1.02 


4 


27 .29 


1288 .57 


52.30 


26 


49 .87 


707.34 


655.04 


654.37 


4 0.67 


5 


1 .31 


1236 .42 


82.15 


27 


21 .89 


736.55 


654.40 


654.56 


— 0.16 




32 .56 


1185.48 


111 .32 




53.14 


764.84 


653.52 


654.75 


— 1.23 


6 


2.84 


1139 .13 


137 .85 


28 


23 .42 


792.75 


654.90 


654.92 


— 0.02 




52 .47 


1060 .06 


183 .12 


29 


13 .05 


839.61 


656.49 


655.22 


+ 1.27 


7 


20.14 


1011 .15 


211 .12 




40 .72 


866.17 


655.05 


655.38 


— 0.33 




40 .06 


977 .32 


230 .49 


30 


0.64 


885.69 


655.20 


655.49 


— 0.29 



x m 644.87 



y :m. — 114.86992 



e,i = 0.1843 



LATITUDINE DI TORINO 



161 



P 

Iti 





oc 

CO 


Ci 


co 
o 


TP 

tp 


co 


Ci 

co 


TP 

TP 




CO 

co 


Ci 

t> 


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co 


o 


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00 
TP 

LO 
TP 


o 


00 


o 








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L ^ 


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00 

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Ci 


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co 
co 


co 
co 


co 


TP 

co 


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co 
t> 


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+ 


CO 


4- 


co 

+ 


+ 


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+ 


+ 


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1 


co 

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1 


+ 




o 
© 


co 

Ci 


© 


Ci 
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co 
co 


TP 

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IO 


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Tf 

o 

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co 


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Ci 


Ci 


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Ci 


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o 


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co 


Ci 

o 


co 
co 


Ci 

co 


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o 

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t> 


co 
o 


IO 

Ci 




TP 

1— 1 

co 

IO 

o 

TP 
TP 


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CO 

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o 


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TP 
co 

IO 


CD 
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co 


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co 




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o 


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co 


t- 
IO 


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co 


LO 

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co 

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co 

IO 


co 

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00 

co 


TP 
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co 
co 



- 



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> 

O 

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O 
i — i 
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133 



+ 



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O 
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co 



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IO 



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co 



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IO 



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00 
ìO 



CD 
IO 



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co 
co 



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TP 



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co 



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00 
ìO 



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CO 

TP 



Ci CO 
IO CO 

TP TP 



00 00 
CO CO 

TP TP 



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00 
TP 



co 

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TP 



co 

CO 

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co 

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TP 
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co 
co 



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TP — < 

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Ci 



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iO 

TP 



00 co 

© TP 

© © 



TP 



I I I 



co 

I 



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© 

I 



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+ 



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53 

c^ 
co. 



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co. 



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CO. 



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co 




00 


lO 


00 


co 


Ci 






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rH 


l-H 




00 

co 


"e 


co 

00 














l-H 




1— 1 


tS 






Ex. 







Serie IL Tom. XLIV. 



TP 
© 



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evi 
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CO 

LO 

© 



Cvi 
LO 

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+ 



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CO 


co 




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CO 


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TP 


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CO 


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co 


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co 




TP 


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© 


co 


o 






00 


00 


CO 


TP 


co 


TP 


LO 


TP 


TP 


TP 


TP 


TP 


TP 


TP 


co 


CO 


CO 


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co 


© 


© 


r— 1 


co 


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© 


co 


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co 


00 




TP 


00 


LO 


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o 


© 


TP 


TP 


TP 


© 


LO 


co 


co 


co 


LO 


co 


co 


TP 


co 


00 


co 


TP 


co 


00 


TP 




co 


00 




© 


© 




© 


© 


00 


00 


00 




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lO 


co 


co 


co 


o 


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LO 


TP 


Tf 


TP 


TP 


TP 


CO 


CD 


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TP 


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co 


co 


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co 


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TP 


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TP 


co 


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TP 


TP 


co 


00 


CO 


CO 




LO 


LO 


co 


Ci 


LO 


co 




00 


4- 


+ 


+ 


7 


+ 


+ 


+ 


+ 


+ 




1 


1 


co 


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co 


co 


co 


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co 


co 


TP 


LO 


00 


00 




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© 


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co 


co 


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co 


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00 




CO 


CO 


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TP 


co 


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LO 


TP 


TP 


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tP 


TP 


TP 


CO 


CO 


co 


© 



c^ 



162 



F. PORRO 



PAETE TERZA 



Discussione dei Risultati definitivi, 



Esposti nelle due parti che precedono i ragionamenti ed i calcoli per i quali 
siamo stati condotti ai valori della latitudine consegnati negli ultimi quadri di cia- 
scuna di esse, dobbiamo ora raccogliere e discutere i valori stessi, per ricavarne il 
valor finale. 

A tale scopo, raggruppando i valori dati da ciascuna stella, notiamo che le 19 
medie che otteniamo debbono differire fra loro: 

I. Per gli errori residui delle osservazioni; 
IL Per le variazioni della latitudine; 
III. Per gli errori delle declinazioni adoperate. 

Rinunziando, come ho detto nella Introduzione, a ricavare dalla mia serie le 
variazioni a corto periodo della latitudine, e ritenendo sensibilmente nulle nell'inter- 
vallo le variazioni secolari, convien premettere ad ogni discussione ulteriore sugli 
errori l'eliminazione delle variazioni periodiche. A tale scopo si è calcolato una tavola 
che dà mese per mese, nel periodo abbracciato dalle osservazioni, il valore della dif- 
ferenza fra la latitudine vera cp e la media qp ; e per fare questo calcolo si è ado- 
perato la formula che il Chandler dà nel numero 277 dell' Astronomical Journal: 

cp — cp = — r x cos [\ -j~ — "08] — r 2 cos (9 — Gr)> 

dove X è la differenza di longitudine fra la nostra stazione e Greenwich, T l'epoca 
(in giorni) dell'ultimo minimo di latitudine a Greenwich, t la data dell'osservazione, 
il movimento diurno dell'oscillazione di semiamplitudine r u r 2 la semiamplitudine 
dell'oscillazione annua, la longitudine del Sole, Gr la longitudine del Sole quando 
il secondo termine è massimo in valore assoluto. Dal medesimo numero dell' Astro- 
nomical Journal furono ricavati i valori numerici di questi simboli. 

Nei quadri che seguono espongo i risultati di questa correzione. Ogni quadro 
contiene tutte le latitudini date da una stella, le correzioni relative, ricavate per 
interpolazione dalla tavola di cui si è detto, e finalmente le latitudini medie, riferite 
cioè non al polo istantaneo della rotazione terrestre, ma al punto (che si ritiene fìsso 
e stabile sulla superficie del globo) nel quale l'asse dei massimi momenti incontra 
la superfìcie stessa. 



LATITUDINE DI TORINO 



1G3 



P Aurigae. 



DATA 


CD 




T +•+ A' 
.Latitudine 


1888 


Gennaio 19 


7 .705 


-j- .052 


7".758 


» 


20 


8 .773 


+ .052 


8 .825 




22 


7 .827 


+ .051 


7 .878 


1889 


Gennaio 5 


7 .940 


+ .156 


8 .096 


» 


7 


8 .020 


-1-0 1 58 


R 1 IR 

O .I/O 




19 


7 Ì440 


+ .170 


7 .610 




28 


7 .610 


+ .165 


7 .775 




Febbraio 17 


7 .290 


-j-0 .155 


7 .445 


» 


18 


7 .440 


+ .154 


7 .594 




25 


8 .110 


+ .143 


8 .253 








Media . . 


. 7".941 



o* Hercidis. 



DATA 




Correzione 


Latitudine 


1888 Maggio 


29 


6".680 


— 0".082 


6".598 


„ Giugno 


5 


8 .272 


— .088 


8 .184 




8 


8 .266 


— .097 


8 .169 


1889 Giugno 


4 


7 .479 


— .118 


7 .361 


» « 


15 


8 .296 


— .148 


8 .148 


» !> 


17 


7 .680 


— .152 


7 .528 


II II 


19 


7 .525 


— .158 


7 .367 








Media . . 


. 7".622 



ò Cygni. 



DATA 




Correzione 


Latitudine 


1888 Giugno 5 


7".836 


— 0".088 


7".748 


7 


8 .334 


— .090 


8 .244 




7 .562 


— .091 


7 .471 


1889 Giugno 15 


7 .700 


— .147 


7 .553 


19 


7 .733 


— .158 


7 .575 


„ Luglio 28 


8 .194 


— .205 


7 .989 


„ Settembre 14 


7 .996 


— .151 


7 .845 


„ Ottobre 23 


7 .762 


— .082 


7 .680 






Media . . 


. 7".763 



164 



F. PORRO 



X Ursae Major is. 



DATA 




Correzione 


Latitudine 


1888 Gennaio 19 

1890 Marzo 29 


8".176 
7 .274 


+ 0".052 
4-0 .174 


8". 228 
7 .448 


Media . . . 7".838 



33 Bootis. 



DATA 




Correzione 


Latitudine 


1888 


Maggio 


3 


7".409 


— 0".051 


7".358 


» 




6 


7 .529 


— .055 


7 .474 


» 




9 ...... . 


7 .622 


— .059 


7 .563 


?» 




25 


7 .714 


— .078 


7 .636 


?J 


Giugno 


2 


7 .142 


— .086 


7 .056 




» 


5 


7 .268 


— .088 


7 .180 


1889 


Maggio 


17 


7 .360 


— .074 


7 .286 


» 


5) 


31 


6 .631 


— .107 


6 .524 


V 


Giugno 


1 


7 .424 


— .110 


7 .314 


» 


» 


6 


6 .225 


— .123 


6 .102 










Media . . 


. ^7".149 



k Anclromedae. 



DATA 


9 


Correzione 


Latitudine 


1888 




8".906 


-f 0".087 


8".993 




21 


8 .383 


+ .090 


8 .473 


» 


22 


7 .752 


4-0 .092 


7 .844 


» 


23 


7 .954 


+ .094 


8 .048 




25 


8 .468 


-fO .096 


8 .564 


» 




8 .226 


4-0 .112 


8 .338 




4 


8 .242 


4-0 .114 


8 .356 


1889 


Novembre 8 


7 .639 


— .017 


7 .622 


» 


9 


8 .180 


— .013 


8 .167 




15 


8 .004 


4-0 .013 


8 .017 








Media . . 


. 8".242 



LATITUDINE DI TORINO 165 



36 Lyncis. 



DATA 




Correzione 


Latitudine 


1889 Dicembre 20 

1890 Marzo 28 


7".880 
7 .790 


+ 0".147 
+ .174 


8".027 
7 .964 






Media . . 


. 7".995 


a Oygni. 


DATA 


<P 


Correzione 


Latitudine 


1888 Novembre 24 

„ Dicembre 1 

1889 Giugno 6 

17 

„ Novembre 1 

» » 8 

9 

„ 16 


7 .625 

8 .680 
7 .908 

7 .732 

8 .500 
8 .790 
8 .101 
8 .459 
6 .250 
8 .300 


+ 0".095 
+ .097 
+ .105 

— .123 

— .152 

— .044 

— .015 

— .011 
+ .014 
-|-0 .018 


7".720 
8 .777 
8 .013 

7 .609 

8 .348 
8 .746 
8 .086 
8 .44S 
6 .264 
8 .318 






Media . . 


. 8".033 


i Andromedae. ■ 


DATA 




Correzione 


Latitudine 


1888 Dicembre 1 

6 

10 ..... . 

1889 Ottobre 23 


8".377 
7 .840 
7 .630 
7 .889 
7 .638 
7 .977 

7 .768 

8 .109 

7 .609 

8 .101 


-j-0'M08 
+ .109 
+ .115 
4-0 .116 
+ .118 
+ .120 
+ .122 
+ .123 

— .082 

— .020 


8'\485 
7 .949 

7 .745 

8 .005 

7 .756 

8 .097 

7 .890 

8 .232 

7 .527 

8 .081 






Media . . 


. 7".977 



166 F. PORRO 



58 Ursae Majoris. 



DATA 




Correzione 


Latitudine 


1889 Marzo 12 

„ 17 


8".984 

7 .762 

8 .010 


+ 0M15 
+ .106 
4-0 .086 


9".099 

7 .868 

8 .096 


Media . . . 8".345 



v Persei. 



DATA 


<p 


Correzione 


Latitudine 


1888 


Dicembre 


1 


8".069 


4- 0'M08 


8".177 




» 


3 


7 .579 


4-o .111 


7 .690 






7 


7 .431 


+ .118 


7 .549 


» 




10 


7 .959 


+ .123 


8 .082 




» 


13 


7 .139 


4-0 .129 


7 .268 


1889 


Gennaio 


7 


7 .746 


4-0 .133 


7 .879 


» 


» 


8 


7 .414 


4-0 .136 


7 .550 




» 


17 


7 .680 


+ .163 


7 .843 






18 


7 .875 


4-0 .167 


8 .042 






19 


7 .736 


-)-0 .170 


7 .906 










Media . '. 


. 7". 799 



\\> 5 Aurigae. 



DATA 




Correzione 


Latitudine 


1889 


Gennaio 


8 


8".182 


-j-0". 136 


8".318 


» 




17 


7 .299 


4-0 .163 


7 .462 


» 


» 


18 


8 .508 


+ .167 


8 .675 


» 


Febbraio 


19 


8 .360 


+ .154 


8 .514 






23 


8 .435 


+ .146 


8 .581 




!» 


24 


8 .009 


-j-0 .144 


8 .153 




Marzo 


6 


8 .097 


+ .126 


8 .223 


» 


Novembre 


17 


8 .232 


+ .022 


8 .254 


» 


9 


21 


8 .251 


-j-0 .058 


8 .309 




» 


30 


7 .975 


+ .072 


8 .047 










Media . . 


. 8".254 



LATITUDINE DI TORINO 

10 Ursae Majoris. 



167 



DATA 


<p 


Correzione 


Latitudine 


1889 Marzo 14 

» 16 

„ Dicembre 21 

23 

1890 Marzo 1 


7".837 
7 .475 
6 .947 

6 .899 

7 .368 


+ 0".113 
+ .107 
+ .150 
4-0 .156 
4-0 .225 


7".950 
7 .582 
7 .097 
7 .055 
7 .593 


Media . . . 7".455 



e Aurigae. 



DATA 




Correzione 


Latitudine 


1889 Gennaio 24 

„ Febbraio 1 

« » 6 

11 

» „ 16 


8".897 

7 .904 

8 .006 
8 .263 
8 .368 
7 .676 

7 .735 

8 .048 
8 .376 
8 .096 


+ 0M67 
+ .167 
4-0 .166 
4-0 .164 
4-0 .164 
-)-0 .162 
4-0 .161 
+ .159 
+ .158 
+ .156 


9".064 
8 .071 
8 .172 
8 .427 
8 .532 
7 .838 

7 .896 

8 .207 
8 .534 
8 .252 


Media . . . 8".299 


in Ursae Majoris. 


DATA 




Correzione 


Latitudine 


1889 Marzo 6 


7".852 

7 .559 

8 .286 


4-0". 126 
+ .080 
-j-0 .077 


7".978 

7 .639 

8 .363 


Media . . . 7".993 



168 



F. PORRO 



31 Lijncis. 



DATA 


9 


Correzione 


Latitudine 


1889 Marzo 12 

-, » lo 

17 

3 

1890 Febbraio 9 

„ Marzo 10 


8".601 
8 .470 
8 .143 
8 .248 
8 .279 
7 .812 

7 .373 

8 .147 


+ 0".115 
+ .114 
-j-0 .106 
+ .086 
+ .076 
+ .084 
+ .248 
4-0 .213 


8".716 
8 .584 
8 .249 
8 .334 
8 .355 
7 .896 

7 .621 

8 .360 


Media . . . 8".264 


Gr. 2533. 


DATA 


<p 


Correzione 


Latitudine 


1889 Giugno 6 

„ Luglio 29 


8".076 

7 .996 

8 .846 


— 0".123 

— .129 

— .205 


7".953 

7 .867 

8 .641 


Media . . . 8".154 


E Oygni. 


DATA 


<p 


Correzione 


Latitudine 


1889 Settembre 17 

26 

„ Ottobre 3 

14 

16 


7".753 

7 .555 

8 .207 
7 .887 
7 .759 
7 .565 
7 .951 
7 .486 

7 .486 

8 .504 


— 0'M62 

— .160 

— .153 

— .147 

— .145 

— .143 

— .131 

— .109 

— .107 

— .104 


7".591 

7 .395 

8 .054 
7 .740 
7 .614 
7 .422 
7 .820 
7 .377 
7 .379 
7 ,400 


Media . . . 7".579 


B Lyrae. 


DATA 




Correzione 


Latitudine 


1889 Luglio 31 


8".137 


— 0".205 


7".932 


Media . . . 7".932 



LATITUDINE DI TORINO 



169 



Il quadro seguente ricapitola i risultati relativi ad ogni stella. Quelle segnate 
con asterisco non appartengono alle Fondamentali di Pulkova, e sono quindi certa- 
mente meno sicure delle altre. La 33 Bootis, ad esempio, che scarta più di tutte le 
altre dal valor medio, è indubbiamente mal determinata in declinazione; essa fu 
osservata anche a Milano, e diede risultati meno buoni. Il suo moto proprio è ancora 
molto incerto. 



STELLA 


cp 


PESO 




58 






45° 4' 8 


'.345 


3 




e 


«7 




8 


.299 


10 




31 


Lyncis 




8 


.264 


8 


* 


ifj 5 






8 


.254 


10 


* 


K 






8 


.242 


10 




Gr. 






8 


.154 


3 




a 






8 


.033 


10 




36 






7 


.995 


2 




M 






7 


.993 


Q 

o 




i 


Andromedae .... 




7 


.977 


10 




P 






7 


.941 


10 




R 






7 


.932 


1 




X 


Ursae Majoris .... 




7 


.838 


2 




V 






7 


.799 


10 




b 






7 


.763 


8 




a 






7 


.622 


7 


* 


l 


Cygni . . . . . . 




7 


.579 


10 




10 






7 


.455 


5 


* 


33 






7 


.149 


10 






Media 


generale 45° 4' 7".914 







L'errore medio di un'osservazione, calcolato in base agli scartamenti dei valori 
singoli dalle medie del quadro ora scritto, mediante la formula 




dove m è il numero delle osservazioni e k quello delle stelle, è risultato uguale 
a + 0",405. Esso è indipendente dagli errori delle declinazioni adoperate, e si può 
considerare come risultante di due parti, una delle quali dovuta all'incertezza colla 
quale si osservarono gli appulsi, l'altra a tutte le residue cause d'errore, special- 
mente locali ed istrumentali. Della prima è indice sicuro l'error medio e x già calco- 
lato per ogni stella; indicando con e 2 l'error medio dovuto alle altre cause, abbiamo 

e = f/e, 2 + e, 2 . 



Ora, combinando le si trova che il valore di e 1 risultante alla media è + 0",183. 

Serie IL Tom. XLIV. v 



170 



F. PORRO — LATITUDINE DI TORINO 



Quindi 



e 2 ' 



; 2 2 = (0,405) 2 



(0,183) 2 = 0,130 = (0,361) 2 . 



In altri termini, l'error medio di una osservazione per la parte dovuta agli appulsi 
non è che la metà dell'error medio per la parte imperfettamente corretta degli errori 
strumentali e per le cause incognite di errore. 

Col valore e = + 0",405 si è calcolato l'errore medio x di una posizione del 
catalogo, secondo il metodo esposto nella citata " Determinazione della latitudine... 
di Milano... e di Parma „. Con due sole approssimazioni si ottenne 



e quindi i pesi con i quali ciascuna stella dovette fornire il valore definitivo della 
latitudine (essendo 1" l'error medio corrispondente all'unità di peso) furono i seguenti: 

4,544 per R Lyrae, osservata una volta; 

7,243 „ 36 Lìjncis e \ Ursae majoris, osservate due volte; 

9,031 „ 58 Ursae majoris, Gr. 2533, u Ursae majoris, osservate tre volte; 

11,254 „ 10 Ursae majoris, osservata cinque volte; 

12,581 „ o" Herculis, osservata sette volte; 

13,062 „ 31 Ltjncis e ò Cygni, osservate otto volte; 

13,802 „ le rimanenti nove stelle, osservate dieci volte. 

Con questi pesi, e coll'error probabile dato dalla formula 



si ottiene il seguente valore definitivo della latitudine del centro del Cupolino Ovest 
dell'Osservatorio di Torino 



x 1 = 0,056, 



r = 0,6745 



1" 



Vip 



<p = 45» 4' r,920 + 0",045, 



che differisce solo di 0,006 dalla media generale semplice e di 0,022 dal valore dato 
nella Comunicazione preliminare. 



RICERCHE DI GEOMETRIA 

SULLE 

SUPERFICIE ALGEBRICHE 



MEMORIA 

DI 

FEDERIGO ENRIQUES 



Approvata nell'Adunanza del 25 Giugno 1893. 



IXTKODUZIONE 

1. La geometria che studia le proprietà degli enti algebrici (curve, superficie, 
varietà) invariabili per trasformazioni birazionali dell'ente dicesi geometria sull'ente (1). 

Il concetto di questa geometria scaturisce per la prima volta dalla teoria delle 
funzioni algebriche di una variabile nella capitale memoria di Riemann sulla Theorie 
der Abelschen Functionen (2). Da un altro lato la geometria sul piano (e sulle super- 
fìcie razionali) nasce dai classici lavori sulle corrispondenze algebriche di Cremona 
e Clebsch (trasformazioni del piano, rappresentazione delle superfìcie omaloidi). 

Nello sviluppo della geometria sull'ente sono da distinguersi due momenti ca- 
ratterizzati da due diversi indirizzi (3). 

a) In primo luogo si presenta la ricerca delle condizioni perchè due enti pos- 
sano riferirsi in corrispondenza birazionale: questa ricerca è il naturale resultato 
della provata fecondità di quelle trasformazioni. Essa si presenta sotto due aspetti. 
Da un lato la determinazione di caratteri numerici invariantivi (legati alle singola- 
rità dell'ente) come nei lavori del signor Zeuthen (4). Dall'altro lato lo studio delle 
funzioni collegate all'ente algebrico (in modo invariantivo). Sotto questo secondo 
aspetto (che può anche considerarsi come collocato fra il primo momento della geome- 
tria sull'ente ed il secondo nel quale si ricercano le proprietà dell'ente stesso) la 
questione della possibilità di trasformare birazionalmente un nell'altro due enti al- 
ti) Le notizie storiche che seguono sono in parte tolte dalle lezioni litografate del sig. Klein 
sulle " Riemannsche Flàchen „ (1892) e dalle " Vorlesungen „ di Clebsch- Lindemann (Bel. I), che si 
possono consultare per maggiori dettagli. 

(2) CfiELLE, t. 64. 

(3) Naturalmente la differenza tra i due indirizzi non è netta, ed alcune ricerche partecipano 
dell'uno e dell'altro, ma questa osservazione è soltanto un corollario della gran legge di continuità 
che governa le produzioni scientifiche (come ogni altra produzione organica). 

(4) " Mathematische Annalen „, t. Ili e IV. Appartengono a questa categoria varie dimostrazioni 
della conservazione del genere per le curve tra le quali una del sig. Bertini. Cfr. Clebsch-Lindemann. 
Bd. I (3 a parte). 



172 



FEDERIGO ENRIQUES 



gebrici, venne trattata nei lavori fondamentali di Clebsch (1), che stabilì cosi il con- 
cetto di genere per le curve e per le superficie; questi resultati generalizzati alle 
varietà comunque estese furono ritrovati algebricamente dal signor Noether (Mathe- 
matische Annalen, II e Vili), dove insieme al genere di Clebsch (Flclchengeschlecht) 
viene introdotto per le superficie il Curvengeschlecht. 

La determinazione dei moduli per le curve (2) e per le superfìcie (3) rientra pure 
nel primo momento dello sviluppo della geometria sull'ente. 

Accanto a queste ricerche sono ancora da porsi quelle che studiano la classifi- 
cazione di certi enti mediante la riduzione a tipi (irreducibili per trasformazioni bi- 
razionali), così le ricerche sulla riduzione (all'ordine minimo) dei sistemi lineari di 
curve piane (4) mediante trasformazioni cremoniane, e sotto un punto di vista non 
molto dissimile possono riguardarsi le ricerche sulla razionalità delle superficie fra< 
cui sono classiche quelle del signor Noether (5). 

b) Nel secondo momento la geometria sull'ente diviene essenzialmente studio 
delle proprietà invariantive dell'ente (6). Nella geometria sopra una curva questo 
studio si riattacca all'applicazione delle funzioni abeliane di Clebsch (1. c.) e riceve 
stabile assetto geometrico nell'importante memoria dei signori Brill e Noether (7). 

In questo lavoro si trovano riuniti i principali teoremi di geometria sopra una 
curva che hanno più tardi numerose ed utili applicazioni nella teoria delle curve 
gobbe dello spazio (8). 

Ma una nuova idea caratterizza uno sviluppo nuovo della geometria sopra una 
curva rendendola indipendente (come si richiedeva per la sua perfezione) da una 
particolare varietà cui la curva può supporsi appartenere. Intendo parlare dell'uso 
degli iperspazi, i quali introdotti da Grassmann nel 1844 (come pure espressioni ana- 
litiche) e da Riemann, furono usati dal Cayley nel 1867 e 1869 (come varietà di 
elementi di arbitraria natura (9)) e con successo applicati allo studio delle curve 
dal Clifford (10) (1878). 

Il signor Veronese raccogliendo questi vari materiali di geometria iperspaziale 
scrisse nel 1881 il suo classico lavoro (11) che fu il punto di partenza dello svolgi- 
ti) TJeber die Anwendung der Abel'schen Functionen in der Geometrie (Crelle, t. 63). Cfr. anche 
Clebsch e Gordan, Theorie der AbeVschen Functionen (Leipzig, 1866) e Clebsch (" Comptes renchis v 
1868) dove è stabilito il concetto di genere per le superficie. 

(2) Riemann, 1. e, § 12. Waierstrass, cfr. Brill e Noether (" Math. Ann. „, VII) o Clebsch-Lin- 
demann, Bd. I (2 a parte). 

(3) Noether, Anzahl der Modidn einer Classe algébraischer Flachen (" Sitzungsberichte von 
Berlin „, 1888). 

(4) Noether C Math. Ann. „, Bd. V); Bertini (" Annali di Mat. „, serie 2 a , t. VIII); Guccia (" Circolo 
Mat. di Palermo „, t. I); Jung (" Istituto lombardo „, 1887-88 e " Annali di Mat. „, serie 2 a , t. XV 
e XVI); Martinetti (" Istituto lomb. „, 1887 e " Circolo di Palermo „, t. I); Castelnuovo (" Circolo 
di Palermo „, 1890 e " Accademia di Torino, Atti „ , 1890). 

(5) " Mathem. Ann. „, III. 

(6) Un progresso analogo ha subito la geometria proiettiva nel passaggio da Poncelet a Staudt. 

(7) TJeber die alf/ebraischen Functionen und iiire Anwendung in der Geometrie (" Mathem. Ann. .. , 
Bd. VII). 

(8) Cfr. Noether, Zur Grundlegung der Theorie der algebraischen Eaimicurven (" Journ. fiir Mathem. „ , 
Bd. 93); Halphen, Mémoire sur les courbes gauches algébriques (" Comptes rendus „, t. 70, 1870). 

(9) Questo modo di vedere fu introdotto da Pluecher. 

(10) On the Classification of Loci (" Phil. Transactions „). 

(11) Behandlung der proiectiwische Verhàltnisse, ecc. (" Math. Ann. „, XIX). 



RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



173 



mento di quella geometria avvenuto specialmente in Italia per opera del signor Ve- 
ronese stesso e del signor Segre (1). 

Fu allora che si pensò di rendere indipendente la geometria sopra una curva 
dalla rappresentazione di essa nel piano e di sostituire così in quello studio i con- 
cetti di curve aggiunte, ecc. coi procedimenti più semplici e generali propri delle 
considerazioni iperspaziali. Il signor Segre ed il signor Castelnuovo (2) riuscirono ad 
elevare con questo concetto una nuova teoria della geometria sopra una curva che 
alla semplicità ed armonia delle basi congiunge una potenza per la quale si fecero 
in questo campo nuovi ed importanti acquisti. 

La geometria sopra una superficie non ha progredito in proporzione alla geome- 
tria sopra una curva, anzi si può dire che essa non è ancora entrata nel 2° momento 
del suo sviluppo, poiché la teoria generale dei sistemi lineari di curve sopra una 
superficie di arbitrario genere (fatta nel senso della geometria sopra una superficie) 
non è ancora avviata. II lavoro fondamentale nell'argomento resta ancora quello 
(citato) del signor Noether del 1874-75 (Mathem. Ann., Vili) nel quale le funzioni 
invariantive appartenenti ad una superficie vengono studiate in modo profondo. Suc- 
cessivamente si ha un lavoro del signor Picard (3) dove in particolare sono studiate 
le superficie con trasformazioni in sè stesse, e due note del signor Castelnuovo (4) 
contenenti notevoli esempi di particolari classi di superficie. Invece la geometria sul 
piano è entrata nel secondo periodo del suo sviluppo col noto lavoro del sig. Castel- 
nuovo (5) il quale contiene concetti originali ed importanti a cui sembra possa darsi 
maggiore estensione coll'applicarli allo studio delle superfìcie di genere > (6). 

2. Delineato rapidamente lo svolgimento che ebbe fino ad oggi la geometria 
sull'ente ed in particolare sopra una superficie, debbo esporre quali contributi porti 
questo lavoro alla nominata teoria e quali concetti mi abbiano guidato nella ricerca. 

Lo scopo principale del lavoro è lo studio dei sistemi lineari oo r di curve (alge- 
briche) appartenenti ad una superficie (algebrica). Li definisco come sistemi tali che 
per r punti della superficie passi una curva di essa, e di cui gli elementi (curve) 
possono riferirsi proiettivamente ai punti di uno spazio lineare S r (7). 

(1) Per maggiori dettagli cfr. la Monografia storica del sig. Lohia, Il juissato e il presente delle 
principali teorie geometriche (" Accad. di Torino, Memorie „, serie 2 a , t. 38Ì. Cfr. pure Segee, Su alcuni 
indirizzi, ecc. (" Rivista di Mat. „, 1891). 

(2) Cfr. specialmente: Segre, Sulle curve normali di genere p dei varìi spazii (" Istituto lomb. „, 
1888 e Courbes et surfaces réglées (" Mathem. Ann. „, t. XXXIV e XXXV); Castelnuovo, Ricerche di 
geometria sulle curve algebriche (" Accad. di Torino, Atti „, 1889). 

(3) Sur la théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes (" Journal de 
Lionville „, 1889). 

(4) " Istituto lombardo „ (1891). 

(5) Ricerche generali sopra i sistemi lineari di curve piane (" Accad. di Torino, Memorie „, 1891). 
Tra i lavori precedenti si possono considerare come facenti parte di questo 2° momento della geo- 
metria sul piano, la nota del sig. Segre (" Circolo di Palermo „, t. I) e quella del sig. Castelnuovo 
(" Ann. di Mat. „, 1890). 

(6) Per la geometria sulle superficie rigate cfr. il citato lavoro del sig. Segre (" Mathematische 
Annalen „, XXXV). 

(7) La 2 a proprietà è una conseguenza della l a pr. r > 1, se le curve del sistema non si spez- 
zano. Cfr. la mia nota: Una questione sulla linearità dei sistemi di curve appartenenti ad una super- 
ficie algebrica (" Accad. dei Lincei „, giugno 1893) e la successiva del sig. Castelnuovo (" Accad. di 
Torino „, giugno 1893) in cui quel teorema è dedotto da un altro più generale relativo alle invo- 
luzioni sopra una curva. 



174 



FEDERIGO ENRIQUES 



Dopo avere premesso alcuni lemmi (noti) sui sistemi di curve riduttibili passo 
ad esporre il concetto di sistema normale e di sistema completo, cioè di sistema non 
contenuto rispettivamente in un altro dello stesso grado o dello stesso genere, e 
stabilisco che un sistema di dato grado D (cioè di cui due curve s'incontrano in D 
punti variabili) appartiene ad un determinato sistema normale dello stesso grado; 
e risulta poi che sopra una superfìcie di genere > una curva appartiene ad un 
determinato sistema completo dello stesso genere. Ne deduco la l a parte del teorema 
del resto (Bestsatz) (1), (cap. I). 

Nel cap. II considero le curve le quali godono la proprietà di segare un gruppo 
residuo (nel senso di Brill e Noether) della serie caratteristica (2) sulla curva gene- 
rica d'un sistema lineare oo r (dotato di curve fondamentali distinte) ed un gruppo 
contenuto nel residuo della serie caratteristica sopra la curva generica di un si- 
stema oo r-1 contenuto nel primo: siffatte curve, sommate con curve fondamentali 
del dato sistema, godono le medesime proprietà rispetto ad ogni altro sistema della 
superficie (anche non dotato di curve fondamentali distinte) e sono segate sopra una 
superficie d'ordine n in S 3 da superficie aggiunte d'ordine n — 4 : perciò le dette curve 
formano un sistema lineare (se esistono) e le componenti variabili del sistema (che 
denomino curve canoniche) hanno un carattere invariantivo rispetto alla superfìcie il 
quale risulta fissato molto semplicemente dalla loro definizione (3). Nasce quindi una 
distinzione dei sistemi appartenenti ad una superficie in sistemi puri ed impuri se- 
condochè le curve canoniche segano sulla loro curva generica un gruppo residuo della 
serie caratteristica o un gruppo contenuto in un tal gruppo residuo: sopra una su- 
perficie convenientemente trasformata (facendo segare dai piani le curve d'un sistema 
puro), i primi sistemi non hanno punti base, i secondi sì; la questione si riattacca 
alle curve eccezionali (ausgezeichnete) di Noether. Un sistema puro normale è neces- 
sariamente completo. 

Nel cap. Ili introduco il concetto di sistema aggiunto ad un sistema lineare (C) 
di dimensione r > 2 ; se (C) ha curve fondamentali distinte, le curve del detto si- 
stema aggiunto sono definite dal segare un gruppo canonico sulla curva generica 
di (C) e dal segare sopra la curva generica d'un sistema co'' -1 contenuto in (C), un 
gruppo contenuto in uno appartenente alla serie somma della serie canonica e di 
quella differenza fra la serie segata sulla curva da (C) e la serie caratteristica del 
sistema co r_1 (o il gruppo dei punti base semplici se r = 2). 

La definizione data del sistema aggiunto esclude che (C) contenga in sè un 
sistema co r ~~ 1 di curve razionali (il che è impossibile se la superficie non è razio- 
nale) ; sotto tale restrizione il sistema aggiunto a (C) coincide coll'aggiunto puro 
definito dal signor Castelnuovo pei sistemi di curve piane, quando la superfìcie è 



(1) Noethee, " Mathem. Ann. ,„ Vili. Come ognun vede quest'ordine di idee è una conveniente 
estensione alle superficie dei concetti che, coinè ho detto, il sig. Segre ed il sig. Castelnuovo intro- 
dussero a fondamento d'una teoria della geometria sopra una curva. 

(2) Con questo nome (introdotto dal sig. Castelnuovo pei sistemi di curve piane) indico la serie 
che tutte le curve di un sistema segano sopra la curva generica di esso. 

(3) L' invariantività è dimostrata analiticamente dal sig. Noether (" Mathem. Ann. „, Vili). Il 
numero delle curve canoniche linearmente indipendenti è il genere (geometrico) p della superficie. 



RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



175 



razionale. Quando co 3 curve C sono sezioni piane d'ordine n d'una superfìcie F di S 3 il 
sistema aggiunto a (C) viene segato sulla F dalle superficie aggiunte d'ordine n — 3. 

Per le superficie di genere p > (a cui ci riferiamo) il sistema aggiunto è il 
sistema normale somma del sistema canonico di (C) e dei suoi punti base (se (C) è 
impuro) e questa proprietà serve a definirlo nel caso in cui (C) non abbia curve 
fondamentali distinte. 

Stabilire la dimensione del sistema aggiunto ad un sistema (C) di genere tt, è 
questione della massima importanza per le molteplici applicazioni cui conduce la 
considerazione del sistema -aggiunto. Indicando con ò (C) il difetto di completezza 
(> 0) della serie (canonica) che il sistema aggiunto sega sulla curva generica C di 
(C), la dimensione del detto sistema aggiunto è 2 } ~\~ n — 1 — (C). 

Se (C) è un sistema puro semplice (cioè in cui il passaggio d'una curva per un 
punto non trae di conseguenza il passaggio per altri punti) si dimostra che la quan- 
tità b (Cj) relativa ad un arbitrario sistema puro (Cj) è < ò (r C) (essendo [r C) il 
sistema rplo di (C)) per r assai grande. Se dunque il b (/• C) invece di crescere in- 
definitamente con r ha un massimo K (come avviene certo se la superficie ha sin- 
golarità ordinarie), K è un vero carattere invariantivo della superficie. Importante è 
il caso in cui K = ; indipendentemente da qualsiasi restrizione relativa alle singo- 
larità della superficie, si prova che è K = se ò (2 C) = 0, e viceversa ; quindi se 
(C) è un sistema puro semplice per cui ò (2 C) = per ogni altro sistema (anche 
impuro) di genere tt, la dimensione del sistema aggiunto è p -)- ir — ■ 1 : se in parti- 
colare la superficie è così trasformata da avere soltanto singolarità ordinarie , il 
genere geometrico p di essa è uguale al suo genere numerico p t definito da Zeuthen 
e, Noether, e viceversa è K = se p = pi. La restrizione K = è ammessa nel se- 
guito per le superficie che si considerano (fino all'ultimo cap. esci.); e nel § 7 del 
cap. Ili ho creduto opportuno (vista l'importanza della cosa) di richiamare altre 
circostanze che permettono di concludere la sussistenza di tale fatto. 

Servendomi del sistema aggiunto dimostro quindi che ogni sistema impuro (con 
punti base distinti) può dedursi coll'aggiunta dei suoi punti base da un sistema puro 
o (forse) da un sistema con soli punti base semplici: dimostro poi la 2 a parte del 
Restsatz (§ 3), e nei §§ 5 e 6, do esempi relativi alle superficie di genere 0, 1 (cap. III). 

Il maggiore interesse si concentra nello studio dei sistemi puri (C) (completi); 
il sistema aggiunto permette di dedurre che la loro serie caratteristica è completa 
se tale è quella del sistema canonico (o se il sistema canonico non ne ha alcuna) 
(cap. IV): in siffatta ipotesi per l'intersezione di due curve C di (C) passano 2p-{- w — i 
curve (linearmente indipendenti) del sistema aggiunto a (C), essendo p il genere della 
superficie, i — 1 la dimensione del sistema residuo di (C) rispetto al canonico {l'in- 
dice di specialità i — se (C) è non speciale cioè non contenuto nel canonico) ed uu > 0; 
designo in col nome di sovrabbondanza di (C) perchè (come risulta più tardi) se si 
suppone la superficie in S 3 e si fa segare (C) mediante aggiunte in modo arbitrario, 
la sua dimensione virtuale p calcolata in base alle forinole di postulazione di Noether 
è tale che (indicando con r la dimensione effettiva di (C)) si ha: 

r — p = w — i. 

Se tt è il genere di (C) ed n è il suo grado, si ha la relazione 



176 



FEDERIGO ENRIQUES 



tt — 1 — n -\- r = p ~\- vj — % 

(dove i = se (C) è non speciale). 

Questa relazione costituisce un'estensione del noto teorema di Riemann Roch della 
geometria sopra una curva: essa fu data sotto forma di disuguaglianza dal signor 
Noether (1), ma la relativa dimostrazione mi sembra presentare una lacuna. 

Definendo uu mediante l'uguaglianza r — p === uj — %, la relazione precedente sus- 
siste ancora se (C) è impuro (dedotto coll'aggiunta di punti base da un sistema puro) 
ed è ancora uj > 0. 

Infine la relazione stessa sussiste anche prescindendo dalla restrizione invarian- 
tiva per la superficie che la serie caratteristica del sistema canonico sia completa, 
ma allora non risulta dimostrato che sia sempre uj > ; si ha però certo uu > se 

r > p[ ~ 1 essendo p (*) il 2° genere (Curvengeschlecht) della superfìcie. 

L'utilità della precedente relazione si presenta nel cap. V trattando delle curve 
fondamentali. Poste alcune limitazioni per queste curve si dimostra una relazione 
fra i caratteri d'un sistema (C), il genere d'una curva fondamentale e i caratteri del 
sistema residuo (C): se ne deduce alcune notevoli proprietà dei sistemi regolari 
(uu = 0) e del sistema canonico ; p. e. un sistema regolare di dimensione > p non ha 
curve fondamentali di genere > 0. Cosi se di un sistema puro (C), senza curve fon- 
damentali di genere > 0, si considera il multiplo secondo m, per m assai grande 
questo è regolare: si può in tal modo trattare un caso semplice delle formule di 
postulazione relative alle varietà che passano per una superficie negli iperspazi. 

Infine le curve fondamentali di genere dei sistemi lineari sono degne di atten- 
zione perchè conducono ad un nuovo carattere invariantivo per le superficie (p > 0): 
in particolare si troverà dimostrato un teorema sui punti doppi che una superficie 
può acquistare (per trasformazione) in S 3 . 

Nel cap. VI do un rapido sguardo alle involuzioni. Estendo per quelle irrazio- 
nali un teorema fondamentale stabilito dal signor Castelnuovo (2) per le involuzioni 
appartenenti ad una curva. 

Finalmente determino una espressione invariantiva per le involuzioni razionali 
sopra una superficie, formata coi caratteri di una rete di cui due curve si segano 
in un gruppo dell'involuzione. 

Questo in breve è il tessuto del mio lavoro, di cui i numerosi mancamenti spero 
mi si vorranno perdonare in vista degli ostacoli che ad ogni passo s'incontrano; io 
sarò lieto se queste ricerche varranno ad invogliare taluno allo studio di un così 
bello argomento di cui le difficoltà esercitano una meravigliosa attrattiva. 

1° giugno, 1893. 

Federigo Enriques. 



(1) " Comptes rendus 1888. 

(2) " Accad. dei Lincei „, 1891. 



RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



177 



I. 

Generalità sui sistemi lineari di curve appartenenti 
ad una superfìcie algebrica. 

1. Definizioni. — Teoremi preliminari. — Si dirà sistema lineare co'' di curve 
(algebriche) sopra una superficie algebrica S, un sistema di curve tale che per k 
punti della superfìcie in posizione generica passi una ed una sola curva del sistema, 
e tale che gli elementi (curve) di esso possono riferirsi proiettivamente agli elementi 
generatori (punti o iperpiani St^) di una forma lineare S fc (in modo che ad un S^ 
o ad un punto corrisponda un sistema lineare immerso in quello co* e viceversa) (1). 

Sopra una superficie appartenente ad uno spazio S r un sistema lineare co* di 
varietà (ad r — 1 dimensioni) non contenenti la superficie, sega sempre un sistema 
lineare co 1 di curve; vedremo più tardi come in tal modo si possa ottenere qualunque 
sistema lineare d'una superficie S, ad es. segandola con sistemi lineari di superficie 
se essa appartiene allo spazio S 3 (o è stata proiettata in quello); ma noi vogliamo 
anzitutto ricavare le proprietà generali dei sistemi lineari dalla definizione che ne 
abbiamo data, senza occuparci del modo con cui sono stati costruiti. 

Se si ha un sistema lineare oo* di curve di cui le parti variabili si segano due 
a due in D punti variabili, diremo che il sistema è di dimensione k, e grado D : se 
le curve del sistema sono irreduttibili e la curva generica ha il genere tt, diremo 
che il sistema co'' è di genere tt. 

Se k = 1 non si può parlare di grado del sistema. Non vi sono altri casi in 
cui non si può parlare di grado d'un sistema irreduttibile. 

Infatti se k > 1 per un punto della superfìcie deve passare più d'una curva del 
sistema e quindi il punto è comune a due curve; perciò l'unico caso in cui non si 
possa parlar di grado del sistema è quello in cui due curve aventi un punto comune 
abbiano comuni altri infiniti punti ossia abbiano comune una linea, l'insieme di tutte 
queste linee è tale che per un punto della superficie ne passa una ossia è ciò che 
dicesi un fascio; allora le curve del sistema si compongono d'un certo numero m di 
curve del fascio e non sono più irreduttibili. Per ogni sistema lineare irreduttibile di 
dimensione k > 1 i caratteri k, D, tt hanno dunque un significato ben definito. 

Può darsi che tutte le curve d'un sistema co 1 passanti per un punto, debbano 



(1) Il secondo fatto per > 1 è una conseguenza del primo quando la curva generica del 
sistema è irreduttibile. Cfr. la mia nota : Una questione sulla linearità dei sistemi di curve apparte- 
nenti ad una superfìcie algebrica (" Accad. dei Lincei „, giugno 1893). Il teorema è stato nuovamente 
dedotto dal sig. Castelnuovo come corollario di una importante proposizione sulle involuzioni appar- 
tenenti ad una curva algebrica (" Accad. di Torino „, giugno, 1893). 

Serie II. Tom. XLIV. * 



178 



FEDERIGO ENRIQUES 



in conseguenza passare per altri punti della superficie in numero finito m — 1 va- 
riabili con esso, e si ha allora sulla superficie una seiie co 2 di gruppi di ni punti 
tale che un punto appartiene ad un gruppo della serie, ossia ciò che può dirsi una 
involuzione I m ; possiamo dire che il sistema appartiene all'involuzione I m ; diremo sem- 
plice un sistema in cui il passaggio d'una curva generica per un punto non trae di 
conseguenza il passaggio per altri punti variabili con esso. 

Un sistema oo 2 [rete) appartiene ad una involuzione I D , se D è il suo grado. 
Tranne per le superficie omaloidi un sistema semplice ha sempre la dimensione h > 2. 

Si riferiscano proiettivamente le curve del sistema semplice (C) agli iperpiani 
(Sft_!) di S k ; ogni punto della superficie S è base per un sistema lineare od 1 ' 1 costi- 
tuito da tutte le curve di (C) che passano per esso ; a questo sistema oo l '~ l corisponde 
in Ss la co^ -1 degli iperpiani per un punto P, ossia la stella di centro P: in questo 
modo nascono in S k co 2 punti P i quali generano una superficie F, e poiché, per 
ipotesi, (C) è un sistema semplice, la superficie F è riferita alla S punto per punto. 
Indicheremo brevemente la trasformazione eseguita dicendo che si è trasformata la 
S in un'altra superficie F di S fc su cui le curve del dato sistema (C) sono segate dagli 
iperpiani od anche dicendo che facciamo segare sulla saperficie le curve del sistema (C) 
dagli iperpiani di S*. 

La trasformazione indicata non riesce più biunivoca se il sistema (C) non è 
semplice. In tal caso possiamo sempre costruire un sistema lineare co 1 di curve 
(fascio razionale) che non appartenga all'involuzione I m cui appartiene (C); invero 
basta considerare il fascio segato da un fascio di iperpiani (o di piani) nello spazio 
S r a cui la superficie S appartiene, escludendo (tatt'al più) posizioni particolari dello 
S r _ 2 base. Ciò posto si riferiscano proiettivamente le curve del sistema (C) agli iper- 
piani (S k ) di un Sjt-i-i per un punto e le curve del fascio razionale agli iperpiani 
per un S^ in Sk+i non contenente 0: un punto della superficie S è base per un 
sistema co'"" 1 di curve in (C) ed appartiene ad una curva del fascio; al sistema oo' !_l 
corrisponde la forma degli iperpiani aventi una retta base per 0, ed alla curva un 
iperpiano per lo S fc _! che incontra la detta retta in un punto P ; il luogo dei punti P 
così costruiti è una superficie F di Sk+i riferita biunivocamente alla S su cui le curve 
del sistema (C) sono segate dagli iperpiani per 0. 

Questa 2 a trasformazione riesce biunivoca per tutti i sistemi (C) (naturalmente 
anche per quelli semplici) tali che il passaggio di una curva di essi per un punto 
non tragga di conseguenza il passaggio per infiniti punti. Infine anche un fascio ra- 
zionale di curve può farsi segare dai piani d'un fascio in S 3 (o dagli iperpiani d'un 
fascio in un iperspazio), adoprando una rete (od altro sistema) ausiliaria e compiendo 
la trasformazione indicata innanzi. È utile che ci fermiamo a considerare alcune par- 
ticolarità di queste trasformazioni ottenute partendo da una rete e da un fascio (nel 
seguito si sottintenderà razionale salvo avviso in contrario), come pure di un'altra 
trasformazione analoga che può ottenersi partendo da tre fasci, poiché nel seguito ci 
occorrerà di richiamare queste proprietà. 

Si abbia una rete di grado D, ed un fascio di cui una curva generica seghi in 
n punti variabili una curva della rete e che non appartenga all'involuzione I D che 
la rete determina; riferiamo proiettivamente le curve della rete ai piani per un 
punto e le curve del fascio ai piani per una retta r (non contenente 0), compiendo 



RICERCHE DI GEOMETRIA SOLLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



179 



così la trasformazione della data superficie. Sulla nuova superficie F i piani per r 
segano (fuori di r) curve d'ordine n (aventi n punti comuni coi piani per 0); ad un 
punto della r corrispondono i D punti base d'un fascio appartenente alla rete, e quindi 
la r è D pia per la F, la quale risulta d'ordine n -{- D ; una retta per sega la 
F in D punti (base d'un fascio immerso nella rete), quindi è « pio per la superficie F: 
inoltre la superfìcie contiene curve multiple secondo h v h 2 ,... (in generale una curva 
doppia) i cui punti corrispondono risp. a gruppi di h u h 2 ,... punti contenuti in un gruppo 
della involuzione I D cui appartiene la rete ed appartenenti ad una stessa curva del 
fascio; vi sono poi in generale rette multiple per della F e punti multipli isolati 
corrispondenti a curve che non hanno intersezioni variabili con quelle della rete 
(fondamentali), ed infine la F potrà presentare anche altre singolarità in corrispon- 
denza a singolarità della primitiva superficie. E anche d'uopo avvertire che dalla 
superficie F può eventualmente staccarsi un certo numero di volte il piano r, ed 
allora soltanto la parte residua dovrà considerarsi la trasformata propria della su- 
perficie data; il caso accennato si verifica se il fascio e la rete hanno una curva 
comune cui corrisponda il piano Or sia considerato come appartenente alla stella di 
centro 0, sia come appartenente al fascio di asse r. 

In modo analogo potranno vedersi le proprietà, che ora accenno, della trasfor- 
mazione in cui si fanno segare 3 fasci dai piani risp. per 3 rette r h r 2 , r 3 (non pas- 
santi per un punto). Se le curve del 1° fascio incontrano quelle del 2° risp. in n 2 , n 3 
punti e quelle del 2° e del 3° s'incontrano in n t punti (e 3 curve di ciascuno dei 
fasci per un punto non han comuni altri punti variabili con esso), riferendo proietti- 
vamente le curve dei 3 fasci risp. ai piani per r 1; r 2 , r 3 , la superficie si trasforma 
in una F di ordine n x -j- n 2 -j- %, che ha le rette r v r 2 , >* 3 , multiple risp. secondo 
n lt n 2 , n 3 , ecc. E da osservarsi che due rette ad es. r v r 2 possono essersi scelte 
passanti per un punto 0, ed allora può ancora accadere che si stacchi il loro piano 
(un certo numero di volte) dalla superficie F. 

Stabiliamo ora il seg. teorema : Se in un sistema lineare la curva generica si 
spezza, o il sistema si compone delle curve irriduttibili d'un altro sistema a cui si sono 
aggiunte delle curve (componenti) fisse, o le componenti irriduttibili delle curve del sistema, 
formano un fascio (razionale o no) (1). 

Facciamo segare le curve del sistema (C) (in cui si può supporre k > 1) dagli 
iperpiani di Sj+i per un punto sulla superficie F riferita in modo semplice o mul- 
tiplo alla primitiva; la F non può essere spezzata (poiché tale non si suppone la 
primitiva), quindi dico che le sue sezioni iperpianali per non possono tutte spez- 
zarsi tranne in rette per 0. Basta vedere il fatto per k = 2 potendosi altrimenti 
proiettare la F in S 3 . Ora ricordiamo che la F può supporsi riferita semplicemente 
alla primitiva superficie se la F stessa non è un cono di vertice (ossia la rete (C) 
ha un grado): escluso che la F sia un cono, consideriamo un fascio di piani seganti 
la F il cui asse r passi per e non appartenga alla F ; le curve C sezioni dei piani 
per r formano un fascio cioè un sistema che sulla superficie irreduttibile F non può 



(1) Cfr. pei sistemi lineari nel piano : Bertini (" lstit. lomb. „, 1882), e per quelli su una qua- 
lunque superficie: Noether, " Math. Ann. „, III, pag. 171; Vili, p. 524. 



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FEDERIGO ENRIQUES 



spezzarsi in più sistemi; se in ogni piano per r la sezione della F è spezzata in 
s (> 1) curve K, sulla varietà oo 1 che ha per elementi le curve K (componenti un 
fascio) i gruppi di s curve costituenti le C formano una serie lineare g s l la quale 
possiede almeno 2 (s — 1) elementi di coincidenza: si arriverebbe così alla conclusione 
che per un'arbitraria retta r per vi sono dei piani tangenti alla F lungo una linea 
(una K), e poiché vi sarebbero infiniti di tali piani la F sarebbe contata più volte, 
ciò che è assurdo. 

Ciò posto nel 1° caso (cioè se le sezioni generiche della F per sono irredut- 
tibili) alla curva generica di (C) corrisponde una parte variabile irreduttibile sezione 
della F con un iperpiano per 0, ed il punto che non può esser dato se non da 
componenti fisse; nel 2° caso le curve del sistema (C) si compongono con quelle 
del fascio, rappresentato dalle co 1 rette per sulla F. Così ogni sistema riduttibile 
di cui le curve non si compongono delle curve d'un fascio definisce un sistema irre- 
duttibile di ugual dimensione ottenuto staccando le componenti fìsse: diremo genere 
e grado del primitivo sistema quelli del sistema irreduttibile così definito, ed esclu- 
deremo nel seguito la considerazione dei sistemi di cui la curva generica si compone di 
m curve d'un fascio. 

Sussiste pure il teorema : 

In un sistema lineare di curve irreduttibili la curva generica non può avere punti 
multipli fuori dei punti base, e delle linee multiple della superficie (1). 

Nel sistema lineare si consideri un fascio (razionale); basterà dimostrare che 
non può esistere una linea, non singolare per la superficie, luogo di punti multipli 
delle curve del fascio; ne seguirà allora immediatamente il teorema enunciato. Ora 
la dimostrazione si farà per assurdo. 

Supposto che esista una tal curva C luogo dei punti multipli delle curve del 
fascio, si può immaginare sulla superficie una rete di curve per la quale il passaggio 
per un punto della C non porti di conseguenza il passaggio per altri punti della C 
stessa (in modo cioè che la C non sia luogo di coppie appartenenti a gruppi dell'in- 
voluzione definita dalla rete), ed allora si può trasformare la superficie in una F su 
cui le curve della rete sien segate dai piani per un punto 0, quelle del fascio dai 
piani per una retta r, ed alla curva C venga a corrispondere sulla F una curva C 
non singolare; ora la sezione piana generica della F per r non può avere punti mul- 
tipli fuori della curva multipla della F stessa e della retta multipla r la quale 
contiene i punti di contatto con F del piano generico per r; è dunque assurdo che 
le sezioni piane per r della F abbiano dei punti multipli i quali descrivano la C 
come avverrebbe per conseguenza della nostra ipotesi sulla C. 

2. Sistemi normali e sistemi completi. — Come è noto una superficie si dice nor- 
male in un S„ a cui appartiene, quando essa non può ritenersi come proiezione di 
una superficie dello stesso ordine (ossia da un punto esterno) di S n +i ; traducendo 
questa definizione in linguaggio invarianti vo diremo normale un sistema lineare (avente 
un grado) che non può esser contenuto in un altro dello stesso grado. E chiaro, appunto 



(1) Cfr. pei sistemi piani: Bertini (1. e). 



RICERCHE DI GEOMETRIA. SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



181 



per la considerazione proiettiva da cui siamo partiti, che se un sistema semplice è 
contenuto in un altro dello stesso grado, anche i generi dei due sistemi debbono essere 
uguali. Non sussiste però la proprietà inversa, giacche proiettando una superficie nor- 
male da un suo punto semplice (da S„ in S„_0 si ottiene una nuova superficie normale 
le cui sezioni sono curve dello stesso genere, ma di cui l'ordine è diminuito di una 
unità. Questa osservazione fa nascere l'idea di considerare accanto ai sistemi normali 
quei sistemi (che diremo completi) i quali non possono esser contenuti in altri di ugual 
genere; il concetto di sistema completo è dunque più largo di quello di sistema nor- 
male, poiché, per quanto abbiamo osservato, un sistema completo è sempre un sistema 
normale (anche se non è semplice come risulta da un successivo teorema), ma non 
viceversa. È anche opportuno rilevare con esattezza ciò che può intendersi dicendo 
che un sistema è contenuto in un altro. Dato un sistema (K) di curve K, un si- 
stema (C) di curve C è contenuto in (K) in modo totale se ogni curva C è da sola 
una K; ma può anche darsi che invece ogni curva C non costituisca da sola una K, 
mentre una curva composta di una C e di un'altra C sia una K; si dirà allora 
che il sistema (C) è contenuto in (K) in modo parziale (ossia che le C sono curve 
parziali di (K) ). Ora io dico che un sistema non può essere contenuto parzialmente in 
un altro di ugual grado. 

Infatti se un sistema co* (K) ne contiene uno co r (C), facendo segare le curve K 
di (K) dagli iperpiani di Sa+i per un punto 0, sulla superficie F, le curve C di (C) 
risulteranno segate dagli iperpiani per un S A _ r contenente : se ora le C sono con- 
tenute in (K) in modo parziale il detto S h _ r sega F secondo una curva C (o in un 
gruppo di punti) che insieme a ciascuna C dà una K ed allora si può considerare 
un sistema co r - fl immerso in (K) contenente parzialmente (C). Si facciano segare le 
curve del nuovo sistema dagli iperpiani di S r +i sulla superficie F' (la quale potrebbe 
essere anche in corrispondenza [1 ni] colla F); alla curva C corrisponde su F' un 
punto, in generale multiplo, e proiettando la F' da questo punto si ottiene certo una 
superficie d'ordine minore; dunque il sistema (K) ha il grado maggiore di (C). Dalle 
considerazioni occorse risulta pure che, ove si voglia attribuire un senso invarian- 
tivo al fatto che un sistema sia contenuto parzialmente o totalmente in un altro, 
bisogna intendere che una curva C la quale insieme ad una C costituisce una curva K 
di (K), possa anche esser rappresentata da un punto; così se in un sistema lineare 
se ne considera un altro contenuto con qualche punto base di più (in modo che il 
grado diminuisce), il secondo sistema è contenuto parzialmente nel primo. 

Per il resultato precedente si vede che la definizione di sistema normale come 
di sistema non contenuto in altro di ugual grado è indipendente dalla larghezza di 
significato che voglia attribuirsi alla parola contenere, dicendo contenuto in un altro 
anche un sistema che vi è contenuto parzialmente, giacche è inutile cercare un sistema 
di ugual grado che ne contenga un altro parzialmente. Invece non accade lo stesso 
per rispetto alla definizione di sistema completo, ed un esempio varrà ad illuminare 
meglio la cosa. Si abbia sopra una superficie F un sistema (C) del genere tt; le curve C 
per un punto semplice costituiscono un sistema contenuto in esso dello stesso ge- 
nere; ora si trasformi la superficie in modo che al punto corrisponda una curva 
semplice K della superficie trasformata F' ; alle curve C corrispondono sulla F' le 
curve C d'un sistema (C), ed alle curve C per curve C spezzate nella K ed in 



182 



FEDERIGO ENRIQUES 



altre curve d'un sistema lineare (C") ; il sistema (C") è contenuto parzialmente in quello 
(C) dello stesso genere. Da questa osservazione scaturisce la necessità di fissare bene 
il senso della parola contenere nella definizione di sistema completo, e noi fissiamo 
di chiamare completo un sistema che non può essere contenuto in altro di ugual genere 
nemmeno parzialmente; questa definizione più larga è assolutamente necessaria (come 
appare dal prec. esempio) ove si voglia che il carattere d'un sistema di essere com- 
pleto (invariantivo per trasformazioni birazionali della superficie) esprima qualcosa 
di differente da quello di esser normale. 

Si considerino ora due fasci di curve irreduttibili di ugual genere aventi comune 
una curva totale dello stesso genere e sulla superficie F si facciano segare le curve 
di essi risp. dai piani per le rette r, r' che s'incontrano nel punto 0; se la trasfor- 
mazione è fatta nel modo generale indicato, alla curva comune dei due fasci, secon- 
dochè si considera appartenente all'uno o all'altro fascio, corrisponde la retta mul- 
tipla r o la r' sulla F ; abbiamo già notato però che se si fa corrispondere , nella 
proiettività posta tra ciascuno dei due fasci ed il fascio di piani omologo, la curva 
comune al piano rr\ questo si stacca (un certo numero di volte) dalla superficie F; 
dico che alla rimanente F non appartengono le rette r, /. Un punto infinitamente 
vicino alla curva comune C dei due fasci individua in generale una curva in ciascun 
fascio, e quindi alla curva comune dei due fasci corrisponde punto per punto la se- 
zione della F col piano r r' fuori di r ed r' ; se la retta r appartiene (come semplice 
o multipla) alla F, le corrisponde una curva che insieme alla C compone una curva 
del fascio segato sulla F dai piani per r'; quindi nell'ipotesi fatta che la C sia una 
curva totale per i due fasci, le rette r, r' non appartengono alla F, e su questa i 
piani per segano una rete di curve dello stesso genere dei due fasci, in cui questi 
sono contenuti totalmente. 

Supponiamo ora che la curva C comune ai due fasci sia contenuta parzialmente 
in uno di essi o in ambedue, ma abbia però il genere comune dei due fasci. Com- 
piendo la trasformazione eseguita prima, sulla F (da cui è staccato quante volte 
occorre il piano r r') alla C corrisponde la sezione del piano r r' fuori di r ed r' . 

Le rette r, r' (ambedue o una sola di esse) apparterranno ora alla F con molte- 
plicità i, i' risp. Sia n l'ordine della F, m la molteplicità del punto 0, ò il numero dei 
punti doppi a cui equivalgono (rispetto alle formule pluecheriane) i punti multipli di 
una sezione generica per fuori di ; tt il genere di tale sezione; si avrà: 

{n — 1) (» — 2) m (m — 1) . 
71 = 2~ 2 Ò " 

La r potrà incontrare la curva multipla di F in qualche punto, in modo che 
una sezione piana per r da cui sia tolta la r avrà ò — òj punti doppi fuori di 
(o molteplicità equivalenti) essendo b >b 1 ; indicando con il genere di una tale 
curva si avrà dunque 

(n — i — 1) (« — i — 2) (m — i) (m — i — 1) . ■ v 
TTj = - b + Ò! : 



dando a tt/, ò/ gli analoghi significati di ttj, ò x , rispetto alle sezioni piane della F 
per r' da cui è tolta la r', si ha pure 



RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



183 



, (« — *' — 1) (n — i' — 2) (m — i') (m — i' — 1) . , . 
* i — 2 2 5 + Ò 2' 

La curva C di genere tt 2 sezione della F col piano r r' da cui sieno tolte le r, r', 
è d'ordine n — i — i', ed ha ò — ò x — b 2 punti doppi (almeno) fuori di (o mol- 
teplicità equivalenti), poiché la curva composta C -f- r -f- r' ha ò punti doppi (o mol- 
teplicità equivalenti) sulla curva doppia (o multipla) della F fuori di 0, di cui ò 1 
dipendono dal fatto che il piano della C passa per la retta multipla r, 0/ dal fatto 
che passa per Il genere della C vale dunque 

, (« — i — i' — 1) [n — i — i' — 2) (m — i — i') (ni — i — i' — 1) . , . , t , 

TT 2 < ò -f bj + ò j, 

dove il segno < dovrebbe prendersi se la C avesse ulteriori punti multipli acci- 
dentali (di cui potrebbe escludersi l'esistenza). 

Ora dalle uguaglianze scritte segue: 

ir — TTj = i (n — m — 1) — òj 

tt — tt'i = i' (n — m — 1) — b'j 

tt — TCo > (i + i') (n — m — 1) — ò 1 — ò'j , 

ossia 

TT — TT2 — 2tT — TTj — Tt'j. 

Ma secondo le nostre ipotesi 

TT 2 = TTj = TT'j, 

quindi 

TT — TT 2 > 2(TT — TT 2 ) 
TT < TT 2 . 

Dico che ne segue 

tt = tt 2 e perciò 71 = ^ = tz\. 

Infatti tt è il genere d'una sezione piana generica della stella di centro su F, 
se questa sezione si particolarizza comunque spezzandosi in s parti di genere k u 
k 2 ... k s di cui due parti di genere k r , k f si segano in i r . P punti, si ha, secondo una 
formula di Noether (1), 

TT > fcj -f- ... -j- k s + Zij-p — 1 



(lj " Acta Mathematica „, 1886. È da prendersi il segno = quando nessuna delle componenti 
della curva spezzata acquista punti multipli accidentali. 



184 



FEDERIGO ENRIQUES 



dove la somma è estesa a tutte le combinazioni di r, p; siccome la curva composta 
spezzata è connessa perchè limite di una curva irreduttibile connessa, almeno s fra 
le i r p non possono essere o, quindi 

ir > fc x -f t 2 + - + 

perciò nel nostro caso : 

TT > TT 2 TT — TT 2 = TTj =■ Tt'.j. 

Si deduce che i piani per segano ancora sulla F una rete di curve dello stesso 
genere dei due fasci e della loro curva comune parziale, nella quale i due fasci sono 
contenuti (tutti e due parzialmente o uno parzialmente e uno totalmente). Si conclude: 

Due fasci di curve dello stesso genere aventi comune una curva di ugual genere, 
sono contenuti in una rete dello stesso genere, e sono contenuti totalmente in una tal 
rete se la loro curva comune è totale. 

Questo teorema è suscettibile di una immediata generalizzazione. Infatti, sia 
estendendo il metodo qui seguito, sia mediante le più elementari proprietà dei sistemi 
lineari di enti si deduce che: 

Se due sistemi lineari oo r , co s di curve sopra una superfìcie hanno comune un 
sistema oc* di curve dello stesso genere comune ai due sistemi (per <3 = o s'intende una 
curva), vi è un sistema lineare co r+s ~ er che ha pure il detto genere in cui i due sistemi 
sono contenuti. 

Il sistema cc^-* si costruisce prendendo risp. nei due sistemi co r , co s due fasci 
che abbiano comune una curva del sistema co^ e costruendo la rete che contiene i 
due fasci come prima abbiam visto. 

Supponiamo che i sistemi co T ; co s e quello oo comune abbiano il grado D (ff >2); 
ossia che il sistema co? sia contenuto totalmente nei due. Facendo segare le curve 
del sistema co r+s ~°' dagli iperpiani per un punto in Sr+s-^+i , si vede che questo 
sistema ha pure il grado D, giacche altrimenti gli S s _o- base dei sistemi d'iper- 
piani seganti i due sistemi oo s , co'' conterrebbero qualche curva o punto della su- 
perficie F ed il sistema co 0, segato dagli iperpiani per lo Sr+s-zr a cui S r _?, Ss-,, 
appartengono, avrebbe un grado minore di quello dei due sistemi co r , oo s . Tanto 
basta per concludere che un sistema di dato grado non può appartenere a due di- 
versi sistemi normali (s'intende dello stesso grado), giacche questi sarebbero con- 
tenuti in un altro di ugual grado. Ora poiché la dimensione d'un sistema lineare 
non può superare il grado aumentato di una unità, concludiamo: 

Un sistema lineare di dato grado appartiene ad un determinato sistema normale 
dello stesso grado. 

Quando si ha una sola curva (od un fascio) non si può parlare di sistema nor- 
male individuato da essa, mancando per essa la nozione di grado: bisogna quindi 
ricorrere al concetto di sistema completo. 

Noi possiamo per ora asserire (in modo analogo al prec. teor.) che: 

Una curva non può appartenere a due diversi sistemi completi dello stesso suo genere. 

Non possiamo però trarne la conclusione generale che esista un sistema com- 



RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



185 



pleto (con un numero finito di dimensioni) individuato da una data curva: occorre 
perciò fissare un massimo della dimensione d'un sistema di dato genere, e questo 
massimo manca ad es. pei sistemi di curve razionali nel piano e di curve di genere 
più alto sulle rigate di genere > : queste classi di superficie verranno escluse nei 
cap. che seguiranno, e dopo aver parlato del genere p delle superficie vedremo come 
per p > il teorema accennato sussista senza eccezione (cap. II). Intanto una curva 
appartiene ad un determinato sistema completo se si sa che essa è contenuta (anche par- 
zialmente) in un sistema completo. 

3. Sistemi residui. — Teorema del resto. — Tutte le curve C d'un sistema lineare 
(K) che insieme ad una stessa C formano una curva totale C -f- C' di (K) costituiscono 
il sistema residuo della curva C rispetto al sistema (K): è da avvertire che la C potrà 
essere una curva composta e tra le sue componenti potranno esservi dei punti base 
per (C). 

Sia (K) un sistema completo e (C) il residuo della curva C rispetto ad esso. 
Si consideri (se vi è) un sistema contenente (C) e dello stesso genere di esso, ed 
in quel sistema un fascio contenente una curva generica C di (C); il detto fascio 
venga fatto segare sulla superficie F dai piani per una retta r', mentre un fascio 
di curve K di (K) contenente la C -\- C venga segato dai piani per una retta r inter- 
secante la r in un punto : inoltre il piano r r' considerato come appartenente ai 
due fasci corrisponda risp. alle curve C e C -\- C, di guisa che esso si stacchi (un 
certo numero di volte) dalla superficie F. Staccato il detto piano la curva C vien 
rappresentata dalla sezione di esso sulla F fuori di r r' . 

Sia tt il genere d'una sezione piana generica della F per 0, tTj il genere d'una 
sezione per r, tt/ quello d'una sezione per r', tt 2 il genere della C; si ha per ipo- 
tesi tt 2 = tt/ : come abbiam visto nel precedente §, sussiste la relazione 

TT — TTq — 2TT — TTj — Tt'j 

e quindi, posto in esso tt/ = tt,, segue tt < TTj e però tt = ttj. 

Si deduce che le sezioni per della F sono curve del sistema completo (K) di 
genere tt, e poiché la C -f- C è una curva totale di questo sistema la r non appar- 
tiene ad F. 

Il fascio delle sezioni piane per r' (contenente C) appartiene dunque parimente 
a (K) ed esso è il residuo della componente della C rappresentata dalla r' ; le altre 
componenti debbono necessariamente essere curve razionali giacche se il genere di 
una curva spezzata (connessa) è uguale al genere di una componente, le altre com- 
ponenti sono di genere (avendosi il genere della curva composta maggiore od 
uguale della somma dei generi delle sue parti): si vede così che nel caso più gene- 
rale possibile la C si spezza in due parti G u C 2 (la 2 a delle quali composta di parti 
razionali) in modo che il sistema residuo di Cj rispetto a (K) è il sistema completo 
a cui appartiene il residuo (C) della C (= C x -f~ C 2 ). 

Così si ha intanto : 

Il sistema residuo d'una curva G, senza componenti razionali (o punti), rispetto ad 
un sistema completo (K) è completo. 

Serie II. Tom. XLIV. * 



18G 



FEDERIGO ENRIQUES 



Supponiamo che (C) abbia un grado e consideriamo il sistema normale di ugual 
grado oo s a cui appartiene : questo è contenuto nel sistema completo residuo di G t 
rispetto a (K). 

Si consideri (se esso non è completo) un sistema oo s+1 di curve generiche del 
sistema completo residuo di Ci che contenga in se il sistema normale co 5 e si fac- 
ciano segare queste curve dagli iperpiani di S s+ i sulla superficie (semplice o mul- 
tipla) F'. Il sistema oo s vien segato dagli iperpiani per un punto in generale mul- 
tiplo per F', ed al punto corrisponde sulla data superficie una curva C 3 (composta 
forse anche di punti) tale che il residuo della C x -f- C 3 rispetto a (K) è il sistema 
normale a cui appartiene (C). Perciò la C 3 fa parte della C 2 (la quale insieme con 
Gì costituisce la C che ha per residuo (C')) ; e siccome il sistema (C) deve esser 
contenuto totalmente nel sistema normale di ugual grado che esso determina, si de- 
duce che C 3 coincide con C 2 , e però (C) col sistema normale residuo di G 1 -\- C 3 = 
C x + C 2 = C. 

La deduzione sussiste ancora se il sistema (K) non è completo ma soltanto nor- 
male purché appartenente ad un sistema completo. Infatti in tal caso se la dimen- 
sione di (K) è r, possiamo considerare un sistema CC+ 1 che lo contenga appartenente 
al sistema completo (U) che (K) determina ; le ca r+1 curve posson farsi segare dagli 
iperpiani di S r +i sulla superficie (semplice o multipla) F'; su di essa si ha allora un 
punto (in generale multiplo) rappresentante una curva L il cui residuo rispetto 
al sistema completo (U) è il sistema normale (K); basta aggiungere alla C la L e 
considerare il residuo di L -j- C rispetto al sistema completo (U) per trarne la con- 
clusione che il sistema residuo (C) è normale. Dunque: 

// residuo d'una curva rispetto ad un sistema normale (appartenente ad un sistema 
completo) è un sistema normale (se ha un grado). 

Nel sistema completo (K) sieno contenuti parzialmente i due sistemi irredutti- 
bili (C) e (C) tali che (C) sia il residuo di una curva generica C rispetto a K, e 
(C) il residuo di una generica C. Supposto (per brevità) che la superficie non sia 
razionale, le C, C generiche non sono razionali, quindi (C) e (C) (residui di esse rispetto 
al sistema completo (K)) sono completi (la deduzione sussiste anche per le super- 
ficie razionali). Poiché una curva generica di un sistema completo lo determina in 
modo unico, si trae la conclusione che (C r ) è il residuo d'ogni altra curva C di (C), 
e (C) è il residuo di ogni altra curva G' di (C). Dunque: 

Se in un sistema completo (K) sono contenuti parzialmente due sistemi irreduttibili 
(C), (C), tali che ciascuno di essi sia il residuo rispetto a (K) di una curva generica 
dell'altro, ciascuno dei due sistemi è il residuo rispetto a (K) di ogni curva dell'altro; 
così tra i sistemi (C), (C) è stabilito un tal legame reciproco che ogni curva dell'uno 
insieme ad una curva dell'altro costituisce una curva totale di (K). 

Questo teorema è noto sotto il nome di teorema del resto {Restsatz (1)), i due 
sistemi (C), (C) diconsi residui uno dell'altro. 

4. Sistema somma di due sistemi. — Sieno dati due sistemi co r , co s e si facciano 
segare le curve di essi sulla superficie F in S, + s risp. dagli iperpiani per un S r _i e 



(1) Noether, " Math. Arni. „, 8. 



EICERCHE DI GEOMETRIA SDLLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 187 

per un S s _! riferendo le dette curve proiettivamente ai nominati iperpiani; le qua- 
driche di S r + S per S r _„ S,_i segano sulla F un sistema contenente tutte le coppie di 
curve composte con una curva d'un sistema e uno dell'altro, e contenente totalmente 
le dette coppie: cosi accade che se n, n', sono i gradi dei due sistemi e la curva 
generica dell'uno incontra in D punti quella dell'altro, il sistema segato su F dalle 
quadriche per S r _i, S s _! è di grado n -\- n' -\- 2 D. Il detto sistema apppartiene ad 
un determinato sistema normale; non possono esistere due sistemi normali diversi 
contenenti tutte le coppie di curve dei due dati sistemi poiché essi avrebbero comune 
un sistema dello stesso grado. Dunque: 

Esiste un determinato sistema normale irreduttibile contenente totalmente tutte le 
coppie di curve composte con una curva d'un sistema normale e una d'un altro (irre- 
duttibili): esso si dirà il sistema somma dei due nominati. 

Il sistema somma d'un sistema (C) con se stesso si dirà il suo doppio; il sistema 
rplo di (C) risulta definito come somma di (C) col sistema (r — 1) pio di (C) ed è un 
determinato sistema normale contenente totalmente tutti i gruppi di r curve di (C). 

Si può considerare il sistema somma di (C) con una curva (che in una trasfor- 
mazione può essere sostituita da un punto), ma le curve di questo possono anche 
esser spezzate in quelle di (C) e nella curva nominata. 



IL 

Il sistema canonico. 

1. Superficie aggiunte. — Una superficie F di S 3 ha in generale una o più curve 
multiple e dei punti multipli particolari che diremo isolati appartenenti in vario modo 
alle curve multiple. Se si considera una retta r non appartenente alla F che passi 
per un suo punto multiplo o, può darsi che la sezione piana generica della F per r 
abbia in o una singolarità superiore di quella competente alla sezione generica della 
stella di centro o; si dirà in tal caso che sulla retta r vi è un punto multiplo in- 
finitamente vicino ad o; se la r è tangente ad una curva ipla per o, vi è certo su 
di essa un punto iplo infinitamente vicino ad o, ma questo non è un punto iplo iso- 
lato. Se non vi sono punti multipli isolati infinitamente vicini a qualche punto mul- 
tiplo (isolato) della F si dirà che la F ha punti multipli isolati distinti: introduciamo 
per ora tale restrizione. Diremo superficie aggiunta alla F (1) ogni superficie che 
gode delle due proprietà caratteristiche seguenti: 



(1) Cfr. Noether (" Math. Ann. „, 2, 8). 



188 



FEDERIGO ENRIQUES 



a) sega un piano generico secondo una curva aggiunta alla sezione piana 
della F; 

b) sega un piano passante per un punto multiplo isolato secondo una curva 
che insieme ad una retta arbitraria per il punto costituisce una linea aggiunta alla 
detta sezione piana. 

Segue che se la F è dotata solo di singolarità ordinarie una sua superficie 
aggiunta è sottoposta alla condizione di avere come (i — l)pla ogni curva ipla della F 
e come [n — 2)plo ogni punto wplo di essa : ma non possiamo escludere che per 
effetto delle condizioni imposte ogni superfìcie di un dato ordine aggiunta alla F 
possa avere nei punti singolari della F molteplicità superiori di quelle assegnate, 
o (come diremo più brevemente) delle ipermolteplicità. 

Quando poi si tratta di singolarità straordinarie, per questo solo fatto può avve- 
nire che le aggiunte debbano avere nei punti (o curve) multipli molteplicità superiori 
di quelle indicate: così p. e. un punto doppio isolato ordinario non appartiene in 
generale alle aggiunte della superficie F, ma se il punto è un contatto della super- 
ficie con sè stessa (tacnodo) (1), in guisa che in ogni piano per esso la sezione ha ivi 
un tacnodo, segue dalla definizione che le superficie aggiunte alla F debbono passare 
(semplicemente) per quel punto. 

Se n è l'ordine della superficie F, una sua aggiunta ip„_ 4 d'ordine n — 4 (se esiste) 
sega un piano qualunque secondo una curva C n _ 4 aggiunta alla sezione C„ della F, 
(la quale insieme ad una retta dà una C n _ 3 aggiunta alla C„) e quindi se la ip„_ 4 non 
ha ipermolteplicità nella linea singolare della F, la sua curva sezione colla F (fuori 
della linea multipla) sega una C„ sezione piana generica in un gruppo residuo (2) di 
quelli segati dalle rette del piano: per togliere ogni caso d'eccezione noi possiamo 
osservare che, allorquando la ^„_ 4 e quindi la C n _4 ha delle ipermolteplicità nei punti 
singolari della C„, si debbono riguardare come cadute in quei punti alcune delle 
intersezioni della iy n _ 4 colla C„, giacche in una trasformazione della C„ a quei punti 
in quanto sono ipermultipli corrispondono punti della curva trasformata che com- 
pletano su di essa il gruppo residuo di quello corrispondente all'intersezione di una 
retta colla C„. Un riguardo analogo deve aversi per le sezioni piane passanti per 
un punto multiplo della F. 

Così si abbia una superficie F d'ordine n dotata di un punto iplo (ordinario) 
e si supponga che abbia una molteplicità > i — 2 (per precisare i — 1) per le super- 
ficie v)j„_ 4 d'ordine n — 4 aggiunte alla F : allora ciascuna di esse sega sopra una sezione 
piana per fuori dei punti multipli un gruppo residuo di quello segato da una retta 
generica del piano, e contenuto nel residuo di quello segato da una retta per ; 
secondo le nostre convenzioni riguardo alle ipermolteplicità dobbiamo però conside- 
rare il gruppo segato da una ip n _ 4 sulla sezione piana di F per fuori dei punti 
multipli come la somma del gruppo considerato e di quello degli i punti infinitamente 



(1) Cfr. ad es. la superfìcie del 4° ordine con tacnodo di Cremona (" Collectanea mathematica „) 
e Noether (" Gottinger Nachrichten „, 1871 e " Math. Ann. „ 33). 

(2) Nel senso dei signori Brill e Noether C Math. Ann. „, 7), cioè rispetto alla serie spe- 
ciale gl p ^.2 della curva che (seguendo una denominazione del sig. Segre) si dirà serie canonica della 
curva. 



RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



189 



vicini ad : trasformando la superficie si ha come corrispondente alla sezione della 
vy„_i in F la curva che corrisponde alla sezione propria della iy„_ 4 e quella luogo dei 
punti corrispondenti ai punti infinitamente vicini ad 0, ed allora questa curva com- 
posta delle due nominate sega proprio un gruppo residuo della serie caratteristica 
sopra una curva generica della rete trasformata di quella delle sezioni piane per 
della F. 

Per chiarire riferiamoci ad un esempio. Si consideri un sistema lineare co 1 ', 
(r > 2) ed in esso le curve d'una rete che hanno r — 2 punti fìssi : si può costruire 
(fissando una curva del sistema fuori della rete) un sistema co 3 che contenga la rete, 
e supporremo che esso sia semplice: facendo segare le sue curve dai piani sulla 
superficie F d'ordine n le superfìcie iy„_ 4 d'ordine n — 4 aggiunte alla F segano 
sulla F una curva C la quale determina un gruppo residuo della serie segata dai 
piani sopra una sezione piana generica, per modo che la linea corrispondente C sulla 
prima superfìcie sega un gruppo residuo della serie caratteristica sulla curva gene- 
rica del sistema co 3 ; supponiamo inoltre che la F abbia solo una curva doppia e 
non di molteplicità superiore, cioè non esistano infinite terne di punti presentanti una 
sola condizione alle curve del sistema co 3 . Al gruppo base di r — 2 punti per la 
rete contenuta nel sistema co 3 che stiamo considerando, corrisponde sulla F un punto 

(r — 2)plo che è ^ ~ 2 ^ ' —pio per la curva doppia : si vede quindi che il punto 

è (r — 3)plo per le iy„_^ aggiunte alla F (anziché (r — 4)plo) ; questo fatto porta che 
la C sega sulla curva generica della rete un gruppo residuo della serie caratteri- 
stica aumentata del gruppo base (di r — 2 punti) della rete, ciò che è d'altra parte 
una conseguenza del modo con cui la C è stata costruita : la C aumentata degli 
(r — 2) punti base della rete sega quindi un gruppo residuo della serie caratteristica 
sopra la curva generica della rete; essa gode dell'analoga proprietà anche rispetto 
al sistema co 3 contenente la rete, poiché i punti base della rete sono curve senza 
intersezioni colle linee del sistema che non passano per essi. 

Ciò posto possiamo dire che: 

Una superficie vp„_ 4 d'ordine n-4 aggiunta ad una F d'ordine n sega sopra una 
sezione piana generica (fuori dei punti multipli) un gruppo residuo di quello segato da 
tutte le rette del piano, e sopra una qualunque sezione piana per un punto multiplo iso- 
lato un gruppo residuo di quello segato dalle rette per il punto. Così pure sega un 
gruppo speciale, contenuto nel residuo del gruppo dei punti base semplici, sopra la sezione 
piana generica di un fascio il cui asse contenga quanti si vogliano punti multipli o sia 
una retta multipla. 

Infatti una retta r ipla della F è (i — l)ipla per una mj„_ 4 aggiunta e quindi la 
sezione della ty n _i con un piano generico passante per la retta si compone di una curva 
C n _i_ 3 e della retta r contata (i — 1) volte ; la C„_<_3 ha come punto (p — l)plo un punto 
pplo della sezione C„_; della F fuori di r, e così pure come punto (p — l)plo un 
punto (p -j- Opl° della C„_, sulla r, giacche questo punto (p -f- *)plo per la sezione 
totale di F, è (p — j— * — 2)plo per la curva composta di C„_,_ 3 e di r contata i — 1 
volte. 

Se invece la r non appartiene alla F, essa, insieme alla sezione C„_ 4 della iPn— 4 
con un piano per essa, dà una curva C„_ 3 aggiunta alla sezione piana della F. 



190 



FEDERIGO ENRIQUES 



Le proprietà che secondo il teorema precedente competono ad una curva sezione 
della ip B _, sulla F (tolta la curva multipla) sono caratteristiche per questa curva, 
anzi due sole di esse bastano a definirla, dico cioè (per limitarmi a ciò che qui 
occorre) che : 

Se si ha una superficie F (non rigata) e si considera una stella di sezioni piane 
di essa tale che pel suo centro non passino rette multiple infinitamente vicine, e si ha 
una curva C la quale seghi un gruppo residuo di quello segato dai piani della stella 
sulla sezione generica di essa e seghi un gruppo speciale contenuto nel residuo del 
gruppo dei punti base semplici sulla curva sezione generica d'un fascio contenuto nella 
stella, la C è sezione della superficie F (d'ordine n) con una determinata superficie ag- 
giunta d'ordine n — 4 (iy n _ 4 ). 

Sia il centro della stella ed r una qualunque retta per esso, la quale sup- 
porremo non incontri la curva in questione C: un piano per r sega la F secondo 
una curva K, su cui la C sega un gruppo che insieme al gruppo segato da una retta 
per dà un gruppo canonico, cioè un gruppo sezione di una determinata curva 
d'ordine n — 3 aggiunta alla K: questa aggiunta d'ordine n — 3 si spezza per altro 
necessariamente (anche se è multiplo) nella retta per ed in una curva x d'or- 
dine n — 4 aggiunta alla K tranne tutt'al più nel punto che risulta (i — 2)plo 
almeno per essa se è iplo per la F (i > 2) : ora il luogo della curva x variando il 
piano scelto per r è una superficie (contenente la data curva C) che si comporta nel 
punto e rispetto alla curva multipla della F (tranne eventualmente rispetto a rette 
multiple per 0) come una superficie aggiunta: se questa superficie contenesse r essa 
dovrebbe segare F in qualche curva passante per le intersezioni di r con F, ma 
poiché (la r essendo una retta arbitraria per 0) per queste non passa C nè la curva 
multipla, e la ulteriore curva intersezione non ha con un piano per r altri punti 
comuni fuori di C e dei punti multipli, la detta ulteriore intersezione dovrebbe com- 
porsi di rette incontranti la retta arbitraria r fuori di 0, mentre la F non è rigata. 
Dunque la superficie luogo della curva x è una iy n _4 di ordine n — 4 come la x- 
Resta a vedersi che questa superficie ip„_ 4 si comporta come una aggiunta anche 
rispetto alle rette multiple (eventuali) per ed ai punti multipli isolati fuori di 
e che essa è determinata in modo unico dalla C, ossia è indipendente dalla r. 

Sia a una retta hpla della F per (h > 0) : se la ijj„_ 4 contiene la a con una 
molteplicità < h — 1 (o non la contiene), essa sega un piano per a secondo una 
curva d'ordine > n — h — 3 (oltre la a) la quale è aggiunta della sezione piana 
della F (fuori di a) tranne forse rispetto a punti su a; per conseguenza in tale ipotesi 
la iy n _ 4 segherebbe sopra la sezione piana del fascio di asse a un gruppo non speciale, 
mentre il gruppo sezione appartenendo alla C è per ipotesi un gruppo speciale : così 
risulta che la vp n _ 4 ha come (h — l)pla (almeno) la retta hpla a della F. 

Si consideri ora un punto multiplo isolato 0' della F, pplo per essa: la retta a = 00, 
sarà in generale Apla per F con h > 0. Suppongasi dapprima h = 0: la ^„_ 4 sega (come 
la C) un gruppo speciale sopra una sezione piana generica della F per a. contenuto 
nel residuo del gruppo sezione di a (fuori dei punti multipli), quindi la curva d'or- 
dine n — 4 sezione della iy n _ 4 con un tal piano dà insieme alla a una curva d'ordine 
n — 3 segante la sezione piana di F in un gruppo speciale, la quale si comporta come 
un'aggiunta rispetto ai punti multipli della detta sezione fuori di a, dunque essa ha 



RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



191 



la molteplicità p — 1 (almeno) nel punto pplo 0' della F e perciò questo è (p — 2)plo 
(almeno) per la i|/ n _ 4 : la conclusione permane se vi sono più punti multipli isolati 
sulla a, giacche le ipermolteplicità che la ip„_ 4 potrebbe avere in qualcuno di essi 
rappresenterebbero soltanto dei punti del gruppo segato da C caduti nell'intorno di 
un punto multiplo. Suppongasi invece h > 0: allora la a è (h — l)pla per la iy (l _ 4 e 
la i|j„_ 4 sega sopra un piano per a una curva d'ordine n — h — 3 la quale si com- 
porta come un'aggiunta rispetto alla curva d'ordine n — h sezione della F col piano 
(fuori di «) nei punti multipli della curva multipla; poiché essa sega sulla detta 
curva un gruppo speciale si vede (analogamente al caso precedente) che ogni punto 0' 
pplo su a deve essere (p — l)plo (almeno) per essa, ossia la vjj„_ 4 ha come (p — l)plo 
(almeno) ogni punto pplo sulla retta hpla a. 

Finalmente la superficie vp„_ 4 (che si è dimostrato essere aggiunta alla F) è uni- 
camente determinata dalla condizione di contenere la curva C. Infatti l'intersezione 
della vp„_ 4 colla F si compone della curva multipla, della C ed eventualmente di rette 
per 0; queste rette per non possono variare al variare della retta r che ha ser- 
vito per la costruzione della iy n _, giacche altrimenti la F sarebbe un cono, quindi 
l'intersezione della y„_ 4 colla F è fìssa al variare della r : tanto basta per affermare 
che la ijj n _4 stessa è indipendente dal variare della r, giacche altrimenti si avrebbe 
un fascio di superficie ip„_ 4 aventi fissa l'intersezione colla superficie F d'ordine n 
(> n — 4), ciò che è assurdo. 

Così rimane stabilito il teorema enunciato in principio. 

Escluderemo nel seguito le superficie F rigate e le loro trasformate per le quali 
d'altra parte si può stabilire che non esistono superficie aggiunte hj„_ 4 . 

Se è data una superficie F d'ordine n in S 3 e si considera la stella delle sezioni 
piane per un punto fuori di essa si deduce: 

Se una curva C sega un gruppo residuo di quello segato da una retta arbitraria 
sopra una sezione piana generica della F ; ed un gruppo contenuto nel residuo di quello 
segato da una retta pel punto multiplo sopra una sezione piana generica per un punto 
multiplo isolato, la detta curva C è la sezione colla F di una determinata superfìcie iy n _j 
d'ordine n — 4 aggiunta alla F. 

2. Il sistema canonico. — I teoremi del precedente § sono suscettibili d'una più 
vasta estensione conducendo ad un resultato generale che possiamo enunciare sotto 
forma invariantiva. 

A tal fine diremo curva fondamentale per un sistema lineare ogni curva parziale 
del sistema (cap. I), la quale presenti una sola condizione ad una curva del sistema 
che debba contenerla; se la curva è irreduttibile basta assegnare la condizione che 
la curva fondamentale non abbia intersezioni variabili colle curve del sistema, non 
così se è composta: intendiamo per altro di includere sempre in una curva fonda- 
mentale composta tutte le linee parziali (o punti) che si staccano da una linea del 
sistema in conseguenza dello staccarsi di una parte di essa. 

Allora una linea fondamentale d'una rete di curve, quando questa venga segata 
dai piani d'una stella, è rappresentata o da una retta (multipla) pel centro della stella, 
o da uno o più punti multipli isolati sopra una retta pel detto centro ed eventual- 



192 



FEDERIGO ENRIQUES 



mente anche dalla retta stessa; nel 1° caso la curva non è fondamentale per il 
sistema ce 3 segato dai piani, nel 2° sì se si tratta d'un solo punto multiplo isolato. 

Una linea fondamentale d'un sistema semplice viene sempre rappresentata da 
un punto multiplo sopra la superfìcie F trasformata facendo segare dagli iperpiani 
(o piani) le curve del sistema: diremo che il sistema ha curve fondamentali distinte 
se la superfìcie F ha punti multipli isolati distinti (cfr. § prec). Fisseremo l'analoga 
definizione per una rete dicendo che essa ha curve fondamentali distinte quando è 
impossibile fare segare le curve di essa sopra la superficie dai piani per un punto (in S 3 ) 
per cui passano due rette multiple infinitamente vicine: è facile vedere che una rete 
generica immersa in un sistema semplice co 3 con curve fondamentali distinte ha 
curve fondamentali distinte, poiché non contiene due fasci infinitamente vicini residui 
di curve fondamentali. 

Ciò posto noi stabiliamo ancora di definire come serie caratteristica di un si- 
stema lineare la serie gj~ l che le curve del sistema (di dimensione r e grado D) 
segano sopra una curva generica del sistema stesso (1) : i piani d'una stella (ossia le 
rette pel centro) segano sopra una sezione piana la serie caratteristica della rete 
delle sezioni piane della stella stessa, ecc. 

Si abbia sopra una superfìcie una rete con curve fondamentali distinte e si 
consideri un arbitrario sistema lineare oo k (k > 1) ed in esso un fascio generico 
avente m punti base semplici: facciamo segare sulla superficie F (d'ordine n) le curve 
della rete dai piani per un punto o, e le curve del fascio dai piani per una retta r 
non passante per o; ai punti base semplici del fascio corrispondono rette per o sem- 
plici per F (curve fondamentali della rete aventi una intersezione con ciascuna curva 
del fascio). 

Sia c una curva la quale seghi un gruppo residuo della serie caratteristica sulla 
curva generica della rete, ed un gruppo speciale contenuto nel residuo del gruppo 
dei punti base semplici sulla curva d'un fascio contenuto nella rete ; come nel prec. § 
si prova che la c è sezione della superficie F d'ordine n con una superficie 4J„_ 4 
d'ordine n — 4 la quale si comporta come un'aggiunta rispetto alle linee multiple 
della F (quantunque forse la F possa non avere punti multipli isolati distinti): dico 
inoltre che la ip„_, contiene le rette semplici per o corrispondenti ai punti base del 
fascio fatto segare dai piani per r. Infatti un piano per una tal retta a sega la F 
secondo una curva ~K n -i d'ordine n — 1 (fuori di r) e la c sega la K„_j secondo un 
gruppo che insieme ad una retta per o, p. es. insieme alla r, costituisce un gruppo 
canonico, sicché la curva sezione della vjJ n _ 4 fuori di r è una curva d'ordine n — 5 
che insieme alla r costituisce un'aggiunta d'ordine n — 4 alla K„_i, perciò la r ap- 
partiene alla vjj n _j, cdd. Ne segue che la c aumentata delle rette per o analoghe ad a 
sega sopra la curva sezione della F con un piano per r, un gruppo appartenente a 
quello segato dalla y n -i, ossia dalla curva d'ordine n — i — 3 sezione della iy n _ ( col 
piano fuori della r (supposta ipla per F) ed aggiunta alla sezione piana di F: in 
altre parole la c sega un gruppo contenuto nel residuo del gruppo dei punti base 
semplici sulla curva del fascio fatto segare dai piani per r, e sommata (ove occorra) 



(1) Cfr. pei sistemi di curve piane, Castelmuovo ( u Accad. di Scienze Torino, Memorie ,„ 1891). 



RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



193 



con curve fondamentali della rete (ulteriore sezione della uj„_ 4 con F fuori delle 
rette analoghe ad a) sega proprio un tal gruppo residuo sulla curva generica del 
detto fascio. Si deduce che la c insieme ad eventuali curve fondamentali della data 
rete sega un gruppo residuo della serie caratteristica sulla curva generica del si- 
stema oo*. 

Il ragionamento precedente patisce eccezione se il fascio preso ad arbitrio nel 
sistema oo* sulla superficie appartiene alla involuzione che la rete determina; in tal 
caso sussiste ancora la conclusione precedente perchè la c (completata ove occorra) 
gode della stessa proprietà fissata per la primitiva rete rispetto ad altre reti non 
appartenenti alla stessa involuzione. 

Così possiamo enunciare il teorema : 

Se una curva C sega un gruppo residuo della serie caratteristica sulla curva gene- 
rica d'un sistema oo r (con r > 2) dotato di curve fondamentali distinte, ed un gruppo 
contenuto nel residuo della serie caratteristica (che si riduce al gruppo dei punti base 
semplici per un fascio) sulla curva generica di ogni sistema oo T-1 contenuto nel primo, 
residuo d'una curva fondamentale, la curva C sola o insieme a qualche curva fonda- 
mentale pel dato sistema sega un gruppo residuo della serie caratteristica sulla curva 
generica d'un sistema co* (s > 2) (semplice o no) arbitrariamente fissato sulla superficie. 

Da questo teorema risulta che le curve C definite dalle proprietà indicate rispetto 
ad un sistema oo r (r > 2) non dipendono dalla natura del sistema ove si prescinda 
da certe componenti fisse di esse (curve eccezionali) : le curve C si ottengono come 
sezioni della superficie F d'ordine n in S 3 colle superficie aggiunte d'ordine n — 4 
quando la F sia stata preventivamente trasformata in modo da avere punti multipli 
isolati distinti (come supponiamo), e perciò compongono un sistema lineare; segue 
che le componenti variabili del sistema lineare segato sopra una superficie d'ordine n 
dalle superficie d' ordine n — 4 aggiunte ad essa, si trasformano in curve analoghe 
quando si trasforma birazionalmente la superficie; queste curve, legate invariantiva- 
mente alla superficie, che diremo curve canoniche, segano sidla curva generica d'ogni 
sistema lineare un gruppo contenuto in un gruppo residuo della serie caratteristica o 
proprio residuo di essa (1) : dovremo poi distinguere quando si presenti l' uno o 
l'altro caso. 

Il sistema canonico (costituito dalle curve canoniche) conduce in generale a due 
caratteri invariantivi della superficie; cioè il 1° genere p (o semplicemente genere) 
cioè la dimensione del sistema canonico aumentata di 1 (Flàchengeschlecht) (2), ed il 
2° genere p w cioè il genere del sistema canonico (Curvengeschlecht di Noether); un 
terzo carattere, il grado p l2 \ è legato al 2° genere p {1) dalla relazione 

= p w — 1 

stabilita dal Noether (Mathem. Ann. Vili), di cui ora dovremo discorrere. 

(1) L'invariantività delle curve canoniche è stata dimostrata per la prima volta dal sig. Noether 
(" Math. Ann. „, II, Vili) con un lungo procedimento analitico. Il sig. Castelnuovo (" Istituto lomb. „, 
1891) ne ha dedotto la proprietà qui enunciata di queste curve, la quale sotto le restrizioni del 
precedente teorema risulta ora caratteristica di quelle curve. 

(2) Il concetto del genere per le superficie, fu dapprima stabilito da Clebsch (" Comptes rendus „, 
1868), quindi il detto concetto fu stabilito dal sig. Noether (" Mathem. Ann. „, II) per tutte le 
varietà algebriche più volte estese. 

Serie II. Tom. XLIV. z 



194 



FEDERIGO ENRIQUES 



Se il 1° genere p = 1, mancano le curve canoniche propriamente dette (secondo 
la nostra definizione), ma ogni sistema lineare ha la serie caratteristica speciale: 
manca il secondo carattere p [1] : esiste una superficie d'ordine n — 4 aggiunta alla 
superfìcie supposta d'ordine n in S 3 . 

3. Curve eccezionali. — Consideriamo un sistema semplice oo r (C) (r > 3) con un 
punto base iplo (isolato) in un punto semplice della superficie F e trasformiamo 
la superfìcie in una F' di S 3 su cui oo 3 curve generiche C di (C) vengano segate dai 
piani : al punto corrisponde sulla F' una curva d'ordine i (che può anche ridursi 
ad una curva d'ordine -4- contata j volte) la quale deve essere aggiunta ad ogni 
curva canonica (insieme forse ad altre curve) per segare un gruppo residuo della 
serie caratteristica sulla sezione piana generica di F'; infatti la curva composta di 
una curva canonica e del punto sulla F sega un gruppo residuo della serie carat- 
teristica sopra la curva generica di ogni sistema non avente il punto base e quindi 
pel teorema principale del precedente § sega un gruppo residuo della serie caratte- 
ristica anche sopra la curva generica d'un arbitrario sistema avente il punto base 0. 
Dunque la curva d'ordine i che corrisponde al punto su F' appartiene a tutte le 
superficie d'ordine n — 4 aggiunte alla F' supposta d'ordine n ; per questa proprietà 
la detta curva dicesi (secondo il Noether Math. Ann. Vili) una curva eccezionale 
della F' (ausgezeichnete). 

Viceversa si supponga l'esistenza di una curva eccezionale C d'ordine i sulla F' : 
il sig. Noether (op. cit., § 514) ha indicato una trasformazione della superficie F' 
in una F su cui alla C corrisponde un punto semplice per la F e base iplo per il 
sistema delle curve corrispondenti alle sezioni piane della F'. 

La curva eccezionale C su F' può eventualmente essere sostituita da un punto; 
la trasformazione della F' in una superficie F su cui la C è rappresentata da un 
punto semplice (per F) e base (con data molteplicità) per il sistema delle curve C 
corrispondenti alle sezioni piane della F' continua a sussistere, ma nel punto le 
curve C hanno le tangenti fisse altrimenti ad corrisponderebbe una linea su F' : 
reciprocamente se sopra una superficie F si considera un sistema (semplice) oo 3 
(almeno) di curve C con un punto base semplice per F e con data molteplicità 
per le C, dove le C hanno le tangenti fìsse, facendo segare le curve C r dai piani 
(di S 3 ) sopra la superficie F', si ha su F' un punto 0' multiplo eccezionale, ossia un 
punto ipermultiplo di cui un intorno rappresenta una curva appartenente a tutte le 
curve canoniche; in particolare si può considerare l'esempio in cui le C tocchino 
in una data retta, 0' è allora un punto doppio eccezionale per la F'. 

Risulta di. qua che non vi può essere sulla ¥' un punto eccezionale semplice 
(per F'), ossia un punto base pel sistema canonico (semplice per la F'). Infatti 
sulla superfìcie trasformata F il punto corrispondente ad 0' non potrebbe essere 
un punto base isolato per le C, altrimenti gli corrisponderebbe una curva sulla F' ; 
e d'altra parte se in le C hanno una tangente fìssa il punto 0' risulta doppio 
almeno per la F\ 

Ora si consideri una trasformata F della F' senza curve (ne punti) eccezionali, 
come è possibile con successive trasformazioni che mutino in punti semplici le curve 
eccezionali della F'; sulla F, supposta d'ordine n, le superficie aggiunte mj„_ 4 (d'or- 



RICERCHE DI GEOMETRIA SDI.LE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



195 



dine n — 4) segano fuori della curva multipla soltanto curve canoniche (e non com- 
ponenti fisse eccezionali), e quindi le curve canoniche segano sulle sezioni piane 
della F proprio un gruppo residuo della serie segata dai piani (non un gruppo con- 
tenuto in un gruppo residuo). 

Se si considera sulla F un sistema semplice (oo 3 almeno) senza punti base e si 
fanno segare le sue curve dai piani di S 3 , sulla superficie trasformata non nascono 
curve eccezionali (che corrisponderebbero necessariamente a punti sulla F) e quindi 
la proprietà indicata compete alle curve canoniche anche rispetto alle curve del nuovo 
sistema. 

La proprietà di una superficie di S 3 di non possedere curve eccezionali si tra- 
duce in una proprietà invariantiva pel sistema delle sezioni piane che può enunciarsi 
dicendo che il sistema è privo di punti base, intendendo che il sistema non può acqui- 
stare punti base (semplici per la superficie) sopra una superficie trasformata, e sce- 
gliendo per tipo fra le trasformate una superficie senza curve eccezionali sulla quale 
il sistema avrebbe necessariamente punti base se li avesse sopra un'altra superficie 
riferita ad essa biunivocamente : con questa scelta della superficie tipo rimane pure 
fissato che cosa si deve intendere quando si dice che un sistema ha certi punti base 
con certe molteplicità; nella scelta medesima evitiamo di riferirci a quelle superficie 
su cui accidentalmente i punti base del sistema cadano infinitamente vicini a punti 
multipli. Infine queste definizioni non esigono che il sistema di cui si tratta sia 
semplice. 

Con queste convenzioni l'esistenza di punti base d'un sistema costituisce una pro- 
prietà invariantiva di esso che compete evidentemente al sistema normale definito dal dato 
sistema (altrimenti il grado aumenterebbe). 

Diremo per brevità puro o impuro un sistema secondochè non ha o ha punti 
base; diremo pure curva eccezionale sopra una superficie in S„ la curva che corri- 
sponde ad un punto base pel sistema delle curve trasformate delle sue sezioni 
iperpianali. 

Ora sopra una superficie F senza curve eccezionali si abbia un sistema puro 
(semplice o no) : se una curva canonica non segasse proprio un gruppo residuo della 
serie caratteristica sulla curva generica del sistema (supposto di dimensione >2), 
tale proprietà competerebbe alla somma di essa con una curva eccezionale su F; 
questa curva non potrebbe essere che un punto base pel sistema, ciò che contrasta 
all'ipotesi che il sistema sia puro. Concludiamo: 

Una curva canonica sega proprio un gruppo residuo della serie caratteristica sulla 
curva generica d'ogni sistema puro (oo 2 almeno) ed è caratterizzata da questa proprietà. 
Parimente : 

Se un sistema impuro (co 2 almeno) ha s punti base isolati di molteplicità ij i 2 ... i s , 
una curva canonica sega sulla curva generica di esso un gruppo che aumentato dei gruppi 
di ij i 2 . . . i s punti infinitamente vicini ai rispettivi punti base dà un gruppo residuo della 
serie caratteristica. 

Il sistema canonico non ha punti base (come abbiamo osservato), quindi la serie 
caratteristica del sistema canonico è autoresidua e perciò 



p®=pW — l 



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FEDERIGO ENRIQUES 



(cfr. citaz. precedente): va fatta eccezione per il caso che il sistema canonico si spezzi 
nelle componenti d'un fascio (o per p = 1 in cui il teorema non ha significato) giacche 
tali sistemi sono stati esclusi dalle nostre considerazioni nel § 1°, cap. I; nondimeno 
il signor Noether ha stabilito che in tale ipotesi le curve componenti le curve cano- 
niche sono ellittiche, sicché p {ì] = 0, p {l] = l, e la relazione è ancora verificata. 

Possiamo ora estendere il concetto di superficie aggiunta anche al caso in cui 
la superficie F sia stata trasformata in modo da non avere più punti multipli isolati 
distinti, basandoci sulla invariantività del sistema canonico (p > 0). Invero una 
curva canonica C insieme alle curve eccezionali sega un gruppo residuo della serie 
caratteristica del sistema oo 3 segato dai piani sulla sezione piana generica della F, 
ed un gruppo residuo di quello segato dai piani per il punto sopra la sezione piana 
per un punto multiplo isolato, perciò col ragionamento del § 1 si prova che la curva 
composta della C e delle curve eccezionali (corrispondenti ai punti base del sistema co 3 
segato dai piani) è sezione di una determinata superficie vjj n _ 4 d'ordine n — 4 (essendo 
n l'ordine della F) la quale soddisfa alle condizioni a) b) del § 1 richieste dalla de- 
finizione di superficie aggiunta rispetto ad una superficie con punti multipli isolati 
distinti; inoltre la iy„_4 si comporta nei punti multipli isolati della F in un modo 
particolare pienamente determinato (p. e. si può vedere che essa ha come (i — 2)plo 
jalmenoj un punto iplo infinitamente vicino ad un punto multiplo); noi assumiamo 
il modo di comportarsi della nei punti multipli come definizione del modo di 
comportarsi delle superficie aggiunte alla F, con riguardo però al fatto che debbono 
considerarsi come ipermoltiplicità della F i punti multipli rappresentanti una curva 
eccezionale; per evitare discussioni troppo minute diciamo che sono aggiunte alla 
superficie F dotata di arbitrarie singolarità e di curve eccezionali distinte, le superfìcie 
che segano un piano generico secondo una curva aggiunta alla sezione piana e si com- 
portano nei punti multipli isolati come le MJ„_ 4 ; invero nessuna curva eccezionale (im- 
magine d'un punto base isolato) può in questo caso ridursi all' intorno d'un punto 
multiplo. 

Osserviamo che la costruzione delle ip„_ 4 riesce per p=p l anche se mancano le 
curve eccezionali, essendovi in ogni piano una curva d'ordine n — 4 aggiunta alla 
sezione piana: va fatta eccezione per le superficie del 4° ordine (genere 1) a cui 
sono- aggiunte tutte le superficie. 

4. Applicazioni. — Una conclusione emerge subito dai resultati del § 2°. Se il 
genere p di una superficie è > 0, la dimensione r d'un sistema lineare di genere tt 
è < ir (poiché la serie caratteristica è speciale), quindi ricordando gli ultimi resultati 
del cap. precedente si ha : 

Sopra una superficie di genere > una curva appartiene ad un determinato sistema 
completo. 

E parimente (poiché allora ogni sistema normale è contenuto in un sistema 
completo) : 

Il residuo d'una curva rispetto ad un sistema normale è sempre un sistema normale 
(se ha un grado). 

Si consideri ora un sistema normale di grado n (C), appartenente ad un sistema 
completo puro di grado n -f- ò (ò > 0), sopra una superficie di genere p > 0. Una 



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curva canonica sega la curva generica del sistema completo di genere rr in 
2(tt — 1) — n — ò punti, ed insieme ai punti base di (C) sega una curva generica C 
(di (C)) in 2 (tt — 1) — n punti; i detti punti base non possono essere multipli perchè 
(C) ha lo stesso genere tt del sistema completo a cui appartiene, quindi (C) ha almeno 
ò punti base semplici, e precisamente ne ha ò perchè è ò la differenza fra il suo 
grado e quello del sistema completo. 

Si deduce che se ò = (C) coincide col sistema completo a cui appartiene. 
Dunque: 

Un sistema puro normale è necessariamente completo (p > 0). 



m. 

Il sistema aggiunto. 

1. Definizione del sistema aggiunto. — In S 3 si abbia una superficie F d'ordine n; 
una superficie vjj r _ 3 d'ordine n — 3 aggiunta alla F sega la F (fuori dei punti multipli) 
secondo una curva K la quale gode delle due proprietà seguenti: 

a) sega una sezione piana generica della F secondo un gruppo canonico, 

b) sega una sezione piana generica (non razionale) per un punto multiplo 
della F secondo un gruppo contenuto in uno appartenente alla serie somma di quella 
canonica e della serie differenza di quella segata sulla curva dai piani generici di S 3 
e di quella segata su di essa dai piani per 0. Escludiamo che la F abbia una stella 
di sezioni piane razionali (nel qual caso sarebbe razionale). 

Se il punto è un punto iplo ordinario la serie differenza di quella segata dai 
piani generici di S 3 sopra una sezione piana per e di quella segata sulla curva 
stessa dai piani per 0, è la serie determinata dal gruppo degli i punti della curva 
in questione infinitamente vicini al punto 0. 

In modo analogo a quello con cui è stato dimostrato il teorema principale del 
§ 1°, cap. II si stabilisce che: 

Se la F è dotata solo di punti multipli isolati distinti, ima curva la quale goda 
delle proprietà a), b), è la sezione della F con una determinata superficie aggiunta ip„_ 3 
d'ordine n — 3. 

Le proprietà a), b) di una curva K rispetto alla F, si traducono in proprietà 
della K rispetto alle sezioni piane di una stella col centro fuori della F o in un 
punto semplice di essa, le quali d'altra parte (per la dimostrazione analoga a quella 
citata) sono caratteristiche per la K. Si ha dunque: 

La condizione necessaria e sufficiente affinchè la K sia la sezione della F (dotata di 
punti multipli isolati distinti) con una superficie ^„_ 3 d'ordine n . — 3 aggiunta alla F 
stessa, è che la K: 



198 



FEDERIGO ENRIQUES 



a) seghi un gruppo canonico sopra ogni sezione generica della F con un piano 
appartenente ad una stella il cui centro è fuori della F o è semplice per essa, 

seghi un gruppo contenuto in uno appartenente alla serie somma della canonica 
colla serie differenza di quella segata dai piani per e di quella individuata dal gruppo 
dei punti base semplice del fascio, sopra la curva generica d'un fascio segato da piani per 0. 

Si supponga che le sezioni piane della F di genere ir sieno le curve di un sistema 
generico oo 3 immerso in un sistema completo (C) di dimensione r > 3 (e necessaria- 
mente semplice). Le curve C si facciano segare sulla superfìcie trasformata cp dagli 
iperpiani di S r : il sistema delle sezioni piane della F viene segato dagli iperpiani 
per un S r _, di S r non incontrante la cp. Dato un altro S r _ 4 non incontrante la qp in 
S r si può sempre costruire una serie di S r _ 4 in S r (avente per estremi i due dati) tale che 
due S r _ 4 consecutivi giacciano in un S r _ 3 senza intersezioni colla cp. Allora una curva 
K che gode delle proprietà a), b) rispetto al primo sistema oo 3 (quando le sue curve 
sieno fatte segare dai piani di S 3 ), gode delle proprietà a), (ì) rispetto alle curve della 
rete data dagli iperpiani per S r _ 3 (che vien segata dai piani d'una stella col centro 
fuori di F, quindi gode delle proprietà a), b) rispetto al 2° sistema oo 3 immerso in 
(C) e così via fino all'ultimo (supposto che tutti questi sistemi sieno semplici). 

Allora traducendo in linguaggio invariantivo le proprietà a), (3), a), b) si può 
enunciare il teorema: 

Sia (C) un sistema completo semplice di dimensione r > 3 dotato di curve fonda- 
mentali distinte, e sia K una curva la quale goda delle due proprietà seguenti: 

a) di segare un gruppo canonico sopra la curva generica di una rete generica 
immersa in (C) ; 

p) di segare sopra la curva generica di un fascio contenuto nella rete un gruppo 
contenuto in uno appartenente alla serie somma della serie canonica e di quella diffe- 
renza tra la serie segata dalla rete e quella individuata dal gruppo dei punti base sem- 
plici del fascio; allora la curva K gode le due proprietà caratteristiche seguenti: 

a) sega un gruppo canonico sopra ogni curva generica di (C), 

b) sega sopra la curva generica d'un sistema co r_1 residuo di una curva fonda- 
mentale di (C) un gruppo contenuto in uno appartenente alla serie somma della serie 
canonica e della serie differenza fra quella segata sulla curva da (C) e la serie carat- 
teristica del sistema oo r_1 . 

La curva K è caratterizzata dal fatto di essere la sezione (fuori della linea mul- 
tipla) della superficie F d'ordine n ottenuta facendo segare dai piani di S 3 , oo 3 curve 
generiche di (C), con una superficie u/„_ 3 d'ordine n — 3 aggiunta ad essa F. Perciò le 
curve K compongono un sistema lineare che si dirà il sistema aggiunto di (C). 

Se si tratta di una superficie di genere p > 0, le proprietà a), b) rispetto ad un 
sistema (C) con punti base distinti (1), competono alle curve composte di una curva C 
(di (C)) e di una curva canonica aumentata dei punti base di (C) (cfr. cap. II, § 3), 



(1) Ossia tali che in nessuno di essi le curve C hanno una tangente fissa. Sebbene introduca 
costantemente questa ipotesi per non entrare in una analisi troppo minuta, non sarebbe difficile 
estendere molti resultati anche al caso in cui (C) abbia punti base di arbitraria natura, come si fa 
nel piano colla considerazione delle singolarità straordinarie delle curve. 



RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



199 



e quindi evidentemente anche alle curve del sistema (normale) somma di (C), del 
canonico, e delle curve rappresentate dai punti base di (C). 

Viceversa consideriamo il sistema (K) aggiunto di (C). Sulla curva generica C 
di (C) una K di (K) sega un gruppo canonico per il quale passano oltre la K co p_I 
curve del sistema aggiunto spezzate nella C ed in una curva canonica aumentata 
dei punti base (o curve eccezionali corrispondenti) di (C), quindi pel detto gruppo 
canonico passano almeno co p curve di (K); ma per il gruppo non possono passare 
più di co p curve K giacche altrimenti vi sarebbero più che oo p_l curve di (K) spezzate 
nella C ed in una curva residua, la quale per le proprietà a), b) di (C) possiede ne- 
cessariamente le proprietà caratteristiche (indicate nel cap. II, § § 2, 3) proprie di 
una curva canonica e delle linee eccezionali (o punti base) di (C); dunque per un 
gruppo canonico sezione d'una curva irreduttibile K con una curva generica C pas- 
sano appunto oo p curve K. Il sistema (K) è dunque il sistema normale somma di (C) 
col sistema canonico e colle curve eccezionali (distinte) di (C), e questo fatto si assu- 
merà come definizione per (K) se (C) non ha curve fondamentali distinte (per p > 0): 
risulta ancora (per la convenzione del cap. prec.) che (K) viene segato dalle superfìcie 
d'ordine n — 3 aggiunte sulla superfìcie d'ordine n le cui sezioni piane sono curve 
generiche di (C). 

Come ora abbiamo osservato le curve di (K) residue di una C sono curve cano- 
niche aumentate dei punti base di (C) ; allora consideriamo un punto base iplo isolato 
di (C) (sopra una superficie senza curve eccezionali) e supponiamo per pura sempli- 
cità di ragionamento che (C) non abbia altri punti base. 

Staccando da (K) una curva C generica si ha un sistema residuo somma del 
sistema canonico e del punto 0, ciò vuol dire che il punto ha come residuo rispetto 
a (K) il sistema somma di (C) e del canonico; poiché il sistema canonico non ha 
punti base (è puro) il detto sistema somma ha il punto come base iplo ; ora si pos- 
sono fare due ipotesi; o il sistema (K) è spezzato nel detto sistema somma e nel 
punto (se si vuole curva eccezionale corrispondente), oppure il punto ha una 
tale molteplicità s per le curve K che imponendo ad una di esse di avere un altro 
punto infinitamente vicino ad oltre agli s tenuti fissi (ossia staccando 0, o se si 
vuole la curva eccezionale corrispondente, da (K)) il punto diviene iplo per le 
curve K residue; il punto facendo parte una sola volta delle curve K spezzate in 
una C in una canonica ed in 0, segue che s = i — 1, ossia il punto è (i — 1) pio 
per (E). D'altra parte (K) non può avere altri punti base fuori di quelli di (C) poiché 
un punto base di (K) è base pel residuo del canonico e pel residuo rispetto al nuovo 
sistema di curve o punti non contenenti 0. Deduciamo : 

Sopra una superficie di genere > il sistema (K) aggiunto a (C) (co 2 almeno) è il 
sistema normale somma di (C) ; del sistema canonico e dei punti base (supposti isolati) 
(o curve eccezionali) di (C): un punto base iplo di (C) o si stacca (forse) da tutte le 
curve di (K) ed allora è iplo per le componenti irreduttibili di esso, o è base (i — 1) 
pio per (K); (K) non ha punti base fuori di quelli di (C). 

2. Dimensione del sistema aggiunto. — Le curve del sistema (K) aggiunto a (C) 
segano sulla curva generica C (di (C)) gruppi canonici; sorge la questione " la serie 
segata da (K) sulla curva C è la serie canonica completa? „. 



200 



FEDERIGO ENRIQUES 



Con effettivi esempi (di superficie aventi il genere geometrico diverso dal nu- 
merico che avrò occasione di menzionare) si vede che può avvenire l'uno o l'altro 
caso ; importa però a noi di stabilire che questo fatto è legato invariantivamente alla 
superficie e non dipende dal particolare sistema (C) considerato. 

Intanto notiamo che la questione posta equivale a quella di determinare la di- 
mensione del sistema (K) aggiunto al sistema (C) di genere tv sopra una superficie 
di genere p, infatti abbiamo avuto occasione di osservare nel precedente § che per 
un gruppo canonico della C sezione di una K (di cui la C non fa parte) passano co p 
curve K, quindi la dimensione di (K) è p -f- n — WJ — 1 essendo w (>■ 0) il difetto di 
completezza della serie che (K) sega sulla C. Questa quantità ui >• che esprime la 
differenza fra la dimensione virtuale (per dir così) p -j- tt — 1 dell'aggiunto a (C) e la 
dimensione effettiva del detto sistema aggiunto, si designerà nel seguito con ò (C). 

Il sistema (C) sia un sistema puro semplice (quindi oo 3 almeno, essendo p>0), e 
co 3 delle sue curve generiche sieno segate sulla superficie F dai piani di S 3 ; la F 
risulta senza curve eccezionali; s'indichi con (C) il sistema canonico e con (C -(- C) 
il sistema normale somma di (C), (C), ossia il sistema aggiunto a (C) ; analogamente con 
(r C -j- C) il sistema aggiunto ad (r C); infine tt w designi il genere di (r C) (tt (1) == tt). 
Il sistema (r C) contiene in se (totalmente) quello segato sulla F da tutte le super- 
ficie cp r di ordine r; dato un arbitrario sistema (CO si può prendere r così grande che 
per la curva generica Cj passino delle qp,, e quindi (CO sia contenuto (parzialmente) 
in (r C); anzi per r assai elevato le q> r passanti per C x non passeranno in conseguenza 
per altri elementi fissi e perciò il residuo di (CO rispetto ad (r C) sarà un sistema 
puro (C 2 ); supponiamo ancora che (CO stesso sia un sistema puro. 

Indicando con ttj, tt 2 i risp. generi di (CO, (C 2 ), la curva spezzata C x -f - C 2 non 
ha fuori dei punti multipli per le curve di (r C), altri punti multipli che i D punti 
doppi intersezioni di 1(J C 2 (essendo (€,), (C 2 ) due sistemi puri residui un dell'altro 
rispetto ad (r C)), quindi secondo la forinola di Noether che dà il genere d'una curva 
spezzata si ha: 

TT'^TTj + TTo+D — 1. 

Ora il sistema aggiunto di (r C), ossia (r C -\~ C) è anche la somma (C 2 -f- (Cj 
-f- C')) ossia è la somma di (C 2 ) e dell'aggiunto a (C 3 ). Sopra la curva generica C 2 
(di genere tt 2 ) il sistema (C 2 -j- (Ci -\- C')) = (Cj -f- (C 2 -j- C')..) sega una serie g (forse 
scompleta) di grado 

D + 2 n 2 — 2 

e però di dimensione 

D -j- iT 2 — 2 — w 2 (oj 2 > 0): 

se p -j— tt 1 — - 1 — ujj (uuj = b (CO 2r 0) 

è la dimensione di (G 1 -j- C), per un gruppo della serie g passano co p+7ri ~ e " 1 curve 
di (C 2 -\- Cj -f- C) tra cui coP +;r i" 1 - a 'i spezzate nella C 2 ed in una curva arbitraria di 
(G 1 -f- C) ; dunque la dimensione del sistema aggiunto ad (r C), cioè di (r C -j- C) = 
(C 2 + Cj + C) vale 

P ~\~ TTj — )— TT 2 — (— D — 2 — UUj — uj 2 ; 



RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



201 



ma % -f Tt 2 -4-D — 1 = n' r \ 

quindi è 

D(rC) = ui ? + b(Ci) (?>(C 1 ) = u) 1 ) 

ossia 

ò (r C) > b (Cj). 

Dunque la quantità b (Cj) relativa ad un qualunque sistema puro (Cj) non supera 
l'analoga quantità calcolata per (/• C) dove si prenda r assai elevato. Perciò se il 
b (r C) anziché crescere indefinitamente con r assume un valore massimo (che sarà 
pur quello di b((r-{-s)C) pers>0), questo valore è un vero carattere invariantivo 
della superficie; effettivamente se la F ha singolarità ordinarie in guisa che si pos- 
sano applicare da un certo punto in poi le formule di postulazione di Noether per 
calcolare le dimensioni dei sistemi delle superficie (di dato ordine) aggiunte alla F 
(di ordine n), si verifica con un semplice calcolo che la dimensione del sistema ag- 
giunto ad (r C) che contiene quello segato dalle aggiunte d'ordine n — 4 -{- r è (per r 
assai elevato) 

> p 1 + TT r > — 1 

dove^j è un numero indipendente da r che esprime il numero virtuale delle super- 
ficie aggiunte d'ordine n — 4 (linearmente indipendenti) e dicesi genere numerico 
della F; si ha dunque: 

ò {rC) < p—p u 

e perciò il b (r C) ha un massimo K che esprime il massimo difetto di scompletezza della 
serie segata sulla curva generica di un arbitrario sistema dal suo sistema aggiunto (e 
si stabilirebbe essere = p — p x dimostrando che è completo il sistema segato sulla F 
da tutte le aggiunte di ordine assai elevato) Ma ciò che a noi interessa è la 
considerazione del caso in cui K = 0, e delle condizioni che permettono di trarre 
tale conclusione, a cui vogliano giungere senza occuparci della natura delle singolarità 
che la F possiede. 

Occorre premettere un lemma di geometria sopra una curva la cui dimostrazione 
si compie facilmente usando di un ragionamento adoperato dal signor Castelnuovo 
in un suo recente lavoro (2). Il lemma è il seguente : 

Sopra una curva piana d'ordine n e genere ir la minima serie g di grado 
(r-|-l)n-f-2 (rr — 1) contenente tutti i gruppi composti dell'intersezione d'una curva ag- 
giunta d'ordine n — 3 — j— r e dell'intersezione d'una retta, è la serie completa somma della 
%m+2(v-i) se gata dalle curve aggiunte d'ordine n — 3 — |— r, e della g* segata dalle rette. 



(1) Così risulterebbe fissata in ogni caso la invariantività di pi che i signori Zeuthen (" Math. 
Ann. „, IV) e Noether (" Mathem. Ann. Vili) hanno stabilito soltanto con restrizioni alle singo- 
larità nascenti sulla superficie nelle trasformazioni considerate. Effettivi esempi di superficie aventi 
il genere geometrico diverso dal numerico (comunque elevato) sono stati dati dal sig. Castelnuovo 
(" Istituto lomb. „, 1891). 

(2) " Sui multipli di una serie lineare di gruppi di punti appartenente ad una curva algebrica „ 
(" Circolo Mat. di Palermo „, t. VII). 

Serie lì. Tom. XLIV. a 1 



202 



FEDERIGO ENRIQUES 



Per dimostrare questo lemma osserviamo anzitutto che la serie g in questione 
è certo contenuta nella serie completa segata sulla nostra curva C„ dalle C n -3-H(»-+i) 
aggiunte d'ordine n — S -j-(r~j^l); basta quindi stabilire che è completo il minimo 
sistema lineare contenente tutte le curve composte d'una G n -z+r (d'ordine n — 3 -f- r) 
aggiunta alla C„ e d'una retta: infatti il sistema delle C-s+^+i) che sega la g sulla C„ 
(comprese in esso sistema tutte le C„_3+( r +i) per un gruppo della g) è appunto tale 
che contiene in sè tutte le curve composte d'una retta e d'una C n -s+. r e non può 
essere completo se è scompleta la detta serie g. Ora per ipotesi fra le curve C„_3 + ( r +i) 
vi sono quelle composte di una retta fìssa a e di una C„_3 +r che sono 

r(r— 8) 

e così pure quelle composte di una retta fìssa a' e di una C n -s+ r ; i due sistemi hanno 
comune il sistema delle Cn-s-Kr— i) 1 & cu i dimensione è 

il/ i'\ i (r— l)(r— 4) 
tc — 1 + (r — 1) n -f 5 % '■ 

e però il loro minimo sistema somma ha una dimensione 
cioè 

n t / ì t\ i (r+l)(r— 2) 
> n _ 2 -f (r -f - 1) n + S 

ma questo sistema è contenuto o coincide con quello delle C„_3+.(r+i) passanti per il 
punto comune ad a, a', e poiché le C n _3+(r+i) seganti la g sulla C„ non passano tutte 
per quel punto, la dimensione del sistema delle C„_3+(r+i) in questione è 

1 i / i t\ i (r + l){r— 2) 
>tt — l+(r + l)^ + ^ '- 

e quindi è appunto la dimensione 

*^i + ( , + i). + ;fc±fifczS 

del sistema completo di £w#e le C n _3+( r +i) c dd. 

Ritornando alla questione precedente si ha come immediata applicazione del 
lemma ora stabilito, che se il sistema (r C + C) aggiunto ad (r C) (dove r>l) sega 
sulla curva generica C una serie completa, lo stesso accade per ((r -\- 1) C -|- C), e 
poiché la differenza (^0) fra ò ((r -\- 1)C) e ò (rC) è la scompletezza uu della serie 
segata da ((r-f-1) C) sulla C, si ha in tal caso 



ò ( r c) = b((r+l) C)=. 



= K. 



RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



203 



Un corollario di questo resultato è il seguente : se per r > 1 è b (r C) = , la 
superficie ha il carattere K = ; il resultato più semplice si ha per r — 2. Possiamo 
così enunciare il teorema: 

Se sopra una superficie di genere p > esiste un sistema puro semplice (C) (quindi 
oo 3 almeno) tale che il sistema aggiunto a (2 C) seghi la serie canonica completa sulla 
curva generica di (2 C) (ossia abbia la dimensione p -\- 2tt -f- n — 2 dove ir ed ti sono risp. 
il genere e il grado di (C)) allora sulla curva generica di ogni sistema puro di genere 17, 
appartenente alla superficie, il sistema aggiunto sega la serie canonica completa, ossia 
esso ha la dimensione 

jr+.TT-l. 

In altre parole la condizione necessaria e sufficiente affinchè per una superficie sia 
il carattere invariantivo 

K=0 

è che esista un sistema puro semplice (C) tale che 

ò(2 C)=0. 

Il teorema verrà poi esteso anche ai sistemi impuri; dobbiamo prima illuminarne 
meglio il contenuto ponendolo in relazione colle proprietà che si riferiscono al genere 
numerico della superficie, ed ai sistemi segati su di essa da superficie aggiunte. 

3. Sistemi segati sopra una superficie dalle superficie aggiunte. — Consideriamo 
in S 3 la superficie F d'ordine n di genere p > senza curve eccezionali , dotata di 
singolarità qualunque, le cui sezioni piane appartengono ad un sistema puro (C); 
indichiamo col simbolo ip^ le sue superfìcie aggiunte d'ordine u. Come nel § 1 per 
le y„_ 3 , si dimostra che le curve appartenenti al sistema (normale) somma di (C) e 
del sistema aggiunto a (C) sono sezioni della F con una ip„_ 2 , e però che le iy n _ 2 
segano sulla F un sistema normale; poiché (C) è puro le iy„_ 2 segano sulla F il 
sistema puro completo aggiunto a (2 C) (cioè (2 C -f- C) se (C) è il sistema canonico). 
Parimente si vedrebbe ancora che le \\> n _i segano sulla F il sistema completo 
(3C -}- C) (poiché ancora il gruppo sezione sopra una sezione piana C appartiene ad 
una curva aggiunta d'ordine n — 1). 

Supponiamo che le superficie ijj„_3 +r (r > 1) seghino la serie completa sopra 
una sezione piana generica C della F; per il lemma di geometria sopra una curva 
stabilito nel precedente §, segue che le \^ n -i+(r+i) segheranno pure sopra la C la 
serie completa ; allora se il sistema segato dalle y n -z+r sulla F è il sistema (r C -f- C') 
completo, quello segato dalle ip n _3 +(r 4-i) è necessariamente il sistema completo 
{{r -j- 1) C -f- C f ) e si ha (come si è visto) 

ò(r C) =,b((r -f 1)C). 

Dunque se ò (2 C) = (poiché le ip„.. 2 segano sulla F tutto il sistema (2 C -{- C')), 
le superficie aggiunte alla F \\> n -i+r {r > 1) segano pure sulla F tutto il sistema 



204 FEDERIGO ENRIQUES 

(r C -j- C). In tal caso le ijj»_3+r segano sulla F un sistema di dimensione p -f-Tr (r+1) — 1 
(essendo tt w il genere di (rCj); per ogni curva sezione passano (se r > 3) Q -\- 1 v];„_ 3+r 
linearmente indipendenti fra cui Q spezzate nella F ed in una arbitraria superfìcie 
d'ordine r — 3, quindi il numero A„-3+r della superficie if n -3-t-r linearmente indi- 
pendenti è dato da 

A„_ 3 -h- =p + n^ 1 ) + (5) fdove (5) = se r < 3). 
Se tt' 1 ' = ir è il genere di (C) si ha 

TT (r+l) _ K (r) _j_ _j_ ,. w _ 1? 

quindi 

A„_ 3 +r = A n _ 3+(j ._i) — |— TT — |— ì'tl 1 — |— C'7 1 ), 

uguaglianza la quale significa che le vp„_ 3 +. r segano sopra un piano il sistema lineare 
completo delle curve d'ordine n — 3 -f- r aggiunte alla sezione piana la cui dimen- 
sione è tt -\-rn — 2 -f- Ci 1 )- 

Ma se la F è dotata di singolarità ordinarie e se i numeri A n _ 3 -i_ r , A B _3^_( r _i) 
sono quelli dati dalle formule di postulazione di Noether si deduce appunto (per 
differenza) la precedente uguaglianza (come il signor Castelnuovo ha osservato (1)): 
valendo la detta formula ricorrente (che è stata dimostrata partendo dall'ipotesi 
K = ò (2 C) — 0), si conclude dunque che valgono le formule di postulazione di 
Noether per le vp B _ 3+r se valgono per le ^„_ 3 e poiché esse danno p x -j- tt, ip,^ linear- 
mente indipendenti se p x è il numero virtuale delle vjj„_ 4 (ossia il genere numerico), è 
condizione necessaria e sufficiente affinchè valgano per r assai grande le dette formule 
di postulazione che sia 

Pi =p; 

siccome effettivamente le formule di postulazione di Noether valgono per r assai 
elevato, l'uguaglianza p = p x risulta stabilita. Viceversa %&p=p x valendo le formule 
di postulazione per r assai grande, si ha ò (r C) = e quindi K = 0. 
Si conclude il teorema: 

Le superficie di genere p > per le quali il carattere invariantivo K == allorché 
sieno trasformate in modo da avere soltanto singolarità ordinarie (se è possibile) e non 
curve eccezionali, hanno il genere numerico Pi = p, e viceversa (2). 

Poiché pi non è definito per le superficie con singolarità straordinarie assume- 
remo per esse convenzionalmente p x =p quando è K = 0. 

Possiamo enunciare il teorema (dimostrato mediante le considerazioni precedenti): 

Sopra una superficie d'ordine n di S 3 senza curve eccezionali, dotata di singolarità 



(1) " Sulle superfìcie algebriche le cui sezioni piane sono curve iperellittiche „ (" Circolo Mat. 
di Palermo „, t. IV, 1890). 

(2) Indipendentemente dai ragionamenti fatti che suppongono p > 0, tenendo conto dell'osser- j 
vazione che la differenza virtuale A/* — A^— 1 è la dimensione del sistema di tutte le curve d'or- 
dine n aggiunte ad una sezione piana, partendo dall'ipotesi che le formule di postulazione valgano ; 
per (i assai grande (come accade se la superficie ha singolarità ordinarie) si prova che è pi "S.p e 
se Pi = p le formule di postulazione valgono per le Vn— i+r(r > 0). 



RICERCHE DI GEOMETRIA SOLLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



205 



qualunque, avente il genere numerico uguale al geometrico > 0, (ossia K = 0), le super- 
ficie aggiunte di arbitrario ordine segano un sistema completo. 

La dimostrazione è stata data soltanto per le yt n —z+r con r > (poiché esse 
segano tutto il sistema aggiunto ad un sistema puro il quale è un sistema puro 
normale e perciò un sistema completo), ma in vista del teorema del resto del cap. I, 
staccando successivamente sezioni piane si stabilisce la cosa in ogni caso. 
Allora adoperando il ricordato teorema del resto del cap. I si ha: 
TI sistema completo a cui appartiene una curva C sopra la superficie F viene segato 
da tutte le superficie aggiunte di arbitrario ordine che passano per una intersezione 
complementare irreduttibile della C e si comportano debitamente nei punti multipli della 
C stessa. 

È questo il complemento del ricordato teorema del resto {Restsatz, secondo 
Noether). 

4. Sistemi impuri. — Sopra la superficie F di genere geometrico uguale al nu- 
merico p > 0, le cui sezioni piane appartengono ad un sistema puro (C), si consideri 
ora un sistema impuro (Cj) avente s punti base multipli risp. secondo i u i 2 . . .i s ; 
possiamo prendere r così grande che (Ci) sia contenuto in (rC) ed abbia come re- 
siduo rispetto ad esso il sistema puro (C 2 ). Indicando con Tr x , Tt 2 i risp. generi di (Cj), 
(C 2 ), con TT trl quello di (r C), e considerando che un punto jplo d'una curva le cui 

tangenti stanno in un piano diminuisce di ' ? ^ ^~ ^ il genere della curva, si ha 

nW =TTl + TT2 + D- l + I ip {ip ~ 1} 

i * 

dove D è il numero delle intersezioni di una G u con una C 2 . Sia (C) il sistema ca- 
nonico e quindi (rC -j- C) l'aggiunto di (rC), ed (rC + C — C 2 ) il residuo di (C 2 ) 
rispetto al detto aggiunto ; ripetiamo il ragionamento del § 2 ; [rC-\- C) sega sulla 
C 2 una serie di grado D -f- 2 tt 2 — 2 e quindi di dimensione D -\- tt 2 — 2 — uj, (uu > 0), 
sicché la dimensione di (r C -(- C — C 2 ) è 

p -j- 7T r| — D — tt 2 -f- uu, 

ossia è 

p + ^ + i - 1 + u.. 

Le curve d'un sistema lineare che hanno un punto jplo in un punto semplice 

di F soddisfano ad ^ ^ ^" - condizione lineari al più ; quindi le curve di (r C -j- C — C 2 ) 

che hanno un punto (i P — ■ 1) pio in ogni punto base i P pio di (C^) costituiscono un 
sistema di dimensione 

— p -j- TTj — 1 -f- UJ; 

questo sistema appartiene evidentemente al sistema somma di (C x ) con (C) e coi 
punti base di (C x ) ossia all'aggiunto di (C x ), il quale ha una dimensione < p -J- tt x — 1 ; 



206 



FEDERIGO ENRIQUES 



segue w = 0, e la dimensione del nominato sistema aggiunto a (Ci) è quindi proprio 

p -4- Ttj — 1 . 

Dunque: 

Sopra una superficie F di genere geometrico uguale al numerico p > ; anche ogni 
sistema impuro di genere 17 ha il sistema aggiunto di dimensione p + TT — 1 come ogni 
sistema puro. 

Se il sistema impuro (Cj) ha i suoi punti base distinti (come supponiamo) non 
può nessuno di essi staccarsi dal sistema (K) aggiunto a (C x ), poiché (K) deve segare 
la serie canonica completa sulla curva generica C v e questa non ha come punti fissi 
gli i punti infinitamente vicini ad un punto iplo; quindi (cfr. anche il § 1): 

Sopra la superficie F il sistema aggiunto ad un sistema impuro con punti base 
distinti è irreduttibile ed ha come (i — l)plo un punto base iplo del nominato sistema 
impuro. 

Sopra la superficie F senza curve eccezionali di genere geometrico uguale al 
numerico p > di cui le sezioni piane appartengono al sistema (puro) (C), si torni 
a considerare il sistema impuro (C) di genere ttj con s punti base distinti di mol- 
teplicità »!, i 2 . . . i s , e si prenda r così grande che il sistema (rC) di genere tt 1 ' 1 con- 
tenga (C) in modo che (Ci) abbia come residuo rispetto ad esso un sistema puro (C 2 ) 
di genere tt 2 ; sia ancora (C) il sistema canonico. Il sistema (rC-f- C — C 3 ) residuo 
di (C 2 ) rispetto ad (r C -f- C ) ha la dimensione 

p + Wl + z - 1 

(come abbiamo visto essendo w = 0) ; questo sistema non può avere alcun punto base 
fuori dei punti base di (Ci), poiché un tal punto sarebbe base per l'aggiunto di (Ci); 
d'altra parte se un punto base iplo per (Ci) fosse base per (r C -f- C — C 2 ), impo- 
nendo a questo sistema di avere il punto come (i — 1) pio si imporrebbe alla 

curva generica di esso meno di iSLzJà condizioni lineari e ne conseguirebbe che 

la dimensione del sistema aggiunto a (C^ sarebbe > p -f- ttj — 1 mentre ciò è im- 
possibile; si conclude che staccando (C 2 ) da (rC -f- C) il sistema residuo (r C -f- C — C 2 ) 
non può acquistare punti base, ossia è un sistema puro. Consideriamo il sistema 
(r C — C 2 ) residuo di (C) rispetto al nominato sistema (r C -f- C — C 2 ) ; il sistema 
aggiunto ad (r C — C 2 ) è la somma di (r C -\- C — C 2 ) coi punti base eventuali di 
(r C — C 2 ), e però ha la dimensione 

^ p + 7T, + I - 1 

(numero esprimente la dimensione di (rC-\- C — C 2 )) ; ma il genere di (rC — C 2 ) è 

< rr J_ T Ìf ^ — ?j 

1 ' i 2 



RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



207 



e precisamente vale 

"i + ? 2 

se (rC — C 2 ) non ha punti base multipli e vale meno del detto numero in caso con- 
trario; tenendo conto del fatto che la dimensione del sistema aggiunto ad un dato 
sistema è uguale al genere di esso aumentato di p — 1, si conclude che (rC — C 2 ) 
non ha punti base multipli e quindi è di genere 

*! + I g , 

ed il suo aggiunto è proprio il sistema (r C -f- C — C 2 ) di dimensione 

p + T^'+i - 1. 

Sono dunque possibili due casi: 

o il sistema (r C — C 2 ) è un sistema puro ed allora (Cj) si ottiene da esso 
imponendo i punti base colle molteplicità i 1? i 2 . . . i, alle sue curve generiche; 

o (forse) il sistema (r C — C 2 ) ha alcuni punti base semplici (conseguenza dello 
staccare (C 2 ) da (rC)) i quali cadono in punti base di (Cj), ma però coincide col 
residuo del sistema canonico (C) rispetto al suo aggiunto (mentre in generale un 
sistema impuro è contenuto nel residuo del canonico rispetto al suo aggiunto, quando 
lo staccare il sistema canonico dal detto sistema aggiunto non tragga di conseguenza 
lo staccarsi dei punti base del primitivo sistema) ; allora (C x ) si ottiene da (r C — C 2 ) 
imponendo le molteplicità i lt i 2 . . . i nei punti base di (Cj) sieno essi base o no 
per (rC — C 2 ). 

In ogni caso possiamo dunque concludere: 

Ogni sistema impuro (con punti base distinti) può dedursi coli' aggiunta dei suoi 
punti base, non traenti con sè lo staccarsi di alcuna altra curva, da un sistema che 
coincide col residuo del canonico rispetto all'aggiunto, il quale è furo o (forse) ha sol- 
tanto dei punti base semplici. 

5. Cenno sulle superficie di genere 0. — Nei precedenti §' abbiamo escluso le 
superficie di genere alle quali non si estende la dimostrazione del teorema fonda- 
mentale del § 2. In virtù però delle considerazioni svolte in quel § (cfr. anche una 
nota di esso) intorno alle formule di postulazione di Noether, ed approfittando del 
citato teorema di Zeuthen e Noether sulla invariantività del genere numerico nelle 
trasformazioni che non producono sulla superficie singolarità straordinarie, possiamo 
concludere che: 

Sopra una superficie di genere geometrico uguale al numero 0, un sistema (C) sem- 
plice di genere tt, tale che la superficie su cui gli iperpiani segano le curve di (C) ha 
soltanto singolarità ordinarie, possiede un sistema aggiunto oo T_1 . 

Ora stabiliremo il seguente teorema: 



208 



FEDERIGO ENRIQUES 



Se sopra una superficie razionale dotata di punti multipli isolati distinti vi è un 
sistema semplice (C) (co 3 almeno) tale che i residui delle sue curve fondamentali sieno 
sistemi di genere > 0, quando la superficie sia rappresentata sul piano, il sistema ag- 
giunto a (C) viene rappresentato dal sistema delle curve d'ordine n — 3 aggiunte alle 
curve C'„ d'ordine n immagini di quelle di (C) ; spogliato delle componenti fisse eventuali (1). 

Per la dimostrazione si consideri nel piano il sistema (C'„) delle C'„ e quello 
(C' n _ 3 ) delle curve aggiunte d'ordine n — 3; le curve C' n _ 3 segano anzitutto sopra la 
curva generica C'„ un gruppo canonico. Sia Gr una curva fondamentale di (C' n ) e (C' p ) 
il sistema residuo d'ordine p: sia (C p _ 3 ) il sistema delle curve d'ordine p — 3 ag- 
giunte alle C'p (le quali sono di genere > 0). Fra le C'„_ 3 vi sono le curve composte 
G 4- C' F _3 le quali segano sopra una G' p dei gruppi di punti (individuanti la serie 
segata da C' n _ 3 ) che sommati con un gruppo sezione di una C p danno gruppi equiva- 
lenti (cioè appartenenti alla stessa serie completa) a quelli segati sulla C' p dalla curva 
composta C'„ -f- C' p _ 3 = (Gr -j- C' p ) + C' p _ 3 . Dunque le C' n _ 3 segano sulla C' p gruppi 
della serie somma della serie canonica (segata dalle C' p _ 3 ) e di quella differenza tra la 
serie segata dalle C'„ e la serie caratteristica di (C' p ). Tanto basta (secondo la defini- 
zione del § 1) perchè il teorema risulti dimostrato; giacché il sistema aggiunto a (C) 
di genere tt è in tal caso co"' -1 ed è pure co 7r ~ 1 quello (C,^) nel piano: le componenti 
fìsse delle C'„_ 3 nel piano rappresentano curve che si possono impunemente aggiun- 
gere al sistema aggiunto a (C) perchè essendo fondamentali per (C) non ne risultano 
alterati i caratteri essenziali di esso (§1). 

6. Un teorema sulla superficie del 4° ordine. — Sopra una superfìcie di genere 1 
(geometrico e numerico) si consideri un sistema (C) con s punti base distinti di mol- 
teplicità i u i. 2 . . . i s risp., e sia i la più alta molteplicità di un punto base. Indi- 
chiamo con (C) il sistema aggiunto a (C), con (C") l'aggiunto di (C) (o, se si vuole, 
2° aggiunto di (C)), ecc.; il sistema (C (!| ) i esimo aggiunto di (C) è un sistema puro da 
cui (C) è dedotto coll'aggiunta dei suoi punti base. 

Sopra una superficie di genere 1 non vi sono curve canoniche (non eccezionali), 
quindi un sistema puro di genere ir è l'aggiunto di sè stesso e però ha la dimensione ir 
e il grado 2 (ti — 1). 

Si possono classificare le superficie di genere 1 a seconda del sistema puro di 
dimensione minima che esse contengono. In questa classificazione s'incontra dapprima 
la superficie del 4° ordine, poi la superficie del 6° ordine di S 4 sezione d'una qua- 
drica con una varietà cubica, poi la superficie di 8° ordine sezione di 3 quadriche 
in S 5 , e così via; l'irreducibilità di queste superficie (generali) a quella generale del 
4° ordine seguirà dalle considerazioni che andiamo ad esporre (2). 



(1) Ossia dal sistema aggiunto puro di quello (C'n) delle C'n secondo la definizione di Castel- 
nuovo. La restrizione che i sistemi residui delle curve fondamentali di (C) sieno di genere > 
dipende solo dal fatto che la definizione data pel sistema aggiunto non si estende al detto caso 
escluso : siccome una superficie con una rete di curve razionali è razionale, possiamo estendere con- 
venzionalmente il teorema di guisa che il sistema aggiunto risulta definito anche pei sistemi 
(C)CO r contenenti un sistema OO r_1 di curve razionali. 

(2) Il sig. Castelnuovo mi segnalò le dette classi di superficie di genere 1 contenenti lo stesso 
numero di moduli delle superficie del 4° ordine e ad esse irreducibili. 



RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



209 



Senza toccare l'interessante questione di assegnare tutti i tipi irreducibili di 
superficie del genere 1, ci limitiamo quà a risolvere il seguente problema: 

Quando due superficie generali del 4° ordine possono essere riferite punto per punto? 

Si dimostrerà che questo avviene soltanto quando esse sono proiettive. 

Invero si immaginino due superficie generali del 4° ordine riferite punto per 
punto; alle sezioni piane dell'una corrispondono sull'altra le oo 3 curve d'un sistema 
lineare, le quali se la superficie è generale debbono essere intersezioni complete di 
altre superficie (1) ; se esse non fossero ancora sezioni piane (cioè se le superficie 
non fossero proiettive), il sistema co 3 suddetto (essendo di genere 3) avrebbe dei punti 
base multipli e quindi non sarebbe puro : ciò è assurdo perchè in una trasformazione 
birazionale d'una superficie un sistema puro è sempre mutato in un sistema puro. 
Dunque : 

Due superficie generali del 4° ordine riferibili punto per punto sono proiettive. 

Si trae pure poiché gli unici sistemi puri sopra una superficie generale del 4° 
ordine sono quelli segati da tutte le superficie d'ordine n, che: 

Una superficie generale del 4° ordine non è riferibile ad altre superficie normali 
senza curve eccezionali di uno spazio superiore, tranne di ordine 4 n 2 nello spazio 82^+1 
(a sezioni iperpianali di genere 2 n 2 -f- 1). 

Il teorema dato prima per le superficie generali del 4° ordine si estende a quelle 
generali d'ordine n > 4, sia collo stesso metodo, sia (anche più semplicemente) usando 
qui del sistema canonico ; per modo che si conclude : 

Due superficie generali d'ordine n > 4 (in S 3/ ) si possono riferire biunivocamente solo 
quando sieno proiettive. 

Il teorema non sussiste per n = 3. 

7. Osservazioni sui resultati contenuti in questo capitolo. — I resultati fondamen- 
tali di questo capitolo fondati sopra l'esistenza d'un sistema ooP+' r - 1 aggiunto ad un 
sistema di genere tt sopra una superficie di genere geometrico p > son fatti di- 
pendere dalla restrizione K = che si è trovata verificata se esiste un sistema puro 
semplice (C) tale che ò (2 C) = 0. 

Poiché si tratta d'un punto fondamentale nella teoria delle superficie è interes- 
sante stabilire come la uguaglianza ò (2 C) = segua da quella ò (C) = ove si sappia 
che la serie caratteristica di (C) è completa. Invero nel seguente capitolo verrà di- 
mostrato che ogni sistema puro ha la serie caratteristica completa se tale proprietà 
compete al sistema canonico; sebbene non sembri possa dedursi un tal fatto dalla 
restrizione già ammessa per la superficie (K = 0), pure il fatto stesso appare così 
legato alla restrizione medesima per effetto del teorema accennato che vogliamo 
dimostrare. 

Premettiamo le seguenti considerazioni fondate sullo stesso concetto che ha 
servito per il lemma del § 2°: 

Sopra una superficie si abbiano due sistemi (C), (K); sia r la dimensione di (C), 
r, quella di (C + K), r, quella di (C -f 2 K). 



(1) Cfr. Noether, Zur Grundlegung der Theorie der algébraischen Baumcurven, § 11, " Abhandl. 
d. Akad. d. Wiss. „, Berlin, 1883. 

Serie II. Tom. XLIV. b 1 



210 



FEDERIGO ENRIQUES 



Al sistema (C -j- 2 K) appartiene il sistema a/ 1 costituito da una curva fìssa K' 
di (K) presa insieme con tutte le curve di (C -j- K), cioè (simbolicamente) il sistema 

(C + K) +K': 

parimente se K" è un'altra curva di (K) a (G -f- 2 K) appartiene il sistema 

(C + K)4-K"; 

i due sistemi (oo r i ciascuno) hanno comune un sistema di dimensione r (cioè 
(C) — }— K f —f- K") e però il loro sistema somma ha la dimensione 

> 2r x — r . 

Ora questo sistema è contenuto nel sistema delle curve di (C — (— 2 K) che pas- 
sano per le D intersezioni delle curve K', K"; se dunque sono v 2 le condizioni im- 
poste dal gruppo K' K" alle curve di (C -f 2 K) che debbono contenerlo, si ha: 

Vo >• 2rj — r -\- Vo. 

Indichiamo con Vj il numero delle condizioni che il gruppo K'„K" impone alle 
curve di (C -j- K), e sia r la dimensione di (K) ; allora per v 1 — 1 tra i D punti del 
gruppo K' K" passa una curva di (C -j- K) non contenente tutti i D punti del gruppo, 
e per r — 2 punti del gruppo medesimo (appartenente alla serie caratteristica gx>~ 1 
di (K)) si può condurre una curva K'" di (K) non contenente tutti i D punti, la 
quale insieme con una curva di (C -j- K) pei detti v x — 1 punti compone una curva 
di (C -\r 2 K) non contenente tutto il gruppo K' K" ; ne segue che 

v 2 > v x + r — 2 o v 2 > D — 1 

(l'ultima disuguaglianza valendo nel caso che sia v x -|- r — 3 > D — 1). Si deduce 

v 2 >2ri —r. + Vi + r — 2, 

o r 2 >2r! — r +D — 1. 

Ora sia (C) il sistema canonico (supposto irreduttibile, con r =p — 1 > 2), e 
(K) sia un sistema puro semplice co r di genere ir e grado D, la cui serie caratteri- 
stica sia (per ipotesi) completa; inoltre il sistema (C-j-K) aggiunto a (K) abbia la 
dimensione p-\-n — 1. 

Il gruppo della serie caratteristica completa g D r ~ l di (C), impone (pel teorema 
di Riemann Roch) 



v x = D — r + 1 



RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



211 



condizioni alle curve del sistema aggiunto (C -f- K) che debbono contenerla; in questo 
caso è dunque: 

V 2 >D — 1, 0-!=^ + IT — 1), 

e perciò 

r 2 > 2 (p + tt - 1) - (p - 1) + D - 1 

r 2 >_p + 2Tr4-D — 2; 

e poiché 2 - -f- D — 1 è il genere tt, di (C + K) si ha proprio 

r 2 = P 4" ^2 — 1 

(non potendo essere r 2 > p -j- tt 2 — 1). 

Dunque (poiché è ora ò (K) = ò (2 K) = 0) si ha il teorema: 

Se sopra una superficie di genere p > 2 (a sistema canonico irreduttibile) si ha un 
sistema puro semplice di genere tt avente la serie caratteristica completa, e di cui l'ag- 
giunto è cop+tt— 1 , per ogni altro sistema di genere TT appartenente alla stessa superficie 
la dimensione del sistema aggiunto è 

P + T1-1, 

cioè la superficie ha il genere geometrico uguale al numerico. 



IV. 

Sistemi puri. — Estensione del teorema di Riemann-Roch. 

1. La serie caratteristica. — In seguito al teorema del capitolo precedente § 4°, 
il nostro maggior interesse si rivolge allo studio dei sistemi puri, poiché dalle pro- 
prietà di questi potranno dedursi quelle di tutti i sistemi impuri ottenuti coll'aggiunta 
di punti base, non avendo in complesso a superare difficoltà maggiori di quelle che 
s'incontrano nello studio dei sistemi lineari di curve piane e di una indole non molto 
diversa. In questo capitolo parlando di un sistema (C) (ove non si avverta espressamente 
il contrario) intendiamo senz'altro che sia un sistema puro irreduttibile di dimensione 
> 2 (completo); supponiamo inoltre che la superfìcie di cui si tratta abbia il genere 
geometrico uguale al numerico p>0, e intendiamo che il sistema (K) aggiunto a (C) 
sia semplice, e per ciò basta che sia semplice (C) o il sistema canonico. 

Dato il sistema (C) se ne designerà con tt il genere, con n il grado, con r la 
dimensione, e diremo senz'altro che (C) ha i caratteri tt, n, r. Sia (K) il sistema ag- 



212 



FEDERIGO ENRIQUES 



giunto di (C) (necessariamente puro) e 17, N, R i suoi caratteri. Vi sono curve K di 
(K) spezzate in una C di (C) ed in una C del sistema canonico (C); una curva ge- 
nerica C o una generica C (poiché (C), (C) son sistemi puri) non hanno punti mul- 
tipli in punti semplici della superficie (o ipermolteplicità nei punti multipli) dimodoché 
per la formula di Noether (1) 

n = pW + 3(tt — 1) — n: 

due curve spezzate ciascuna in una C ed una C si segano come due K in N punti 
quindi : 

N = — 1 + 4 (ir — 1) — »; 

si ha poi (Cap. Ili, § 2): 

R = p 4- ir — 1. 

Si riferiscano ora le curve K del sistema (K) aggiunto a (C) agli iperpiani di 
S p+ t_i e si consideri la superficie F così trasformata. 

Una curva C sta sulla F in un S^_i poiché vi sono oo?- 1 K spezzate in una C 
ed in una curva canonica, ossia oo p ~ 1 iperpiani per la C. Invece una curva canonica 
C sta in un S J9+ a-_2-r, poiché vi sono oo r K spezzate in una C fissa ed in una C. 
Le curve K ossia gli iperpiani di S p +ir_i segano sulla C la serie canonica completa 
(laC 6 CUFVci CctnOlllCcl in Ott — i ). Consideriamo gli iperpiani che passano per lo S p+ T-2-r 
contenente una C e la serie che essi segano sopra una curva C; essa viene segata 
nello Sar-i della C dagli S*_ 2 contenenti l'intersezione dello Sp + jr_2_ r di C e dello 
S^r-i di C ; essa è dunque completa se i 2 (rr — 1) — n punti comuni alle C, C, in- 
dividuano l'intersezione dei 2 spazi a cui le C, C, risp. appartengono; se questo non 
accade, ed i detti 2 (ir — 1) — n punti non individuano quella intersezione, ma uno 
spazio di dimensione minore, la detta serie è invece necessariamente scompleta. Ma 
allora per la stessa ragione è scompleta (e con un difetto di completezza non mi- 
nore) la serie che gli iperpiani (S^+t-o ) passanti per la detta intersezione degli spazi 
di C, C, segano sulla C\ Ora la l a serie non è altro che la serie caratteristica del 
sistema (C), la 2 a è quella del sistema canonico (C'j (suppostane l'esistenza). Dunque: 

Se la serie caratteristica del sistema canonico è completa, è completa la serie carat- 
teristica di ogni altro sistema puro (2). 

Nel seguito considereremo per ora soltanto le superficie aventi la serie caratte- 
ristica del sistema canonico completa (se p > 2). Così su tali superficie ogni sistema puro 
ha la serie caratteristica completa; ciò accade anche se p — 1 (cfr. cap. Ili), e se le 
curve canoniche si compongono di quelle d'un fascio (p >• 2) bastando ripetere in 
questo caso il precedente ragionamento; anche questi casi nei quali non esiste serie 
caratteristica del sistema canonico sono tra quelli che consideriamo. 



(1) " Acta Mathematica „, 1886. 

(2) Il teorema si estenderebbe colla medesima dimostrazione anche ai sistemi impuri che coin- 
cidono col residuo del canonico rispetto all'aggiunto, notando che una curva eccezionale non ha 
intersezioni con una curva canonica. 



RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



213 



2. Estensione del teorema di Biemann Rock. — Ci proponiamo il seguente problema: 
Quante curve del sistema aggiunto a (C) passano per un gruppo della sua serie 
caratteristica, cioè per un gruppo comune a due curve C ? 

Supponiamo dapprima il sistema (.C) non speciale (cioè non contenuto nel cano- 
nico), e consideriamo il sistema (Kì aggiunto a (C). Sieno nari caratteri di (C); 
e riferiamo le curve K agli iperpiani di S p+T _i in guisa da ottenere una superficie 
trasformata F, sulla quale (come prima abbiam visto) una C sta in un S?r_i. 

Due arbitrari S^r-i contenenti ciascuno una curva C non possono esser conte- 
nuti in uno spazio a meno di p -\- tt — ■ 1 dimensioni, altrimenti il sistema doppio di 
(C) (contenente tutte le coppie di curve G) sarebbe contenuto nell'aggiunto (K) di 
(C) e quindi (togliendo una C da ambedue i sistemi) (C) sarebbe contenuto nel ca- 
nonico (cioè sarebbe speciale) ; quindi due tali St_i si segano secondo uno spazio 
Sw-i- p per il quale passano oo 2p_1 iperpiani. Ognuno degli oo 2:P-1 iperpiani passanti 
per S^-i-p passa per gli n punti comuni alle due curve C, quindi per gli n punti 
passano almeno co 2p_1 curve K, ed in generale oo 2p ~ 1+a con uu > 0. 

La quantità w ha un altro significato notevole; invero poiché gli iperpiani se- 
gano sulla C una serie completa, quelli passanti per una C segheranno sopra un'altra 
C una serie il cui difetto di completezza è uj (cfr. § prec.) poiché gli n punti co- 
muni a due C stanno in un S*r_i_p— « immerso nello St_i_ p comune ai due St_i che 
contengono le dette C. 

Ora questa serie è quella che le curve canoniche segano sulla curva C, la quale 
(poiché (C) è non speciale) è una g\^_ V) _ n immersa dunque in una serie completa 
9^-i)— n ' vede intanto che per il gruppo di punti comune a due curve C d'un 
sistema non speciale passano co 2 p -1+£ " curve del sistema aggiunto, essendo ui il di- 
fetto di completezza della serie che le curve canoniche segano sulla C. 

Sia ora (C) un sistema speciale, e sia r' la dimensione del residuo (s'intende residuo 
di esso rispetto al canonico), designeremo la quantità * = r' -j- 1 col nome di indice 
di specialità del sistema. (Quando i — il sistema è non speciale). Allora il doppio 
di (C) è contenuto nell'aggiunto (K) ed il residuo di questo doppio rispetto a (K) è 
il residuo di (C) (rispetto al canonico) e quindi è di dimensione r'; due S?r_i conte- 
nenti ciascuno una C sulla F in S p +7r_i , sono ora immersi in un S p+5 7-_i_ 8 - e quindi 
han comune un St_i- p +,- per il quale passano co 2 ? -1-8 iperpiani. Quindi si conclude 
come nel caso precedente che pel gruppo comune a due curve C passano oo 2 ? -8 '- 1 -*-" 
curve del sistema aggiunto, dove uu > è ancora il difetto di completezza della serie 
segata sopra una C dalle curve canoniche, la quale serie è dunque una g\~^zì)^ n ) 
(poiché essendo r' la dimensione del sistema residuo di (C) per un gruppo della serie 
passano 00* =oo r ' +1 curve canoniche giacché una C fa parte di oo -1 curve canoniche) 
immersa in una serie completa Così possiamo concludere: 

Per un gruppo comune a 2 curve C d'un sistema non speciale, sopra una super- 
ficie di genere p, passano 2 p -f- in curve linearmente indipendenti del sistema aggiunto; 
e se il sistema è speciale coli' indice di specialità i ne passano 2 p — i -f- ui ; la quan- 
tità uu > è in ambi i casi il difetto di completezza della serie segata dalle curve ca- 
noniche sopra una curva C (1). 



(1) Il teorema può anche enunciarsi dicendo che in S 3 vi sono per una retta 2p -f - ui — i super- 



214 



FEDERIGO ENRIQUES 



Diremo uj la sovrabbondanza del sistema (C); questa denominazione è intanto 
giustificata dal fatto che per p = (quindi anche i == 0) la uj è la ordinaria sovrab- 
bondanza dei sistemi lineari di curve piane (1) (supposta la superficie razionale) ; ma 
la denominazione stessa verrà meglio giustificata quando considereremo il sistema (C) 
come segato da superfìcie aggiunte sopra una superficie in S 3 ed esamineremo la 
differenza fra la sua dimensione effettiva e quella virtuale data dalle formule di postu- 
lazione di Noether. 

D'ora innanzi parlando di un sistema dovremo considerare insieme ai caratteri 
tt, r, n già definiti anche la sua sovrabbondanza uu ; se uj == diremo il sistema re- 
golare. I caratteri ir, r, n, uu (ed i, cioè l'indice di specialità, se si tratta d'un sistema 
speciale) di un sistema (C) sono legati da una relazione nella quale figura il genere 
p della superfìcie. Invero sopra una curva C la serie caratteristica g r ~ l (che è com- 
pleta), è residua di una serie completa g? 2 ^J^zl a cu i appartiene quella g%^^_ n 
segata dal sistema canonico, quindi per il teorema di Riemann Roch si ha 

ti — 1 — n -{- r === p -f- uj — i 

dove è i = se (C) è non speciale. 

Questa relazione dà un'estensione alla superficie (e per ora soltanto pei sistemi 
puri) del teorema di Riemann Roch relativo alle serie lineari appartenenti alle curve 
algebriche. Si può enunciare il resultato sotto la forma seguente: 

Per un sistema puro non speciale di caratteri tt, r, n, ai si ha: 

tt — 1 — n -\- r — p -\- vi (2). 

Se un sistema speciale puro di caratteri tt, r, n, uu ha un sistema residuo di di- 
mensione r' si ha: 

r' = p — tt -(- n — r + w (3)- 



ficie linearmente indipendenti d'ordine n — 3 aggiunte ad una d'ordine n e genere p, quando le 
sezioni piane appartengono ad un sistema (puro) d'indice di specialità » e sovrabbondanza w, essendo tu 
il difetto di completezza del sistema delle curve d'ordine n — 4, segato sopra un piano dalle ag- 
giunte d'ordine n — 4. 

(1) Cfr. Castelndovo, " Accademia di Torino, Memorie „, 1891. 

(2) Enunciando questo resultato sotto forma proiettiva si ha 1' estensione del noto teorema di 
Clifford per le curve (" Phil. Transactions „ , 1878). 

(3) Non si creda che possa prendersi sempre in queste formule uj = 0. Basta per ciò considerare 
gli esempi seguenti: 1° il sistema segato dalle quadriche sopra la superfìcie del 5° ordine dotata 
di un punto triplo; 2° il sistema segato dei piani sulla superficie del 7° ordine con due punti tripli 
ed il residuo segato dalle quadriche per i due punti. 

11 2° teorema sotto la forma 

>•' >: p — tt ~\~ h — /• 

è stato dato dal sig. Noether ( Comptes rendus „, 1886) con una dimostrazione non differente da 
quella qui usata: mancano solo là le restrizioni da noi introdotte, che appariscono necessarie per 
dimostrare come la serie caratteristica di un sistema (C) sia completa (ciò che viene omesso), ed 
il teorema appare qua completato essendosi assegnato il significato di uj. 
I due teoremi enunciati vengono poi estesi anche ai sistemi impuri. 



RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



215 



3. Sistemi speciali residui uno dell'altro. — La relazione precedentemente trovata 
permette di esprimere in funzione dei caratteri di un sistema speciale la dimensione 
del residuo, nell'ipotesi che il dato sistema sia puro; la restrizione stessa è in ge- 
nerale soddisfatta quando si considerano due sistemi residui uno dell'altro di dimen- 
sione > 2 in relazione reciproca (C), (C). 

Sieno (C), (C) due sistemi puri residui uno dell'altro (di dimensione > 2), espri- 
miamo tutti i caratteri tt', r', n' , ai' dell'uno (C) in funzione di quelli tt, r, n, uu del- 
l'altro (C), o viceversa. 

Sia al solito p [1) il 2° genere della superficie, e sia D il numero dei punti comuni 
ad una curva C ad una C. Poiché il sistema canonico è la somma di (C), (C) usando 
di note formule già adoperate, si ha: 

pW = TT + tt' -f D — 1 

(pW =) pW — 1 = n + ri 4- 2D, 

e, poiché una curva canonica incontra una C in 2(tt — 1) — n punti, 

2n + D = 2(tt — 1). 

Mediante l'ultima relazione eliminando D si deduce 

D = 2(tt — 1) — 2n 

pW = 3(tt — 1) + tt' — 2n 

pW — 1 = n ' 4- 4(tt — 1) — Bn; 

siccome poi sottraendo segue 

n — tt = n' — tt' 

e si ha 

r 4" r ' — P — n + n ~\~ w — P — ti' -\- n' w' , 
cosi si deduce: 

uu - ai'. 

Dunque: Fra i caratteri tt, r ; n ; ai, tt', r', n', ai', dei due sistemi speciali (puri), (C), 
(C) residui uno dell'altro, di dimensione > 1, sussistono le relazioni 

p — tt4" w — r-j-a> 
p (D _ 3(tt _ l) _j_ 2n 

p(l) _ i _ 4(tt — 1) 4- 3w 

ai (n — rt = n' — tt'). 




216 



FEDERIGO ENRIQUES 



4. La sovrabbondanza. Dimensione virtuale d'un sistema. — Il concetto della so- 
vrabbondanza d'un sistema (C) cui siamo giunti partendo dalla considerazione delle 
curve del sistema aggiunto a (C) che passano pel gruppo comune a due curve C, è 
suscettibile di ricevere un'altra interpretazione, cui già ho accennato, la quale rende 
meglio ragione della denominazione scelta. 

Si consideri un sistema (K) di caratteri TT, R, N, Q, I (dove l'indice di specia- 
lità I = se (K) è non speciale) ed un sistema (C) contenuto in esso e residuo di una 
curva C ; sieno tt, r, n, w ; i i caratteri di (C), e la curva C sia di genere ir' incon- 
trata in D punti da una curva C. 

Supponiamo che la C non abbia punti multipli in punti semplici della super- 
ficie (o ipermolteplicità nei punti multipli) di guisa che, essendo (C) un sistema puro, 
una curva C -j- C non abbia altri punti multipli che non siano tali per le K eccetto 
i punti doppi intersezioni di una C e di una C, allora si ha: 

TT = TT + Tt'+D-1. 

Una curva K incontra una curva K spezzata in una C e nella C in N punti ; 
d'altra parte una curva K spezzata in una C ed una C incontra una C in n -j- D 
punti, quindi una K incontra la C in D' punti dove: 

Ora il sistema (K) sega su C una serie g^r r ~ l ; se indichiamo con e il difetto 
di completezza della serie e con h il suo indice di specialità si ha dunque: 

R — r — 1 + e ±= D' — tt' -f h 

ossia : 

R = D' — tt' + h — e + r + 1. 

Ne segue: 

TT— l-N-j-R = (Tr + Tr'+D— 1) — 1 — (w+ D + D')+ (D'-tt'+/ì — e + r-f 1) 

ossia: 

TT — 1 - N + R = tt — 1 — n + r + (h — e): 
d'altra parte è: 

n— 1 — N + R= p + Q — I 
tt — 1 — n -(- r =. -fr tu — i 

quindi 

Q — I = w — i -f (h — e) 

ed 

uu — i = Q — I + (e — h). 



RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



217 



Dunque : 

Se da un sistema (K) se ne deduce un altro puro (C) come residuo di una curva 
C che non abbia punti multipli in punti semplici della superficie (ne iper molteplicità nei 
suoi punti multipli), la differenza fra la sovrabbondanza e Vindice di specialità di (C) 
è uguale all'analoga differenza per (K) aumentata dalla differenza fra il difetto di com- 
pletezza e l'indice di specialità della serie che le curve K segano sulla C. 

Di questo teorema è utile il corollario: 

La differenza fra la sovrabbondanza, e l'indice di specialità d'un sistema (C) re- 
siduo della curva C rispetto ad un sistema regolare non speciale (K) è uguale alla dif- 
ferenza fra il difetto di completezza e l'indice di specialità della serie segata dalle curve 
K {di (K)) sulla C. 

Per il nostro scopo occorre ancora dimostrare il lemma: 

Il sistema aggiunto ad un sistema puro (C) è regolare. 

Questo si verifica immediatamente. Infatti se tt, r, n, sono i caratteri del sistema 
(C), e TT, R, N, Q quelli del suo aggiunto, si ha: 

TT = ir + pW + 2(tt — 1) — n — 1 
R = p -f- tt — 1 

N = n + — 1 + 2j 2(tt — 1) — n{ 

e quindi : 

TT — 1 — N + R = p, 

ed 

Q = 0. cdd. 

Deduciamo che sopra una superficie F di S 3 d'ordine n, senza curve eccezionali, 
le superficie aggiunte d'ordine > n — 3 segano un sistema regolare; infatti abbiamo 
già avuto occasione di osservare che le aggiunte d'ordine n — 3-4- r segano sulla F 
il sistema aggiunto a quello rplo delle sezioni piane. 

Ora si consideri sulla F un sistema (C) segato da superficie aggiunte d'ordine 

> n — 4. Sappiamo che il sistema segato da tutte le superficie aggiunte d'ordine 

> n — 4 ha la dimensione che si può calcolare in base alle formule di postulazione 
di Noether, le quali in base alla convenzione p t — p (cap. ILI, § 3) ed al corollario 
di Castelnuovo secondo il quale si ha l'espressione della differenza fra il numero 
delle superficie aggiunte di un dato ordine e quello delle superficie aggiunte dell'ordine 
consecutivo, debbono riguardarsi come valevoli anche per le superfìcie dotate di singo- 
larità straordinarie. Se vogliamo calcolare secondo queste formule di postulazione la 
dimensione che dovrebbe competere al sistema (C), dobbiamo far passare per una curva C 
(di (C)) un'aggiunta d'ordine n — 3 -f- l (l > 0), vjj w _ 3+ ì, la quale seghi ulteriormente 
la F in una curva C (che possiamo supporre non avente punti multipli in punti sem- 
plici della superfìcie) e vedere quante condizioni la C, unita al gruppo base, imponga 
ad una y„_3+j che debba contenerla. Possiamo dire che il numero così calcolato (che, 
per così dire dovrebbe esprimere la dimensione del sistema (C)) è la dimensione vir- 
tuale del sistema (C); ma può sorgere il dubbio che questo numero vari con l, o 
muti rifacendo la costruzione per una superficie trasformata. 

Serie II. Tom. XLIV. c 1 



218 



FEDERIGO ENRIQUES 



À questa questione rispondono i risultati precedenti. Infatti quando uniamo la 
C al gruppo base delle iy«_3-M, e vogliamo calcolare l'effetto prodotto sulle formule 
di postulazione, noi veniamo in sostanza a considerare la serie g n segata da tutte 
le Wn-z+i sulla C (di genere ti') come completa e non speciale, ed allora la sua di- 
mensione vien data dal teorema n — h = tt' ; il numero p così calcolato è la dimen- 
sione virtuale di (C), ed in base al calcolo precedente (poiché il trinomio (tt — 1 — n -f- p 
non differisce dall'analogo calcolato per il sistema regolare non speciale segato dalle 
qj„_3 + si ha: 

tt — 1 — n -f- p = p. 

Se vogliamo la dimensione effettiva r dobbiamo introdurre la differenza 6 fra 
il difetto di completezza e l'indice di specialità della serie che le Wn-s+i (ossia le 
curve del sistema regolare non speciale che esse segano sulla superficie) segano sulla 
C, e si avrà: 

r = p + e, 

dove == tu — i ; cioè si avrà appunto come abbiamo trovato 

tt — 1 — n — [— r = p -j— u) — i. 

Concludiamo : 

La dimensione p (virtuale) di un sistema puro (C) calcolata facendo segare il sistema 
(C) da superficie aggiunte d'ordine > n — 4 sopra una superficie d'ordine n (in S 3 ) priva 
di curve eccezionali, è un carattere invariantivo del sistema (C) e coincide colla dimensione 
effettiva se il sistema è regolare non speciale, in modo che si ha: 

tt — 1 — n -\- p = p. 

La differenza (uj — i) fra la sovrabbondanza e l'indice di specialità di (C) è uguale 
alla differenza (r — p) tra la dimensione effettiva e quella virtuale del sistema stesso. 

Così la denominazione di sovrabbondanza data alla quantità uu (definita nel § 2) 
appare pienamente giustificata. Di più è interessante notare che il teorema stabilito 
sussiste indipendentemente dalla completezza della serie caratteristica del sistema cano- 
nico (1) (da cui segue quella di (C) ) e quindi anche prescindendo da quella ipotesi si 
ha la relazione: 

tt — 1 — n -\- r = p -\- vj — i 

dove la sovrabbondanza w è definita dalla uguaglianza 

ai — i = r — p. 

Solo non risulta così che sia sempre uu > come si è riconosciuto sotto la pre- 
cedente restrizione, ma questo resultato sarà stabilito nei successivo § al di là di 
un certo limite per r. 

Il teorema stesso si estende ai sistemi impuri (C) normali, dedotti da (C) coll'ag- 
giunta di s punti base di molteplicità h 1( h 2 . . . h s ; infatti i caratteri tt', n', r\ tu', i' di (C) 
si esprimono per quelli di (C) mediante le formule: 



(1) Infatti nel dimostrarlo non si è tenuto conto di quella ipotesi. 



RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 219 

tt = tt — 2. — ^ — -, n = n — I/i-, r — r — I — -~ — - -j- 9 

(dove 0^0 è il numero dei legami tra i detti punti base) dimodoché risulta 

tt' — 1 — n' — j— y' ss tt — 1 — n — j— t — {- 9 ; 

d'altra parte i' = i (poiché (C) e (C) hanno lo stesso sistema residuo) e la dimen- 
sione virtuale p' di (C) vale 

p' = p-I *J*±n, 

sicché si conclude: 

tt' — 1 — n' + >•' = p + uu' — i' (tu' = uu + 6) (1). 

Ora è opportuno rilevare una differenza peculiare che si presenta fra lo studio 
delle serie complete lineari di gruppi di punti sopra una curva e quello dei sistemi 
lineari di curve sopra una superficie. Nella geometria sulle curve di genere tt si 
presentano accanto alle serie g r n non speciali la cui dimensione è data dal teorema 
n — v = tt quelle speciali la cui dimensione è, per così dire, superiore a quella vir- 
tuale, quindi per una g T n completa il binomio n — r, che di regola può considerarsi 
uguale al genere tt della curva sostegno, non supera mai questo genere tt, ed è 
n — r < tt solo quando la g r n è contenuta in una data serie (la canonica g?L£- 
piano la dimensione di un sistema lineare normale può superare quella virtuale (se 
vi sono legami tra i punti base), ma non può esserle inferiore; per così dire una sola 
causa perturbatrice opera anche qui in un solo senso sulla dimensione del sistema, 
ma a differenza di quel che avviene sulle curve la causa perturbatrice non cessa 
con lo elevarsi dalla dimensione del sistema (ma solo coll'elevarsi della dimensione 
in confronto al genere). 

Sulle superficie, di genere qualunque, vi sono in generale due cause perturba- 
trici opposte per le quali la dimensione effettiva può differire dalla virtuale; l'una 
dipende dall'esser il sistema contenuto nel canonico ed opera quindi limitatamente 
(come per le curve, ma in senso opposto), l'altra opera invece (come vedremo) su 
sistemi comunque elevati (come nel piano) ed è legata (pure come nel piano) alle 
curve fondamentali del sistema (2). Per ciò la opportunità di dare due nomi diversi 
(sovrabbondanza e indice di specialità) ai caratteri modificatori della dimensione che 
provengono dalle due cause nominate, giacché introducendo soltanto la loro diffe- 
renza (uu — i — r — p) si avrebbe un termine correttivo algebrico, ma si presenterebbe 
allora come regolare un sistema speciale sovrabbondante in cui uj = i, un sistema 
cioè che (dal punto di vista geometrico) apparisce doppiamente irregolare. 



(1) Pei sistemi di curve piane sussiste pure la relazione tt — 1 — n 4~ rj= uj {p = ; i = 0) con- 
tenuta essenzialmente nel teorema del sig. Segre (" Circolo Mat. di Palermo „, t. I) o in quello del 
sig. Castelnuovo (" Accad. di Torino, Memorie „, 1891, pag. 24). 

(2) Così anche segando sopra una superfìcie un sistema mediante le superficie per una curva, 
l'errore nell'applicazione delle formule di postulazione dipende dall' esser scompleta o speciale la 
serie che le superficie postulatali segano sulla curva. 



220 



FEDERIGO ENRIQUES 



5. Un teorema sulla sovrabbondanza. — Per un sistema puro o impuro (C) di 
caratteri tt, r, n, w ; i, sopra una superficie di genere p, siamo pervenuti alla relazione 

tt — 1 — n -f- r === p -j- — i, 

o, introducendo la dimensione virtuale p, all'altra 

tt — 1 — n 4~ p — p, 

ed abbiamo visto che uj > supponendo che la serie caratteristica del sistema ca- 
nonico fosse completa, poiché di là abbiamo dedotto che la serie caratteristica di 
un sistema puro doveva pure esser completa; si sono esclusi soltanto i sistemi im- 
puri dedotti coll'aggiunta di punti base da un sistema con soli punti base semplici 
coincidente col residuo del canonico rispetto al suo aggiunto (anziché puro), ma anche 
per quelli sarebbe facile dimostrare come sussista la relazione precedente lievemente 
modificata (aggiungendo al grado il numero dei detti punti base semplici). 

Quando non si sa nulla circa la completezza della serie caratteristica del sistema 
canonico e quindi del sistema puro da cui (C) è dedotto, rimane incerto il segno 
di uj, che soltanto può asserirsi essere non minore della sovrabbondanza del corri- 
spondente sistema puro. 

Vediamo cosa possa dirsi del segno di uj prescindendo dalla detta ipotesi ; pos- 
siamo supporre (senza restrizione), che (C) sia un sistema puro (di caratteri tt, n, r, 
uj, i); indichiamo con (K) l'aggiunto a (C) di caratteri IT, N, R, Q (1= 0). 

Secondo quel che abbiamo dimostrato, se è il difetto di completezza della 
serie gl^^Zn-^^-i segata da (K) sopra una curva canonica (generica) C diminuito 
dell'indice di specialità della medesima serie g, sussiste la relazione 

TT — 1 — N-|-R — tt — l — n -\- r — uj -j- i = ir — 1 — n -\- r — 9 (— p) : 

poiché i > se anche 6 > segue necessariamente uj > 0. 

Basta dunque perchè si possa concludere che ui > 0, sapere che la serie g se- 
gata da (K) sulla C è non speciale, come ad esempio se 

2(tt — 1) — n > pW — 1. 

E notevole il fatto che questa circostanza può essere accertata soltanto col pren- 
dere r abbastanza grande. Appunto la determinazione di questo limite per r forma 
l'oggetto di questo §. 

Per ciò che abbiamo notato alla fine del § 1 si può supporre qui che sia p > 2 
e che il sistema canonico sia irreduttibile. 

Supponiamo dapprima che il passaggio per un punto di una curva canonica 
tragga di conseguenza il passaggio di essa per un altro punto coniugato della detta 
curva supposta iperellittica ; allora (secondo Noether) (1) è 

2p — 2 = pM — 1. 



(1) " Math. Ann. „, Vili. 



RICERCHE DI GEOMETRIA. SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



221 



Sia (C) un sistema puro di dimensione 

_ P W — 1 

- 2 

Se (C) è speciale deve essere 

r — p — 1 

e però (C) è il sistema canonico per il quale w = 0. 

Se (C) è non speciale (i = 0), ma contiene il sistema canonico, la serie segata 
dall'aggiunto (K) sulla curva canonica C è non speciale o è (forse) la serie cano- 
nica; nel 1° caso w > 0; il 2° caso è impossibile giacche (C) conterrebbe totalmente 
il sistema canonico (poiché la C e la C hanno p w — 1 punti comuni) e quindi avrebbe 
lo stesso grado di esso (cap. I) mentre esso è normale (anzi completo). Infine se (C) 
non contiene il sistema canonico pur essendo non speciale, la serie segata da (C) 
sulla C è una serie g di dimensione r e però (secondo un noto teorema di Clifford) 
di grado > 2 r, cioè di grado > p w — 1 ; ma la serie g potrebbe avere soltanto il 
grado 2 r se fosse r = p a) — 1, quindi la detta serie ha il grado > p ll) — 1; ne 
segue che l'aggiunto (K) di (C) sega sulla C una serie di grado > 2 p w — 2 e quindi 
non speciale, ed in conseguenza è 

io > 0. 

Suppongasi invece che il sistema canonico sia semplice; allora è (sempre secondo 
Noether) : 

2p — 2 < pW — 1 

(anzi, secondo Castelnuovo (1) p {l) > 3p — 6); perciò se la dimensione r di (C) sod- 
disfa alla disuguaglianza 

^d) _ i 

f >• ■* 

2 

si ha r > p — 1 ossia (C) è non speciale, e col ragionamento precedente segue 

uj > 0. 

Dunque: 

Pur prescindendo dalla completezza della serie caratteristica del sistema canonico, 
per ogni sistema lineare appartenente ad una superficie di 2° genere p (1) , avente una 
dimensione 

p^) — 1 

2 

la sovrabbondanza 

w > 0, 

(e se il sistema non è il sistema canonico esso è non speciale, sicché tt — 1 — n -j- r > p). 



(1) " Istituto lombardo „ 1891 (Nota II). 



222 



FEDERIGO ENRIQUES 



V. 

Le curve fondamentali. 



1. Preliminari. — Mi propongo ora di esaminare le proprietà dei sistemi lineari 
in relazione alle loro curve fondamentali; siccome capiterà qui sempre di conside- 
rare la differenza tra la sovrabbondanza e l' indice di specialità (cioè quella r — p 
tra la dimensione effettiva e la virtuale) indicherò qui con questa quantità (che 
prima avevo designata con uj — i), e cosi sarà ora la sovrabbondanza (= tu) quando 
si tratta d'un sistema non speciale; indicherò ancora con tt, r, n, gli altri caratteri 
d'un sistema (C) e supporrò che (C) sia un sistema semplice (r > 3) dedotto coll'ag- 
giunta di punti base distinti da un sistema puro. Supporrò inoltre la superficie 
avente il genere geometrico uguale al numerico p > 0. 

Come già abbiamo detto, una curva fondamentale di (C) è una curva K che pre- 
senta una sola condizione ad una C che debba contenerla; escluderò che essa possa 
essere rappresentata da un gruppo di punti semplici sopra una superficie trasformata ; 
per la definizione il sistema residuo della K rispetto a (C) è oo r_1 ; noi supporremo 
che esso soddisfi alla restrizione di avere punti base distinti e di esser dedotto me- 
diante l'aggiunta di essi da un sistema puro. Le curve C si facciano segare sulla 
superficie F dagli iperpiani di S r : alla K corrisponde un punto multiplo 0, quindi 
una curva fondamentale non ha intersezioni variabili col dato sistema ma ha qualche 
intersezione variabile col residuo. Gli iperpiani per non hanno altri punti fìssi sulla F, 
quindi includendo in K il gruppo di tutte le curve (e punti) che corrispondono ad 0, 
lo staccarsi della K da (C) non trae di conseguenza lo staccarsi di altre curve; è 
quanto dire che lo staccarsi da (C) d'una curva fondamentale può trarre solo di con- 
seguenza lo staccarsi di altre curve fondamentali le quali tutte compongono insieme una 
curva fondamentale K. 

Quando si fan segare sulla F le curve C di (C) dagli iperpiani di S r , nella tras- 
formazione che così viene ad eseguirsi ad ogni punto della primitiva superficie che 
sia base iplo per (C) viene a corrispondere una curva eccezionale d'ordine i sulla F. 
Ora una curva eccezionale d'ordine i che abbia il punto come p pio viene proiet- 
tata da in una curva d'ordine i — p eccezionale per la superfìcie proiezione della F, 
e si deve notare che la curva d'ordine i (che corrisponde ad un punto) non può es- 
sere spezzata e però è i > p tranne per i = p = 1 ; cosi si deduce : Il sistema re- 
siduo della curva fondamentale K rispetto al sistema (C) ha come punto base iplo ogni 
punto iplo di (C) fuori della K; la curva K può avere una molteplicità p < i in un 
punto base iplo per (C) con i > 1, e solo un punto semplice (p =i = 1) in un punto 
base semplice di (C), ed allora il residuo della K ha un punto base (i — p) pio (e non 
di molteplicità più elevata) nel detto punto base iplo di (C). 



RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



223 



Questa deduzione (importa notarlo) è fondata sull'ipotesi fatta che il sistema (C) 
residuo di K rispetto a (C) abbia solo punti base distinti, e quindi i tangenti varia- 
bili in un punto iplo. 

2. Una relazione fra i caratteri d'un sistema, il genere d'una sua curva fondamen- 
tale ed i caratteri del residuo. — Se una curva K è comunque composta con parti 
irreduttibili distinte Ci ... C, di generi ttj, tt 2 . . . tt s , e se C r , C P hanno i rp punti 
comuni, il genere della curva composta è (secondo Noether) 

TT = 7^ -f- TT 2 + ... + K * 4" — S -f- 1 

dove la Z va estesa a tutte le combinazioni di valori diversi r e p (come già ab- 
biamo avuto occasione di ricordare). 

La curva K = G 1 -j- C 2 -f- . . . -f- C s sia una curva fondamentale per il sistema 
(C) (nella quale per convenzione sono incluse tutte le componenti, anche punti, che 
si staccano da (C) quando si stacca una componente); i generi tt^ tt 2 . . . tt, sieno 
calcolati prescindendo dalle molteplicità delle curve C 1? C 2 . . . C, fuori dei punti 
base di (C), inoltre il genere di un punto h pio (componente K) sia o come quello della 
curva razionale d'ordine i che gli corrisponde sulla superficie su cui gl'iperpiani se- 
gano le curve C residue di J£ rispetto a (C\ Diremo TT il genere della curva fonda- 
mentale K di (C), che non ha (per ipotesi) componenti multiple, calcolato in base alle 
convenzioni precedenti. 

Sieno tt, r, n, 6 i caratteri di (C), tt', r\ n', 6' quelli del residuo (C) di K. Una 
curva composta C -f- K ha (per il teorema del § precedente) le stesse molteplicità 
d'una curva generica C nei punti base di (C); allora se indichiamo con i il numero 
delle intersezioni variabili della K con una C cioè (come diremo) il grado della K, 
si avrà: 

tt = ri + TT + i — 1 ; 

d'altra parte se si fan segare le curve C da iperpiani, il punto che viene a cor- 
rispondere a K sulla superficie trasformata è iplo per quella superficie, quindi 

n — n' -f- i 

(infatti nel numero i sono comprese le intersezioni che una C ha con ogni compo- 
nente di K ed iii particolare anche coi punti che risultano hpli per (C)). 
Si deduce: 

tt _ i _ n 4. r — re' — 1 — ri + r' -f TT; 

ma 

tt — 1 — n -f- r — p -f- 8 
tt' — 1 — ri + / = p -f e', 

quindi 

e = e' + n. 



224 



FEDERIGO ENRIQUES 



Dunque si può enunciare il teorema: 

Se il sistema (C) possiede una curva fondamentale K di genere TT {priva di com- 
ponenti multiple), ed avente come residuo il sistema (C), fra i caratteri 9, 9', dei sistemi 
(C), (C) sussiste la relazione 

6 — 9' — TT 

(ossia uj — i — (u/ — i') = TT). 

3. Sistemi regolari. — Suppongasi in questo § che se il sistema canonico è irre- 
duttibile con p > 2 , la sua serie caratteristica sia completa; i resultati più restrittivi 
a cui si perviene prescindendo da questa ipotesi si stabiliranno facilmente in modo 
analogo riferendosi al cap. IV, § 5. 

La relazione stabilita nel precedente § stabilisce un interessante legame fra la 
sovrabbondanza d'un sistema ed i generi delle sue curve fondamentali quando p. es. 
il sistema residuo delle curve fondamentali sia non speciale, e perciò basta che la 
sua dimensione sia > p — 1, o il suo grado > p w — 1. Noi vogliamo trarre da 
quella relazione alcuni utili corollari. 

Se un sistema (C) di dimensione > p ha una curva fondamentale K di genere TT, 
il residuo (C) ha la dimensione > p — le quindi è non speciale; allora i carat- 
teri 9, 9', di (C), (C) sono le loro sovrabbondanze uu, uu' (sempre positive); in questo 
caso la relazione precedente ci dà: 

uu > TT. 

Di qui il corollario : 

Un sistema regolare di dimensione > p non ha curve fondamentali di genere > 0. 

Per trarre la deduzione enunciata bastava conoscere in qualsiasi modo la non 
specialità di (C), e quindi sapere per es. che il suo grado è > p [1) — 1 ; per ciò 
basta che il grado di (C) superi p ni — 1 aumentato del grado di K. 

Di qui il teorema: 

Se un sistema regolare (C) ha una curva fondamentale K, tale che il grado di (G) 
supera il grado di K aumentato di p (1) — 1, la curva fondamentale K è di genere 0. 

Se un sistema regolare ha una curva fondamentale di genere TT, il residuo (C) 
ha il carattere 

9' = 9 — TT, 

ma 

9 = uu — i, uj = 0, 
e quindi 9 < 0, sicché 9' < — TT; ora 

9' = uu' — i' (tu' > 0), 

quindi 

i' — uj' > TT, i' > TT. 

Dunque : 

Se un sistema regolare ha una curva fondamentale di genere TT, il residuo è spe- 
ciale con un indice di specialità maggiore del precedente almeno di TT. 



RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



225 



Ora si consideri un sistema speciale co p_2 ; sulla superficie canonica (ottenuta 
facendo segare dagli iperpiani di S p _i le curve del sistema canonico supposto sem- 
plice) esso è segato dagli iperpiani per un punto, e però ha come residua una curva, 
ossia il suo indice di specialità è 1 come quello del sistema canonico (x;" -1 ). 

Si deduce: 

Il sistema canonico, se è semplice, non ha curve fondamentali di genere > 0. 
In modo analogo si dimostrano i corollari: 

Un sistema regolare co" non può avere altre curve fondamentali di genere > 0, 
tranne tutt'al più una sola curva fondamentale di genere 1 {che ha per residuo il sistema 
canonico). 

Un sistema regolare oo B-1 non può avere altre curve fondamentali di genere > 
tranne curve fondamentali di genere 1 (ed allora è non speciale). 

4. Sistemi multipli d'un sistema. — Se si hanno sopra una superficie F due si- 
stemi (C), (C), che possono supporsi segati da due sistemi lineari di superficie, il 
sistema somma dei due sistemi di superficie sega sulla F un sistema lineare di curve 
contenente tutte le curve composte C-j-C; questo sistema appartiene ad un deter- 
minato sistema normale che si è detto il sistema somma di (C), (C) e si è indicato 
con (C -\- C) ; si è detto poi mplo di (C) ed indicato con (m C) il sistema somma di 
m sistemi (C), cioè il sistema normale contenente tutti i gruppi di m curve C. 

Enuncio alcuni lemmi di facile dimostrazione: 

Se una curva irreduttibile è fondamentale per il sistema (C) essa è fondamentale 
per (fltC). • 

Se una curva irreduttibile è fondamentale per (mC) essa è fondamentale per (C). 

Se una curva irreduttibile è fondamentale per (C) ma non per (C) essa non è fon- 
damentale per (C -j- C). 

Le dimostrazioni di questi lemmi si fondano sulla considerazione che una curva 
irreduttibile non avente intersezioni variabili con quelle d'un sistema è fondamentale 
per esso e viceversa. 

Come abbiamo avuto occasione di osservare nel cap. Ili se (C) è puro, il sistema 
(m C) per m assai grande contiene un altro arbitrario sistema, in particolare il cano- 
nico, in modo che il residuo di questo rispetto ad (m C) (disposto convenientemente 
di m) è un sistema puro (K) di dimensione elevata quanto occorre. 

Se si suppone che (C) abbia solo curve fondamentali irreduttibili di genere 
(distinte), lo stesso avverrà per uno dei precedenti lemmi pel sistema (C -f- K). Si fac- 
ciano segare co 3 curve generiche di (C -j- K) dai piani di S 3 sulla superficie F e si 
supponga per semplicità che essa sia dotata soltanto di curva doppia e punti multipli 
ordinari ; ad una curva fondamentale (di genere 0) del sistema corrisponde un punto 
multiplo secondo d a cono osculatore irreduttibile di genere 0; un tale cono ha 

— — l ]j d ~ 2 ^ generatrici doppie (o generatrici multiple equivalenti), le quali rappre- 
sentano altrettanti rami della curva doppia della F passanti per esso, giacche una 
generatrice doppia del cono non tangente alla curva doppia rappresenterebbe un punto 
doppio della curva fondamentale del sistema (C -j- K) che non andrebbe computato 
nel genere della curva (§ 2). Allora si considerino le curve del sistema ((m-f- 1) C), 

Serie IL Tom. XLIV. d 1 



226 



FEDERIGO ENRIQUES 



e si supponga che (0) e quindi ((m — |— 1 ) C) sia puro. Esse segano su quelle di (C -]-K) 
(sezioni piane della F) un gruppo canonico, e quindi sono segate da una superficie 
qj D _ 3 aggiunta alla F (supposta d'ordine D) salvo forse nei punti multipli (cfr. capi- 
tolo II, III), e poiché i punti dpli della F sono ^ ~ 1 ^ — — pli per la curva doppia 

la vp D _ 3 ha la molteplicità d — 2 (almeno) in un punto dplo e quindi è aggiunta 
alla F. Ne segue che il sistema ((w*-j- 1) C) è aggiunto a (C -{- K) e però è regolare 
capitolo IV, § 4). 
Dunque : 

Per m assai grande il multiplo (m C) del sistema puro irreduttibile (C) non dotato 
che di curve fondamentali irreduttibili di genere 0, è regolare. 

5. Sulla postulazione d'ima superfìcie di S r rispetto alla varietà d'ordine m. — Si 
abbia in S r una superficie F non dotata di curve eccezionali, ed avente soltanto punti 
multipli a cono osculatore di genere 0. Quante varietà V m (linearmente indipendenti) 
d'ordine m contengono la F in S r ? 

Se le sezioni iperpianali della F segano sulla F co' curve appartenenti ad un 
sistema (C), le V m segano sulla F curve appartenenti al sistema {in C). 

Indichiamo con TT m , n m , r m i caratteri del sistema normale (mC); (tt x = tt, n x = n); 
abbiamo allora le relazioni: 

TT m — TT m _i — j— TT -|— {m — 1) n — 1 

n m - n m -i -(- 2(m — 1) n -(- n 



e quindi 



, m (m — 1) , .. 

nm -j r n — m -f- 1 



al crescere di m la dimensione di (m C) cresce oltre ogni limite (e quindi oltre ^ ' ~ ^ ) , 
di guisa che come nel § precedente si deduce che in ogni caso la sua sovrabbon- 
danza (uu m > 0) è = 0; perciò quando m è assai grande, 

r m = p H g w — m ( n — 1 )- 

Se indichiamo con 

N m = ( m + r ) — 1 

la infinità delle V m , per ogni curva sezione della V m colla F passano oo Nm_rm , V m e 
perciò la postulazione della superficie rispetto alle V„, è 

^ ii \ m {m -4-1) , -, \ i ., 

< r m -j- 1 = p -1 ^ n — m (ir — 1) + 1; 



dove vale il segno = se (come avviene, si può dire , nel caso generale) il sistema 



RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



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segato dalle V m su F, per m assai grande, è completo (e per ciò, poiché esso è puro, 
basta che sia normale). 

Dunque, per la superficie F di S r passano [per m assai grande) 

t ^ tvt m (m + 1) , / , . 

L < N m — p 2 n -f- m fa — 1) 

varietà V m linearmente indipendenti. 

Facciamo ora una breve digressione determinando il numero delle quadriche di 
S r passanti per una superficie F a sezioni normali (sulla quale non si fa nessuna 
altra ipotesi). 

Se per la F di S r passa una quadrica la sezione iperpianale Cjr di F e gli n 
punti sezione d'un S r _ 2 stanno pure sopra una quadrica (risp. in S r _i e in S r _ 2 ). Sup- 
pongasi ora che gli n punti sezione della F con un S r _> sieno sopra una quadrica q; 
in un S r _x per lo S r _ 2 le quadriche Q per q sono co r e segano sulla la serie (com- 
pleta) segata dagli iperpiani (g n r ~ [ ), quindi vi è una ed una sola quadrica Q per la q 
contenente la curva G K ; in modo analogo può costruirsi un'altra quadrica Q' conte- 
nente la sezione CV della F con un altro S r _j per lo S r _ 2 , e contenente pure la q* 
ora le due quadriche Q, Q' risp. appartenenti ai 2 S r _ t ed aventi comune la sezione q 
con un S r _ 2 , appartengono ad un fascio di quadriche T in S r ; la quadrica T del fascio 
contenente un punto fissato ad arbitrio sulla F, contiene quindi la F, poiché ne con- 
tiene già due sezioni iperpianali. Ora giacché ogni quadrica per la F sega un S r _ x in 
una quadrica contenente la sua curva sezione, e vi è una quadrica determinata che 
contiene la F passante per una quadrica che contiene una sua sezione iperpianale, 
si conclude: 

Il numero delle quadriche linearmente indipendenti, che contengono una superficie 
qualunque a sezioni normali di S r , è uguale a quello delle quadriche in S r _x che con- 
tengono una sua sezione iperpianale, o di (quelle in S r _ 2; che contengono il gruppo di 
punti sezione della superficie. 

6. Curve fondamentali di genere 0. — Abbiamo già avuto occasione di notare 
(§ 4) che alle curve fondamentali di genere d'un sistema lineare (C) corrispondono, 
sulla superficie F di S 3 di cui le oo 3 sezioni piane sono curve C, punti multipli che non 
impongono condizioni alle superficie aggiunte e però non esercitano influenza sul ge- 
nere; a questo fatto si collega l'altro che tali curve non hanno effetto sulla sovrab- 
bondanza del sistema (C). Una analisi più minuta di siffatte curve fondamentali porta 
alla conseguenza che esse (a differenza delle curve fondamentali di genere > 0) sono 
più intimamente legate alla natura della superficie, che a quella del sistema (C) che 
su di essa si considera. 

Il caso più semplice è quello delle curve fondamentali di grado 2, le quali ven- 
gono ad essere rappresentate da punti doppi isolati (non eccezionali) (1) sulla super- 
ficie F di S 3 (di cui le sezioni piane appartengono al sistema (C)), o sulla superficie 
normale F' ottenuta facendo segare dagli iperpiani d'un iperspazio tutte le curve C. 



(1) Poiché si è esclusa la considerazione delle curve fondamentali costituite da coppie di punti. 



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FEDERIGO ENRIQUES 



Se n è l'ordine della F, le superficie \\> n i d'ordine n — 4 aggiunte alla F, se- 
gano su di essa il sistema canonico: non può darsi che tutte passino per un punto 
doppio della F non eccezionale, e però ad un tal punto doppio corrisponde un punto 
doppio della superficie canonica su cui le curve canoniche sono segate dagli iperpiani 
(supposto semplice il sistema canonico, p > 3). 

Viceversa un punto doppio della superficie canonica dà una curva fondamentale 
di grado 2 per un sistema (C) che, su di essa, non ha il punto doppio come punto base. 

Concludiamo : 

Una superficie in S 3 può acquistare per trasformazione tanti punti doppi isolati non 
eccezionali quanti sono i punti doppi isolati della corrispondente superficie canonica. Il 
numero di questi punti doppi è un nuovo carattere invariantivo per le superficie di ge- 
nere p > 3. 

Il resultato precedente si esprime sotto forma invariantiva dicendo: 
Sopra una superfìcie un sistema lineare (C) non può avere altre curve fondamentali 
di grado 2 tranne quelle che sono tali pel sistema canonico. 

Consideriamo ora una curva fondamentale irreduttibile di genere e di grado i 
pel sistema (C): si facciano segare co 3 curve C sulla superficie F dai piani di S 3 , e 
supponiamo (per semplicità) che la F sia solo dotata di curva doppia. Alla curva 
fondamentale per (C) corrisponde sulla F un punto iplo a cono osculatore razionale, 

per il quale passano quindi (come già abbiamo notato al § 4) ^ ~ ~~ ^ rami della 

curva doppia. Se n è l'ordine della F, le vp„_ 4 (d'ordine n — 4) aggiunte ad essa hanno 
il detto punto come (i — 2) pio, come conseguenza del contenere la curva doppia 
della F ; una curva canonica ha dunque un tal punto come (i — 2) pio (essendo i — 2 
= i (i — 2) — {i — 1) (i — 2) ) ed ivi ha le i — 2 tangenti variabili giacche il sistema 
canonico non ha punti base. Dunque ad un tal punto corrisponde una curva razio- 
nale d'ordine i — 2 sulla superfìcie canonica. 
Concludiamo : 

Le curve fondamentali di genere e di grado i per il sistema lineare (C), corrispon- 
dono a curve d'ordine i — 2 sulla superficie canonica. 

Cosi si vede che ad una superficie appartengono 3 categorie di curve razionali 
che corrispondono ai punti doppi della superfìcie canonica, alle sue curve razionali, 
e ad i suoi punti (le curve eccezionali) ; le prime due categorie forniscono caratteri 
invariantivi della superfìcie; invece le curve della 3 a categoria sono in numero arbi- 
trario poiché se ne crea quante si vuole con trasformazioni della superficie. 



RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



229 



VI, 

Le involuzioni. 

1. Estensione d'un teorema di Castelnuovo. — Relazione fra i secondi generi di due 
superficie in corrispondenza [1 m\. — Rivolgiamoci ora ad un breve studio dei sistemi 
lineari (C) in cui il passaggio per un punto trae di conseguenza il passaggio per altri 
punti della superficie. 

Lasciamo da parte, come non offrente interesse, il caso in cui le curve C (di (C)) 
si spezzino in quelle di un fascio ; allora (cap. I, § 1) le curve C che passano per 
un punto O x passeranno in conseguenza per un numero finito di punti 2 , 3 . . . O m , 
ed i gruppi analoghi ad 1} 2 . . . O m formano un'involuzione I m , cioè una serie co 2 
di gruppi di m punti tale che un punto generico della superficie determina un gruppo 
della serie. Lo studio del sistema (C) (che abbiamo denominato appartenente all'invo- 
luzione I m ) si annoda strettamente allo studio dell'involuzione. Ad ogni involuzione 
appartengono sistemi (C) come ora facilmente vedremo. 

Si riferiscano biunivocamente i gruppi della I m (elementi di una varietà co 2 ) ai 
punti d'una superficie F'; ad un sistema (C) di F' corrisponde su F un sistema (C) 
appartenente all'involuzione I m . La F' ossia l'involuzione I m abbia il genere geometrico 
p > (1); allora possiamo fissare come sistema (C) quello delle sezioni piane di F' 
che supponiamo avente curve fondamentali distinte come il suo corrispondente su F, e 
possiamo considerare una curva canonica K' (completata colle curve eccezionali della 
F') la quale è definita dal segare un gruppo residuo della serie caratteristica sulla 
curva generica di (C) ed un gruppo contenuto nella serie analoga sulla curva generica 
di ogni sistema co 2 contenuto in (C) (cap. II, § 2). Sia K la curva corrispondente alla 
K' sulla F, H la curva di coincidenza della involuzione I ro (luogo dei punti in cui ne 
coincidono due di un gruppo di I m ) e sieno le C le curve corrispondenti su F alle 
C di F\ Una curva composta K -j- C -f- H sega sopra una curva generica C un 
gruppo che è il trasformato di un gruppo canonico di C aumentato del gruppo delle 
coincidenze dell'involuzione i cui gruppi corrispondono ai punti di C, quindi per un 
teorema di Castelnuovo (2) il detto gruppo è un gruppo canonico della C, ossia la 
curva K -f- H sega sulla curva C un gruppo residuo della serie caratteristica di (C); 
parimente si prova che la K -j- H gode l'analoga proprietà rispetto ad ogni sistema 
co 2 contenuto in (C) (come rispetto ad ogni altro sistema appartenente alla I m ), dunque 
sussiste il teorema: 



(1) Non imponiamo ne per la F ne per la F' alcuna restrizione di uguaglianza del genere geo- 
metrico al numerico. 

(2) Alcune osservazioni sulle serie irrazionali, ecc. (" Accad. dei Lincei „, 1891). 



230 



FEDERIGO ENRIQUES 



Se le superficie F', F sono in corrispondenza [1, m], alle curve canoniche della prima 
(supposta di genere > 0) corrispondono curve speciali della seconda, componenti curve 
canoniche insieme alla curva di coincidenza, dell'involuzione I m i cui gruppi corrispon- 
dono sulla F ai punti della F'. 

E questa, come si vede, l'estensione del teorema già adoperato del signor Castel- 
nuovo sulle involuzioni irrazionali appartenenti ad una curva, teorema che apparisce 
come fondamentale nella teoria appena avviata di quelle involuzioni. 

Sia P il genere (geometrico) della F, e p il genere (geometrico) della F', ad ogni 
curva canonica della F' corrisponde una curva che insieme ad H costituisce una 
curva canonica di F, quindi P >p: in particolare non può essere P == se non è 
anche p = 0. 

Sia ora p > 1, e quindi anche P > 1, e indichiamo con p aì , P (l) risp, i secondi 
generi delle F', F, con b il numero dei punti d'incontro d'una curva canonica di F' 
colla curva di diramazione (ossia quello delle intersezioni della curva di coincidenza 
H con una curva residua), con t il genere della curva di diramazione su F' (o di 
quello di coincidenza H su F), sia infine tt il genere delle curve corrispondenti 
sulla F a quelle canoniche di F'. 

Per il teorema di Castelnuovo, o per la formula di Zeuthen, si ha: 

2m (pW — 1) 4- ò — 2(tt — 1); 

per il teorema prima dimostrato si ha invece, in generale (adoperando la formula 
che dà il genere d'una curva spezzata) 

PW — TT — 1-j-T + ò, 

quindi sussiste in generale la relazione 

p(i) _ m _ l) _|_ x _}_ -§- 

la quale può considerarsi come un'estensione della nota formula di Zeuthen per le 
corrispondenze [1 m\ tra due curve. 

In qualche caso può essere P ll> maggiore del numero indicato dalla formula 
scritta se le curve corrispondenti su F a quelle canoniche di F' aumentate della H 
non sono curve generiche (spezzate) del sistema canonico della F ossia una delle 
componenti ha qualche punto multiplo in un punto semplice della superficie (o qualche 
ipermolteplicità in un punto multiplo). 

2. Involuzioni razionali. — Diamo ora un breve cenno delle involuzioni I m ra- 
zionali ; la superficie F sui punti della quale i gruppi della I m sono rappresentati è 
un piano (superficie razionale) e ad ogni rete omaloidica di esso corrisponde sulla 
data superficie F una rete di curve di cui due s'intersecano in un gruppo della I m ; 
restringeremo a tali reti il nome di reti appartenenti all'involuzione. 

Una rete (C) appartenente all'involuzione I m sia di genere ti (il grado è m) e pos- 
sieda s curve fondamentali Cj . . . C A , . . . C, aventi come residui s fasci risp. di ge- 



RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



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nere . . . rc h . . . tt s ; introdurremo i caratteri ò x . . . b h . . . b s definiti dall'ugua- 
glianza 

òh = TT — TT/, 

e diremo b h la volenza della curva fondamentale G h . Il carattere b h è legato semplice- 
mente a quelli, altre volte introdotti, cioè il genere (virtuale) p ft della C h ed il suo 
grado i h (numero delle intersezioni con una curva residua); infatti è 

TT — TTa -j- p h -j- i h — 1 

quindi 

bh = Pk + — 1- 

Si facciano ora segare le curve C della rete dai piani di una stella col centro 0, 
sulla superficie F, e sieno a x ... a, le rette per (multiple o contenenti punti mul- 
tipli per la F) che corrispondono alle curve fondamentali Cj . . . C,. Nell'involuzione 
I m ci sieno a gruppi dotati di due coincidenze staccate (di due punti doppi), e t gruppi 
dotati d'un punto triplo (dove ne coincidono 3) : le a rette che proiettano da i primi 
a gruppi sono corde per la curva di coincidenza di I m , le t che proiettano i t gruppi 
secondi sono tangenti per essa. 

Ora la curva di coincidenza sega un piano generico per in 2 (tt -f- ni — 1) 
punti fuori di ed un piano per a h (fuori di a h ) in 2 (tt a -f- m — 1) punti, ossia la 
a h ha colla curva b h intersezioni. Proiettando dunque la detta curva di coincidenza 
da sopra un piano, si avrà il suo genere dato da 

P = (2tt 4- 2m — 3) (tt + m — 2) — X b h {2b h — 1) — a — t. 

i 

Si conclude che la quantità 

(2tt + 2m — 3) (tt -f m — 2) — I ò* (2b h — 1) (= a + t + P) 

ha lo stesso valore per tutte le reti appartenenti all'involuzione l m ed è quindi essenzial- 
mente un carattere della I m anziché delle dette reti. Invero si osserverà che, pren- 
dendo nel piano multiplo rappresentativo della I m una rete omaloidica le cui curve 
abbiano assai intersezioni con quella di diramazione, si avranno sulla F reti di ge- 
nere grande quanto si vuole, appartenenti alla I m , e quindi separatamente i carat- 
teri tt, b k non sono caratteri della I m . 

Esaminiamo brevemente il caso (m = 2) di una involuzione razionale I 2 sopra 
una superfìcie F. 

Le curve d'una rete (C) appartenente alla I 2 sieno segate dai piani per sulla F. 
Se n è l'ordine della F, le aggiunte d'ordine n — 4 alla F sono coni col vertice 
in (che è (n — 2) pio per la F), quindi : 

Se sopra una superficie vi è un'involuzione I 2 , le curve canoniche che passano per 
un punto passano per il coniugato (1). 

(1) Questa proprietà è nota; infatti il sig. Castelnuovo C Istituto lombardo „, 1. c.) ha dimo- 
strato che se vi è un fascio di curve iperellittiche sopra una superficie d'ordine n, le aggiunte 
d'ordine n — 4 per un punto passano per il coniugato sulla curva iperellittica che lo contiene. Il 
tipo di superficie di cui stiamo trattando è stato considerato per la prima volta dal sig. Noether 
(" Math. Ann. „, Vili, 1. e). 



232 



FBDERIGO ENRIQUES 



Secondo la relazione precedentemente scritta il genere della curva di coinci- 
denza della I 2 è 



dove Tt è il genere d'una rete appartenente alla I 2 (composta di curve iperellittiche) 
e b h è la valenza d'una sua curva fondamentale G h (h == 1 . . . s). 

La rete (C) sia segata sulla F dai piani per 0; una curva canonica sega una C 
in 2 (tt — 1) — 2 {m = 2) punti, e quindi se» è l'ordine della F i coni aggiunti d'or- 
dine n — 4 si spezzano nel cono (fisso) proiettante la curva doppia della superficie, 
e in coni variabili d'ordine tt — 2. 

Se la a h è una retta per multipla secondo B h (o semplice) per la F contenente 
arbitrari punti multipli, un piano per la a h è segato da una superficie d'ordine n — 4 
aggiunta alla F secondo una curva d'ordine n — Q h — 3 aggiunta alla sezione d'or- 
dine n — 9,, della F (tolta la a h ) (cfr. cap. II, § 1); questa sezione è dunque segata 
in 2 (TTfe — 1) punti da una curva canonica (essendo tt,, il genere di essa), e però il 
cono d'ordine tt — -2, facente parte d'una aggiunta d'ordine n — 4 alla F, ha la 
retta a h come multipla secondo tt — 2 — (tt,, — 1) = b h — 1. 

Ora ogni curva C ft fondamentale per la rete (C) viene rappresentata da una tal 
retta a h , o da una retta per contenente un punto doppio isolato per la F ; in questo 
2° caso il detto cono d'ordine tt — 2 non contiene in generale la retta congiungente 
il punto doppio, e quindi si può dire ancora che la contiene colla molteplicità ò h — 1 
= tt — tt,, — 1 poiché tt a = tt — 1. Dunque i coni d' ordine tt — 2 col vertice 
seganti sulla F le curve canoniche sono assoggettati ad avere come (b h — 1) pia ogni 
retta per che corrisponde ad una curva G h fondamentale per la rete (C), di va- 
lenza b h . 

Indicando con p il genere (geometrico uguale al numerico) della F sussiste dunque 
la relazione 



P 



(2 TT — 1) TT — 21 b h (2b h 



1) 



p = - 



Tt (TT — 1) 

2 



bh (bh — 1) 
2 



di qua si ricava 



4p = 2tt (tt — 1) 



I 2b h (b h - 1) 



e confrontando coll'altra relazione trovata 



P = 



(2rr - 1) TT - I (2b h - 1) ò 



si ha 



P 



4 p = TT — Z ò,, 



dove il secondo membro è uguale per tutte le reti che appartengono alla involuzione I 2 . 



RIVISTA CRITICA 

DELLE 

SPECIE DI " TRIEOLIUM „ ITALIANE 

COMPARATE CON QUELLE STRANIERE 

DELLA SEZIONE 

LUPINASTEE (Buxbaum) 



MEMORIA 
del Dottore 
S. BELLI 

Approvata nell'Adunanza del 25 Giugno 1893. 



PEEFAZIONE 

Nello studio della presente sezione i dubbii sollevati da tempi anteriori a Linnè 
sull'affinità del T. Lupinaster col genere Trifolium, e l'incertezza colla quale anche 
oggidì alcuni autori ve lo ascrivono, parvero offrirmi una buona occasione per dir 
qualche parola sopra alcune questioni generali di tassonomia vegetale. Il T. Lupi- 
naster venne dunque con assidua vece iscritto e radiato dal novero dei Trifogli , 
e le ragioni che trassero gli autori a questi mutamenti verranno in appresso ampia- 
mente riferite e discusse. Intanto, se si considera un momento il modo con cui 
Tournefort caratterizza il genere Trifolium, evidentemente il T. Lupinaster deve 
esservi incluso; e la questione sotto questo punto di vista mi par definitivamente 
esaurita. Ma ben altrimenti importante è la questione, non nuova del resto, di sapere 
se alcuni generi, tali quali vengono oggidì accettati, siano entità naturali o non costi- 
tuiscano piuttosto un gruppo di esseri, che hanno qualche carattere similare, ma che 
non possiedono rapporti di morfologica affinità dimostrabile nell'attualità con un com- 
plesso di caratteri costanti. Tali sarebbero i generi Cytisus e Genista; Trigonella e 
Trifolium ; Astragalus e Onobrychis, ecc. ; i quali sono certamente meno distanti fra 
loro di quello che noi siano le specie di Trifolium della sezione Galearia da quelle 
della sezione Lagopus, o quelle dei Calycomorphum da quelle dei Ghronosemium, che 
tutte vengono comprese nel solo G. Trifolium. 

Più mi addentro nello studio di tali generi , e più mi convinco che V unità 
tassonomica vera, riconoscibile sempre per caratteri proprii, fissi entro certi limiti, 
indipendente da circoscrizioni più late , è la Stirps, intesa nel senso già esposto 
e ben precisato nel saggio elaborato in comunione al Prof. Gibelli intorno alla se- 

Serie II. Tom. XLIV. e 1 



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S. BELLI 



zione Lagopus (Vedi Saggio monografico " Mem. Acc. Se. Torino „ 1888). Compresa in 
questo significato la stirps può co' suoi estremi toccare una porzione del campo ar- 
tificialmente concesso a due o più sezioni, senza che ne venga perciò a soffrire la 
sua omogeneità. Nei Trifogli non sono rari questi esempi. 

Parallelo allo studio dei gradi inferiori di dignità delle forme attuali, conside- 
rate come il risultato dell'evoluzione di diversi tipi originarli , è oggidì tenuto in 
onore uno studio che tenta di risalire soprattutto coll'aiuto dell'istologia comparata 
alla parentela antica, che collegherebbe i gruppi fra di loro, e cerca di riunire le 
membra sparse di quell'organismo, che, ipoteticamente ricostrutto, ne rappresenterebbe 

10 schema genealogico. A questo scopo sono evidentemente rivolti gli ultimi studii 
di egregi botanici (Vesque, Delpino, ecc.). 

Giova a me citare qui il Vuillemin, autore di un libro teste uscito col titolo: 
" La subordination des caractères de la feuille dans le Phylum des Anthyllis „, 
Nancy, 1892. Se io mi permetto di arrestarmi alquanto a discorrere di quest'ultimo 
lavoro, non gli è certo a scopo di pretenziosa ed importuna critica, la quale sarebbe 
sovrattutto e solamente possibile e giustificabile, ove io avessi rifatto l'immane la- 
voro dell'Autore. Io voglio limitarmi essenzialmente ad alcune considerazioni di or- 
dine generale, che nascono spontanee dalle premesse e dalle conclusioni, che l'Autore 
trae dal suo libro, accurato, fine, ricco di indagini minuziose ed esatte le quali dimo- 
strano in lui una grande conoscenza dell'Anatomia vegetale. 

Nel leggere questo libro io mi sono spesso domandato: È possibile, per le clas- 
sificazioni degli ultimi gradi di dignità, o per togliere le incertezze che spesso regnano 
sulla posizione sistematica di un vegetale che tocca due generi vicini, trar partito 
dei criterii che vennero adoperati dall'Autore? In altre parole e per venire ad un 
esempio pratico, è possibile con questi criterii stabilire se p. e. il Trifolium ornito- 
-podioides è veramente un Trifoglio od una Trigonella? ovvero se il T. Lupinaster 
porti seco le stimmate di un Trifoglio, o sia da riferirsi ad altro genere già cono- 
sciuto, ovvero finalmente sia un' entità autonoma degna di speciale denominazione? 

La domanda pare a tutta prima oziosa, o meglio pare fuori di posto, e la risposta 
par facile. Mi si potrebbe dire: che cosa hanno a che fare simili questioni con un 
libro, che ha tutt'altro obbiettivo fuor di quello di stabilire delle categorie di dignità 
basate sulle affinità specifiche? Il Vuillemin parte da un genere che porta un nome: 

11 genere Anthyllis; e come tale questo nome ha un significato più o meno concreto; 
L'Autore si è fissato per iscopo di stabilire i legami del G. Anthyllis colle altre 
Leguminose e nulla più! La questione quindi è di tutt'altra natura, ed è fuori luogo. 
Per verità essa sarebbe tale, ove realmente il libro del Vuillemin apparisse senz'altro 
inteso a stabilire i rapporti strutturali del G. Anthyllis cogli altri generi vicini; fosse 
cioè esclusivamente uno studio comparativo dei caratteri istologici della foglia del 
G. Anthyllis con quella delle altre Leguminose. Ma questo lavoro è altresì isto-tattico, 
ed anzi è al lato tassonomico di esso che l'Autore ha consacrato il tempo non breve 
e la fatica grave, che deve essergli costata una disamina così sapientemente condotta. 
Nel libro del Vuillemin inoltre ho visto ripetute, troppo più volte che noi consenta 
la supposta intenzione dell'Autore, delle osservazioni riguardanti il concetto di specie 
e della sua pratica significazione, perchè non mi sia lecito di sviscerarne il significato. 



RIVISTA CRITICA DELLE SPECIE DI TRIFOLIUM ITALIANE 



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Finalmente sta il fatto che partendo dai principi emergenti dal suo studio anatomico, 
l'Autore ha stabilito tre nuovi generi. 

L'Autore a proposito della significazione della parola phylum così si esprime 
(p. 16): 8 Le terme phylum n'équivaut ni à tribù ni à section ni à aucun des termes, 
8 par lesquels on désigne habituellement les cadres de la classification. Etablir un 
8 phylum, c'est mème, dans un sens, chercher à renverser les barrières posées arbi- 
8 .trairement à travers la sèrie des ètres pour aider la mémoire, et à taire apparaìtre 
8 revolution lente, progressive et souvent indépendante des divers caractères origi- 
" nellement uniformes, dont la combination permet les distinctions spécifiques. Etablir 
" un phylum; c'est chercher des liens plutòt que des séparations. 

8 Le phylum d'une piante, c'est-à-dire sa lignee, n'est pas l'ensemble des espèces 
8 qui ont avec elle une affinité révélée par un, deux , trois caractères convenus et 
8 désignés d'avance comme de premier ordre, d'après l'opinion qu'on aura pu se former 
8 de leur importance dans un groupe différent. C'est l'ensemble des plantes reliées 
" entre elles par des intermédiaires insensibles, concernant tous les caractères im- 
" portants, de facon qu'on puisse les considérer comme unies par un lien généalo- 
" gique. Si le groupement répondant à cette définition comprend un grand nombre 
8 de Genres, il peut se faire que certains caractères, par l'accumulation de variations 
8 faibles, se soient totalement transformés à travers la serie. Par conséquent Yaffi- 
8 nité n'est pas une conséquence forcée de la filiation. Deux plantes d'un méme phylum 
8 peuvent n'avoir aucun caractère commun „ . 

In altre parole l'Autore dice che la storia della filogenesi è la vera storia na- 
turale delle forme, mentre le nostre classificazioni e la subordinazione dei caratteri 
possono essere naturali, ma spesso possono anche non esserlo; ed il perchè egli lo 
dice chiaramente: " Etablir un phylum c'est méme dans un sens renverser les bar- 
8 rières posées arbitrairement à travers la serie des ètres pour aider la mémoire „. 
Le classificazioni secondo l'Autore sarebbero dei gruppi arbitrarii. E di più: " l'af- 
" finite n'est pas une conséquence forcée de la filiation. Deux plantes d'un mème 
8 phylum peuvent n'avoir aucun caractère commun „. — Ma se due piante d'uno stesso 
m phylum possono non avere alcun carattere comune, ed ammettendo colle stesse parole 
dell'Autore che il phylum è un legame, che dimostra la connessione degli esseri at- 
traverso ai secoli, per qual altro motivo dunque, esse vi apparterranno dal momento 
che caratteri che li leghino non esistono? E qual è la guida, quale il criterio che 
rivelerà all'Autore la comune o non comune origine di questi esseri, che non hanno 
alcun carattere che li congiunga? E come si potranno distinguere due esseri ài phylum 
diverso, i quali siano nelle medesime condizioni, di non aver cioè alcun carattere 
comune? 

Ammettere, che due piante di uno stesso phylum possano non avere dei carat- 
teri comuni, vale quanto lasciar supporre che il tassonomo possa servirsi di altri 
mezzi che non sia l'osservazione macro o microscopica dei caratteri strutturali per lo 
studio delle forme. Ora, là dove il filo conduttore dell'osservazione si spezza, è forza 
ricorrere all'induzione, la quale spesso serve, ma più soventi è scorta fallace e lascia 
dietro di sè il dubbio e l'incertezza. E l'ammettere coll'Autore ; che tutti gli esseri 
viventi non formino che un phylum unico, vale secondo me quanto distruggere ogni 
classificazione. Perciocché fra le membra di questa catena interrotta esistono delle 



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S. BELLI 



lacune (gli hiatus dell'Autore), che il corso dei secoli hanno scavate, ed in questo 
caso se a colmarle può e deve servire l'osservazione strutturale delle membra stesse, 
e l'analogia tuttora esistente fra esse, io mi domando come sarà possibile distinguere 
i caratteri di affinità dai caratteri di filiazione, dal momento che l'Autore scrive: 
" l'affinité n'est pas une conséquence forcée de la filiation „ ! 
Il periodo più sopra citato mi pare illogico. 

Prosegue l'Autore: " Quant à l'étendue mème du phylum elle est théoriquement 
" illimitée. On a mème de bonnes raisons de croire que tous les ètres vivants ne for- 
" ment qu'un phylum. Les hiatus, qui séparent les groupes conventionnels de nos 
" classifications, tiennent en partie à l'extinction, qui a supprimé les termes de pas- 
" sage; ils tiennent aussi à ce que bien souvent ces groupes sont mal formés. Par 
" exemple le phylum des Anthyllis comprend des genres classés constamment dans 
" des tribus clifférentes (Hedisarées-Gralegées); tandis qu'on ne saurait y rattacher 
" aussi directement des plantes considérées comme en étant très affines et mème 
" certaines espèces rangées par plusieurs auteurs dans le genre Anthyllis. 

" L'établissement d'un phylum ne constitue donc pas précisément un groupement 
" commode, donnant une clef pour la détermination facile des espèces. Toute préoc- 
" cupation utilitaire doit mème en ètre écartée au début. Le résultat pratique vient 
" ensuite de lui-méme, car les séries des plantes dont on connaìt exactement la fi- 
" liation peuvent ètre classées d'après des principes plus rationnels, et bien des dif- 
" ficultés nées d'un groupement premature disparaissent naturellement „. 

Evidentemente qui l'Autore ammette l'idea, che gli studii filogenetici debbano 
influire sul raggruppamento pratico delle specie, per quanto questo non ne sia il 
risultato immediato. E di fatti ; secondo l'Autore, il phylum delle Anthyllis comprende 
delle forme finora comprese dagli Autori nelle Hedysareae-Galegeae cioè in altre pa- 
role i caratteri su che l'Autore basa il suo phylum non sono gli stessi adoperati fin 
qui per riunire o separare questi generi, e secondo lui sono i veri, dal momento che 
stabiliscono la sistemazione di quei generi fra le Anthyllis piuttosto che fra gli He- 
dysarum o le Galega. Qui soprattutto sta la giustificazione di questa critica. 

Ammettendo nella seriazione del Vuillemin le corrispondenti lacune (hiatus), è 
diffìcile il provare che esse costituiscano i corrispondenti gruppi convenzionali delle 
nostre classificazioni. E da supporre, che là dove questi hyatus saranno piccoli fra 
gruppo e gruppo, ivi le differenze fra essi dovrebbero essere minori; dove invece 
Y hyatus sarà un vero abisso, non dovrebbe rimanere fra anello e anello che un lie- 
vissimo vestigio o nessuno dei caratteri, che li legavano, perchè molto più numerosi 
sono i termini soppressi. Or bene si può dire che questi vacui e questi gruppi cor- 
rispondano alle nostre classificazioni ? Mi pare di no ! E difatti noi abbiamo detto 
più sopra come molti generi siano fra loro più vicini strutturalmente, che noi siano 
talvolta le specie in essi comprese paragonate fra loro. Per es. è certo più diffe- 
rente la Stirps del T. alpinum da quella del T. scabrum, di quello che noi sia la 
grande circoscrizione dei Trifogli dalla grande circoscrizione delle Trigonelle o dei 
Melilotus. 

Dove l'Autore dice giusto, secondo me, è allorquando scrive che spesso i gruppi 
sono mal formati. Ma il difficile sta nel provare che un dato gruppo è più naturale 
se ordinato coi caratteri che l'Autore vuol dedurre dallo studio anatomico della foglia, 



RIVISTA CRITICA DELLE SPECIE DI TRIFOLIUM ITALIANE 



237 



piuttosto che con quelli comunemente dedotti dal fiore. Può darsi che essi vadano 
di pari passo; ed allora ne guadagnerà la naturalezza della categoria. Ma quando 
essi si troveranno in opposizione, con qual dritto si dovrà dar la preferenza agli uni 
piuttosto che agli altri ? Dirò più avanti quale sia il requisito , che i caratteri (di 
qualunque specie essi siano) debbono avere perchè siano preferiti; ma per ritornare 
alle idee dell'Autore sull'affinità delle specie io citerò ancora un brano del suo libro 
(pag. 3). " Une classification est naturelle quand elle groupe les espèces de facon à 
" les rapprocher en raison divede de leur parenté. Le terme parente, employé de tout 
" temps dans un sens abstrait, a pris une acception définie avec la doctrine transfor- 
" miste. Dans ce sens la classification naturelle doit étre généalogique. S'il en est ainsi 
u Yaffinité n'est plus la base divede de la classification naturelle, pas plus que la res- 
" semblance de deux hommes ne suffit à démontrer leur consanguinéité ; elle n'a de 
u valeuv quautant qu'elle est l'indice de la filiation. L'affìnité positive ou negative permet 
" de séparer ou de réunir les espèces dans des cadres de diverses catégorics; mais 
" elle ne nous renseigne pas sur les rapports réels de ces cadres (!). Tandis que l'affìnité 
" est basée sur la constatation des caradères concordants, la filiation doit reposer sur 
" la rédudibilité des caradères différents „. 

Da questo periodo si rilevano anzitutto due cose: 1° che il trasformismo avrebbe, 
secondo l'Autore, definito finalmente il senso del vocabolo parentela, che, per mio conto 
almeno, ha sempre avuto un significato abbastanza concreto. Ma in qual modo sarebbe 
definito ? ammettendo che la classificazione naturale deve esseve genealogica, e per questo 
motivo, secondo l'Autore, l'affinità non sarebbe più la base della classificazione. In 
altre parole, e per prendere un esempio pratico: se questo dovesse verificarsi per 
la sistemazione delle specie, noi non avremmo più il diritto di riunire nello stesso 
quadro (Stirps) il T. alpinum p. es. col T. polyphyllwm, finché non ci sia possibile 
dimostrare, altrimenti die coi caratteri attuali di rassomiglianza, che questi due esseri 
sono proprio discesi dallo stesso ceppo. E siccome il rimontare per l'oscura notte 
dei secoli ci è per ipotesi non concesso, e d'altra parte non ci si concede di trar 
partito delle affinità morfologiche, se non come di una guida mal sicura ed empirica, 
così ognun vede, come di questo passo sia semplicemente annullata ogni sistema- 
zione, perchè non è possibile di giudicare della parentela di due forme altrimenti che 
colla concordanza dei loro caratteri strutturali. 2° Il Vuillemin ha detto, che se la 
classificazione naturale deve essere genealogica , l'affinità non è più la base della 
classificazione, allo stesso modo che la rassomiglianza di due uomini non basta a 
dimostrare la loro consanguineità. Ma o io sbaglio o qui siamo di fronte ad un so- 
fisma. Anzitutto il paragone fra due uomini e due specie o due generi non regge. 
Tanto varrebbe pretendere che due piante per es. di Trifolium diffusum uscite dalla 
fecondazione di due ovoli di uno stesso legume dovessero per questo motivo svilup- 
parsi in modo da essere sovrapponibili; ed esse non appartengono perciò meno al 
genere Trifolium. E d'altra parte, se la rassomiglianza di due uomini non prova la 
loro consanguineità, è certo che talvolta la discrepanza delle loro linee è lungi dal 
provare che essi non siano consanguinei. Ma a parte ciò, se l'affinità non ha valore 
che in quanto essa è l'indizio della filiazione, e poiché la filiazione presuppone ed im- 
plica l'ereditarietà, e poiché tra caratteri ereditarii e di adattamento è spesso diffi- 
cile pronunciarsi, e finalmente poiché i caratteri acquisiti si trasmettono per eredità, 



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S. BELLI 



io non giungo a capire perchè la rassomiglianza di due forme non si debba in ogni 
caso ritenere come V espressione di un nesso genetico qualsiasi , senza essere costretti a 
supporre l'origine non fìletica di queste affinità. 

Se dunque l'affinità non è sempre conseguenza della discendenza diretta od in- 
diretta di che cosa sarà la conseguenza ? Ed ammesso che essa possa essere la con- 
seguenza di un accidentale ravvicinamento di due esseri originariamente differenti, 
chi è colui che potrà con sicurezza dire, quando si ha a che fare con una consan- 
guineità vera o con una apparente dal momento che i caratteri che ci servono di 
guida sono gli stessi in ambidue i casi? 

E egli possibile stabilire delle categorie di caratteri corrispondenti, che servano 
a rivelare quando due forme sono o non sono parenti ? Evidentemente no ! Io non 
potrò mai comprendere l'opposizione assoluta fra caratteri filetici ed epharmonici 
stabilita dal Vesque. 

Secondo Vuillemin l'affinità positiva o negativa permette di separare o di tener 
riunite le specie nei quadri di diverse categorie, ma essa non ci dà notizia alcuna 
sui rapporti reali di questi quadri. 

Esisterebbero, secondo l'Autore dunque, due specie di affinità, la negativa e la 
positiva. Quest'ultima si capisce: la prima non può essere che la negazione di ogni 
rassomiglianza; la seconda è rappresentata dai caratteri concordanti, la prima dai 
caratteri differenti i quali sono passibili di una riducibilità. Ma è evidente, che se 
la concordanza dei caratteri può far riconoscere il nesso fra specie e specie, la ridu- 
cibilità dei caratteri discordi potrà far riconoscere una lontana affinità fra genere e 
genere, tra famiglia e famiglia; ma non potrà applicarsi alla sistemazione delle unità 
tassonomiche di ordine inferiore. E se le caratteristiche basate sulle rassomiglianze, 
usate da Linnè ai giorni nostri per raggruppare le specie sono rapporti fittizii, quali 
saranno e in qual parte del vegetale converrà ricercare i rapporti reali che l'affinità 
non è capace a rivelarci secondo l'Autore ? 

La prova di quanto dicemmo più sopra sull'influenza nulla che per la sistema- 
zione delle specie deve esercitare lo studio di un phylum è questa: che ogni esempio 
pratico, presentato dal Vuillemin a sostegno delle sue asserzioni, è tolto dalla con- 
siderazione di apparati o di sistemi di organi isolati, i quali debbono essere natu- 
ralmente enormemente variabili , essendo in certo modo gli strumenti dei quali il 
vegetale si serve per raggiungere la sua definitiva forma e costituzione. A tale cate- 
goria appartengono tutti i caratteri desunti dall'organizzazione della foglia, e dei 
suoi accidenti di superficie, come l'apparato stomatico, il cribro-vascolare, il paren- 
chima e l'apparecchio accumulatore. Ognun vede a prima giunta quale applicazione 
enormemente vasta debbono aver simili caratteri, e quanto le influenze del mezzo, 
debbano influire su di essi; ne per quanto si sforzi l'immaginazione si giungerà a 
capire, come la sclerosi di un periciclo possa venire in aiuto a rischiarare i rapporti 
genetici di due specie controverse od anche di due generi. 

Chi voglia p. e. basarsi solo sulla configurazione esterna delle foglie per classi- 
ficare i grandi gruppi delle Leguminose, farebbe certo opera vana. Ma è illusorio il 
supporre che l'anatomia di essa possa servir meglio a quello scopo. Che lo studio isto- 
logico della foglia, al pari di quello del fiore, possa rischiarare il phylum di un gruppo 
cioè la sua discendenza o consanguineità coi gruppi vicini nessuno mette in dubbio ; 



RIVISTA CRITICA DELLE SPECIE DI TRIFOLIDM ITALIANE 



239 



ma che poi il risultato pratico discenda fino all'ordinamento dei generi e delle specie, e 
possa portar luce su qualche specie controversa, è quanto mi permetto di porre in dubbio. 

Lo esame anatomico meravigliosamente accurato dei caratteri della foglia ha 
condotto il Vuillemin a stabilire tre generi nuovi Poclostemma , Lotopsora e Pseudo- 
sophora, tolti dai G. Astragalus, Psoralea e Sophora, ed in forza di caratteri quali la 
presenza o l'assenza delle emergenze nodali o stipolari, l'esistenza dei cristalli aci- 
culari nel libro, lo sviluppo dei tanniferi attorno al legno dei fasci, i peli flagel- 
liferi, ecc. 

Ammesso che questi caratteri siano in sè e per sè migliori od equipollenti a 
quelli che formano il substratum delle classificazioni comuni, resta a sapere se loro 
equivalgano nella costanza, e se un'esperienza di coltivazione in ambienti diversi per 
suolo, nutrizione, esposizione, ecc., non possa modificare questi dati, che sembrano 
troppo legati colla funzione vegetativa dell'organismo vegetale. 

L'Autore discutendo l'opposizione dei caratteri filetici cogli epharmonici stabiliti 
dal Vesque così prosegue (p. 4): 

" Dans cette théorie si une piante possedè des caractères phylétiques c'est uni- 
" quement parce que ses ancétres les possédaient et les lui ont transmis. Mais pour- 
" quoi les ancétres en étaient-ils dotés? Il n'y a que deux réponses possibles à cette 
" question. Puisque aucun caractère de forme extérieure ou de structure n'est iden- 
" tique à lui-mème dans toute la serie vegetale, chaque particularité a fait son ap- 
" parition à un stade plus ou moins ancien de la phylogénie. Il faut donc ou que 
" les caractères phylétiques aient apparu sans motif à un moment donne, ou qu'ils 
" se soient produits par adaptation et maintenus par sélection, conformément aux 
" lois de revolution. 

" On ne peut sortir de ce dilemme. La première alternative est simplement la 
" négation du transformisme; car elle suppose des catégories indèpendantes, définies 
" par les caractères phylétiques et offrant des modifications de détail plus ou moins 
" étendues. Chacune de ces catégories immuables serait alors la véritable espèce, dont 
" les limites seraient par le fait démesurément élargies; les propriétés épharmoniques 
" caractériseraient de simples variétés. Dans la seconde alternative les caractères 
" devenus héréditaires ont d'abord été variables, et ces variations ont été provoquées 
" elles aussi par le milieu „ . E già nella Prefazione a questa sua pregevolissima opera 
(pag. vi) l'Autore scriveva: " Les caractères faciles à voir à l'oeil nu sont surannés, 
" les caractères anatomiques sont infìdèles; la subordination des uns et des autres 
" est un vain mot. La principale cause de ce malaise est peut-ètre l'inconséquence 
" de la pluspart des Botanistes qui, tout en proclamant à l'envi les principes trans- 
" formistes, considèrent chaque caractère cornine une entité immuable et de valeur 
" constante „. 

Se da una parte ripugna il pensare, che i gruppi che noi vogliamo stabilire col 
nome di Stirpes sono delle categorie immutabili, altrettanto poco ci riesce di capire 
come i caratteri " d'abord variables „ e " devenus héréditaires „ non godano, con questo 
cambiamento, di una fissità relativa (che in un certo senso e fino ad un certo punto 
potrebbe paragonarsi alla fissità assoluta delle categorie immobili più sopra citate dal 
Vuillemin), la quale permetta di riconoscere ad un dato momento per mezzo loro 
una parentela di grado diverso fra i vegetali che compongono un gruppo. 



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S. BELLI 



Il rimprovero però che i sostenitori del trasformismo scagliano a coloro che 
ancora credono al motto tot species sunt quot creatae fuerunt mi pare un coltello a due 
tagli. Poiché, se non è ammissibile la fissità delle categorie, ci pare anche inammis- 
sibile la loro continua mobilità, che distruggerebbe ogni tentativo di classificazione. 
Ed il periodo più sopra citato del Vuillemin potrebbe ben trasformarsi in quest'altro: 
" La principale causa di questo guaio è forse l'inconseguenza dei botanici, che pro- 
clamando il trasformismo si mettono nella condizione di dover segnare i limiti della 
durata di ogni successiva forma, e naturalmente non ci riescono „. D' altra parte 
il Vuillemin stesso ammette dei caratteri d'abord variables devenus héréditaires. Ora, 
si può domandare, per quanto tempo dura questo carattere cosi ereditato? Forse 
finche durano le circostanze " provoquées par le milieu „ ? 

Neppur questo mi persuade. 

È noto dai lavori dell'Hackel sulle Festuche d'Europa, per citare un solo esempio, 
che certi caratteri non sentono l'influenza del mezzo in cui vivono, ed è appunto su 
questi caratteri, i quali mostrano una costanza grande nelle loro manifestazioni este- 
riori, che Hackel ha gettate le basi del suo lavoro modello , dimostrando precisa- 
mente che la loro specificità è in ragion diretta della resistenza, che essi oppongono 
alle cause esteriori, che tendono a farli variare. Egli è perciò che, secondo me, sarà 
lavoro eminentemente proficuo del tassonomo quello, che parte da un simile indirizzo, 
e questo deve essere il requisito di cui più sopra ho parlato, e che fa sì che i ca- 
ratteri di una categoria debbano avere il sopravvento su quelli di un'altra, allorché 
nel raggruppamento delle forme essi si trovano in opposizione. 

L'obbiezione capitale, che si suol comunemente fare a queste considerazioni, è: 
che la fissità dei caratteri constatabile nell'attualità, quali dominanti di una categoria, 
è una fissità molto, troppo relativa, quando si pensi all'enorme spazio di tempo che 
costituisce già solo un'epoca geologica. E contro quest'obbiezione nulla si può opporre. 

Però le cause che fanno variare questi caratteri agiscono troppo lentamente, 
perchè non possa esere concesso di pensare ad una certa costanza (relativa certo di 
fronte alla successione dei secoli od anche solo di un'epoca geologica) ma abbastanza 
assoluta nell'epoca attuale, perchè essa possa permettere un'applicazione pratica. Del 
resto della fissità o della mobilità delle specie si potrà a tutto rigore dir quello, che 
il Vuillemin con tutta ragione scrive della teoria che vede nel cauloma un semplice 
aggregato di decorrenze fogliari, o della teoria inversa secondo la quale la foglia 
non è che un'espansione del fusto ; si può dire cioè che questa questione ricompa- 
rirà e scomparirà periodicamente, perchè nessuno potrà mai materialmente dimostrare 
l'una o l'altra cosa. 

Ma per poco che essa duri è sempre una fissità, ed è indipendente attualmente 
dai mezzi in cui il vegetale cresce. E si può d'altro canto semplicemente dire, che una 
difficoltà del pari enorme si presenta a coloro che pretendono sostenere la continua 
mobilità dei caratteri; cioè quella più sotto accennata che è loro impossibile lo stabi- 
lirne le modalità ed i limiti, coll'aggravante di essere costretti a distruggere ogni 
tassonomia. 

Ciò non di meno il Vuillemin mette innanzi come una prova dell'indiscutibilità 
della teoria transformista il fatto, che nelle Papilionacee alcuni caratteri, che sono 
considerati come i più insensibili agli agenti fisici, vengono a variare e quindi " les 



RIVISTA CRITICA DELLE SPECIE DI TRIFOLIUM ITALIANE 



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" limites de la réductibilité des espèces sont reculées bien au delà du terme défini 
" par les caraetères épharmoniques „ (pag. 4). E continua (pag. 5) con queste pa- 
role: " A vrai dire on pourrait definir les caraetères phylótiques; des propriétés 
" morphologiques dont la raison d'étre n'a pas encore été déterminée. C'est une 
" catégorie par trop subiective pour devenir le fondement de la taxinomie de l'avenir „. 

Mi pare che esista in questo periodo un altro malinteso. Il limite dei gruppi 
(generi, specie) dato dai caratteri efarmonici può essere mal definito da una imper- 
fetta conoscenza o da uno studio incompleto dei gruppi stessi: potrà allargarsi o 
restringersi, ma un limite deve pure esistere anche a detta dell'Autore. Ora , se i 
caratteri filetici, cioè i caratteri ereditarli, sono delle proprietà morfologiche la cui 
ragione di essere non è per anco stata determinata, e costituisce una categoria troppo 
soggettiva perchè possano divenire il fondamento della tassinomia dell'avvenire, io mi 
domando quale scopo si sia prefisso l'Autore nel suo lavoro sul Philum delle An- 
thyllis all'infuori di una semplice enumerazione delle consonanze e delle differenze 
istologiche della foglia delle Antìiyllis colle altre Leguminose, e a quale altro criterio 
debba improntarsi la tassinomia futura? 

L'Autore chiude la sua opera con un periodo che qui cito parzialmente (p. 330) : 

" Chaque caractère tire de l'organisation de la feuille a une dignité variable 
" suivant le niveau considerò de ce groupe soumis à une active évolution qui cons- 
" titue le phylum des Anthyllis. Faut-il pour cela considérer la structure foliaire 
" comme moins digne d'attention que la morphologie florale? Assurement non ; car 
" les propriétés de la fleur ne sont pas plus invariables. Pour n'en citer qu'un exemple: 
" la monadelphie, V articulation du legume, bases essentielles de la classifìcation des Papi- 
" lionacées ont acquis à ce stade critique de la phylogénie une incostance qui les place 
" au dessous du mode d' épaississement du flagellum ou de V existence des poils glanduleux 
" bien qu'elles se soient intégrées d'une facon si parfaite chez les vraies Hédysarées 
" ou chez le Grénistées „. 

Data e concessa la maggior costanza dell'ispessimento del flagello e l'esistenza 
dei peli glandolosi nelle Leguminose in confronto dei caratteri fiorali, ne nascerebbe 
che non più questi ma bensì quelli dovrebbero costituire il criterio di raggruppamento 
della famiglia. E se questi caratteri si riconoscessero domani identicamente costanti 
in confronto di tutti gli altri che determinano oggidì la famiglia delle Rosacee, sa- 
rebbe d'uopo allargare la circoscrizione delle Leguminose includendovi le Rosacee e 
via via. Ognun vede dove di questo passo si va a finire per quanto legalmente. Ma 
ammesso pure questo allargamento, si può dire che la circoscrizione così stabilita 
sia più naturale di quella che raggrupperà i nuclei esistenti in ciascun genere cioè 
le nostre Stirpes? E saranno proprio il flagello ed i peli glandulosi che staranno a 
prova di un antico legame naturale, genetico, certo, fra le Rosacee e le Leguminose? 
o non saranno piuttosto quei rapporti ben più fìttizii di quelli che , tolti dal com- 
plesso delle species, verranno a costituire le vere unità tassonomiche cioè le Stirpes? 

Il minimo dettaglio di struttura, scrive infine il Vuillemin, " può divenire carat- 
teristico di una categoria estesa purché abbia raggiunto un grado sufficiente di palin- 
genia nel gruppo considerato „. Ed in ciò siamo perfettamente d'accordo. Ma appunto 
perchè estesa, la categoria non può sempre essere l'espressione di un raggruppamento 
naturale. Per es. la pubescenza dei petali è caratteristica validissima di una Stirps ap- 

Sekie II. Tom. XLIV. f 1 



242 



S. BELLI 



partenente alla sezione Lagopus (Tricoptera) ; questo è un rapporto evidentissimamente 
di affinità di parentela fra le specie che compongono questa Stirps. Invece il legume 
villoso è carattere proprio di una quantità di specie, le quali appartengono certa- 
mente a diverse Stirpes. Il primo è un rapporto reale, il secondo è fittizio e tutti e 
due sono basati su di un carattere identico, la presenza dei tricomi sugli organi. Il 
primo carattere deve evidentemente essere filogenetico per quelle specie: il secondo no. 

Non sarà fuor di luogo il dire qui anche due parole in proposito delle idee esposte 
dal D 1 ' Terracciano (1) sui rapporti sistematici delle forme di un genere qualsiasi. 

Scrive il D r Terracciano : " Per me tipi e gruppi e stirpi e specie, ecc., ecc., per 
quanto unità relativamente concrete, prese cosi di per se sole, hanno sempre valore 
filogenetico considerate l'una rispetto all'altra. I loro rapporti sistematici abbracciano 
quindi un insieme di caratteri morfologici e geografici, onde spesso alcuni possono 
non interessare la tassinomia rivolta allo scopo di far conoscere le piante nel com- 
plesso loro più o meno generale ; altri, e sono i più, porrebbero nella mente quella 
gran confusione, che dal frazionamento e dallo sminuzzamento delle forme ricercate 
a stabilire le affinità suole sempre seguire. Il Prof, (ribelli, della cui affettuosa ami- 
cizia mi onoro, conosce la stima ch'io abbia delle sue idee per sapermi voler male 
se in un campo così vario e subiettivo un poco mi discosti dal suo modo di vedere, 
allargando cioè o restringendo la significazione alla nomenclatura da lui proposta „. 

Le mie brevi osservazioni allo scritto del D r Terracciano avrebbero dovuto veder 
la luce molto prima d'ora, se me ne fosse venuta l'occasione che ora mi si presenta, 
lontanissimo dal voler iniziare una polemica qualsiasi su questo soggetto, ma unica- 
mente perchè mi pare che, o il D 1 ' Terracciano non ha ben afferrato le idee del 
prof, (ribelli, che sono anche un poco le mie, come si vede dal titolo dell'opera, 
ovvero che noi non ci siamo abbastanza chiaramente spiegati. 

Noi non abbiamo messo mai in dubbio che le stirpes (e le species che le com- 
pongono), per quanto unità relativamente concrete non siano filogeneticamente legate 
le une alle altre, ma questo non abbiam detto mai dei gruppi in generale e soprat- 
tutto delle sezioni, cioè di categorie artifìcialissime, che possono essere, anzi di solito 
sono fatte ad arbitrio per facilità di sistemazione, e non rappresentano dei nuclei 
affini. Se si vuol far entrare il nesso filogenetico nelle sezioni, converrà intenderlo 
nel senso in cui il Vuillemin intende il phylum universale, che raggruppa tutti gli 
esseri viventi. 

In altre parole nel genere Trifolium non crediamo che un nesso filogenetico 
leghi per es. le Amorie ai Lupinaster, pel solo fatto che il vessillo è libero o quasi 
in tutte e due le sezioni; mentre siamo più che persuasi, che un vero nesso di con- 
sanguineità (mi si passi la parola), corre p. e. fra il Trifolium nervulosum Boiss. 
e tutte le specie della Stirpts Glandulifera, quantunque al primo manchi uno dei 
caratteri posseduti dalle altre specie, cioè il collaretto involucrante del capolino, mentre 
tutte le altre note concordano. 

E per lasciare un poco le vedute soggettive, come le chiama il D 1 " Terracciano, 



(1) L Malpighia „, Anno III, voi. Ili, p. 297 (in nota) e seg.: Dell' AÌYmm. Rollìi e delle specie 
affini (1889). 



RIVISTA CRITICA DELLE SPECIE DI TRIF0L1DM ITALIANE 



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nelle quali è spesso difficile accordarsi, sarà bene di scendere un momento nel campo 
pratico della sistemazione delle forme, dove le vedute soggettive devono trovare una 
corrispondente applicazione sotto pena di non intendersi più. 

La filogenesi entra a costituire l'ordine diremo così ontologico dei diversi gruppi; 
la loro ordinazione pratica fa parte dell'ordine del sensibile e del reale : si può cioè 
essere incerti sulla via probabile, cbe le attuali forme hanno seguito per essere quello 
che sono, ma non vi può essere gran diversità di vedute nello stabilire il valore 
dei vocaboli che si usano per definire i gruppi oggidì esistenti, dal momento che 
questi vocaboli hanno avuto prima di noi ed hanno tutto dì un significato. 

Questo ragionamento prende a tutta prima l'aspetto di un paradosso ; avvegnaché 
questa benedetta filogenesi dei gruppi non si possa in ultima analisi in altra maniera 
dedurre, che studiando i rapporti di forma dei vegetali fra loro ; ma non è meno 
vero che tutte le classificazioni hanno un lato in certo modo artificiale, ed almeno 
*in questa bisogna, oggettiva fin che si vuole, è d'uopo accordarsi (1). 

Ed è in questo campo che io vorrei vedere mantenuto fino al limite del possibile, 
il parallelismo dei valori; questa è, volere o no, la sola via per giungere a stabi- 
lire i gradi di dignità corrispondenti al nesso genealogico presupposto. 

Così si andrà contro alla confusione, dalla quale il D r Terracciano giustissima- 
mente rifugge, ed a questo scopo molti litografi moderni (Hackel, Burnat, Naegeli, 
Christ Haussknecht, ecc.), hanno rivolto le loro più amorose cure. 

Conviene insomma addivenire ad una specie di casellamento delle forme, subor- 
dinate alla Stirps, nel quale sia evidente, che p. e. la forma a dipenda dal gruppo 
di ordine superiore A, per la stessa ragione per cui la forma b appartiene al gruppo 
di ordine superiore B, e nei quali si possa sempre controllare (mi si perdoni il bar- 
barismo) la costanza, il numero ed il valore dei caratteri similari usati a stabilire 
questi rapporti. 

Spesso invece nel lavoro del D r Terracciano si trovano usate espressioni come 
la seguente: " la forma A passa per la forma B, ecc. „. Ora con questa semplice 
espressione non si può capire se la forma A passi vicino o lontano pei suoi carat- 
teri dalla forma B e paragonata con un'altra forma corrispondente collaterale. 

Così pure l'espressione grafica dei nessi strutturali delle diverse specie, sotto- 
specie e varietà, come vien trattata nel lavoro sull'Allium Bollii, non ci pare possa 
renderli chiari, poiché essi non esprimono la differenza eli valore dei legami, ma 
costituiscono un aggruppamento, mutuo o no, ma uniforme. 



(1) Per spiegare meglio con un altro esempio questa specie di indipendenza della tassinomia 
delle forme attuali dalla filogenesi, mi servirò di un gruppo di Trifogli già altra volta utilizzato 
nella Prefazione ai Lagopus. — Il T. dalmaticum, che, secondo noi, sta oggidì ad uno dei capi della 
Stirps Scàbroidea, avrà forse appartenuto ad un tipo un tempo più differente dal T. scabrum; e le 
differenze che lo separano oggidì da questa specie, avranno potuto essere di gran lunga meno valide 
delle analogie, che lo legavano ad un tipo scomparso, cosicché se noi potessimo oggi vedere quelle 
forme, forse il T. dalmaticum farebbe parte di un'altra Stirps. Ma così come oggi stanno , noi non 
possiamo far a meno di riunire il T. dalmaticum al T. scabrum nella stessa Stirps, per quanto essi 
stiano ai due poli della circoscrizione , ed abbiano il T. lucanicum che li collega da un lato solo , 
mentre l'altro lato è quello dove il T. dalmaticum non ha rapporti con nessun'altra forma. 



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S. BELLI 



Anzitutto poi è ncessario partire, nella nomenclatura, dalle definizioni delle se- 
riazioni; e questo è stato per noi un lavoro altrettanto necessario quanto faticoso. 
E si capisce che per allargare o restringere (sono parole del D r Terracciano) le idee, 
che altri può aver espresse in un processo tassinomico , conviene anzitutto farsene 
un concetto esatto e dare la definizione esatta delle modificazioni che vi si introdu- 
cono. E poiché ci siamo, comincierò dalla definizione che il D r Terracciano ha dato 
della Stirps (p. 298). Eccola: 

" Il gruppo ed i sottogruppi, per quanto idealmente, concretizzano un complesso 
di caratteri generali riconoscibili nel tempo e nello spazio fra tutto il differenzia- 
mento morfo-geografico, a cui andarono soggette le molteplici loro forme ; nelle quali, 
se essi genericamente una per una si adattano, specificamente non vi sono compresi, 
sì da poterne essere rappresentati. Invece quando, stabilito un carattere, ad esso 
altri si aggiungono, per modificare ed affermare un assieme di forme entro certi 
confini morfologici ed in rapporto all'ambiente considerato o quale mezzo presente 
di evoluzione, o termine di evoluzioni da epoche più remote ed in rapporto alle con- 
dizioni inerenti al loro quale che siasi ciclo biologico, sorgono le Stirpes „. ?? 

Io confesso ingenuamente che non ho potuto capire questa definizione. Non do 
la colpa ad altri di questa mia insufficienza; ma osserverò soltanto che da Spring a 
Ncegeli esiste la definizione della Stirps molto più semplice, con un significato chia- 
rissimo, che noi abbiamo cercato di precisare ancora meglio nella Prefazione ai " La- 
gojms „, e che ognuno che l'usa ha il dovere di discutere, dato che ne alteri il 
significato, o lo allarghi, o lo restringa. La definizione della Stirps è questa: Un 
complesso di entità che hanno uno stampo comune ; che probabilissimamente hanno avuto 
un'origine comune dimostrabile nell'attualità, e che si rassomigliano fra loro così da 
costituire un vero nucleo quasi sempre ben separato dalle altre Stirpes della sezione a cui 
esso appartiene, ed i cui caratteri sono inegualmente distribuiti nei membri che lo compon- 
gono, originando così i diversi gradi di dignità che esso comprende, species, subspecies, 
varietates, ecc. Questa definizione non differisce sostanzialmente da quella una volta 
attribuita alla Specie Linneana se non per ciò, che essa è basata sull'esistenza di un 
complesso di caratteri, e permette una certa oscillazione degli elementi che la costitui- 
scono; mentre la definizione Linneana della specie implicava una fissità disperante 
delle forme. 

Definito così il significato di Stirps era compito del D r Terracciano il dire dove 
questo significato era allargato e dove ristretto. Farò io invece un breve esame della 
sua seriazione in confronto colla nostra. 

Al di sopra della Stirps sta per noi la Sezione che abbiamo detto essere una 
circoscrizione artificiale. Pel D r Terracciano sta invece il Typus (p. 304) che è un 
sottogruppo (p. 298), corrispondente alla nostra Sezione, perchè basato su di un solo 
carattere {Typus monoumbellatus e Typus biumbellatus). 

L'Autore conviene qui di aver usato impropriamente questo vocabolo, che ha 
un significato troppo preciso (cioè modello, stampo), per significare invece una grande 
casella, che comprende essa stessa dei tipi diversi. Non insisteremo più oltre su 
questa improprietà di nomenclatura già sconfessata dall'Autore. 

Al di sopra del Typus sta pel D 1 ' Terracciano il prototypus e nella nostra seria- 
zione al di sopra della sezione sta il Genere. 



RIVISTA CRITICA DELLE SPECIE DI TRIFOLIUM ITALIANE 



245 



Che cosa sia il suo prototypus, il D r Terracciano non spiega: aggiunge però fra 
parentesi (Prototypus = typus sensu vero). 

Ma il guaio è che nel grande quadro degli Allium, in fondo al lavoro, la parola 
prototypus non esiste più nella seriazione, mentre vi è nuovamente riprodotta la pa- 
rola Typus; e, quello che ci sorprende è di vedere assieme riportato i vocaboli Sectio 
e Subsectio. 

In questo caso le parole Sectio, Subsectio, Typus avrebbero lo stesso significato 
ed almeno una sarebbe di troppo. 

La divisione che corrisponde al Typus monoumbellatus è ben equivalente nel 
concetto sistematico alla sezione " Crommium „ e Subsectio Porrum, Boiss. „. 

Come si vede è difficile capire, il dove, il come , ed il perchè l'Autore abbia 
allargato o ristretto il concetto da noi esposto nel lavoro sui Trifogli. Soprattutto 
risulta chiaro, che il nesso filogenetico, che correrebbe per es. fra i membri della 
Stirps " Descendens „ è un vero nesso di affinità, mentre è chiaro che i due typus: mono- 
e biumbellatus comprendono delle Stirpes diverse, ed il nesso filogenetico, fra quelle 
sezioni non è certo dello stesso valore di quello che stringe fra loro i membri delle 
diverse Stirpes. 

Creando poi la parola Prototypus l'Autore pare abbia voluto designare il capo- 
stipite di una discendenza. Ma il capo-stipite di una discendenza si può supporre 
esistente in una Stirps secondo le nostre idee, non in una Sezione, basata su di un 
carattere solo : che tale sarebbe il Typus del D r Terracciano. Noi però abbiamo ri- 
nunciato a stabilire, quale delle species di una Stirps debba venir designato come 
tipo o capo-stipite : perchè è semplicemente impossibile il saperlo. Nell'ambito della 
Stirps tutti i caratteri sono rappresentati da una o più forme (species); o solo in 
parte (subspecies), ma non è possibile dire quale di esse è direttamente il rappresen- 
tante primo dell'evoluzione di una forma tipica. 

Questi sono i punti controversi che io avrei voluto vedere discussi dal D r Ter- 
racciano, facendo un parallelo accurato dei suoi valori sistematici con quelli già usati 
in tassinomia, per es. coi valori stabiliti dall'immortale Decandolle nel Congresso 
Botanico di Ginevra, quando non avesse voluto fermarsi alle nostre classificazioni. 
Ma finche non si faranno questi paralleli, non potremo a meno di deplorare che si 
introducano nella nomenclatura dei vocaboli , che hanno un'influenza dannosissima, 
tanto più quando sono stati adoperati da altri in altro senso, ovvero quando espri- 
mono un significato opposto alla loro natura. 

Mi permetto ancora un'ultima osservazione alla nota posta a pag. 297 della 
Malpìghia. L'Autore parlando delle stirpi, gruppi, specie, ecc., scrive, che i loro rap- 
porti genetici " abbracciano un insieme di caratteri morfologici e geografici , onde 
spesso alcuni possono non interessare la tassinomia, rivolta allo scopo di far cono- 
scere le piante nel complesso loro più o meno generale; altri, e sono i più, porreb- 
bero nella mente quella gran confusione, che dal frazionamento e dallo sminuzzamento 
delle forme suole sempre seguire „. 

Secondo l'Autore esisterebbero dunque due specie di caratteri , morfologici e 
geografici. Io confesso che non giungo a farmi un'idea di un carattere geografico in 
astratto. Il carattere geografico per me si confonde senz'altro col carattere morfo- 
logico o, a dir meglio, il secondo può essere una dipendenza ed un'espressione del 



246 



S. BELLI 



primo. Vale a dire che a seconda della sua ubicazione una forma qualsiasi potrà 
modificare la sua struttura. In tal caso, come è possibile che vi siano dei caratteri 
morfo-geografici, che possono non interessare il tassonomo? 

In quanto essi sono caratteri avranno un valore più o meno grande a seconda 
dell'importanza dell'organo e soprattutto della costanza loro, ed allora serviranno a 
scopo tassinomico; potranno essere variabili estremamente, anche in uno stesso in- 
dividuo ed allora si trascurano. Quali siano poi i caratteri, che possono esser causa 
di gran confusione nella mente di chi si accinge ad un lavoro di sistemazione nep- 
pure giungo a capire, come non mi riesce di afferrare il concetto filogenetico tal 
quale è espresso nel lavoro dell'Autore. Ho cercato nel lavoro da lui citato in nota 
a pag. 304 della Malpighia cioè: Le Viole italiane della Sezione Melanium " N. G. 
Bot. Ital. „, Voi. XXI (1889) qualche schiarimento su queste idee; ma con mio rin- 
crescimento non ho trovato che un solo periodo, quello con cui l'Autore chiude la 
memoria, e che non mi è parso più chiaro degli altri. Discorrendo delle viole egli 
così finisce (p. 328): " Quale di tutte il prototipo, come nel tempo e nello spazio si 
siano differenziate, quanto spetti alla plasticità, sia in rapporto con tipi anteriori e 
con altri futuri, dirò in lavoro di maggior momento, di cui queste idee non sono che 
il riepilogo più breve il quale abbia saputo farmi „. 

Qui il prototipo è nuovamente messo in serie. Ma per me trovo che se è cosa 
molto problematica il sapere come nel tempo e nello spazio una Stirps si sia diffe- 
renziata, mentre è possibile studiarla tale quale oggidì si presenta, riesce poi asso- 
lutamente al di sopra di ogni immaginazione il figurarsi quanto la plasticità di un 
genere possa essere in rapporto con tipi futuri. 

Non mi vorrà male, spero, l'egregio D r Terracciano se, a molti che mi parvero 
voli di ardita fantasia, io ho opposto la fredda logica dei fatti, anche a costo di averne 
taccia di pedante. Nè creda, che il divergere completamente dalle idee sue sogget- 
tive, voglia significare un dubbio sull'esattezza delle sue osservazioni sul genere 
Allium o sul genere Viola, dei quali non ho che limitatissima conoscenza. Mio solo 
scopo in questa breve critica è stato quello, come già dissi di far sì, che le nostre 
idee esposte nella Prefazione ai " Lagopus „ non venissero fraintese da chi, per av- 
ventura non conoscendola, avesse voluto o dovuto farsene un concetto dall'esposi- 
zione sistematica del D r Terracciano sul Gr. Allium. 



RIVISTA CRITICA DELLE SPECIE DI TRIFOLIDM ITALIANE 



247 



LUPINASTER (Buxbaum) 



Buxbaum Nova pi. Gen. (in Comment. Acad. Se. Imper. Petrop. Tom. II, p. 345 
(1729) — Mcench Suppl. ad Meth. pi. etc. Voi. II, p. 50 (1802) — Link Enum. pi. 
R. H. Berol. Voi. II, p. 260 (1822) — Seringe in DC. Prodr. Voi. II, p. 203 (1825) 
p. p. — Duby Bot. Gali. Voi. I, p. 135 (1828) p. p. — Presi Symb. Bot. Voi. I, 
p. 46 (1832) p. p. — Rchbch. FI. Exc. Voi. II, p. 495 (1832) p. p. — Endl. Gen. 
pi., p. 1268 (1836-40) — Puccinelli Syn. PI. Agr. Lue. Voi. I, p. 371 (1841) — 
Endl. Enchyr. Bot., p. 668 (1841) — Ledeb. FI. Ross. Voi. I, p. 551 (1842) — Koch 
Syn. FI. Germ. et Helv. Voi. I, p. 90 (1843) — De Vis. FI. Dalm. Voi. Ili, p. 300 
(1850) — Koch Syn., ediz. III a , p. 149 (1857) — Benth. et Hook. Gen. PI., p. 488 
(1862-67) — Fuss FI. Transsilv., p. 162 (1866) — Boiss. FI. Or. Voi. II, p. 112 
(1872) — Rchbch. fìl. le. FI. Germ. et Helv. Voi. XXH, p. 74 (1874) — Celak. Aufb. 
der Gatt. Trif. (in Oesterr. Bot. Zeitschrf. N. 2, p. 42) (1874) — Koch Tbch. der 
Deutsch. u. Schw. FI. ediz. alt., p. 521 (1878) — Nyman Consp. FI. Europ., p. 179 
(1878-82) — Willk. et Lange Prod. FI. Hisp. Voi. IH, p. 358 (1880). 

PENTAPHYLLON Pers. Syn. Voi. II, p. 352 (1807). 
PENTAPHYLLUM Spreng. Syst. Veg. HI, p. 286 (1826) p. p. 
DACTYPHYLLUM Rafin. In Journ. Phys. LXXXLX-261 (ex Endl. Gen. PI. 1. e. 
et Enchyr. 1. e.). 

LOTOIDEA L. Sp. pi, p. 1079 (1764) p. p. et Syst. Nat. II, p. 501 (1767) 
p. p., et Syst. Veg. (ed. 14 a Murray), p. 687 p. p. — Willd. Sp. pi. Voi. Ili, p. 1357 
p. p. (1800) — Suter FI. Helv. Voi. II, p. 107 (1802) — Pers. Syn. Voi. II, p. 348 
p. p. (1807) — Ait Hort. Kew. Voi. IV, p. 381 (1812) p. p. — Sibth. et Sm. Fi. 
Gr. Prod. Voi. H, p. 96 p. p. (1813) — Lapeyr. Hist. Pi. Pyr. Voi. II, p. 432 p. p. 
(1813) — St. Amans FI. Agen., p. 304 p. p. (1821) — ? Maratti Fi. Rom. Voi. II, 
p. 153, p. p. (1822) — Gaud. FI. Helv. Voi. IV, p. 578 (1829) — Richter Cod. Bot. 
Linn., p. 742 p. p. (1835) — Gaud. Syn. FI. Helv., p. 628 (1836) — Greti. Godr. 
FI. de Fr. Voi. I, p. 417 p. p. (1848). 

GLYCIRRHIZUM Berto!, Fi. Ital. Voi. Vili, p. 101 (1850). 



248 



S. BELLI 



Generalità sulla Sezione 



ì. 

Il vocabolo " Lupinaster „ venne introdotto nel 1729 dal Buxbaum, il quale 
credette riconoscere un genere nuovo nella pianta omonima, che allora costituiva da 
sola il genere stesso. 

Sul valore delle ragioni, che indussero il Buxbaum in quest'opinione, sarà detto 
più avanti. Linnè ricondusse fra i Trifogli questa specie, e, come già si disse nella 
Prefazione, stando alla definizione del G. Trifolium, quale vien data da Tournefort, 
il T. Lupinaster non dovrebbe venirne tolto, salvo a giustificare a più forte ragione 
i generi fondati dal Presi a spese delle specie Linneane. Linnè ascrisse il T. Lu- 
pinaster alla sua Sezione " Lotoidea „ caratterizzata dalla frase: " Leguminibus 
" tectis polyspermis „. È ovvio il capire come una caratteristica tanto ampia po- 
tesse e dovesse comprendere una quantità di specie disparatissime per naturale 
affinità. 

Moltissimi Autori accettarono la classificazione Linneana come si rileva dalla 
sinonimia più sopra esposta. 

Moench (1. c.) tornò a sua volta a ritogliere il T. Lupinaster dai Trifogli e 
ricostituì il genere omonimo colle seguenti diagnosi: 

" Calyx campanulatus, quinquedentatus dentibus setaceis, quatuor sub vexillo; 
" imo sub carina. Corolla papilionacea, vexillo ovato longiori: alae erectae oblongae, 
" carina obtusa. Stamina decem ad medium usque connata, supremum liberum. Stylus 
" unus. Stigma uncinatum. Legumen enode, teres, polyspermum „. Buxbaum Acta (1) 
2. p. 345, Tab. 20. 

Persoon (1. c.) ritenne la classificazione di Moench mutando il nome del genere 
in quello di " Pentaphyllon „, cambiato dipoi in " Pentaphyllum „ da Sprengel, il 
quale riunisce in questo gruppo due specie : T. Lupinaster e T. megacephalum Nutt. 
pianta americana che, a giudicare dalla descrizione, non deve appartenere alla stirpe 
del T. Lupinaster. 

Da Link e Seringe in poi, il nome " Lupinaster „ fu adottato per stabilire 
una Sezione alla quale si riunirono, a seconda dei diversi Autori, molte altre specie 
più o meno eterogenee, ma nella quale si comprende sempre il T. alpinum. Gli 



(1) Giova qui notare come Moench nella caratteristica del Genere citi il Buxbaum, ma non si 
riporti per nulla alla descrizione del Buxbaum stesso, aggiungendo anzi altre note molto discutibili 
e certo meno valide di quelle date da Buxbaum. — ■ Nella citazione poi, Moench scrive : " Buxbaum 
Acta etc. „. Ora non esistono del Buxbaum Acta di sorta, ma è quasi certo che Moench ha copiato 
senz'altro la citazione Linneana del T. Lupinaster (vedi Richtbr, " Cod. Bot. Linn. „ , p. 742), cioè: 
Ac, 2, p. 845 „, interpretando 1' abbreviazione Ac. per Acta, mentre significa " Academia „ (Vedi 
più avanti la citazione testuale della frase di Buxbaum a pag. 250. 



RIVISTA CRITICA DELLE SPECIE DI TRIFOLIUM ITALIANE 



249 



Autori che si servirono del vocabolo " Lupinaster „ per stabilire le loro Sezioni, 
variarono tutti qual più qual meno la caratteristica del Buxbaum, adattandola natu- 
ralmente alle specie che vollero includervi, citando spesso il Moench ciò che è poco 
corretto e poco chiaro. 

Seringe p. e. riunì nella Sezione Lupinaster (Moench) il T. Gussoni (Chronose- 
mium), il T. uniflorum il T. involucratum, etc. La stessa osservazione vale per 
Presi, etc. etc. 

Bertoloni trovò un nuovo vocabolo per caratterizzare la Sezione alla quale 
ascrisse il solo T. alpinum, e secondo me questa sarebbe la denominazione più adatta 
a raggruppare in un'ampia Sezione non solo i Lupinaster degli Autori in generale, 
ma anche molte specie ascritte al genere Loxospermum di Hochstetter. 

La frase semplicissima di Bertoloni per la sua Sezione Glycirrhizum suona così: 
" Capitulis fructiferis umbellaribus, involucro brevissimo, connato, fiore magno „. 

Verrà detto più avanti e già fu ripetuto altra volta (Vedi Saggio Monografico 
" Lagopus „ Mem. Accad. Se. in Prefazione) come la Sezione rappresenti per noi 
non una circoscrizione naturale, ma un raggruppamento artificiale, fatto per comodo 
di tassonomia, e basato su pochi od anche su di un solo carattere, preso convenzio- 
nalmente ed artifiziosamente. E tali sono la maggior parte delle Sezioni oggidì sta- 
bilite nel genere Trifolium. Gli è perciò che io avrei adottato senz'altro il nome 
Glycirrhizum per questa Sezione se veramente, il carattere " capitulis fructiferis 
" umbellaribus „ non convenisse male al T. Lupinaster, il quale ha un'infiorescenza 
tutt'altro che ombrelliforme. Ho invece adottato in senso ampiissimo la denomina- 
zione di Buxbaum, perchè anche il gruppo del T. alpinum, per quanto naturalmente 
distante dal T. Lupinaster, può esservi artificialmente compreso, ritenendo che le 
sue foglie, di solito trifogliolate, sono rarissimamente quinate, ma certamente digi- 
tate. Quello che importa a me di stabilire si è, che nell'ambito di questa Sezione 
così accettata ed affatto artificiale, sono riconoscibili facilissimamente dei nuclei 
naturalissimi, delle vere " Stirpes „ nel nostro significato. 

Le osservazioni che qui seguono permetteranno, spero, di giustificare la separa- 
zione della Sezione Lupinaster in due Stirpes: l'una rappresentata (per quanto io 
mi sappia) dalla specie omonima e dal T. eximium Steph., cioè la Stirps Eulupinaster; 
la seconda che ha per capo il T. alpinum L. e comprende T. polyphyllum C. A. 
Meyer e T. nanum Torr., e porta il nome di Glycirrhizum già adottato dal Bertoloni 
pel T. alpinum. Sono da escludere assolutamente da questa Stirps le specie africane 
T. calocephalum Fresen., T. Schimperi Hochst. e T. multinerve Hochst. appartenenti 
alla Sezione Loxospermum Hochst., le quali artificialmente potrebbero venir comprese 
nella circoscrizione Bertoloniana, stando a quella caratteristica, ma che hanno d'uopo 
di ulteriori studii. 



Serie II. Tom. XLIV. 



250 



S. BELLI 



IL 

Buxbaum (1) stabilì come segue il suo genere Lupinaster " Nova Plantarum 
" genera „ — " Secundum genus plantarum novum a nobis appellatur Lupinaster 
" cujus notae sunt: Folia instar Lupini digitata: Flores papilionacei in capitulum 
K longo petiolo ex foliorum alis egresso sustentatum congesti; siliquae longae de- 
" pressae, seminibus reniformibus foetae, quae notae ipsum a congeneribus satis 
" evidenter separant „. 

E più avanti: (T. Lupinaster): 

" Caules profert hic Lupinaster semipede altiores non raro pedales rotundos 
" et striatos virides, parvis ramis ex alis foliorum egredientibus praeditos. Folia 
" longa, acute serrata glauca non tamen hirsuta, eleganter striata et rigida. Quinque, 
" sex, septem imo plura digitatim instar foliorum Lupini communi insident pediculo, 
" brevi, ex vagina sublutea, caulem amplectente prodeunte. In summo caule et 
" ramulis nascuntur flores purpureo-coerulei, in capitulum collecti, exacte flores 
" Trifolii (Psoralea) bituminosi referentes, pediculis uncialibus aut longioribus su- 
" stentati et calyce in multa segmenta acuta scisso excepti. Siliquae longae, depressae 
" seminibus reniformibus, nigris, repletae. Crescit haec elegans pianta ad ripas Volgae 
" intra Astrakanum et Czarizinam: ob similitudinem cum Lupino hoc nomen imponere 
" placuit „. 

Savi nella " Biblioteca italiana „ (1. c.) (2) ha una nota critica accuratissima 
su questa separazione del T. Lupinaster dal G. Trifolium fatta dal Buxbaum, che 
io riporto per intero, anche perchè il libro non è troppo facile a trovarsi nelle bi- 
blioteche, ma soprattutto perchè se le argomentazioni del Savi non lasciano dubbio, 
che questa pianta debba, pei caratteri dati da Moench (ed anche da Buxbaum) 
rientrare nel G. Trifolium, ci permettono d'altra parte di dimostrare coll'esame 
accurato di essa, che il T. Lupinaster costituisce una Stirps evidentissima, la quale 
non ha, per quanto io mi sappia, altro stretto affine che il T. eximium Steph. del- 
l'Asia centrale ed orientale. 

Così scrive Savi: (T. Lupinaster). 

" Mancava questa bella specie nella mia memoria su i trifogli, ove deve collo- 
" carsi nella quarta Sezione (Trifoliis bracteatis calyce immutato nervoso, corolla 
" immutata, vexillo non sulcato) (3). L'ho avuta in fiore per la prima volta nel 
" corrente anno 1817 ed eccone la descrizione: 



(1) " Commentarli Academiae Scient. Imperialis Petropolitanae „, toni. II, p. 345 (1729); Petropoli, 
Typis Academ.), cum tab. XX (optima). 

(2) " Biblioteca italiana ossia Giornale di Letteratura, Scienze ed Arti compilato da varii lette- 
rati „, tomo Vili, anno II (ottobre-novembre-dicembre), 1817 (Milano). Memoria contenente alcune 
correzioni ed aggiunte alle Observatìones in varias Trifoliorum species del sig. Savi, Professore di 
Botanica e Direttore del Giardino dell'Università di Pisa (p. 132). 

(3) Comprende le " Amorie „, il T. parviflorum, T. montanum, T. alpinum, T.formosum. 



RIVISTA CRITICA DELLE SPECIE DI TRIFOLIUM ITALIANE 



251 



* (T. Lupinaster, caule erecto, solido, foliis 3-5natis, involucris monophyllis Nob.) „ . 

" (T. Capitulis dimidiatis foliis quinatis, sessilibus, leguminibus polyspermis 
■ Lin. Spec) „. 

" (T. Leguminibus polyspermis, foliis pluribus Gmel. FI. Sibir. Tom. V. Tab. 19, 
" pag. 19, tab. 6, fig. 1 (mala).) 

" Caulis 8-10 pollicaris, cylindricus, glaber superne tantum laeviter pubescens 
14 et ramosus — Folio sessilia, prima ternata, reliqua quinata — Foliola lanceolata, 
" acuta serrulata, glabra. Stipulae connatae, glabrae nervosae, caudis triangulo = 
" acutis — ■ Capitula terminalia dimidiata, subbifida ex 2-3florum seriebus, quavis 
" serie basi involucro monophyllo brevissimo crenulato instructa — Flores 4-5 lineas 
" longi pedicellati — Calyx subconicus, nervosus, pilosus, dentibus subulatis, elongatis, 
" 2 superioribus brevioribus, inferiore longiore. — Corolla calyce 3-plo longior alba, vel 
" rosea, exsiccatione immutata, persistens Vexillum lanceolatum, obtusum, laeve, apice 
" vix emarginatum, subreflexum — Alae lanceolato-obtusae — Stylus apice reflexo- 
" uncinatus — Legumen corolla persistente tectum, 3-4 lineas longum, compressum, 
" torulosum, lanceolatum, superna parte marginatimi, ad summum tetraspermum. 
" Perenn. „. 

Moench credè di dover stabilire un nuovo genere con questo trifoglio, e, ridu- 
cendo generico il nome triviale di Linnè, lo chiamò Lupinaster pentaphyllus — 
Persoon poi, cui pure parve che convenisse un'innovazione rapporto al genere, ma 
cui non piacque il nome adoperato, si servì del nome triviale di Moench come di 
nome generico, e viceversa chiamandolo Pentaphyllon Lupinaster. I caratteri asse- 
gnati a questo genere Pentaphyllon o Lupinaster sono: " Calyx campanulatus 5-den- 
" tatus, dentibus setaceis, uno sub carina. Stigma uncinatum. Legumen enode teres, 
" polyspermum „. 

Ma questi caratteri a me non sembrano abbastanza validi per costituire un 
genere nuovo perchè: 1° il calice non è in nulla diverso da quello degli altri trifogli 
— 2° lo stimma è vero che è fortemente uncinato, ma si arriva a questo grado in- 
sensibilmente passando per molte specie, cosicché trovasi alquanto curvo nel T. elegans 
e manifestamente uncinato nel T. vessiculosum. Finalmente il legume non è terete 
ma compresso, e non contiene maggior numero di semi di quel che ne contengano 
i T. repens, hybridum e angulatwm età, e in quanto all'essere enode non vi è fra i 
trifogli specie alcuna che l'abbia veramente nodoso, e solamente in diversi sonvi 
delle protuberanze nei posti occupati dai semi, e queste si osservano anche nel 
legume del T. Lupinaster. Avendo la smania di far dei generi nuovi se ne potreb- 
bero far quattro dividendo il G. Trifolium: ma l'andamento delle specie ci si oppone: 
i caratteri si intrecciano; bisognerebbe separare delle piante che per molti rapporti 
devono stare unite, e ho ben conosciuto, che ne risulterebbero generi meno naturali 
di quello stabilito da Linneo „. 

Fin qui il Savi. 

Dalle sue parole risulta altresì, come Egli non conoscesse la nota del Buxbaum 
e riferisse a Moench la creazione del nuovo genere Lupinaster. 

Come dicemmo sono ben altri i caratteri che danno al T. Lupinaster una 



252 



S. BELLI 



particolare fisonomia la quale rivela un tipo di pianta tutto suo proprio. Esaminia- 
moli in breve. 

Il T. Lupinaster presenta anzitutto un fatto curiosissimo. Esso possiede un 
caule in parte ipogeo rizomatoso, strisciante e ramificato assai nella porzione sotter- 
ranea (pochissimo invece fuori terra). I brevissimi stoloni gemmiformi, che si possono 
osservare sui vecchi rizomi di un cespo in riposo nella stagione invernale, allorché 
hanno raggiunta la lunghezza di un centimetro o poco più (Tav. I, fig. 7 a) conten- 
gono nel loro interno già formati i rudimenti delle infiorescenze che si svilupperanno 
di poi. — Queste infiorescenze stanno all'apice del breve cono vegetativo rinchiuso nella 
gemma ed all'ascella delle due o tre ultime foglie, fra le quali sta l'apice dell'asse 
vegetativo stesso. Ne consegue che una sezione mediana di un germoglio consistente 
in un corpicciuolo cilindraceo-conico (Tav. I, fig. 1) lascia vedere come esso sia costituito 
da un asse brevissimo sul quale si inseriscono in ordine distico le stipole inferiori afille 
(esterne). Solo le due, o (più di rado), le tre supreme (interne) provviste di foglioline, 
portano ciascuna alla loro ascella un capolino rudimentale; tutte le altre sono sterili 
o non danno che rami fogliferi, in certe circostanze sterili anch'essi. Chiameremo queste 
produzioni, nel corso di questo lavoro, gemme ipogee, per brevità di linguaggio. Al- 
l'ascella della fogliolina b (superiore) sta il capolino V ed all'ascella della fogliolina a 
(inferiore) sta il capolino a'. Fra questi due capolini sta l'apice dell'asse caulinare 
arrestato di buon ora nel suo sviluppo e ridotto ad un piccolo tubercolo mammel- 
liforme (1) — I due capolini stanno sulla sezione laterale del diagramma e disposti 
in modo che la porzione superiore del capolino inferiore (più giovane) viene ad 
adattarsi contro la base del superiore. 

Il fatto importante per questa specie è, che per ogni ramo fiorifero proveniente, 
dal rizoma sotterraneo non si svilupperanno, a vegetazione finita, che uno due o tre 
capolini, cioè tanti quanti stanno già formati nel piccolo tubercolo gemmiforme ini- 
ziale sotterraneo, tutto all'opposto di quanto succede nella generalità dei Trifogli, nei 
quali l'asse di vegetazione va gradatamente svolgendosi per accrescimento apicale 
formativo del caule o dei rami e per ulteriori apici laterali all' ascella delle foglie, 
che diventeranno rami o peduncoli fiorali. — Questo fatto interessantissimo spiega la 
singolare struttura definitiva del peduncolo e del capolino del T. Lupinaster, come 
vedremo or ora nella sua Infiorescenza. 

Esaminato macroscopicamente il capolino del T. Lupinaster appare portato da 
un peduncolo di varia lunghezza, il quale non è cilindrico o quasi, come si osserva 
nella massima parte dei Trifogli, bensì quasi semicilindrico, poiché la sua faccia interna, 
invece di essere piana, come il richiederebbe un vero corpo semicilindrico, è scanalata, 
depressa; cosicché una sezione trasversale di esso (Tav. I, fig. 16) offre una figura 
irregolarmente semilunare o reniforme. Questa scanalatura (Tav. I, fig. 4 a) percorre 
il peduncolo da cima a fondo, e si fa gradatamente più profonda di mano in mano che 
si avvicina all'apice del peduncolo stesso. Nella sua porzione suprema il peduncolo 



(1) Nella figura 1, Tav. I, non precisamente mediana 1' apice dell'asse non è visibile. La man- 
canza di spazio non ci ha permesso di dare il disegno di altri preparati dove esso è evidente, ma 
dove la posizione reciproca dei capolini non è così ben designata come nella fig. 1. Del resto si 
capisce come si debba per forza ammettere teoricamente un apice caulinare fra essi. 



RIVISTA CRITICA DELLE SPECIE DI TRIFOLIUM ITALIANE 



253 



è dilatato e termina in una specie di ricettacolo foggiato a spatola od a palmetta 
spatolato-ovata, appiattita (Tav. I, fig. 4 b), in modo da presentare rispetto all'asse 
della pianta due faccie, una esterna e l'altra interna: la prima convessa, la seconda 
concavo-pianeggiante. 

Sulla faccia interna della palmetta sono disposti ordinariamente in più ordini con- 
centrici e più o meno regolarmente verticillati i fiori, involucrati da due serie di 
brattee saldate a collaretto continuo più o meno denticolato-frangiato (Tav. I, fig. 4 b, 
e 2 b). A tutta prima questa infiorescenza si direbbe una cima scorpioide (Tav. I, 
fig. 2 b) avvegnaché i fiori inferiori appajano sempre meno sviluppati graduatamente 
dei superiori che sono i primi a sbocciare (1). Ma questa falsa apparenza di infio- 
rescenza cimosa è un'illusione, a spiegar la quale occorre, come si disse, ricorrere 
allo studio della gemma fiorale. 

La interessente struttura dell'infiorescenza del T. Lupinaster fu descritta in 
modo molto esatto dal Trecul (2). L'Autore riconobbe già fin d'allora che l'infiore- 
scenza del T. Lupinaster è un vero racemo, per quanto la posizione della sua base 
geometrica corrispondente all'apice organico dell'asse o ricettacolo, la mascheri al 
punto da farla rassomigliare ad un'infiorescenza cimosa scorpioide. 

Il signor Trecul ha studiato nell'infiorescenza del T. Lupinaster anche la dispo- 
sizione ed il decorso dei fasci fìbro-vascolari ; e basandosi su questi risultati egli 
trova una nuova conferma della natura di questa infiorescenza. Egli così si esprime : 
(p. 126): " Si l'on fait une coupé transversale du pédoncuie canaliculé on trouve 
" que les faisceaux fibro-vasculaires y sont isolés les uns des autres, et distribués 
" autour d'un centre médullaire. Ceux qui sont situés près de la face interne du 
" pédoncuie sont notablement plus faibles que ceux de la face externe : ce sont 
" aussi ces derniers principalement qui fournissent aux fleurs les vaisseaux qu'ils 
" renferment. En effet, si l'on examine des coupes longitudinales, on voit les fais- 
" ceaux de la face externe se prolonger dans les fleurs de la première sèrie, mais, 
" auparavant ils émettent des ramifications qui se rendent dans les fleurs des séries 
" subséquentes : et cette division s'opère de manière à produrre, d'arrière en avant, 
" des fascicules de différents degrés. Ces fascicules ou ramifications vasculaires du 
" premier degré iraient dans les fleurs de la deuxième serie: leurs subdivisions se 
" rendraient dans les fleurs de la troisième etc. Ainsi ces fleurs recoivent des rami- 
" fications des faisceaux primitifs d'un degré d'autant plus élevé que ces fleurs sont 
" insérées plus bas sur l'axe. Les faisceaux de la face interne du pédoncuie ne 
" donnent de vaisseaux qu'aux fleurs les dernières développées. Il est donc bien 
" évident que le sommet organique de l'inflorescence du Trifolium Lupinaster cor- 
" respond à sa base géométrique „. 

L'Autore continua esponendo come dallo sviluppo dell'infiorescenza del T. Lu- 
pinaster Egli fosse condotto ad applicare erroneamente le stesse norme allo sviluppo 



(1) A questa disposizione dell'infiorescenza alluse già il Mcench coll'espressione " Capitulo dimi- 
diato „, che trovasi spesso ripetuta dagli autori posteriori. Savi aggiunse le parole " capitala subbifida „ 
che noi non comprendiamo bene. 

(2) Note sus l'inflorescence unilaterale du Trifolium Lupinaster (" Bulletin de la Soc. Bot. de 
France „, voi. I, p. 125, 1854). 



254 



S. BELLI 



delle foglioline delle foglie pennate e digitate, stabilendo le diverse categorie di 
sviluppo, ed enunciandole quindi nelle basipete — Oggidì è messo in sodo che il 
decorso dei fasci può solo in via secondaria servire a stabilire la genesi cronologica 
delle parti di un organo o di un vegetale, ma che generalmente l'organo stesso 
prima di ricevere la sua impalcatura, il suo sistema vasale, possiede già la sua 
forma; ed il sistema meccanico ed il conduttore si adattano, diremo cosi, ai bisogni 
dell'organo stesso, seguendo le vicende del suo sviluppo — Comunque sia il Trecul 
ha perfettamente interpretata secondo, me, la natura dell'infiorescenza del T. Lupi- 
naster. Gli è però all'organogenesi dell'infiorescenza stessa che era d'uopo rivolgersi 
per essere certi della sua natura, e questo studio interessante è stato fatto nel 1876 
dal Dutailly (1). 

L'Autore divide queste infiorescenze unilaterali in tre gruppi: 1° che comprende 
le infiorescenze, nelle quali l'unilateralità non si manifesta che per mezzo dello svi- 
luppo tardivo di alcuni fiori, tutti posti dallo stesso lato; 2° nel quale classifica le 
infiorescenze unilaterali alla loro base per aborto d'un certo numero di fiori e nor- 
mali alla loro parte superiore; 3° nel quale stanno le infiorescenze realmente unila- 
terali dalla loro base al loro apice. Nel primo gruppo starebbero T. arvense, campestre, 
pratense, elegans fra i trifogli e V Hyppocrepis comosa. Nel secondo la Medicago lupu- 
lina e YAnthyllis vulneraria sono presi quali tipi di queste serie. Il terzo gruppo 
racchiuderebbe un tipo che avrebbe attinenza coi due precedenti e sarebbe precisa- 
mente il T. Lupinaster, ed altri tipi secondo l'Autore schiettamente e completamente 
unilaterali e rappresentati dalle Vida e dai Lathyrus. > 

Mi limiterò a poche osservazioni su questo lavoro, che meriterebbe una disamina 
molto più diffusa, sia perchè questo non ne sarebbe esattamente il luogo, sia anche 
perchè, pur essendo esso in massima la conferma della natura racemosa, del capolino 
del T. Lupinaster, i punti che mi pajono controversi richiedono uno studio ulteriore 
su materiali vivi, che al momento non mi sono concessi — Più tardi ed in lavoro a 
parte riferirò le mie conclusioni in confronto a quelle del Dutailly — Pel momento 
accennerò solo a poche cose. 

Un punto lasciato in oblio tanto nel lavoro del Dutailly come in quello del 
Trecul più sopra menzionato è quello per me capitale, che cioè le infiorescenze rudi- 
mentali del capolino nel T. Lupinaster si trovano già racchiuse nelle brevissime 
gemme ipogee, e che gli internodì supremi che portano le infiorescenze non subiscono 
che un leggerissimo accrescimento intercalare, venendo così portati all'apice dei cauli 
evoluti nello stesso stadio di sviluppo o poco più, in cui si trovavano nella gemma 
ipogea; mentre gli internodì sottostanti accrescono invece rapidissimamente. 

Un altro fatto che non ha fermato l'attenzione dell'Autore, e che non è pur meno 
di grande momento, è che non sempre il ricettacolo fiorale presenta la consueta 
foggia di palmetta ovata con due faccie, una esterna e l'altra interna, dove stanno 
inseriti i fiori, ma nelle infiorescenze solitarie è spesso notevole la tendenza del 
ricettacolo ad assumere una disposizione molto vicina alla orizzontale, ed in questo 



(1) Qbservations organogéniques sur les infloréscences unilatéràles des Légumineuses, in " Assoc. 
Frane, pour l'avarie, des Sciences „. Congrès de Clermont Ferrand. Séance du 25 aoùt (1876). 



RIVISTA CRITICA DELLE SPECIE DI TRIFOLIUM ITALIANE 



255 



caso la scanalatura del peduncolo è meno accentuata in relazione colla diminuzione 
della pressione esercitata su di esso dalla stipola del capolino inferiore mancante. 

Già abbiamo detto come la disposizione dei capolini e quindi dei relativi pe- 
duncoli (nella gemma ipogea) accorciatissimi sia tale, che essi si trovano sempre 
laterali nel diagramma — Questi capolini vengono infine portati in alto dall'accresci- 
mento intercalare rapido degli internodi, come vedremo in appresso, e costituiscono 
la gemma fiorale. Se esaminiamo una gemma fiorale (1) (Tav. 1, fig. 3) in sezione 
trasversa si osservano i peduncoli ed i capolini sempre nella posizione laterale del 
diagramma come erano nella gemma ipogea. Ne consegue che la faccia interna del 
peduncolo superiore è naturalmente rivolta verso il dorso della stipola che avvolge 
il capolino inferiore, formando un corpo allungato con margine sottile carenato. Questo 
capolino a sua volta è rivolto colla sua faccia interna contro il dorso della stipola 
che avvolge il terzo fiore (quando esiste) o, quando manca, verso la stipola che rav- 
volge l'apice dell'asse caulinare, che gli è addossato un po' più in basso. 

Evidentemente queste produzioni sono soggette ad una compressione mutua. Ora 
due fatti concorrono qui ad esagerarne gli effetti. Il primo è questo, che le infiore- 
scenze sono racchiuse in uno spazio relativamente strettissimo, e sono compresse dalle 
pareti resistenti delle stipole afille esteriori, fornite di guaina altissima. Il secondo 
è, che le stesse infiorescenze debbono star a lungo soggette a questa compressione, 
perchè, formate di buon ora sul rizoma sotterraneo antico della pianta, non vengono 
a subire grandi modificazioni, fintantoché l'accrescimento intercalare fortissimo degli 
internodii sottostanti, che si allungano di molto, e rapidamente, non abbia condotto 
ciascun caule alla sua definitiva dimensione e statura. Solo allora l'accrescimento 
avviene negli internodii supremi delle gemme fiorali, le quali sviluppano finalmente 
dal seno delle enormi stipole allungate e mettono a giorno le loro infiorescenze. In 
quest'ultima fase soprattutto il peduncolo fiorale soffre una compressione lenta e gra- 
duata dal dorso carenato della stipola che avvolge il peduncolo del fiore più giovane 
(Tav. I, fig. 6) coli' asse abortito , e quivi il peduncolo del fiore sollecitato da due 
forze di cui 1' una lo comprime lateralmente e 1' altra tende a spingerlo in alto , 
subisce una specie di stiramento nel senso della risultante e in proporzione dell'in- 
tensità di esse, il quale ha per risultato uno schiacciamento della corrispondente 
faccia interna. Finalmente il peduncolo fiorale, liberato dalla lunga pressione subita 
nell'interno del manicotto stipulare, accresce rapidamente e prende la sua definitiva 
struttura e dimensione. La compressione esercitata dal capolino inferiore sul supe- 
riore e rispettivamente dall'apice dell'asse sull'inferiore, agisce soprattutto sul ricet- 
tacolo, appiattendolo ed anche scavandolo. Si capisce quindi che se una superficie 
orizzontale, dapprima piana, circolare, e portante più ordini concentrici di fiori pedi- 
celiati involucrati da due corrispondenti collaretti di brattee membranacee, venga 
schiacciata gradatamente da uno dei lati e lungo una linea, e sia costretta a svilup- 
parsi lentamente in queste condizioni, si capisce, dico, come questa superficie debba 
poco a poco dilatarsi nel punto opposto a quello dove la schiacciatura è stata più 
forte e dove non è impedita di svilupparsi ed assumere una forma più o meno ro- 
tonda. I tessuti spinti verso il centro dell'organo debbono arrestarsi nel loro sviluppo, 



(1) La fig. 3 della tav. I dovrebbe essere girata di 90' sul piano per avere la sua giusta posizione. 



256 



S. BELLI 



e quindi anche i fiori e le brattee inferiori corrispondenti a questo punto compresso 
devono abortire. E difatti lo studio anatomico del peduncolo fiorale (che qui non è 
il luogo di riferire per disteso ma che sarà dato altrove) (Tav. 1, fìg. 16 e 16 Ms ) rivela 
una modificazione profonda degli elementi istologici della parte compressa. Il capo- 
lino del T. Lupinaster appare quindi realmente come dimezzato, e la sua forma di 
cima scorpioide non è che una falsa apparenza, mentre siamo qui di faccia ad una 
vera infiorescenza racemosa, anormale e larvata. Un'attenta osservazione del capo- 
lino concede di vedere alla base del ricettacolo e lungo i margini della scanalatura 
del peduncolo numerosi fiori tabescenti, piccolissimi, biancastri, lunghi talvolta ap- 
pena un millimetro, ai quali fanno seguito dal basso all'alto altri fiori gradatamente 
più sviluppati, finche si giunge ai supremi sviluppatissimi. L'apice organico del ca- 
polino è dunque spostato in basso per la compressione laterale subita, il capolino 
ha sofferto una specie di torsione nel senso verticale che gli ha dato la forma di 
cima scorpioide e questa è, secondo me, la ragione per cui i fiori si sviluppano nel- 
l'ordine preciso che venne descritto dal Dutailly. 

I cingoli membranacei dei capolini nel punto in cui subirono il prolungato schiac- 
ciamento o sono affatto abortiti ovvero sono ridotti a piccolissime squamule quasi 
fìbrilloidi; perciò non è sempre facile in quel punto del ricettacolo l'osservare i rap- 
porti ordinarii di posizione fra bratteola e pedicello fiorale. Spesso si vedono pedi- 
celli apparentemente extra-bratteali nudi e talora anche inseriti al disotto di qualche 
squamula senza ordine visibile. 

Tutto questo spostamento di una disposizione che sarebbe regolarissima in un 
ricettacolo normalmente sviluppato (per es. nel T. alpinum) è dovuto al fatto della 
compressione suaccennata. Nella porzione superiore della superficie d'inserzione dei 
fiori essi stanno più o meno regolarmente inseriti in due o più ordini concentrici 
ravvolte dal collaretto di bratteole. Una prova indiretta degli effetti della compres- 
sione in discorso l'abbiamo nel fatto, che alloraquando in luogo di due o tre capo- 
lini per ogni ramo fiorifero (caule) se ne sviluppa uno solo (già solitario fin dalla 
gemma sotterranea) allora questo capolino mostra un peduncolo molto meno scana- 
lato inferiormente, e la porzione sua suprema che serve di ricettacolo ai fiori è meno 
schiacciata nel senso laterale tendendo a rialzarsi nel piano orizzontale; in questo 
raro caso i due ordini di brattee sono disposte quasi normalmente cioè verticali, e 
la porzione corrispondente allo schiacciamento è frastagliata ma non affatto soppressa 
(Tav. I, Fig. 5). Anche i fiori sono allora più normalmente sviluppati ed il capolino 
assume la forma tendente all'emisferica, lassa, avvicinandosi a quella delle Amorie. 
La diminuita compressione è occasionata in questo caso dalla mancanza del corpo 
costituito dal capolino inferiore ravvolto nella stipola, ed il solo capolino che esiste 
trovasi leggermente compresso alla sua base solo dall'apice dell'asse caulinare tenue 
in confronto al capolino non esistente. 

Abbiamo già detto come i capolini del T. Lupinaster stiano già iniziati nella 
breve gemma ipogèa, ed all'ascella delle foglie supreme, le quali sole nella gemma 
stessa portano foglioline, mentre le esterne involucranti sono afille o portano gemme 
rameali. Dicemmo pure come al momento dello sviluppo epigeo di queste produzioni 
succede un enorme e rapido sviluppo intercalare, che allunga rapidamente l'asse cau- 
linare, originando degli internodii lunghissimi ricoperti in basso dalle stipole afille. 



KIVISTA CRITICA DELLE SPECIE DI TRIFOLIUM ITALIANE 



257 



Ora i due o tre internodii supremi determinati dalle foglie fiorifere non partecipano 
a tutta prima a questo accrescimento subitaneo del caule, ma vengono portati, bre- 
vissimi ancora, all'apice del caule, dove costituiscono la gemma fiorale. Più tardi poi 
l'accrescimento longitudinale colpisce anche questi internodii, ed allora la gemma 
fiorale si apre e gli internodii si allungano. 

Di più è da notare che nel T. Lupinaster le sole foglie supreme sono fiorifere, 
mentre all'ascella delle stipole infime afille o delle susseguenti fogliute non si ori- 
ginano mai, in grazia di un'evoluzione posteriore di gemme, salvo casi eccezionali, 
peduncoli fiorali e ben di rado rami secondarli (Vedi pag. 260). 

Invece, per es., nella Stirps del T. alpinum gli scapi fioriferi solitarii sono por- 
tati all'ascella delle foglie inferiori dei rami brevissimi, mentre l'apice del ramo 
seguita a crescere indefinitamente, arrestandosi solo nell'inverno, e sviluppando nuove 
foglie apicali, delle quali le supreme non portano infiorescenze ascellari. Questa strut- 
tura fiorale del T. Lupinaster, finora non studiata per quanto io mi sappia, potrebbe 
ben essere dipendente dalle condizioni di vegetazione alle quali la specie è sotto- 
posta, data la sua ubicazione nelle alte latitudini (Siberia, Circolo polare (Sommier)). 
Avviene forse del T. Lupinaster quello che succede alle piante crescenti in livelli 
altimetrici elevatissimi, nelle quali, come è noto si possono trovare già formati nelle 
gemme degli organi che, in altri vegetali posti in condizioni più favorevoli, si svi- 
luppano molto più tardi per graduale evoluzione di speciali meristemi. Così è del 
T. Lupinaster. Tutto il lavorìo di formazione dei capolini avviene sotterra allorché 
il rizoma ipogeo organizza le piccole produzioni gemmiformi, che si svilupperanno 
di poi in altrettanti cauli fioriferi. Nel T. alpinum che è precisamente pianta delle 
regioni elevate delle alpi e nei suoi affini, ha luogo un fatto analogo, sotto il rap- 
porto biologico quantunque differisca sostanzialmente dal lato morfologico da questo 
del T. Lupinaster. A suo luogo ne terremo parola (Vedi T. alpinum. Generalità). 
È qui il caso di ricordare come anche nel T. Lupinaster le infiorescenze per quanto 
apicali ed apparentemente terminali, siano affatto ascellari. Alcuni Autori (Moench, 
Savi, ecc.) ascrissero al T. Lupinaster infiorescenze o peduncoli terminali, le quali 
teoricamente non possono esistere neppure nel senso dato loro dal Celakowsky (Vedi 
Celak. Oesterr. Bot. Zeitscrf., 1. e, p. 77). 

Un altro carattere, non proprio esclusivamente del T. Lupinaster , perchè si 
osserva in altre poche specie europee ed africane, è la mancanza assoluta del pic- 
ciuolo, esistente invece, ed anzi sviluppatissimo, nelle specie che gli Autori vogliono 
riunire al T. Lupinaster in sezione (T. alpinum, polyphylhim , ecc.). 

Le foglioline del T. Lupinaster hanno delle denticulature marginali a denti 
ricurvi che finiscono in un'appendice uncinata cornea, simili assai a quelle del T. ru- 
bens e del T. montanum (1), ma assai più robuste. Nel gruppo del T. alpinum le 
foglioline hanno invece denticulature subnulle. La mancanza delle foglioline nelle 
stipole inferiori del T. Lupinaster non è un carattere speciale ad esso, ma, come 



(1) Reichenbach, FI. exc, 1. e, riunisce nella sez. Lupinaster, col T. alpinum il T. montanum che 
egli ritiene quale anello di congiunzione fra la sez. Lupinaster e la sez. Micrantheum. È indubbio 
che il T. montanum ha una lontana analogia col T. Lupinaster soprattutto per l'ovario villoso e per 
la forma delle foglioline. È però altrettanto certo che appartiene per noi a tutt'altra Stirps. 
Serie II. Tom. XLIV. h 1 



258 



S. BELLI 



è noto, è comune a tutte quelle piante, nelle quali, esistendo un rizoma sotterraneo 
la funzione assimilatrice del lembo è abolita. Però nel caso nostro questo carattere 
diventa un valido diagnostico nella ricognizione della Stirps, quando si voglia para- 
gonare al gruppo del T. Lupinaster quello che comprende il T. alpinum , poly- 
phyllum, ecc. 

Il calice del T. Lupinaster non offre in massima particolarità che possa giu- 
stificare la sua separazione dal G. Trifolium, come pretendeva il Moench; se si vo- 
lesse pesare sopra questo solo carattere le Galearia ed i Trigantheum potrebbero 
vantare ben maggiori diritti. Ma se il calice del T. Lupinaster è in massima quello 
di tutti gli altri Trifogli, esso è però tipicamente differenziabile da quello del T. al- 
pinum ed affini ; soprattutto nelle dimensioni costantemente minori, nella forma della 
fauce tagliata obliquamente a spese del labbro superiore ; nei rapporti di lunghezza 
fra tubo e denti, nella disposizione delle nervature dentali, nella forma dei denti e 
dei seni interdentali; e finalmente anche nell'indumento che nel gruppo del T. al- 
pinum manca completamente (all'infuori delle produzioni glanduloso-clavate comuni 
a tutti i Trifogli). L'ovario del T. Lupinaster contiene costantemente 4 o più ovoli 
ed è villoso superiormente , quello del T. alpinum costantemente due, ed è perfetta- 
mente glabro. 

Molto simile invece è la struttura e la forma del vessillo nel T. Lupinaster 
e nel gruppo del T. alpinum e, per dirla in breve, anche in tutti i Loxospermum; 
cosicché sotto questo rapporto si potrebbe benissimo riunirli in un gruppo molto 
grande, caratterizzato dal diametro longitudinale grandissimo del vessillo, fornito di 
nervature percorrenti in parte la lamina per intero, ripetutamente biforcate e riunite 
in basso in pochi fasci non molto robusti. Tutte queste specie a grandi fiori presen- 
tano ancora altri caratteri nel vessillo abbastanza notevoli ; tali per es. quello di 
mancare della strozzatura fra lembo ed unghia, così caratteristico nelle Amorie (ed 
anche nei Lagopus); di essere foggiati un po' a barchetta nella porzione infima cor- 
rispondente all'unghia, e finalmente di essere quasi affatto liberi dagli altri petali 
salvo per un brevissimo cercine basilare. Questo carattere però è comune anche alle 
Amorie. Si può ancora far cenno qui del modo costante di comportarsi di questi 
grandi vessilli, i quali prima e dopo l'antesi sono affatto deflessi sul resto dei pe- 
tali che avvolgono completamente, mentre all'epoca della fecondazione si rialzano 
alquanto anteriormente, ma non così esageratamente come nelle Amorie, dove questo 
fatto pare anche in relazione colla strozzatura del vessillo stesso. Il vessillo persiste 
a lungo accartocciato sul legume assieme agli altri petali e prende una consistenza 
quasi scariosa. 

Fra i caratteri che indussero il Moench a stralciare dal G. Trifolium il T. Lu- 
pinaster troviamo anche quello dello stilo uncinato. Su questo punto siamo perfet- 
tamente d'accordo colle osservazioni di Savi più sopra citate. Ma d'altra parte è 
anche vero che il T. Lupinaster ha uno stilo diversamente foggiato da quello del 
T. alpinum ed affini. Anzitutto lo stilo della prima specie è evidentemente molto più 
curvo alla sua estremità stigmatifera, ma per di più presenta due schiacciature in 
due sensi opposti, che nel T. alpinum mancano. Nella sua porzione basilare, che con- 
tinua colla sutura ventrale, lo stilo del T. Lupinaster è abbastanza compresso nel 
senso antero-posteriore, mentre la porzione superiore uncinata è schiacciata nel senso 



RIVISTA CRITICA DELLE SPECIE DI TRIF0L10M ITALIANE 259 

trasversale. Le papille stigmatiche sono portate specialmente sulla faccia inferiore 
dello stimma la quale in grazia della curva diventa superiore, ma sono impiantate 
anche sulla vera faccia superiore ed all' apice dello stigma, che si può senza tema 
di errare chiamare a bottoncino schiacciato (1). Lo stilo del T. alpinum è affatto cilin- 
drico, va gradatamente assottigliandosi a guisa di lesina ed ha una superficie stigma- 
tica molto meno sviluppata. Sotto questo riguardo si avvicina anche alle Amorie, 
nelle quali però lo stilo grosso e cilindrico alla base non è così assottigliato supe- 
riormente dove va a terminare con una grossa capocchia stigmatifera. 

Un'altra particolarità da non passare sotto silenzio nel T. Lupinaster e che 
pare in relazione col suo modo di vegetare è questa: sezionando longitudinalmente 
una delle gemme ipogee del suo rizoma sotterraneo si scorgono all'apice dell'asse 
caulinare breve e tutto intorno alle infiorescenze rudimentali ivi contenute dei nu- 
merosissimi peli clavato-pedicellati di cui altrove già parlammo , trattando cioè 
delle Galearie e dei Trigantheum. Queste produzioni comuni a tutti i Trifogli (2) 
stanno abborracciate nella cavità formata dalle foglioline giovanissime, che contor- 
nano la gemmula fiorale, sui calici appena abbozzati, sui margini delle stipole, ecc. 
e sono così numerose da formare una specie di turacciolo, che riempie questa cavità 
costituita dalle stipole ricurve a volta sulla piccola infiorescenza. I margini delle 
giovanissime foglioline appartenenti ai due o tre internodii superiori della gemma 
ipogea, sono guernite altresì di numerosi peli flagelliformi , lunghi , denticulati per 
ingrossamenti dovuti ad ossalato calcico. 

A giudicare dal loro numero stragrande, dal posto dove si originano e dal fatto 
che esse vanno diminuendo di mano in mano che l'infiorescenza si sviluppa, non es- 
sendo esse più reperibili che sul calice (spesso dentro e fuori), non ci pare soverchio 
ardimento il supporre in esse un ufficio di protezione delle gemme e degli organi 
fiorali giovani. Queste produzioni si trovano nella pianta adulta sparse anche sulle 
stipole, più di rado sulle foglie e sul caule, e la loro diminuzione in confronto alla 
frequenza loro nella gemma, è dovuta anzitutto a ciò, che non formandosene altre 
col crescere della pianta e del tessuto del calice e delle stipole, esse debbono natu- 
ralmente parer diminuite di numero in ragion diretta dell'aumento delle superficie; 
di più esse sono facilmente caduche. Spesso non sono visibili anche al microscopio 
se la preparazione non è trattata previamente con una soluzione alcoolica od acquoso 
di jodio. In nessun trifoglio però, di quelli da me esaminati finora, io ho potuto tro- 
vare una quantità così grande di queste grandule come nel T. Lupinaster, anche 
nell'esame delle gemme fiorali. E se è lecito supporre un nesso immediato di causa- 
bilità fra la lunga durata di tempo che corre dalla formazione della gemma ipogea 



(1) Willkomm e Lange, 1. e, p. 353, hanno stabilito una sotto-sezione Platystilium nella quale 

comprendono il solo T. montanum e varietà. La caratteristica dice : " Ovariurn et legumen in stylum 

" basi latum compressum productum „. — Questo carattere aggiunto alla villosità dell'ovario di cui 
gli autori tacciono, ravvicinerebbe fino ad un certo punto la Stirps del T. Lupinaster sottosezione 
degli autori sopracitati. — Il T. montanum è una specie che necessita uno studio ulteriore perchè la 
sua posizione nei Trifogli sia nettamente stabilita. 

(2) Confronta anche Vuillemin, La subordination de la feuille dans le Fhylum des Anthyllìs, 
pag. 324, lin. 5 (dall'alto) e fig. 47. Nancy, Impr. Berger-Levrault e C, 1892. 



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S. BELLI 



all'espandersi delle infiorescenze, e la necessità di possedere un apparato di prote- 
zione contro gli attriti che questa gemma può subire prima che giunga a svolgersi, 
non parrà soverchiamente fuori luogo la mia supposizione. 

Citerò ancora un altro carattere che mi venne fatto di osservare nella radice 
del T. Lupinaster e che lo allontana sempre più dal gruppo del T. alpinum. 

I saggi spontanei numerosissimi da me osservati nell'erbario di Berlino, in quello 
particolare del Prof. Ascherson, dei Sigg. Sommier e Levier e degli Orti Botanici 
che gentilmente mi fornirono di materiali di studio, mostrano una vera radice tube- 
rizzata, che potrebbe paragonarsi per forma e salve le dimensioni a quella degli 
Asphodelus o delle Daìilìe, Phyteuma, ecc., però poco ramosa e poco fibrillosa. Invece 
nel T. Lupinaster, che da molti anni si coltiva nel R. Orto Botanico di Torino, si 
trova sempre una radice fatta di membra obconiche, ramificata assai, ma poco o 
nulla tuberizzata. 

Per ultimo accennerò ancora ad una particolarità che tocca la ramificazione del 
caule del T. Lupinaster. Dissi più sotto che questa specie raramente mostra rami- 
ficazioni 'di 2° ordine nei cauli fioriferi epigei. (Nel rizoma sotterraneo le ramifica- 
zioni sono invece numerose). Su questo proposito debbo però accennare ad un fatto 
che mi occorse ogni qualvolta dovetti servirmi di piante coltivate per studiare le 
gemme ipogee. Staccando dal rizoma vecchio queste gemme, dopo alcun tempo esso 
rimetteva altri germogli più sottili, meno ingrossati all'apice (dove di solito stanno 
le infiorescenze rudimentali) e costantemente sterili, privi di infiorescenze e soltanto 
fogliferi. Questi rami dopo essersi alquanto allungati emettevano all'ascella delle loro 
stipole altri rametti di 3° ordine con foglie molto ottuse. Su questi rami nascevano 
alla loro volta altri rametti di 4° ordine i quali erano tutti provvisti di fiori. Non 
ho potuto osservare più a lungo questa alternanza consecutiva di rami fogliferi e 
fioriferi, che però si osserva spesso in molti altri vegetali (Pomacee, Ampelidee, ecc.). 
Ma il curioso è che questi rametti invece di crescere fra il caule e la stipola un 
po' obliquamente all'asse generatore, perforavano la stipola e crescevano quasi per- 
pendicolari all'asse generatore, lasciando la stipola fra loro e l'asse stesso. 

Riassumendo tutte queste osservazioni e tenuto anche conto della facies gene- 
rale del T. Lupinaster ci riesce impossibile di riunire il T. Lupinaster alla Stirps 
del T. alpinum. E secondo noi se è da lodare nel Savi la sua esitazione a crear 
nuovi generi, esitazione che noi dividiamo del tutto in ragion diretta delle diffi- 
coltà che le nuove vedute sulla tassonomia hanno create nel limitare il concetto 
generico, non si può per altro soverchiamente biasimare il Buxbaum, allorché cre- 
dette di riconoscere nel T. Lupinaster un tipo differente per struttura dai Trifogli 
Tournefortiani e Linneani. 



RIVISTA CRITICA DELLE SPECIE DI TRIF0L1UM ITALIANE 



261 



DIMOSTRAZIONE GRAFICA 

DELLE StirpeS, CONTENUTE NELLA SEZIONE Lupinaster. 



Sectio LUPI N ASTE R 




262 



S. BELLI 



STIRPS I a . 



EULUPINASTER Nob. 



Garagt. — « Gaules initio hypogaei, rhyzomatosi, e gemmis apogeotropicis (sensu 
Darwiniano) (1) prodeuntes, et iniorescentias rudimentales apice gemmarum inclusas 
gerentes. — Stipulse rhyzomatis et inferiores caulorum epigeorum aphyllae: superiores 
caulis tri- quinque- septem- novem foliolatae » Nob. 

Hujus stirpis: T. Lupinaster L. — T. eximium Steph. 



Species l a . 



T. Lupinaster, L. 



L. Sp. pi., ed. III a , p. 1079 (1764), et Sist. Veg. (14 ediz. Murray), p. 687 
(1784) - Thunbg. FI. Japon., p. 290 (1784) — Willd. Sp. pi. Voi. Ili, p. 1357 
(1800) — Schkuhr Bot. Handb. Voi. II, p. 402 (1805) — Ait. Hort. Kew. Voi. IV, 
p. 381 (1812) — Sibth. et Sm. FI. Grac. Prod. Voi. II, p. 95 (1813) — Savi Bibliot. 
Ital. Voi. VIII, p. 132 (1817) — Link Enum. R. H. B. Berol. Voi. II, p. 260 (1822) 

— Maratti FI. Rom. Voi. II, pag. 153 (1822)? (2) — Savi Bot. Etr. Voi. IV, p. 47, 
N. 496 (1825) — Ser. in DC. Prod. Voi. II, p. 204 (1825) — Ledeb. r C. A. Meyer 
et Bunge FI. Alt. Voi. Ili, p. 258 (1831) — Lessing FI. Sud Ural u. stepp. in 
Linnaea, Voi. IX, p. 154, 157 (1834) — Richter Cod. Bot. Linn., p. 742 (1835) — 
Ledeb. FI. Ross. Voi. I, p. 551 (1842) — Griseb. Spicil. FI. Rumel. Voi. I, p. 8 
(1843) — Dietrich Syn. pi. Sez. IV, p. 1003 (1847) — Nyman Syll. FI. Europ., 
p. 296 (1854-55) — Aschers. Beitr. FI. nordost. Deutschl. in Linnaea, Voi. XXX, 
p. 504 (1859-60) — Beichbch. fil. Icon. FI. Germ. et Helv. Voi. XXII, p. 74 (1874) 

— Celak. Ueb. Aufb. der Gatt. Trifolium in Oesterr. Bot. Zeitschf., N. 2, p. 42 et seq. 
(1874) — Nyman Consp. FI. Europ., p. 179 (1878-82) — Koch Taschbch. der Deutsch. 
u. Schw. FI, ediz. 2 a , p. 521 (1878) — Garcke FI. von Deutschl., p. 96 (1878) — 
Janka Trifol. Lot. Europ., p. 154 (1884) — Schlchtdl. etc Hallier FI. von Deutschl. 
Voi. XXHI, p. 275 (1885) — Garcke FI. von Deutschl., 16 a ediz., p. 104 (1890). 



(1) Darwin, La faculté motrice dans les plantes (trad. Heckel), Paris, Reinwald, 1882, p. 6. 

(2) Vedi la " Distribuzione Geografica del T. Lupinaster „ a pag. 270. 



RIVISTA CRITICA DELLE SPECIE DI TRIFOLIUM ITALIANE 



263 



Lupinaster sp. Buxbaum, 1. c. 

Lupinaster pentaphyllus Mosnch, 1. c. — Presi. Symb. Bot. Voi. I, p. 47. 
Pentaphyllon Lupinaster Pers., 1. c. 

Pentaphyllum Ammani. Ledeb. Ind. Sem. H. Dorpat, p. 5 (1823). 
Pentaphyllum Lupinaster Spreng., 1. c. 

Lupinaster purpurascens Fisch. (in litt.) sec. Ser. in DC. Prod., 1. c. 
(Vide quoque in " observationibus „ Auctores ante Linnaeum). 

Subvar. p. alòiflorum Ser. in DC. Prod., 1. c. — Ledeb. FI. Ross., 1. c. 
Lupinaster albens H. gorenk. (ex Besser in herb. Zeyheri) sec. Ledeb. FI. Ross., 1. c. 
Lupinaster albens Fisch. in Herb. R. H. Bot. Berol. 

Subvar. y obtusifolium Nob. = T. Lupinaster var. f oblongifolium Ser. in DC. 
Prod., 1. c. 

Icones. — Buxbaum, 1. c. — Bot. Mag. 22, 879 (Pritzel) — Gmelin FI. Sibir. 
Tab. 6, -fig. 1 — Martyn FI. Rust. t. 16 — Reichbch. fìl. Icon, 1. e, tab. 81 — 
Schlchtdl. etc. Hallier, 1. e, fig. 2390. 

Icon nostra. — Tab. I, fig. 1 — 16*". 

" Pedunculis axìllaribus, interno latere profunde canaliculato-sulcatis , in recepta- 
culum dilatatum subovatum, intus excavatum extus plano-convexulum desinentibus. Floribus 
magnis (12-15 mill. long, usque ad 20), interna facie receptaculi, irregulariter bi-seriato- 
subverticillatis ; pedicello longiusculo villosulo affixis; inferioribus semper minus evolutis, 
saepe tabescentibus, cymam scorpioidem simuìantibus, revera racemosis; quoque verticillo 
involucro tenui, squamiformi, continuo, interno latere tantum interrupto, denticulato- 
erosulo, villosulo-ciliato suffultis — Legumine superne villosulo 4-plejospermo, sutura 
superiori dehiscente vel lateraliter ruptile — Foliolis sessilibus 3, 5, 7, 9-natis, elegan- 
tissime nervosis nervis elevatissimis apice cartilagineo sursum verso terminatis „ Nob. %. 

Subvar. P " Floribus albis, foliolis saepius linear i-lanceolatis acutiusculis „ Nob. 

Subvar. y — " Foliolis apice obtusis, lato-lanceolatis vel oblongo-obovatis nervis 
dentibusque obsoletioribus „ Nob. 

Descrizione. 

Perenne : 

Radice di solito fascicolata subtuberizzata , napiforme (rammenta quella della 
Campanula rapunculus, dei Phyteuma, Asphodelus, ecc.) ramificata inferiormente ov- 
vero (nel T. Lupinaster coltivato) suddivisa in rami di 2° e 3° ordine gradatamente 
decrescenti in grossezza fino alle radicelle capillari numerosissime formanti una fitta 
matassa provvista di numerosissimi grumi a corpuscoli bacteroidi. , 

Caule cespitoso. Rami molteplici dal colletto, più di rado uno solo dapprima bre- 
vissimi, gemmiformi ravvolti dalle stipole afille accavalcantisi, poi gradatamente 



264 



S. BELLI 



arcuato-ascendenti (ape-geotropici) e finalmente epigei, allungati, con internodii distanti, 
cilindrici, glabri o leggermente pubescenti in alto, verdi, o colorati in sanguigno alti 
fino a 60 cent, semplici, rarissimamente ramificati. 

Foglie senza picciuolo. Quelle della porzione ipogea rizomatosa ridotte alla sola 
stipola, brevi, appressate, tubulose (lineari distese in piano, più o meno guainanti 
inferiormente, con due brevi orecchiette (code) ottuse od arrotondate, mucronate o 
no, e cigliate superiormente per peli brevi, rigidi, denticolati le susseguenti dap- 
prima trifoliolate con stipole più allungate, conformi alle precedenti, colorate in 
verde od in rossigno, membranacee, presto scariose, biancastre, con code triangolari- 
allungate più o meno ottuse od anche acute, guainanti alla base: le superiori 
con 5-7 e rarissimamente con 9 foglioline, e con stipole larghe ovato-oblunghe , 
con guaina alta e con code oltrepassanti la parte adesa, acuminate, glabre, cigliate. 
— Foglioline più verdi sopra, più pallide sotto, inserite direttamente sulla sti- 
pola, glabre o villose soltanto di sotto lungo la nervatura mediana, lanceolato- 
oblunghe, oblungo-lineari o lineari-lanceolate, più di rado (var. y) obovate, spesso 
acute, ottusette (var. t) e raramente acuminate, mucronulate, finissimamente e dop- 
piamente seghettate al margine, con denticulature alternativamente grosse e piccole, 
terminate in punta cartilaginea ricurva verso l'apice della fogliolina o più di rado 
con denticoli poco salienti (var. y); elegantissimamente nervose, con nervi elevati e 
sporgenti sulla pagina infet'iore, specialmente il mediano, fitti, appressati, arcuato- 
paralleli, pennati, ripetutamente forcati e coi nervi più esili frapposti ai rami della 
biforcazione. 

Infiorescenza. — Peduncoli ascellari del caule e più raramente dei rami (Vedi parte 
generale) di lunghezza varia e scanalati sulla faccia interna. Capolini dimezzati ir- 
regolari, non numerosi (ordinariamente due o tutt'al più tre per ogni caule), più o 
meno lassi, con 4-5 fiori od un po' compatti (fino a 40 fiori), grandi, vistosi (12 
(media 16), 20 millim. lunghezza) (Vedi parte generale); i superiori più sviluppati, 
gli inferiori man mano più piccoli e gli infimi spesso intristiti. Pedicelli pubescenti 
o glabriusculi, subeguali al tubo calicino o più brevi, talvolta più lunghi, inseriti 
talora senza ordine apparente, ma più spesso disposti in due o tre ordini concentrici, 
salvo in corrispondenza alla scanalatura interna del peduncolo ed all'ascella di squame 
saldate a collaretto membranaceo-scarioso, crenulato-ondulato, cigliato (costituito da 
una semplice duplicatura epidermica), spesso colorato in rossigno come i pedicelli 
ed interrotto pur esso a livello della gronda del peduncolo, od anche ridotte in tal 
punto a minute squamule o fibrille indistinte, disordinate, ravvolgenti i pedicelli. 

Calice campanulato-obconico, tagliato un po' in sbieco dall'alto al basso (a spese 
del labbro superiore), membranaceo, spesso colorato in rossigno, pubescente per peli 
un po' crespi esternamente in corrispondenza della fauce ed anche un po' sulla 
faccia interna alla base dei denti e sugli spazii interdentali parabolici, con dieci 
nervi, dei quali cinque (dentali) più validi e continuantisi nei denti triangolari-allun- 
gati, sottili (subulati) trinervi alla base e poi uninervi con fitte e brevi ciglia al 
margine e quivi più o meno scariosi, più lunghi del tubo talora il doppio, segnata- 
mente l'inferiore. 

Corolla porporino-rosea, massime nella porzione superiore dei petali, pallida in- 
feriormente, ovvero tutta bianca (var. (3), seccando subscariosa, persistente a lungo 



RIVISTA CRITICA DELLE SPECIE DI TRIFOLIUM ITALIANE 



265 



accartocciata sul legume e finalmente caduca. Vessillo quasi libero dagli altri petali 
connati nell'unghia, obovato o lanceolato-ellittico (disteso in piano), dapprima com- 
piegato sugli altri petali, poi leggermente rialzato anteriormente ed ai lati al mo- 
mento dell'antesi e finalmente accartocciato di nuovo; lungo il doppio del calice e 
più; con unghia subnulla, arrotondato all'apice, integro o lievemente smarginato- 
troncato, mucronulato, ricco di nervature esili, forcate, riunite in pochi fasci più 
grossi alla base. Ali alquanto più brevi del vessillo, irregolarmente lanceolato-obovate, 
con auricula rostriforme ottusa. Carene cultriformi, apiculate e con auricula breve 
ottusa, subeguali alle ali. 

Stami colla porzione concresciuta più lunga assai dei filamenti liberi che sono 
alternativamente dilatati e no sotto l'inserzione delle antere e il mediano più dila- 
tato di tutti, talora il mediano solo dilatato. Stame vessillare libero, subulato. Antere 
introrse, dorsifisse, oblungo-ellittiche. Polline grande, globuloso, con tre pori di 
deiscenza. 

Ovario irregolarmente fusiforme, stipitato, poliovulato, glabro dovunque salvo an- 
teriormente sulla sutura ventrale, dove è fornito di due serie di finissimi villi pro- 
lungantisi spesso fino ai 3 / 4 della lunghezza dello stilo, rarissimamente con qualche 
villo sparso; stilo un po' schiacciato nel senso antero-posteriore alla sua origine, 
poi cilindrico, e finalmente schiacciato lateralmente in alto nella porzione ricurva 
stigmatifera. Stimma a bottoncino, dorso-ventrale. 

Legume brevemente stipitato, lineare, oblungo, membranaceo, glabro salvo che su- 
periormente sulla sutura ventrale lungo i margini, dove conserva i villi già accen- 
nati sull'ovario; leggerissimamente venuloso-reticolato sulle pareti, deiscente sulla 
sutura ventrale e contemporaneamente per rottura delle faccie. Semi (4 (media 5), 
8, 10) globuloso-cordiformi, compressi, verdognoli, lisci, disposti colla loro faccia 
perpendicolarmente all'asse longitudinale del legume. Cotiledoni accumbenti: radi- 
chetta discretamente prominente. 

Letteratura e Critica. 

Fra i pochi Autori 'anteriori a Linné che si occuparono del T. Lupinaster, citerò 
Gmelin (1), che lo descrisse e figurò assai bene. A sua volta questo Botanico si ri- 
ferisce ad un " Trifolium montanum purpureum folio obtuse crenato „ di Bauhino 
(Pin.), il qual carattere non ci pare molto spiccato nel T. Lupinaster. Ma, al solito, 
è difficile dire se Bauhino alludesse veramente al T. Lupinaster con quella frase. 
Trascrivo qui sotto la descrizione dello Gmelin, la quale tien conto di molte parti- 
colarità del T. Lupinaster, tralasciate dagli Autori moderni : 

" Radix crassiuscula, intus alba, foris fusca, asphodeli ramosi non multum absi- 
" milis; caules ex ea plures, septem vel octo geniculis distincti a quibus stipulae 
" vaginantes prodeunt foliola emittentes lanceolata serrulata, primordialia terna, se- 
" quentia quina, rarissime sena, magnitudine inequalia, vigente pianta utrinque vi- 
" ridia breui pediculo insidentia. 



(1) D. Ioh. Georgi. Gmelin, Flora sibirica, t. IV (Petropoli), 1769, pag. 19, n. 27. 
Serie II. Tom. XLIV. 



266 



S. BELLI 



" Flores capitati terminales, nec infrequenter ad caules copiosi. Calycis tubus 
" breuis quinquedentatus, dentibus tribus, inferioribus longitudine fere carinae, supe- 
" rioribus brevioribus. Alae et carinae infra cum filamentis novemfidis coalitae ; 
" corolla persistens vel purpurea vel alba; legumen calyce longius, polyspermum. 
" Capitula longe pedunculata sunt, situs (1) nonnumquam ut caulis in fastigio prae- 
" longetur atque capitulum protrudat maiori florum numero compositum. 

" In omnibus Sibiriae montosis locis, praesertim in rupibus inter Ieniseam et Kras- 
" nojaricum urbes, circa Irkutiam usque ad mare orientale occurrit. Ammannus habet 
" et Baskirorum regionibus ab Heinzelmanno adlatum quoque fuisse. 

" Sub initium mensis Iuni fìoret, atque sub medium Augusti semina sua perficit „. 

Pare che questo Autore abbia osservato qualche cosa di anormale nel capolino 
del T. Lupinaster; devo però confessare che io non posso comprendere il signifi- 
cato della frase: " ...ut caulis in fastigio praelongetur atque capitulum protrudat 
" majori florum numero compositum. „ La curiosa disposizione dei fiori nel capolino 
del T. Lupinaster, oltreché da Linné e da' suoi predecessori, è stata notata da altri. 
Schkuhr, 1. e, scriveva: " T. Lupinaster... mit getheilten Blumenkdpfchen „; Koch 
e Grarcke, 1. e: " Dolden einseitig „; Reichenbach (fil) accennò solo ed unico alla cu- 
riosa conformazione del collaretto adattantesi al ricettacolo foggiato a palmetta colla 
frase " involucro semicupulari „. 

Non mi fu concesso di vedere le descrizioni o le frasi degli Autori di Flore 
Russe (eccettuate le citate) o di coloro che scrissero sul T. Lupinaster raccolto nei 
viaggi, quali Iundzill, Eichwald, Pallas, Besser, Fisch, Georgi, Lepechin, Falk, Claus, 
Goebel, Turczaninow, ecc. 

Non posso passar sotto silenzio come Presi nella caratteristica della sezione 
Lupinaster scriva : " herbae humiles „ e " vexillo non nervoso-plicato „ , due carat- 
teri che non si confanno col T. Lupinaster da lui riunito in questa sezione con 
altre specie non legate per naturale affinità, come già si è detto. Aggiunge il Presi 
che il nome Lupinaster dato da Moench a questa sezione deve essere conservato, 
quantunque vi si includano altre specie: " Nomen Moenchi servandum „. Ma Presi 
non dice il perchè. . Secondo me invece si dovrebbe dire anzitutto: " Nomen Buxbau- 
" mii servandum „, e, del resto, a giudicare dai caratteri di Moench, il genere Lu- 
pinaster dovrebbe scomparire. 

Dalla descrizione dello Grinelin appare come la varietà a fiori bianchi fosse già 
fin da tempi remotissimi conosciuta. La descrizione di Buxbaum accenna nel suo 
tipo a corolle porporine, ma è probabile che anche la var. albiflora sia altrettanto 
espansa nel suo luogo natale. Nell'Erbario del Museo Imperiale di Berlino ho ve- 
duto un saggio di T. Lupinaster che mi parve fino ad un certo punto distinto per 
la forma delle foglioline piuttosto obovate che lanceolate, e soprattutto ottusissime 
all'apice. In esso anche le nervature erano meno accentuate e la consistenza del lembo 
minore. Foglioline però ottusissime in esemplari coltivati ho osservate soventissimo, 
massime allorché si tagliano i cauli fioriferi ed il rizoma mette nuovi germogli. 



(1) Prima di " situs „ dovrebbe esservi " Pedunculus? „ (questa parola supponibile manca nel 
testo). 



RIVISTA CRITICA DELLE SPECIE DI TRIF0L1UM ITALIANE 267 

In un solo saggio dell'Erbario di Berlino ho osservato delle foglioline acuminatis- 
sime con lungo mucrone apicale. 

Il T. Lupinaster varia poco nelle sue membra vegetative e meno ancora negli 
organi fiorali. La varia sua statura ed il suo sviluppo sono certamente in dipen- 
denza di circostanze locali di vegetazione. Si legge nella Flora Altaica di Lede- 
bour, 1. e, che la var. p putpurascens " caulem habet erectum elatiorem, qui in 
var. a {albiflorum) humilior ipsa basi adscendente, caeterum erectus. „ 

Mi è parso però di vedere nei diversi erbarii ed anche abbiamo coltivata la 
var. albiflorum con caule molto sviluppato e viceversa la var. purpurascens con cauli 
bassi e cespitosi. 

Soventi volte il T. Lupinaster mostra foglioline affatto lineari, strettissime, so- 
prattutto in certe forme coltivate degli erbarii, nelle quali anche la ramificazione è 
più sviluppata. Il numero delle foglioline sembra essere prevalentemente dispari. 
Prescindendo dalle primordiali delle stipole inferiori che cominciano a mostrarne 
(una, due o tre), esso è quasi sempre cinque, sette e più di rado nove. 

Varia eziandio entro certi limiti la lunghezza dei peduncoli fiorali, la larghezza 
della palmetta, o ricettacolo ovato che porta i fiori e variano pure nello sviluppo e 
nella grandezza e profondità delle dentature i collaretti che li avvolgono; in molti 
casi si ha un collaretto molto ben sviluppato con denti regolari così da rammentare 
le vere Involucrarie americane. 

Già abbiamo parlato d'una circostanza che fa variare la profondità della scana- 
latura nel peduncolo fiorale (Vedi parte generale) in rapporto col maggiore o minor 
numero dei capolini nella gemma ipogea ; all'infuori di ciò il peduncolo fiorale varia 
anche nella grossezza e nell'indumento esteriore tricomatoso. 

I fiori hanno una lunghezza media di 16 millimetri con un massimo di 20 ed 
un minimo di 12, ben inteso, prendendo a misurare sempre uno dei fiori superiori 
di ciascun capolino al momento dell'antesi. 

Un po' variabile è la lunghezza relativa del tubo del calice in confronto ai 
denti, ed un rapporto assai costante si ha misurando sempre il dente inferiore, che 
è di solito più lungo del doppio del tubo e raggiunge metà della lunghezza del ves- 
sillo ; questi rapporti sono molto più costanti nel tipo che nella var. |3. La lunghezza 
degli altri denti varia in ragione della maggiore o minore obliquità della fauce. Si 
hanno variazioni di poco conto nell'abbondanza dell'indumento esteriore tricomatoso 
del calice, nella larghezza basilare dei denti e nelle loro nervature, le quali sono 
talvolta riunite fra loro da qualche trabecola trasversale. Quanto alla villosità, si 
può dire che la var. (3 è più villosa sul tubo del calice che non il tipo. 

Nei petali v'ha uniformità somma quanto a contorni, grandezza e colore, all'in- 
fuori delle poche variazioni già dette. 

La difficoltà estrema di procurarmi dei semi spontanei di T. Lupinaster mi 
impedisce di stabilire degli sperimenti di coltura onde assicurarmi del valore in 
costanza delle varietà da me stabilite. 



268 



S. BELLI 



Habitat. 

Erbario Mus. Imperiale R. di Berlino. 

Dahurien — (Fischer misit) 1839 (Erb. Link.). 

Aitai — Meyer misit (1832). 

Aitai — leg. D 1 ' C. Dumbery (Barnaoulensi). 

Wernoje in regionibus cis = et transiliensibus. Cf. Regel, " Bull, de la Soc. Impér. 

de Moscou „, 1866 (imp. separ., p. 35) — leg. Kuschakenvicz. 
In pratensibus prope Buchtarminsk (Sibiria Altaica) sat frequens leg. Karelin et 

Kiriloff. (1840). 

In Diirren Waldern des Grodnickern districts im Sudlichen Lithauen hàufig (Rchb. 

FI. Exc. nov.) leg. S. B. Gorski. 
Slato-ust (i. e. Ostium aureum) Ural — Lessing misit (1833). 
Bogoslawsk-Jekaterinburg — Ehrenberg (1829). 
Amur — leg. Maximowicz. 

Subvar. 0. 

Herb. Hort. Petrop. ex reg. cis = et transiliensibus — leg. Kuschakenwicz. 
Herb. Kunth. Circa Barnaoul (Sibiria) leg. Patrin. 

Herb. Hort. Petrop. — Japonia, Nippon, Fudzi-Yama (mons ignivomus prope Tokio) 
leg. Jeddo. 

Subvar. t. 

Herb. Royal Gard-Kew. — Coast of Manchuria (Lat. 44-45 N ), leg. C. Wilford (1859). 

Erbario Ascherson (Berlino). 

Herb. Klinggraff. Thorn im Grabier Walde (Borussia occid.), leg. Nowicki (Juli 1853). 
Herb. Rostafinski — Ciechocinek bei Wtoctaweck (Polonia rossica, haud procul ab 

urbe borussica Thorn), leg. E. Alexandrowicz. 
Argenau (olim Gniewkow) Kr. Inowrazlaw. Provinz Posen. Kiefernwalde osti. d. 

Eisenbahn am Wege nach Ruhheide, leg P. Ascherson — 18-1888. 
Argenau — Chaussee nach Thorn im Kiefernwalde, leg. P. Ascherson. 

Subvar. p. 

Herb. Sanio — Lyck im Baranner Forst. (Borussia orient.), leg. Otto Fischer (Jul. 

1856). 

Argenau — Chaussee nach Thorn im Kiefernwalde, leg. Dabrowski (Cf. Bericht der 
Deutsch. Bot. Gesell. 1892, p. 74). 

NB. — Kock, ed. 4 a (curante Wohlfahrt, p. 574), ritiene che il T. Lupinaster 
sia pianta originaria di Siberia ed importata in Lituania e Prussia. Il Prof. Ascherson 



RIVISTA CRITICA DELLE SPECIE DI TRIFOLIDM ITALIANE 



269 



di Berlino che gentilmente mi comunicò il materiale del Regio Museo ed il suo 
proprio, aggiunge in una sua lettera, che l'opinione del Koch sopra esposta sul T. Lu- 
pinaster è falsa: " Opinio erronea T. Lupinaster plantam Sibiricam esse in Europam 

* tantum efferatam redit nuperrime in Koch Syn. ed. 4 a , curante Wohlfahrt, p. 574 „. 

* Aus Sibirien eingewandert „. 

Erbario Boissier. 

In Ircutia leg. Hschunin. 

Prope Krasnoyarsk leg. Adams. 

Amur leg. Maximovicz (var. y obtusifolium). 

Langarei-Karkaroly-Berge leg. Schrenk. 

In pratensibus prope Buchtarminsk leg. Karelin et Kiriloff (Soc. Imp. Nat. curios. 
Mosq.). 

In pratis trans-baikalensibus — misit Turczaninow. 
Var. p. — Alatan misit Bunge. 

Erbario Sommier. 

Ad flumen Ob-Or Nial (Balscioinos). Ultìmum promontorium ripae dexterae parum 

ultra circulum polarem — leg. Sommier. 
Ad flumen Ob in sylvaticis ripae dexterae — Monastyr-Kandjusk. 
Ad flumen Ob ripa laeva (terra firma) Voikarskii Zimnii-jurti. 
Ad flumen Ob-Obdorsk sub circulo polari. 

Var. p. 

In collibus saxosis arenosisve regionis mediis jugi Uralensis (Gr. o Clerc Plantae 
Uralenses). 

Haud procul a Nijni-Taghilsk in pratis et sylvis montium Uralensium. 
Ad flumen Ob ripa laeva sub circulo polari — Labuitnang (Sommier). 

Erbario Roma. 

Saggio del " Scientific department of Tokio University „, senza località. 

Distribuzione geografica. 

NB. — Il T. Lupinaster ha il suo centro di diffusione nell'Asia boreale e 
media. — Ledebour, 1. e, assegna a questa specie le seguenti regioni: " Rossia 
media (Lithuania) Iundz. Eichw. ad flumen Kama; Falk: in guberno Orenburg prope 
Slatoust (Nesterofski), et omni Sibiria (J. Gr. Gmelin); (uralensi!) (Heinzelmann ex 
Amman, Pallas, Lepechin, Falk, Claus, Lessing, Uspenski): {altaica!) (Pallas, Falk. 



270 



S. BELLI 



FI. Alt.) prope Krasnojarsk (Turczaninow in litteris): (Baikalensi!) (Georgi, Turcza- 
ninow Schtschukin) : et orientali, inter Jakutzk et Wilnisk (Kruhse), inque Davuria 
(Turczaninow. Fisch pi. exsicc.) ». — Il suo limite occidentale è segnato in Europa 
dalla Prussia (est ed ovest) dove fu trovato secondo Garcke, 1. e: " In Ostpreussen 
bei Lyck ira Baranner Forste; im lohannisburger Forst zwischen Schiast und Piskor- 
zowen, Osterode, und frùher bei Allenstein; in Westpreussen unweit Thorn in einer 
Birkenschonung bei Lerchenort und Kuchnic „. 

Il suo limite orientale è segnato dalle coste di Manchuria (Wilford), e Thunberg, 
1. e, riporta Osacca come la sola località nel Giappone dove questa specie sia stata 
trovata spontanea ma nell'Erbario di Berlino esiste pure raccolta a Nippon e sul 
Fudzi-Yama. 

In Prussia esistono tutte e due le forme a fiori porporini e bianchi. Così scrive 
Ascherson, 1. e: " T. Lupinaster: Grabier Wald bei Thorn von Novicki, von Herrn 
von Klinggraff mitgetheilt. Dort scheint die Pflanze nur purpurne Bliithen zu haben, 
wàhrend sie bei Lyck in Oestpreussen nach Sanio nur mit gelblich-weisser Blumen- 
krone vorkommt „. 

Nella flora romana di Maratti, 1. e, vien riportato il T. Lupinaster come 
pianta stata trovata spontanea " ad caput Rami et ad Nympham, etc. „. E possi- 
bile che altra volta siasi trovata accidentalmente questa specie nelle località citate 
dal Maratti. Certo è che oggidì non se ne trova più traccia nè negli erbarii, nè fra 
le specie avventizie trovate nella Flora Romana. Così ebbe a dirmi il Prof. Pirotta 
di Roma. Altrettanto deve dirsi del T. Lupinaster ascritto da Ucria al dominio della 
Flora Sicula, e riportato da Gussone nel " Prodromo „ (pag. 53) " in siccis et 
montosis „, e poi nella " Synopsis „ dove però aggiunge: " an T. hybridum? „. 
Il Dott. Lanza, assistente alla Cattedra di Botanica di Palermo, scrissemi non aver 
trovato negli Erbarii di Gussone e di Tineo alcun saggio riferentesi al T. Lupinaster 
od al T. hybridum, aggiungendo : " Sul fatto che Ucria riporti il T. Lupinaster, non 
si può stabilire che a suo tempo questa pianta crescesse veramente in Sicilia. Le 
piante di Ucria che Gussone riporta precedute da una croce (>$<) in calce ai generi 
cui si riferiscono, più che piante oggi scomparse o non più ritrovate, sono piante 
dall'Ucria malamente determinate „. 

Nyman, ì. e, assegna le seguenti regioni al T. Lupinaster: Lithuan — Polonia 
— Boruss. — Ross. med. 

Species LI a . 

T. eximium Steph. 

Ex Fischer et Stev. in litteris (Ser. in DC. Prod. Voi. II, p. 203 (1825) — 
Bunge Enumer. pi. Altaic, p. 63 — Turcz. Cat. Baikal, N. 303 — Ledeb. Fi. Ross. I, 
p. 551 (1842) — Walpers Repert. Voi. I, p. 647 (1842). 

T. elegans Steph. herb. (fide specim.) non Savi. 

T. grandiflorum Ledeb. in Spreng. Syst. Veget. Voi. Ili, p. 218, N. 108 (1826) 
et FI. Ross. Icon. Voi. I, p. 23 (1829) — Ledeb. C. A., Meyer et Bunge FI. Alt. 
Voi. IE, p. 257 (1831) — Dietrich Syn. pi. Sect. IV, p. 1003, Num. 131 (1847). 



RIVISTA CRITICA DELLE SPECIE DI TRIFOLIUM ITALIANE 



271 



T. speciosum Fisch. (in herb. R. H. Bot. Berol.). 

T. alpinum Pallas. li. II, p. 123 — Georgi Beschr. d. Russ. R. Ili, 4, p. 1191 
(ex parte) non L. (ex Ledebour FI. Ross., 1. e). 

Var. albiflora {Fisch. in litt.) Ser. in DC. Prod. LI, p. 204. 

" Pedunculis subbifloris, calycis glabri dentibus lanceolatis corolla multo brevioribus, 
vexillo ampio alas latas superante, stipidis late ovatis, caule humili pubescente, foliolis 
obovatis serrtdatis glabriuscidis „ Ledeb. in Spr., 1. e. 

" Calde hypogaeo repente, ramis adscendentibus, pedunculis axillaribus, floribus 2-5, 
pedicellatis laxe umbellatis, defior atis deflexis, calyce corolla 2-triplove breviore: dentibus 
lanceolatis subcequalibus tubum paullo superantibus, stipulis ovatis vel ovato-oblongis acutis 
mucronatisve, pedunculis pilosiuscidis, foliolis ternis, obovatis serrulatis subttis ad costavi 
adpresse pilosis caeterum glabris „ Ledeb. FI. Ross., 1. c. 

" Pedunculis axillaribus cilindricis, vel laevissime canalicidatis. Involucro cupulari 
regulari sinuato-crenulato. Calycis dentibus basi cordatis laciniis reticulato-venosis. 
Legumine tentassimo, membranaceo subtiliter venuloso — Foliolis breviter vel longiuscule 
petiolatis — Vexillo ampio — Ovario glaberrimo — Corolla roseo-luteola „ Nob. 

Icones — Ledeb. FI. Ross. Icon., 1. e, tab. 96. 

Icon NOSTRA — Tab. II, fìg. A. 

Descrizione. 

\ 

Perenne. 

Radice fusiforme più o meno grossa e fittonosa, ramificata, grumosa. 

Caule cespitoso, dapprima ipogeo con gemme apogeotropiche, strisciante, rizoma- 
toso con rami infine epigei, pochissimo ramificati, superiormente cilindrici, glabri o 
pubescenti. Stipole del rizoma ipogeo afille, sottili, membranacee, oblunghe, ottuse, con 
nervature spiccate e con due cordoni peziolari più robusti: stipole delle foglie infime 
dei rami epigei, sviluppanti dapprima una, due o tre foglioline piccolissime, quasi 
senza picciuolo, rudimentali; le susseguenti con foglioline gradatamente più svilup- 
pate e con tre cordoni peziolari percorrenti per intero la guaina, ramificato-biforcati 
al margine, tutte glabre, con code ottuse all'apice e brevemente guainanti alla base. 
Stipole superiori obovato-lanceolate o semi-ovate, bianco-verdognole alla periferia, 
brevemente guainanti, acute od acuminate, oscuramente dentate, quasi ondulate ai 
margini e quivi con rare ciglia, con nervature ripetutamente biforcate ed anasto- 
mosate in reticolo con nervi più esili fra le biforcazioni. — Foglioline obovate od 
obovato-ellittiche, od oblungo-obovate, glabre salvo che di sotto sulla nervatura me- 
diana dove si trova qualche villo setoloso, con nervature poco elevate e non nume- 
rose, bi-triforcate a metà percorso o solo al margine con altre più piccole interposte 
formanti un reticolo oscuro, subcrenulate al margine massime inferiormente. 

Infiorescenza. — Peduncoli solitarii ascellari cilindrici, talora con leggiero solco 
sulla parte interna, villosi od irsuti, portati tutti all'ascella dalle foglie supreme, uno 
per ramo o più di rado due, terminati da un capolino assai lasso, con due o tre fiori 



» 



272 S. BELLI 

involucrati da un collaretto cupuliforme, membranaceo-scarioso, senza nervature, cre- 
nulato o dentato con rari villi e qualche glandola pedicellato-clavata (sparsa anche 
sui peduncoli). Fiori pedicellati: pedicelli subeguali al calice (denti compresi). 

Calice tagliato in sbieco a spese del labbro superiore: tubo glabro esteriormente; 
internamente guernito di glandule clavato-pedicellate. Nervature del tubo dieci, 
cinque dentali più valide; cinque commissurali più esili che giunte allo spazio inter- 
dentale si biforcano e si recano ognuna alla base ed al lato interno di ciascun dente 
formando una serie di maglie larghe irregolari che vanno sino all'apice del dente 
stesso (Vedi Tav. II, Fig. 2). Denti larghi, triangolari, cordati alla base, acuti, un 
po' fogliacei, guerniti di peli brevi e radi ai margini, più lunghi negli spazii inter- 
dentali e in corrispondenza della fauce. 

Corolla roseo-giallognola, seccando un po' scariosa, persistente a lungo nel frutto. 
Vessillo quasi libero dagli altri petali, grande, obovato-ellittico, senza unghia, un po' 
cochleariforme, compiegato prima e dopo l'antesi, un po' rialzato al momento della 
fecondazione, molto più lungo del calice (2-3 volte) ed oltrepassante le ali, con ner- 
vature percorrenti tutto il lembo, biforcate e riunentisi in pochi fasci inferiormente. 
— Ali irregolarmente obovate, con becco ottuso ; acute od ottusette all'apice. — Ca- 
rene cultriformi apiculate. 

Stami coi filamenti liberi più brevi della porzione adesa, decrescenti in lunghezza 
dal mediano ai laterali e quello più dilatato di tutti sotto l'inserzione delle antere 
introrse, oblungo-ellittiche. 

Ovario fusiforme-lineare, glaberrimo. Stilo cilindrico, ingrossato-ricurvo verso l'alto 
e quivi con stigma a bottoncino apicale. Ovoli 3- (6) -7. Legume clavato-oblungo , te- 
mpissimo membranaceo, colle suture robuste, reticolato-venuloso sulle pareti, glabro J 
stipitato. Semi 3-5-6 cordato-globulosi, glabri, lisci, verde-giallastri. 



Letteratura e critica. — Osservazioni. 

Il T. eximium rappresenta la seconda specie da me conosciuta che faccia parte 
della Stirps Eulupinaster. Al pari del T. Lupinaster esso possiede un rizoma sotter- 
raneo con stipole afille, il quale dà origine a gemme dapprima brevi, poi allungantisi 
dopo un certo tratto apogeotropicamente e dando origine a rami epigei fogliferi e 
fioriferi. Nelle brevissime gemme ipogee sta pure qui rinchiusa l'infiorescenza in 
miniatura, la quale non presenta il fatto osservato nel T. Lupinaster della scanala- 
tura del peduncolo fiorale per ciò che il capolino quasi sempre unico per ogni ramo 
è ridotto a due o tre fiori e non subisce perciò nella gemma la forte compressione 
derivante dal numero dei fiori e dalla vicinanza dei capolini ristretti all'apice del 
caule nelle guaine stipolari rispettive. Per la stessa ragione nel T. eximium il ricet- 
tacolo è normalmente sviluppato, simmetrico e regolare. Nel peduncolo può ricono- 
scersi una leggerissima depressione al lato interno; del resto esso è affatto cilindrico 
Il T. eximium è apparentemente simile nell' aspetto generale al T. alpinum , ma in 
realtà egli è un vero parente del T. Lupinaster soprattutto per la struttura del- 
l'ovario e del legume, pel numero e per la forma dei semi e per la natura dei tricomi 



RIVISTA CRITICA DELLE SPECIE DI TR1F0L1UM ITALIANE 



273 



che rivestono la fauce ed i denti del calice. — Il T. eximium si riconosce facilissi- 
mamente, oltre agli altri caratteri, soprattutto per le lacinie del suo calice cordate 
alla base ed elegantemente reticolate. — Dalla figura data da Ledebour nelle Icones 
il vessillo appare roseo più o meno pallido e le ali e le carene bianco-giallastre, 
o giallo-brunastre: la fogliolina mediana è sessile e le foglie sono veramente digi- 
tate; i pedicelli in detta figura sono più lunghi del calice, lo che sui saggi essic- 
cati spesso non si trova. In questi anche il colore della corolla pare uniforme. 
Seringe in DC. Prod. 1. c. ascrive al T. eximium corolle porporine, aggiungendo una 
var. (5. albiflora, la quale probabilmente deve corrispondere alla forma figurata da 
Ledebour. Nella descrizione sua non si fa cenno del colore delle corolle (1). " T. ra- 
" dice repente, caule adscendente pubescente, stipulis ovatis, acutis, submembranaceis, 
" foliolis ovatis denticulatis , subtus ad costam adpresse pilosis , caeterum glabris, 
" umbellis 2-4 fìoris laciniis calycis campanulati subsequalibus tubo parum longioribus, 
" corolla multoties brevioribus, leguminibus 4-5 spermis „. 

" Habitat in alpe circa fontes fluminis Tschegan et in insulis fluminis Tschuja 
" (nec non in Davuria Dee.) %. „. 

* Floret. Junio-Aug. „. 

Habitat. 

Dahuria-Altai (Fischer-Meyer). 



(1) Icones plantarum novarum vel imperfecte cognitarum floram Rossicam imprimis Altaicam illu- 
strantes, ed. Carolus Friedericus a Ledebour, centuria l a (Riga, apud L. Deubner; Londini, Parisiis 
et Argentorati, apud Treuttel et "Wurtz; Bruxellae, in Libraria Parisiensi (1829). 



Serie II. Tom. XLIV. 



274 



S. BELLI 



STIRPS IR 

GLYCIRRHIZUM Nob. (Bertol.). 

Caract. — « Stipulae imae sphaoelato-tìmbriatae , reticulum brunneo-fuscum vel 
helvulum efformantes caulesque decurtatos Meme obtegentes - Infìorescentiae annotinae 
in axilla foliorum inferiorum evolutae; aequali tempore in axilla foliorum juniorum inflo- 
rescentiae rudimentales (sequenti anno evoluturae) adsunt - Inflorescentia composita, 
racemoso-cimosa » Nob. 

Hujus stirpis: T. alpinum L., T. polyphyllum C. A. Meyer., T. nanum Torr. 
(non Europseum). 

Species l a . 
T. alpinum L. 

Sp. pi. (Ediz. 3 a ), p. 1080 (1764) et Mant. altera, p. 451 (1771), et Syst. Veg. 
(ediz. 14 Murray), p. 688 (1784) — Ali. FI. Pedem. Voi. I, p. 302 (1785) — Vili. 
Hist. pi. du Dauph. Voi. Ili, p. 476 (1789) — Willd. Sp. pi. Voi. HI, p. 1360 (1787) 

— Suter FI. Helv. Voi. II, p. 108 (1802) — Schreb. in Sturm Deutschl. Fi. Heft. 15 
(1804) — Savi Due cent, età, p. 146 (1804) — Re FI. Segus., p. 62 (1805) — 
Sternberg Reise d. Tirol, etc, p. 62 — Schkuhr Bot. Handb. Voi. II, p. 402 (1805) 

- Lamk et DC. Syn. PI. Fi Gali., p. 346 (1806) — Pers. Syn. Voi. II, p. 349 (1807) 

— Loisel. de Longchp. FI. Gali., ediz. l a , p. 480 (1806) — Poir. Encyclop. Voi. Vili, 
p. 1 (1808) — Biroli FI. Acon. Voi. II, p. 40 (1808) — Savi Obs. in var. Trif. sp., 
p. 99 (1810) — Ait. Hort. Kew. (Ed. 2 a ), Voi. IV, p. 382 (1812) — Lapeyr. PI. 
Pyren. Voi. II, p. 433 (1813) — DC. FI. Fr. Voi. IV, p. 519 (1813) — Pollini Viaggio 
al M. te Baldo, etc, pp. 101-102 (1816) — Pollini FI. Veron. Voi. II, p. 516 (1822) 

— (?) Maratti Fi. Rom. Voi. II, p. 155 (1822) (1). — Link Enum. pi. R. H. Berol., 
part. H a , p. 261 (1822) — Comolli Enum. pi. prov. Lar., p. 142 (1822) — Ser. 
in DC. Prod. Voi. II, p. 204 (1825) — Savi Bot. Etr. Voi. IV, p. 46, N. 1056 (1825) 

— Spreng. Syst. Veg. Voi. HI, p. 208 (1826) — Jan Elenc. pi. Parm., p. 12 (1826) 

— Benth. Cat. pi. Pyr. et Langued., p. 125 (1826) — Loisel. de Longchp. FI. Gali. 
Voi. II, p. 119 (1828) — Duby Bot. Gali. Voi. I, p. 135 (1828) — Gaud. FI. Helv. 
Voi. IV, p. 579 (1829) — Host. FI. Austr. Voi. II, p. 367 (1831) — Rchbch. FI. Exc. 
Voi. II, p. 495 (1832) — Presi Symb. bot. Voi. I, p. 47 (1832) — Reut. Cat. pi. 
vasc. env. Genève , p. 32 (1832) — Colla Herb. Ped. Voi. II , p. 113 (1834) - 



(1) Vedi la Distribuzione Geografica del T. alpinum a pag. 285. 



RIVISTA CRITICA DELLE SPECIE DI TRTFOLIUM ITALIANE 



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— Massaro, FI. Vaiteli. Prod., p. 188 (1834; — Mutel FI. Fr. Voi. I, p. 264 (1834) 

— Bichter Cod. Bot. Linn., p. 743, N. 5651 (1835) — Gaud. Syn. FI. Helv., p. 630 
(1836) — Puccin. Syn. pi. agr. Lue. p. s altera, p. 371 (1841) — Bertol. It. Apen., 
p. 15 (1841) — Koch Syn. FI. Germ. et Helv., ed. 2 a , p. 190 (1843) — Comolli FI. 
Com. Voi. V, p. 433 (1847) — Dietrich Syn. PI. Sect. IV, p. 1001 (1847) — Gren. 
Godr. FI. de Fr. Voi. I, p. 418 (1848) — Zumaglini FI. Pedem. Voi. II, p. 197 (1849) 

— Boreau FI. du centr. de Fr. Voi. II, p. 132 (1849) — Bertol. FI. It. Voi. VIE, 
p. 101 (1850) — De Vis. FI. Dalm. Voi. IH, p. 300 (1850) - Willkomm Sert. pi. 
hisp., p. 43 (1852) — Bota Prosp. FI. Prov. Bergamo, p. 33 (1853) — Nyman Syll. 
FI. Eur., p. 296 (1854) — Koch Syn. FI. Germ. et Helv. (ediz. 3 a ), Voi. I, p. 149 
(1857) — Carnei Prod. FI. Tose, p. 169 (1860) — Koch Nomencl. FI. Germ. et 
Helv., p. 22 (1861) — Beut. Catal. pi. vasc. Genève, p. 48 (1861) — D'Angrev. FI. 
Valles., p. 32 (1862) — Fuss FI. Transsilv., p. 162 (1866) — Ardoino FI. Alp. marit., 
p. 104 (1873) — Ces. Passer. Gib. Comp. FI. It., p. 712 (1867) — Zersi Prosp. pi. 
vasc. Bresc, p. 61 (1871) — Verlot Les plantes alpines, p. 97 (1873) — Morthier 
FI. analyt. Suiss. (5 a edit.), p. 146) (1873?) — Arcangeli Comp. FI. It., p. 176 (1874) 

- Celak. Ueber Aufb. der Gatt. Trifolium. Oesterr. Bot. Zeitschf., N. 2, p. 42 (1874) 

— Bchbch Icon. FI. Germ. et Helv. Voi. XXH, p. 75 (1874) — Bouvier FI. Alp. 
Suiss. et Sav., p. 150 (1878) — Koch Taschb. der Deutsch. u. Schweiz. FI, p. 521 
(1878) — Nyman Comp. FI. Europ., p. 179 (1878-82) — Willkomm et Lange Prod. 
FI. Hisp. Voi. HI, p. 358 (1880) — Bossi Stud. FI. Ossol., p. 82 (1881) — Be FI. 
Segus. (Comm. a B. Caso), p. 89 (1881) — Gibelli e Pirotta FI. Moden. e Regg., 
p. 46 (1882) — Janka Trif. Lot. Europ., p. 154 (1884) — Schlchtdl. et Hallier FI. 
von Deutschl. Voi. XXHI, p. 273 (1885) — Camus Catal. pi. de Fr., p. 65 (1888). 

Lupinaster alpinus Presi., 1. c. 

Subvar. p. albiflorum Haller Hist. Stirp. indig. Helv. Voi. I, p. 161, N. 369 == 
var. b. albiflorum Rota, 1. c. (et auct. plur.). 

Subvar. t- stenophyllum Nob. (in herb. R. H. B. Romani). 

Icones. — Pona PI. mont. Baldo, età, pag. cccxl et edit. ital. , pag. 194 (fìg. 
in textu) — Parkinson Theatr. Bot., p. 1104 (in textu) — Bauhin. Hist. pi. univers., 
p. 376 (fig. in textu) — Morison Hist. pi. univ. Voi. n, Sect. H 1 , tab. 12, fìg. 2 (mala) 

— Sturm Deutschl. FI., 1. e, heft. 15 — Icon. Taurin., tab. XI, fig. 2. — Perini, 
frat. FI. It. Sett. Cent, l a . — Beichbc. fil., 1. c, tab. 114. — Cusin Herb. FI. Fr. 
tab. 1120. — Schlechtdl. et Hall, 1. e, tab. 2389. 

Subvar. t- stenophyllum Nob. (in herb. R. H. B. Romani). 

" Capitulis laxifloris (7-14 fl.). Floribus maximis (in G. Trifolio), 19, 21 (media) — 
25 mill. longis; duplicatim verticillatis; verticillastris superpositis, infero 6-7, supero 
4-5-floro saepe reducto, uni-bifloro, omnibus involucratis, involucello tenui, albo-membra- 
naceo, denticulato, glabro; axi fiorifero indefinito in medio florum superiorum mucronulo 
centrali (Tab. II, fig. 15 6,s a), protrudente, interdum abortu subnullo, floribus cymosis — 
Calycis dentibus apice subulatis, acuminatissimis, inferiore dimidium vexillum semper 



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S. BELLI 



superante, rarissime ei subcequilongo — Foliolis ternatis, rarissime (Bertoloni) quinatis 

— Corolla speciosissima purpureo-rubente, siccando atropurpurea vel (var. (3) alba — 
Ovario biovulato — Legumine saepissime bispermo — Tota pianta glaberrima „ Nob. %. 

Subvar. (3. " flore albo, caeterum ut in typo „. 

Subvar. T- " foliolis strictissimis, linearibus, acuminatis „. 

Icon NOSTRA — Tab. II, fig. B. 

Descrizione. 

Radice fittonosa, legnosa, obconica, legnosa, lunga, più o meno ramosa, divisa e 
fibrillosa inferiormente, guarnita delle solite produzioni grumose a bacteroidi. 

Caule nano, cespitoso ; rami molteplici dal colletto, tosto ramificati, grossi, tozzi, 
arcuato-flessuosi, o stoloniformi, ma non mai radicanti (Exempl. Pierre sur Haute 
Erbario Levier) con internodii brevi, gli infimi ricoperti dai residui delle vecchie 
stipole sfilacciate e ridotte ad un invoglio fìbrilloso-reticolato, brunastro o fulvo. 

Foglie tutte all'apice dei rami, appressate, ricoprentisi a vicenda nella porzione 
stipulare : le inferiori (esterne) più lungamente picciolate , le superiori (interne) 
meno ; picciuoli glabri, leggermente scanalati superiormente, grossi ; stipole vegetanti 
oblungo-lineari , tutte conformi, oblungo-lineari (distese in piano), verdi dapprima, 
presto biancastro-scariose, guainanti inferiormente per breve tratto, con molti nervi 
paralleli e scarse anastomosi, massime nelle code brevi, triangolari, attenuato-acumi- 
nate. — Foglioline tre, rarissimamente (secondo Bertoloni) cinque, glabre, sessili 
oblungo-lanceolate od oblungo-lineari, cuneate alla base, più o meno lunghe (fino a 
8 centimetri; in media 3 cent.), acute od ottuse od anche arrotondate, più verdi sopra, 
più pallide sotto, o glauche, integre al margine od oscuramente denticulate; rara- 
mente con denti fini e spiccati ; con nervature fìtte, pennate ma poco arcuate, salvo 
al margine dove sono forcate ed anastomosate con altre più esili, colle quali formano 
un reticolo a maglie oblunghe. 

Infiorescenza (Vedi anche la Parte Generale e la Critica di questa specie). — 
Peduncoli ascellari, pochi per ogni cespo (2-3), solitarii, cilindrici, glabri, di lunghezza 
variabile, ma più spesso oltrepassanti al momento dell'antesi la foglia corrispondente. 

— Asse fiorale indefinito, prolungantesi sotto forma di mozzicone all'apice delle infio- 
rescenze formate da pochi fiori (10-12), (al massimo 15, e al minimo 6): grandi (i più 
grandi del Genere) (18; (media 20) 25 mill. lunghezza), disposti ordinariamente in due 
verticillastri sovrapposti più di rado in uno solo (per aborto del superiore ridotto 
ad un fiore o due), rarissimamente con accenno ad un terzo verticillastro nei capolini 
enormemente sviluppati, ognuno involucrato da un collaretto membranoso-scarioso, 
biancastro, denticolato, glabro o con qualche emergenza glandulifera, enerve. — Pedi- 
celli fiorali glabri, cilindrici, più brevi del calice, dapprima eretti, alla fine deflessi, 
cosicché il capolino diventa umbelliforme. 

Calice campanulato, glabro o guarnito dentro e fuori delle solite produzioni tri- 
comatose glandulose, pedicellato-clavate, molto grandi, con tubo breve, tagliato a spese 
del labro superiore, leggermente saccato alla base superiormente, verdognolo, bian- 
castro o colorato in rossigno, con dieci nervi; cinque dentali e cinque commissurali 
più esili. Denti cinque triangolari-allungato-subulati, assai più lunghi del tubo ; i due 



RIVISTA CRITICA DELLE SPECIE DI TRIFOLIDM ITALIANE 



277 



superiori più brevi dei laterali, l'inferiore più lungo di tutti ed oltrepassante sempre 
metà della lunghezza del vessillo, tutti trinervi massime alla base e con qualche 
nervo trasversale; scariosi al margine, colorati o no in rossigno. 

Corolla vistosissima roseo-porporina, invecchiando fosco-bluastra o fosco-vinosa, 
più di rado bianca (var. p) persistente a lungo ed un poco scariosa. 

Vessillo libero o quasi dagli altri petali connati nell'unghia, lungo un po' meno 
del doppio del calice, foggiato inferiormente alquanto a navicella (poco distensibile 
in piano senza lacerazione) e dilatato superiormente in lembo obovato-ellittico, ottuso, 
arrotondato, troncato o smarginato all'apice, integro al margine con nervature furcate 
riunentisi in basso in pochi fasci non troppo robusti; senza strozzatura dorsale, 
compiegato sugli altri petali prima e dopo la fecondazione e un po' rialzato ante- 
riormente durante la stessa; più lungo delle ali irregolarmente oblunghe, ottuse con 
orecchietta poco bollosa, ottusa, ricche di vene più scure. — Carene foggiate a bistory 
retto, apiculate, senza orecchietta. 

Stami come nel T. Lupinaster. — Antere idem. 

Ovario fusiforme, glabro, stipitato, quasi costantemente biovulato, terminante nello 
stilo gradatamente assottigliato in alto, cilindrico; stigma a bottoncino papillifero 
anche sulla faccia dorsale. 

Legume ellittico, stipitato, indeiscente, glabro, membranaceo, colle suture robuste ; 
la ventrale un po' tuberculata e le pareti sottili leggermente venulose. 

Semi due (raramente tre) grandi, nerastri, lisci subrotondi con ilo profondo e 
radichetta prominente. 

Varietà. — Letteratura e Critica. — Osservazioni. 

AU'infuori della variazione a fiori bianchi, il T. alpinum non presenta vere va- 
rietà, essendo specie oltremodo uniforme e ben caratterizzata. Ho creduto di riferire 
come semplice sottovarietà anche la forma a foglie strettissime (abbastanza rara), 
non essendo questo nel Gr. Trifolium un carattere di soverchio valore. — Se non erro, 
fu Haller (Hist. Stirp. inalig. Helv., Voi. I, pag. 161) che pubblicò la var. p. " -flore 
albo, in monte Serin „. — Dopo di lui ne fecero cenno, come di semplice accidentalità 
nel colore della corolla e senza designarla con lettere, Mlioni, Schkuhr, Savi, De- 
candolle, Pollini, Loiseleur, Gaudin, Reichenbach (fi. exc), Colla, Mutel, Koch, Dietrich, 
Grenier et Godron, Zumaglini, Bertoloni. Il Rota solo la distinse nella Flora di Ber- 
gamo come var. b. Io l'ho veduta nell'Erbario di Firenze raccolta dal Rota stesso 
a Ca di S. Marco nel Bergamasco e dal Cesati nel monte Legnone e l'ho raccolta 
io stesso sotto il Colle di Tenda scendendo a Limone. — La sottovarietà stenophyl- 
lum fu raccolta nel monte Fusio in Val Sambuco da A. Franzoni (Erbario di Roma). 

E appena il caso di accennare alle variazioni di statura del T. alpinum, certo 
in relazione colle condizioni di nutrizione e di località della specie. Così mi accadde 
di vedere saggi evoluti ssimi raccolti dal Thomas nel Vallese {pianta major helvetica 
del suo cartellino e riportata dal Nyman l. e); nel Tirolo australe (Monte Jaufen 
Erbario Levier): a S. Caterina di Val Furva (Valtellina Erbario Roma); sul Roccia- 
melone (Alpi Cozie) leg. Berrino, alle Echelles presso Bardonecchia id.; sulla Zeda 



4 



278 



S. BELLI 



♦ 



nella Valle Intrasca (Lago Maggiore) DNot., ecc. — Un saggio addirittura enorme 
con foglioline lunghe 7 centimetri, fiori lunghi 25 mill. e con radice lunga strisciante 
è quello contenuto nell'Erbario Sommier e raccolto a Bormio (Valtellina). 

Molti Autori (Pollini, Savi, Sprengel, Loiseleur, Host, Koch, etc, etc.) attribuiscono 
al T. alpinum foglioline serrulate al margine. Questo carattere non è sempre costante ; 
molto soventi le foglioline sono affatto integre nel contorno. Del resto se gli Autori 
in generale sono molto concordi nella descrizione di questa specie, pochi di essi si 
sono occupati del carattere speciale che offrono le sue stipole allorché invecchiano, 
e quasi nessuno ha osservato a fondo la curiosa infiorescenza dei Glycirrhizum. Non 
sarà inutile il soffermarci un momento su questi due fatti. — Un cespo di T. alpinum 
tolto con diligenza dal terreno mostra le parti inferiori dei rami affatto ricoperte 
da un ammasso di fibre nerastre o brunastre, sfilacciate , intricatissime che vanno, 
di mano in mano che il ramo cresce, sfacelandosi. — Questa struttura accennata da 
qualcuno dei moderni, Beichenbach (fìl.), Bertoloni, era stata anticamente osservata 
dal Becandolle, il quale scrive l. c. " Sa racine est longue, gamie vers son collet de 
" beaucoup de paillettes ou espèces de poils grisàtres „. — L'ammasso di fibrille sopra 
accennato è costituito dai residui delle stipole vecchie in cui il tessuto parenchima- 
toso si è distrutto lasciando solo la porzione dei fasci fìbro-vascolari. Questo carat- 
tere è di grandissimo valore per riconoscere gli affini del T. alpinum : così esso è 
comune al T. polyphyllum del Caucaso, ed al T. nanum dei Rocky-Mountains d'America. 

Più interessante ancora è la infiorescenza del T. alpinum e dei Glycirrhizum in 
generale. 

Tutti gli Autori parlando di essa la descrivono più o meno come un capolino 
lasso, foggiato ad ombrella allorché è fruttificato, lasciando così sottinteso che questa 
infiorescenza non differisca sostanzialmente da quella degli altri trifogli. Alcuni pochi 
hanno vagamente accennato ad una differenza strutturale di essa, ma senza venire 
ad una conclusione, come vedremo più avanti. 

Il primo accenno all'infiorescenza del T. alpinum venne dato dal Micheli (Nova 
plant. Genera, pag. 28) nel 1729, il quale descrivendo YOrdo Fcosì si esprime: 

" Trifoliastri floribus in fasciculum, seu corymbum minus speciosum per binos 
" tantum ordines dispositis, qui, dum pistillus in fructum abit deorsum reflectuntur „. 
Dalla qual frase risulta come il Micheli avesse benissimo osservata la apparente 
esterna struttura del capolino, ma la riferisse ad un corimbo o fascicolo di fiori. — 
Ognuno sa che il corimbo è un'infiorescenza racemosa, e che il falso corimbo è una 
cima. Non si può quindi dedurre dalle parole del Micheli a quale infiorescenza abbia 
voluto alludere, tenuto anche conto dell'epoca in cui furono scritte, e delle cognizioni 
che allora si avevano sui varii tipi di ramificazione. 

Fu Schreber il secondo che rilevò la struttura fiorale del T. alpinum. Egli così 
si esprime: " 1. c. " Der Kùrze Schaft tragt ein einzelnes Blùthenkòpfchen an der 
" Spitze, zuweilen in proliferirenden Bolden , denn die -,untern Blùthen entspringen 
" alle aus einem gemeinschaftlichen mittelpunkte , und das nahmliche findet noch 
" einmal an dem verlangerten Schafte statt „. 

Schreber, molto meno esattamente del Micheli, ritiene, come è facile vedere, il 
verticillastro inferiore dei fiori come il vero capolino normale e suppone doversi ad 
un'anomalia, cioè alla proliferazione dell'asse il secondo verticillastro. Questa osser- 



RIVISTA CRITICA DELLE SPECIE DI TRIFOLIUM ITALIANE 



279 



vazione si scosta dal vero in ciò che il fatto da Schreber riferito ad un'accidenta- 
lità, è invece il modo ordinario di comportarsi della pianta; il che non toglie nulla 
alla esattezza dell'osservazione. Altri Autori, p. es., Seringe 1. e, si limitarono ad 
accennare la disposizione dei fiori " pedicellis minimis subverticillatis „ od inter- 
pretarono erroneamente questa infiorescenza. 

Ricorderemo cose già note. L'infiorescenza del T. alpinum (ed affini) è fatta di due, 
raramente da tre, verticillastri sovrapposti. Nel verticillo superiore, più povero di fiori 
e spesso con qualche fiore tabescente, come nell'inferiore più ricco di fiori, i pedicelli 
nascono tutti attorno ad un punto dell'asse ed involucrati dal collaretto membranaceo, 
continuo, più o meno dentato. Tra i due verticillastri corre un tratto dell'asse comune, 
nudo. Ma se si osserva con attenzione il centro del verticillastro supremo si vede 
che quasi sempre esiste colà uno spuntone breve che rappresenta la continuazione del- 
l'asse fiorale (Tav. II, fìg. B, 15 6,s a). E certo che senza uno studio organogenico ed ana- 
tomico accurato, che metta in chiaro la cronologica evoluzione delle membra, non si può 
matematicamente essere certi della natura di questa infiorescenza, tanto più che la 
genesi di molti verticillastri, in altri Generi che non sia il G. Trifolium (Labiate), spesso 
è tutt'altro che facilmente dimostrabile. Ma nel caso del T. alpinum il dubbio, anche 
a priori non mi par possibile. E, in verità, è egli ammissibile ritenere questa per una 
infiorescenza racemosa ridotta a due verticilli ? Il volerlo supporre basandosi sul fatto 
che questo modo d'infiorescenza è comune a tutti i Trifogli, per quanto talora mo- 
dificato o larvato (T. Lupinaster, ecc.) è un po' azzardato. Per ammettere una simile 
infiorescenza converrebbe supporre che un capolino fosse ridotto ad avere due giri 
di spira abbassati in piano quasi orizzontale con un tratto di ricettacolo nudo. Il 
che mi parrebbe voler portare le analogie ad un limite troppo spinto. Io sono per- 
suaso che questa idea deve essere affatto abbandonata, e che l' infiorescenza del 
T. alpinum debba essere annoverata fra le infiorescenze racemoso-cimose o botrio-cime, 
analoghe a quelle di molte Labiate, nelle quali la natura di racemo spetta al solo 
asse generale dell'infiorescenza, svolgentesi indefinitamente, mentre le infiorescenze 
secondarie parziali, con assi soppressi, stanno raggruppate all'ascella di brattee, con- 
cresciute o no, sotto forma di verticillastri, semplici o composti. — ■ Nel caso del 
T. alpinum ed affini due fatti ci fanno ritenere che tale sia la sua infiorescenza : 
1° la presenza costante del mucrone apicale nel centro del verticillastro superiore; 
2° lo svilupparsi e lo sbocciare in ordine acropeto dei verticillastri consecutivi per 
cui il superiore è nel suo complesso sempre più giovane dell'inferiore; però i fiori di 
uno stesso verticillo possono essere di età diversa; 3° finalmente appunto il diverso 
sviluppo e la diversa età dei fiori che si trovano in uno stesso verticillo considerati 
gli uni rispetto agli altri, al momento della fecondazione in guisa da dimostrare ampia- 
mente essere essi produzioni cronologicamente differenti e dipendenti in parte, se non 
tutte, da assi soppressi di inegual valore genetico (1). Il fatto della proliferazione riferito 



(1) Se si suppone p. e. che i 6 fiori di un verticillastro inferiore appartengano a due cime di- 
cotomiche nate all'ascella del collaretto i cui assi siano soppressi, è evidente che i due fiori termi- 
nauti l'asse di 1° ordine della dicotomia si svolgeranno più presto dei laterali che nascerebbero 
all'ascella delle due brattee sottostanti al fiore terminale. — La soppressione degli assi porterebbe 
seco la saldatura delle brattee a guisa di collaretto, ammettendo che le minute squame onde si 
compone l'involucro abbiano valore di filloma, ciò che non è affatto dimostrato. 



280 



S. BELLI 



dallo Schreber sarebbe dunque perfettamente in parte giustificato, cioè per quel tanto 
che riguarda il prolungamento dell'asse. Soltanto, secondo lo Schreber, questa strut- 
tura fiorale, come si è già detto, sarebbe accidentale nel T. alpinum (Zuweilen in 
proliferirenden Dolden), mentre è generalissima. E poi appena il caso di accennare 
alla supposizione che questo prolungamento dell'asse sia un simpodio, e che vi pos- 
sano esistere due assi primarii, supposizione che non è giustificata da nessun fatto 
strutturale. 

Più raro è, già dicemmo, il vedere un terzo verticillastro soprastante ai due 
inferiori, e nei pochi casi che mi fu concesso di vederlo, cioè in esemplari enorme- 
mente sviluppati, lo spuntone apicale porta al suo apice un rudimento di collaretto 
con un fiore solo tabescente. Mi riservo di comunicare altrove lo studio morfologico 
e la genesi di questa infiorescenza interessantissima, che non avrebbe ragione di 
essere qui riferita data la natura di questa rivista critica. — E certo intanto che 
anche per questo carattere la Stirps Glycirrhizum si allontana affatto da quella a 
cui appartiene il T, Lupinaster. 

Di non minore interesse in riguardo alla storia del T. alpinum è una circostanza 
che mi venne fatto di rilevare nel suo modo di vegetare e che probabilmente ripete 
la sua origine, oltre che dalla natura della pianta, anche dalle condizioni in cui la 
pianta stessa vive, cioè in altitudini elevate assai. Se si tolgono ad una ad una le 
stipole di un ramo di T. alpinum in piena infiorescenza, si osserva che, contempora- 
mente agli scapi fiorenti, ed all'ascella delle stipole susseguenti alle scapifere, stanno 
delle infiorescenze rudimentali, piccolissime, lunghe tutt'al più 1 centimetro e spesso 
lunghe pochi millimetri, nelle quali però sono distinguibili, e perfettamente costituiti 
gli elementi fiorali od almeno il calice e gli stami. Queste infiorescenze passano 
l'inverno ricoperte dalle stipole vecchie, per svilupparsi poi rapidamente nel susse- 
guente estate. E un fatto analogo, biologicamente, ma topograficamente differentis- 
simo da quello che abbiamo esposto nel T. Lupinaster, dove le infiorescenze, prefor- 
mate, stanno sotterra nelle gemme, e ricoperte dalle stipole afille, incassate le une 
nelle altre come i pezzi d'un cannocchiale. Nel T. alpinum invece sono le foglie 
susseguenti a quelle delle infiorescenze evolute nell' anno, che albergano alla loro 
ascella le infiorescenze rudimentali, mentre la sua porzione suprema col ciuffo di foglie 
giovanissime cresce indefinitamente, arrestandosi solo nell'inverno, ma all'ascella di 
queste ultime non stanno mai infiorescenze. 

Il collaretto di brattee che sottosta ai verticillastri , pare fatto da una dupli- 
catura epidermica, non mostra nervature di sorta e difficilmente può paragonarsi 
ad un filloma ridotto, come, p. es., nelle vere Involuerarie od in certi Lagopus. 
Mostra invece molta analogia colle squamule che sottostanno ai fiori delle Chrono- 
semium portando come essi soventi delle emergenze glandulose microscopiche o delle 
glandule clavato-pedicellate identiche a quelle che si trovano sul calice e più di rado 
sulle stipole. 

E secondo tutte le probabilità falso che Bauhino nel Phytopinax (1596) abbia 
fatto allusione al T. alpinum; avvegnaché le sue caratteristiche non gli siano ap- 
plicabili per nulla. Pona (x) pel primo la descrisse assai bene e la figurò nella storia 



RIVISTA CRITICA. DELLE SPECIE DI TRIF0L1UM ITALIANE 



281 



delle piante del Monte Baldo. Gli Autori che dopo di Pona e prima delle " Species 
" plantarum „ Linneane se ne occuparono, sono i seguenti in ordine cronologico: 
Parkinson (1) — Bauhino (2) — Morison (3) — Tournefort (4) — Scheuchzer (5) 
— Micheli (6) — Zannichelli (7) — Linnè (8) — Seguier (9) — Sauvages (10) — 
Haller (11). 

Quest'ultimo Autore non fa uso della nomenclatura binomia nell'opera citata 
quantunque posteriore alle " Species plantarum „. 



(x) " Trifolium 42 siue alpinum minimum flore luteo „. 

Plantae seu simplicia, " ut vocant, quae in Baldo monte et in via ab Verona ad Baldum 
" reperiuntur „, età, p. cccxl (Antwerpise, 1601), apud Clusium, " Rar. pi. Hist. „; et " Monte Baldo 
descritto da Giovanni Pona etc. „, ediz. ital., p. 194 (Venezia, 1617). 

(1) Theatrum botanicum, pag. 1104 (London, 1640), " Trifolium angustifolium alpinum „, non 
Trifolium Ghjcyrrhizites ut voluit Hallerus „ ! 

(2) Pinax Theatri Botanici sive Index, etc, p. 328 (1671), Basilea: " Trifolium alpinum flore 
" magno radice dulci; Glycyrrhiza astragaloides quibusdam „ — et " Historia plantarum universalis „ 
(Ebrodum, 1671, p. 376, voi. II); " Trifolium alpinum rheticum astragaloides „ — et TTpoòpóuoq Theatri 
Botanici, pag. 143 (Edit. altera emend., Basilea, 1671): 14 Trifolium alpinum flore magno radice 
* dulci etc. „. 

(3) Plantarum histor. univers. Oxoniensis, etc, voi. II, pag. 139 (Oxonii, 1715): " Trifolium pur- 
" pureum angustifolium alpinum „. 

(4) Institutiones rei herbariae, voi. I, p. 408 (Parisiis, 1719) — " Anonis alpina humilior, radice 
" ampia, dulci „. 

(5) Oupeaicporrni; helveticus sive itinera per Helv. alp. reg. fact. annis 1702-11; Lugd. Bat. (1723); 
It. I, p. 43; It. H, p. 143; It. IV, p. 342. 

(6) Nova plantarum Genera etc, p. 28 (Florentiae 1729) — " Trifoliastrum alpinum purpureum , 
" humile, caule nudo, simplici, foliis angustioribus, acutis, floribus amplioribus, siliquis planis, 
" incurvis et dispermis „. 

(7) Opuscula botanica posthuma a Johanne Jacobo filio in lucem edita, p. 73. Venetiis, typ. Dora. 
Lovisa (1730). 

(8) Hortus Cliffortianus, p. 499 (Amstelodami, 1737). 

(9) Plantae Veronenses seu Stirp. quae in agro Veronensi reperiuntur methodica Synopsis, voi. II, 
pag. 95 (Veronae, Typis Seminarli), 1745. 

(10) Methodus foliorum seu plantae florae Monspeliensis, p. 185 (A la Haye, 1751). 

(11) Historia stirpium inàigenarum Helvetiae inchoata, voi. I, p. 161, n° 369 (1768): " Trifolium 
" scapis radicatis, floribus racemosis, foliis ellipticis, lanceolatis integerrimis „. 



Serie E. Tom. XLIV. 



282 



S. BELLI 



Habitat. 

(Bo. Erbario Boissier — B. Erbario Belli — C. Erbario Cesati — F. Erbario 
Firenze — G. Erbario (ribelli — R. Erbario Roma — T. Erbario Torino — L. Er- 
bario Levier — S. Erbario Sommier). 



Piemonte e Liguria, 

Monte Armetta (Liguria) . . leg. 

Colle di Tenda e Colle della Perla (Alpi maritt.) 

Alpi sopra Viozennnes . 

Liguria (?) . . ..... . 

Moncenisio (al Montanvert), al Lago etc. . . 

Riva (Valsesia) . ... '. . 

Punta della Mologna (Alpi Biellesi) .... 
Passo della Croce Mulattiera sopra i Melezet 

(Bardonecchia) Alpi Cozie ....... 

Valdieri (Alpi marittime), Vallone della Meris 

(lago della Sella) . . 

Monte Tabor presso Bardonecchia (Alpi Cozie) 
Colle di Tenda ad ovest del Passo (Alpi maritt.) 
Monte Bego presso Tenda (Alpi marittime) . 
Sciaccari e Mappa (Alpi marittime) .... 

Alpi di Giaveno (Prov. di Torino) 

Monte Rocciamelone (Susa, Prov. Torino) . . 

Madonna delle Finestre 

Alle " Echelles „ presso Bardonecchia (Alpi Cozie) 
Monti d'Oropa (Biella) all'Alpe della strada . 

Valsesia (Alpi Pennine) . 

Monti d'Oropa (Biella, Alpi Pennine . . . . 

Monte Turlo (Alpi Biellesi) 

Colle di St-Théodule (Alpi Pennine) . . . . 

Gressoney (Alpi Pennine) 

Alagna (Valsesia) 

Alpi di Garessio (Alpi marittime) 

Argenterà (Alpi marittime) 

Monte Cramont (Alpi Graje) 

Col du Geant (Alpi Graie) 

Orno (Col di Tenda, Alpi marittime) .... 

Gran S. Bernardo (Alpi Graje) 

Alle Balze di Cesare presso Crissolo (Monviso) 
Vachère sopra Angrogna (Alpi Cozie) .... 



Gentili F. 
Belli 
Bieca F. 
Bertoloni R. 

Pedicino R. - Cesati C. - Arcan- 
geli F. - Parlatore F. - Bucci F. 
Balbis T. 
Carestia R. 
Malinverni R. 

Berrino T. 

Ferrari e Belli T. 
Berrino T. 

TJngern - Sternberg T. - Beuter F. 
Ungern-Sternberg T. 
Ungern-Sternberg T. 
Giusta T. - Delponte F. 
Berrino T. 
Giusta T. 
Berrino T. 
Belli B. 

Carestia F. - Gibelli G. 
Cesati F. 
Carestia C. F. 
Belli B. 

Carestia F. - Piccone F. 
Carestia F. 
Berti F. 
Parlatore F. 
Parlatore F. 
Parlatore F. 
Borgeau F. 
Parlatore F. 
Ferrari T. 
Bostan F. 



RIVISTA CRITICA DELLE SPECIE DI TRIFOLIUM ITALIANE 



Lombardia, Veneto, Emilia, Toscana. 



Corno alla Scala (Bologna) leg. 

Val Viola (Alta Valtellina fra Senago e Campo) 
Val Furva (Alta Valtellina), 1700 metri . . . 

S. Caterina in Val Furva (id.) 

Bormio (id.), 1500 m 

Fusio (Val Sambuco) 

Monte Moro (Alpi Leponzie) 

Monte Legnone (Lecco) (flore albo) 

Valle Formazza (Ossola) 

Monte Canossio (Ossola), 2200 m 

Val Toggia (Ossola) 

Moncucco (Ossola), m. 2000 . . 

Valcamonica (all'Incudine) " . . 

Spluga 

Val Brembana (a Branzi) 

Tonale (pascoli alpini) 

Sulla Zeda in Valle Intrasca (Lago Maggiore) . 

Alpi Bresciane (Colombine) 

Monte Rosa 

Ca di S. Marco (Alpi del Bergamasco) . . . 

Boscolungo (Appennino pistoiese) 

Appennino Estense 

Sommità del monte Cimone di Fanano (Alpi 

Apuane) 

Prati del Cimone (Alto Appennino Modenese) . 
Alpi di Cusna (Appennino Reggiano) .... 
Pizzo Stella sopra Campodolcino e Valle di Lei . 
Sul Rondinajo (Appennino Lucchese) .... 

Sul Procinto (Alpi Apuane) 

Cimone di Caldaja (Appennino modenese) . . 

Alpi di Mommio 

Alpe di Borga 

Prati di Macerino 



Pirazzoli e Tassinari R. 
Levier L. 
Levier L. 

De Notaris R. - Parlatore F. 

Sommìer S. 

A. Franzoni R. 

Cuboni R. 

Cesati C. - Balsamo F. 

Gibelli C. - Cesati e Negri C. 

Negri F. 
Rossi e Malladra T. 
Id. Id. 
Id. Id. 
Caldesi F. 
Cesati F. 
V 3 - Bampoldi F. 
Parlatore F. 
De Notaris F. 
Parlatore F. 

Erb. Accad. Georgofili F. 
Bota C. 

Forsitz Magar L. - Parlatore F. 
Targioni-Tozzetti R. F. 

Cesati C. 

Gibelli Gr. - Parlatore F. 
Ferrari Gr. 
Gibelli G. 
Giannini F. 
P. Savi F. 
Parlatore F. 
Calandrini F. 
Parlatore F. 
Parlatore F. 



Località non italiane viste negli ekbabii. 
Svizzera. 

M* Jouly (Vallese) " Pianta major helvetica „ . leg. Eni. Thomas Bo. 

Alpi Bernesi Levier L. 

Grrindelwald (Oberland Bernese) . . Christener L. 

Hospice du Simplon (Valais) Levier L. - Cuboni R. 



284 



S. BELLI 



Paulhorn (Alpi Bernesi) 6-7000' 
S. Bernardino Grigioni . . . 
S. Gottardo ....... 

S. Moritz ....... 

Camfer (Grigioni) 

Spluga 

Lucomagno 



Pedicino R. 
DNris R. 

Sommier S. - Parlatore F. 
Sommier S. 
Rosa Cesati C. 
Cesati C. 
Franzoni F. 



Francia. 

Pyrénées (environs de Barèges) leg. 

Colle d'Olle et Glaciers de St-Sorlin d'Arves 

(Maurienne-Savoie) 

Mont Dorè (Auvergne) 

Vallon de Ségure près Abriès (Hautes Alpes) 

2000 m 

Pierre sur Haute (Loire) 

Pelouse de Gondran (Brian<jon) 

Pyrénées centrales : Esquierry 

Eaux bonnes (Pyren. occid.) 

Pyrénées (Lheris) 

Lautaret (Hautes Alpes) 

Spagna. 

Pico Cordel (Castella Vetus) 

Pyrénées Arragon. in pascuis Jugi Puerto de 
Canfranc., 3600 m. . 



Erb. Fauché Bo. 
E. Didier Bo. 

Bo. - Lecoq (Clermont Ferrand) R. 
Bo. 

Frères Faustinien et Gandoyer L. 

Gastien G. 
Erb. Fauché Bo. 
J. E. Zetterstedt L. 
J. Ball L. 

Erb. Francavillanum R. 

J. de Parseval Grandmaison R. 



Bo. 

Willkomm Bo. 



Austria e Tirolo Italiano. 

Monte Iaufen a Sterzing, 2000 m. (Tirolo centrale) leg. Huter L. 

Alpi Tirolesi Erb. Pedicino R. 

Alpi del Tirolo meridionale Hoffman T. 

Tirolo Austro-orient. Lienz in monte Schleinitz- 

Iselrein 7000' Rev. Gander T. 

Trento (Bondone) Col Santo Fratelli Perini C. F. 

Alpi di Duron e monti di Passino (Trento) . Fratelli Perini F. 

Val Fassa (Trentino) . . Brachi F. 



Ambrosi F. 



Distribuzione Geografica. 



Pirenei spagnuoli, Asturie, Pirenei e Alpi Francesi, Svizzere, Tirolesi, Italiane, 
Mont Dorè, Appennino boreale, Carpazii (Transsilv.). Nyman., 1. c. 



RIVISTA CRITICA DELLE SPECIE DI TR1F0LIUM ITALIANE 285 

NB. — Maratti nella Flora Romana, 1. e, ascrive anche il T. alpinum alla sua 
dizione come già vi ascrisse il T. Lupinaster. Dietro notizie avute dal Prof. Pirotta 
crediamo che si tratti anche qui di un errore, o che tutt'al più possa essere stato 
importato per caso, quantunque anche questa supposizione sia un po' azzardata trat- 
tandosi di specie affatto alpina e che difficilmente vive a lungo anche nelle regioni 
fredde, se portato alla pianura. — Il limite più basso a cui sia disceso a mia cogni- 
zione il T. alpinum sarebbe il Monte Summano nel Vicentino ivi raccolto dallo Zan- 
nichelli. Così il Prof. Saccardo scrissemi in proposito: " A pag. 73 delle Opuscula 
" botanica leggesi fra le piante raccolte dall' Autore in Monte Summano territovii Vicen- 
" tini: T. alpinum flore magno radice dulci Casp. Bauhin. Pinax, p. 328. T. alpinum L. 
* Non abbiamo in erbario detta specie dal M. Summano ma dalle vicine Alpi verso il 
u Trentino. Il Summano è alto 1300 metri e ignoro se il T. alpinum possa veramente 
" trovarsi a tale altezza. Generalmente Zannichelli è autore accurato „. — Per conto 
mio non ho mai visto il T. alpinum discendere al disotto di 1800 metri; ignoro se 
fu raccolto più in basso: ma le località qui riportate paiono accennare al più a 
questo limite estremo. Il limite più elevato, sarebbe dato dalla quota di Wilkomm 
metri 3800 s. m. nei Pirenei Arragonesi. — Il Comolli nella Flora Comensis, 1. e, 
dice che il T. alpinum abita in tutti i monti della provincia della Valtellina e del 
Canton Ticino che sorpassano i 6000 piedi. 



Subspecies I. — T. polyphyllum C. A. Meyer. 

Verzeich. Pflz. am Caucas., p. 159 (1831) — Dietrich Syn. pi. Sect. IV, p. 1003 

— Ledeb. FI. Ross. Voi. I, p. 551 (1842) — Valpers Repertor. jVol. I, p. 642 (1842) 

— Boiss. FI. Or. Voi. II, pag. 148 (1872) — Celakowsky, 1. e, p. 42 (1874). 

Subvar. a. stenophyllum Nob. in herb. Boissier (Aucher Eloy Herb. d'Orient) 
Lazistan. 

Var. p. ochroleucum Sommier et Levier (in litteris et herb.). 
Icon NOSTRA. — Tab. II, fìg. C. 

" Capitulis laxifloris (7-12); floribus magnis (18-(20 media)-5^ milk longis, dupli- 
catim verticillatis ; verticillastris superpositis, infero 5-6, supero 2-3 fioro, saepissime 
reducto unifloro, omnibus involucratis, involucello tenui, albo-membranaceo-scarioso, den- 
tato-cr enato, glabro; mucrone in medio florum superiorum (axi inflorescentiae) subnullo 
vel nullo, floribus cymosis — Calyce corollam dimidiam subaequante vel longiore (var. P) 

— Dentibus calycinis triangularibus, acuminatissimis, basi et facie interna pilis plus 
minus raris obsitis — Foliolis 5-7, rarissime 9 ; nervis secundariis tenuibus — Corolla 
purpurea vel (var. P) ochroleucis „ Nob. %. 

Var. p. " Floribus dilute ochroleucis, vel citrinis, fere albis — Calyce corollam 
dimidiam parum superante „ (Sommier et Levier in litt.). 



286 



S. BELLI 



DESCRIZIONE. 

Perenne. 

Radice fittonosa, grossa, legnosa, più o meno ramificata. Del resto simile affatto 
a quella del T. alpinum. 

Caule come nel T. alpinum; reticolo formato nel residuo delle stipole infime 
sfilacciate, di colore più chiaro, quasi biondo. 

Foglie glaberrime, le inferiori più lungamente picciolate, le superiori meno ; pic- 
ciuolo grosso, subcilindrico, appena appiattito superiormente. Stipole quasi identiche 
a quelle del T. alpinum con code un po' più sottili, subulate, massime le supreme. 

Foglioline sessili (5, 7, di rado 9, o 3, 4), lanceolate, o lanceolato-lineari, sca- 
nalate a doocia alla base cuneiforme, allungate, acute od acuminate, di rado ottuse, 
con nervature diritte e poco marcate, con margini quasi integri o leggermente 
denticolati. 

Infiorescenza. — Peduncoli ascellari solitarii più lunghi della foglia corrispon- 
dente o di rado più brevi, cilindrici, glabri. Capolini come quelli del T. alpinum, 
soventi con minor numero di fiori (3, 8) formati da due verticillastri sovrapposti, 
ciascuno involucrato dal collaretto proprio, membranaceo, scarioso, crenato, enerve, 
l'inferiore più ricco di fiori, il superiore spesso ridotto ad uno o due fiori con col- 
laretto rudimentale e privo dello spuntone mediano che continua l'asse fiorale in- 
definito. 

Calice conforme a quello del T. alpinum, verdognolo, o spesso colorato in ros- 
signo. Tubo leggermente saccato alla base e sul lato superiore, con dieci nervi: 
cinque dentali più validi, cinque commissurali più esili, glabro, o con pochi peli fla- 
gelliformi alla base dei denti ed internamente in corrispondenza della fauce, più di 
rado con villi sparsi su tutta la superficie esterna insieme alle solite produzioni 
glandulose, clavato-pedicellate. Denti cinque triangolari, allungati, acuminatissimi, 
l'inferiore lungo il doppio del tubo e metà del vessillo o poco più (var. p), glabri, 
o con qualche pelo al margine massime inferiormente. 

Corolla porporina, ovvero (var. fi) giallo-citrina, persistente a lungo e leggermente 
scariosa. 

Vessillo quasi libero dagli altri petali o con leggerissimo cercine basilare, oltre- 
passante il calice del doppio (denti compresi) o poco meno (var. (S), oblungo-obovato, 
arrotondato all'apice, troncato o smarginato, con nervature percorrenti tutto il 
lembo, forcate e riunentisi in basso in pochi fasci un po' più robusti, dapprima com- 
piegato sugli altri petali, poi rialzato alquanto sul davanti al momento della fecon- 
dazione, poi nuovamente compiegato. Ali irregolarmente lanceolate, ottuse, con breve 
auricula poco bollosa. Carene cultriformi con margine superiore retto, l'inferiore con- 
vesso, ma ottuse, un poco più brevi delle ali non auriculate. 

Stami come nel T. alpinum. 

Ovario, idem. 

Legume membranaceo, oblungo-elittico, glaberrimo, deiscente sulla sutura ven- 
trale, del resto come nel T. alpinum. 

Semi due, subgloboso-compressi, cordiformi, verdognolo-glauchi, lisci. 



RIVISTA CRITICA DELLE SPECIE DI TRIF0L1DM ITALIANE 



287 



Varietà, Letteratura e Critica. — Osservazioni. 

Il T. polyphyllum del Caucaso è senza discussione una pianta che dimostra una 
origine comune col T. aljpinum delle Alpi. E impossibile osservare queste due specie 
senza essere colpiti dall'estrema rassomiglianza esteriore rivelante la strettissima 
loro affinità genealogica; a tal punto che, tolto il fatto costante della polifìllìa nel 
primo e fatta astrazione da alcuni altri pochi caratteri leggerissimi, per quanto co- 
stanti, si crederebbe di aver a che fare con due varietà di una stessa specie. Co- 
mune ad entrambi è il carattere, validissimo qui, dedotto dalle fibrille sfacelate delle 
vecchie stipole, comune la glabrescenza generale, il portamento, l'infiorescenza, la 
forma dei petali e la presenza di due sorta d'infiorescenza contemporaneamente esi- 
stenti, cioè le une sviluppate, le altre rudimentali. Identica poi l'ubicazione nelle 
alte regioni montuose, e finalmente parallele le variazioni nel colore della corolla. 
Difficilmente la pratica del concetto di Stirps nel nostro significato troverà altrove 
nel Gr. Trifolium una più bella applicazione. Diamo qui un piccolo schema delle dif- 
ferenze intercedenti fra T. alpinum e T. polyphyllum : 



T. alpinum L. 

Foglioline 3, rarissimamente 5. 

Due verticillastri ad ogni asse fio- 
rale ; di rado tre (il supremo ridotto ad 
un fiore involucrato) ; più di rado an- 
cora un solo. Verticillastro supremo con 
spuntone mediano rappresentante l'asse 
fiorale abortito, raramente mancante. 

Calice un po' più lungo rispetto alla 
corolla. Denti triangolari, acuminati, evi- 
dentemente trinervi fin quasi all'apice, 
con qualche trabecola trasversale. Tubo 
con nervature commissurali e dentali ben 
rilevanti e spiccanti sul tessuto sottile 
interposto, affatto glabro. 



T. 'polyphyllum C. A. Meyer. 

Foglioline più spesso 5 ; più di rado 
7 o 9. 

Due verticillastri ad ogni asse fio- 
rale; più di rado uno solo ; il superiore 
ridotto ad uno o due fiori involucrati da 
un collaretto rudimentale. 

Manca lo spuntone apicale in mezzo 
al collaretto superiore rappresentante 
dell'asse, o ridotto ad una prominenza 
mammillare. 

Calice un po' più breve per rap- 
porto alla corolla. Denti sottilissimi, su- 
bulati. Nervature del calice, massime le 
commissurali meno evidenti e con trabe- 
cole più scarse. Tubo più spesso colorato 
in rossigno con qualche villo denticulato 
alla fauce ed alla base dei denti. 



Il T. polyphyllum osservato allorché germina, dopo di aver emesso i cotiledoni, 
dà origine a foglie che portano 3 o 4 foglioline: le susseguenti ne portano più fre- 
quentemente cinque, le supreme talvolta sette, rarissimamente nove. 

Il T. alpinum ne porta, come vedemmo, sempre tre ad ogni picciuolo, ma Ber- 
toloni scrive aver osservato il T. alpinum con foglie " rarissime quinata „. Io non 
ho mai potuto osservare questo fatto nè negli erbarii nè sul vivo, ma, ritenendo 
esatta la asserzione del Bertoloni, essa parlerebbe ancor una volta in favore della 
colleganza genetica fra T. alpinum e polyphyllum. 



288 



S. BELLI 



Quest'ultima specie, quale io l'ho esaminata nell'erbario Boissier, presenterebbe 
due forme abbastanza distinte. L'una raccolta dal Meyer stesso e rispondente ai ca- 
ratteri da lui dati e nella Flora orientalis, 1. e, dal Boissier; l'altra è notevole per 
la grossezza della radice e per la forma tozza dei rami, grossi, brevissimi, all'apice 
dei quali stanno raggruppate delle foglioline minutissime lungo poco più di 15 mill., 
strette, lineari (Erbario Aucher, Eloy. Herb. d'Orient). In questo saggio il calice 
giunge coi denti appena al terzo della corolla. 

Con un solo esemplare è difficile il dire se questa sia una varietà fìssa: ad 
ogni modo io l'ho enumerata come una sottovarietà " stenophyllum „, la quale cor- 
risponderebbe fino ad un certo punto all'omonima del T. alpinum. Anche nel saggio 
tipico, raccolto dal Boissier e più sopra citato, il calice arriva coi denti appena al 
terzo della lunghezza del vessillo ed i denti sono abbastanza larghi, acuti, ma non 
acuminati come nella var. p, di cui entriamo a parlare. 

Questa bella forma di T. polyphyllum ci fu comunicata dai signori D r Sommier 
e Levier, che recentemente hanno visitato la catena del Caucaso, riportandone una 
ricca messe di piante. Il sig. Sommier annotò i saggi inviatici colle seguenti pa- 
role: " T. polyphyllum, C. A. Mey. — Flores ochroleuco-citrini nec purpurei ut Bois- 
" sier FI. Or. dicit. A descriptione Boissieri differt praesertim colore diluto ochro- 
" leuco (fere albo) florum; dentibus calycinis longioribus (calyce corollam mediam 
" excedente). A descriptione originali C. A. Mey eri differt dentibus calycis inaequa- 
" libus. Differentiae paucae nec constantes. „ 

A me pare che l'egregio Autore abbia dato troppo poca importanza a questa 
varietà, la quale, a quanto ho potuto osservare dalle località riferite nei saggi è 
abbastanza diffusa. Le differenze accennate dal Sommier sono esattissime e tutti gli 
esemplari raccolti nel suo erbario (all'infuori forse dei saggi nani dei luoghi eleva- 
tissimi, nei quali pare che la corolla si sviluppi a preferenza del calice) mostrano 
in modo costante i caratteri da lui designati. E queste differenze si fanno molto più 
evidenti se si paragonano le piante in questione con quelle autentiche dell'erbario 
Boissier. Io l'ho quindi ritenuta per varietà distintissima nella mia rivista. 

La var. p presenta essa pure come il tipo delle variazioni nella forma e nelle 
dimensioni delle foglioline, in rapporto specialmente collo sviluppo generale della 
pianta. Cosi ho visto forme nane (vedi habitat) con foglioline quasi lanceolate, ottuse 
e con nervature un po' più spiccate corrispondenti al saggio autentico di Meyer nel- 
l'erbario Boissier, e delle forme evolutissime parallele a quelle del T. alpinum. 

Habitat. 

Alpi del Caucaso occidentale leg. C. A. Meyer (1842) Erb. Boissier. 
Subvar. stenophyllum. 

Lazistan (Aucher-Eloy. — Herbier d'Orient) — Erbario Boissier. 
Var. p. ochroleucum Sommier et Levier. 

Svanetia libera ad limites Abkhasiae in montibus inter flumina Neuskra et Seken 
in rupibus circ. 2600-2800 m. s /m, 22 aug. 1890, leg. Sommier et Levier. 



RIVISTA CRITICA BELLE SPECIE DI TRIFOLIUM ITALIANE 



289 



Abkhasia in valle fluminis Kliutsch infra jugum Klukkow 2700-2800 m. s / m , 
28 aug. 1890, leg. Sommier et Levier. 

(Forma nana) — In jugo " Tieberdinski perival „ dicto, inter flumina Tieberda et 
Do-ut, ditionis Kulan. 2500-2600 m. s /m circa; in pascuis alpinis, E, 2 7 tre 1890, 
leg. Sommier et Levier. 

Species 2 a . 
T. nanum Torr. 

in Ann. Lyc. N. York 1, 35, t. 3 — Watson in Proceed. Am. Acad. XI, p. 128 — 
Rothr. PI. Wheeler — Walpers Repert. Voi. I, p. 643 — Dietr. Syn. pi. Sez. IV, 
p. 1003 — Gray in Am. Journ. Se. E, 33, p. 409. 

Questa sottospecie non è europea, ma abita le Montagne Rocciose nell'America 
Nord. — Potei studiarla sopra pochi saggi comunicatimi dalla cortesia dell'amico 
Prof. Mattirolo che li ebbe dal Prof. Rothrock di Filadelfia, e raccolti nella regione 
del Rio Colorado all'enorme altezza di 12000' (1). Il cartellino accompagnante i saggi 
portava scritto quanto segue : 

" Exploration and Surveys West of the 100 th. meridian — Lieutenant Gr. M. 
" Wheeler Com'ding; Corps of Engineers U. S. Army, Expedition of. 1873 „. 

L'aspetto esteriore, la facies del T. nanum è assolutamente quella del T. alpinum, 
tanto che, osservati così all'ingrosso, si potrebbero scambiare l'uno per l'altro. Ma un 
esame un po' attento lascia vedere nel T. nanum delle particolarità curiosissime, che 
nel T. alpinum non si ritrovano. La più essenziale è questa. I germogli scapiferi si 
originano dai germogli sterili (fogliferi soltanto) all'ascella di una stipola perfetta- 
mente conformata, e crescono portando delle stipole biancastre scariose, diversamente 
foggiate da quelle che hanno code e foglioline. Sono cioè senza code, rigonfie, ampie, 
e si accavalcano le une sulle altre a cagione degli internodii brevissimi ; e finalmente 
ad un certo punto si saldano pei loro lati, formando una specie di collare grande 
tre-quadr i-fido, dal quale spunta il peduncolo o scapo fiorale, che porta due o tre 
fiori grandi come quelli del T. alpinum, ma ognuno dei quali ha un secondo colla- 
retto scarioso-membranoso proprio. 

Il calice del T. nanum ha i denti triangolari, cordati alla base, più brevi del tubo 
o tutt'al più subeguali ad esso. L'ovario è oblungo-lineare, poliovulato, ed in ciò si 
distingue anche dal T. alpinum. — Nei saggi esaminati sgraziatamente mancava il 
legume. Nel resto del fiore le differenze dal T. alpinum sono quasi nulle. 

Certamente occorrerebbe un materiale fresco, per poter studiare meglio l'infiore- 
scenza così strana del T. nanum. Se mi sarà dato di farlo in tempo avvenire, potrò 
anche meglio stabilire se questa sia una specie od una sottospecie del T. alpinum 
stesso. Ma per ciò fare occorrerebbe poter studiare le forme, che crescono a lui 
vicine sui Rocky-mountains, cosa non troppo facile. Certo è che il T. nanum appar- 
tiene alla Stirps Glycirrhizum. N. (Bertol). 

(1) Il T. alpinum, come già si disse, venne raccolto ad altezza maggiore (2600 metri nei Pirenei 
Arragonesi — Wilkomm). 



Serie II. Tom. XLIV. 



290 



S. BELLI 



SPIEGAZIONE BELLA TAVOLA I. 



1. Sezione longitudinale di una gemma ipogea di T. Lmpinaster — a) Stipola 
del capolino inferiore a' — b) Stipola del capolino superiore V — ij Stipole afille 
senza capolini o rami all'ascella (ingrandimento 2o /i). 

2. Infiorescenza pseudo-scorpioide di T. Lupinaster — a) Ricettacolo foggiato 
a palmetta visto pel dorso — b) Fiori inseriti all'apice organico del capolino spostato 
in basso e tabescenti (ingrand. 4 /i)- 

3. Sezione trasversa di una gemma ipogea del T. Lupinaster passante un 
po' al disopra del punto in cui due capolini stanno in boccio — a) cordoni vascolari 
delle stipole afille — b-c) Stipole più interne (superiori) disposte secondo la diver- 
genza V2 — ^) Ricettacolo del capolino inferiore — e) Ricettacolo del capolino supe- 
riore tagliato trasversalmente e ricevente nella sua concavità, l'inferiore del quale 
si vedono solo due fiori rappresentati da due mamelloni x e x' (ingrand, circa 40 /i). 

4. Ricettacolo del T. Lupinaster foggiato a palmetta ovata coi peduncoli 
fiorali inseriti all'interno dei due collaretti di brattee, e mostrante il peduncolo sca- 
nalato a, terminante nella superficie interna b allargata e concavo-pianeggiante 
(ingrand. 6 /i)- 

5. Ricettacolo come sopra tendente a divenire orizzontale, molto meno schiacciato 
lateralmente (ingrand. 6 /i)- 

6. Infiorescenza in boccio del T. Lupinaster — a) Stipola inferiore fogliuta 
avviluppante il capolino a' e contemporaneamente la stipola b; la quale a sua volta 
abbraccia il capolino b' — Il capolino c ravvolto nella corrispondente stipola si 
applica contro la base del ricettacolo del capolino V , e tutto questo corpo si applica 
a sua volta contro la base del ricettacolo del capolino a! — I capolini sono nella 
figura divaricati e le guaine tagliate per mostrare i punti di pressione reciproca sui 
ricettacoli e sui peduncoli fiorali (ingrand. 10 /i c. e). 

7. Porzione di rizoma sotterraneo del T. Lupinaster portante due gemme 
ipogee colle stipole afille, di cui una in via di sviluppo (ingrand. 3 /i)- 



RIVISTA CRITICA DELLE SPECIE DI TRIFOLIUM ITALIANE 



291 



8. T. Lupinaster — ■ Fiore completo. 

9. Vessillo (ingrand. 

10. Ala „ „ 

11. Carena „ „ 

12. Stami „ „ 

13. Ovario „ „ 

14. Legume „ „ 

15. Seme „ „ 

16. Sezione trasversa di un peduncolo fiorale di T. Lupinaster. 

16 Ws . Porzione ingrandita dello stesso peduncolo che dimostra la differenza di 
sviluppo soprattutto dei fasci fibro-vascolari nelle due regioni esterna ed interna del 
peduncolo fiorale — i) Faccia interna — e) Faccia esterna — a) Cuffia di elementi 
sclerenchimatosi (libro duro) — c) Xilema — d) Regione endoxilare del fascio, rap- 
presentata da elementi sclerificati in parte ed in parte parenchimatosi, simili a quelli 
del libro esterno — Nella faccia interna del peduncolo i fasci vascolari sono molto 
più piccoli; la cuffia di libro duro è molto meno sviluppata, lo xilem e ridotto ad 
una sola serie di vasi punteggiati con qualche rara trachea, e nella regione endoxilare 
mancano quegli elementi parenchimatosi sclerificati rappresentati nella figura alla 
lettera d nei fasci esterni del peduncolo. 



292 



S. BELLI 



SPIEGAZIONE DELLA TAVOLA IL 



A) T. eximium Steph. — 1. Fiore completo — 2. Calice aperto — 3. Vessillo 
— 4. Ala — 5. Carena — 6. Stami — 7. Ovario — 8. Legume. 

B) T. alpinum L. — 9. Fiore completo — 10. Vessillo — 11. Ala — 
12. Carena — 13. Stami — 14. Ovario — 14 bis . Legume — 15. Seme — 15 bis . Asse 
dell'infiorescenza col mozzicone rudimentale sporgente all'apice. 

C) T. polyphyllum C. A. Meyer. — 16. Fiore completo — 17. Vessillo — 
18. Ala — 19. Carena — 20. Stami — 21. Ovario — 22. Legume — 23. Seme. 

NB. L'ingrandimento in tutte queste figure è circa Vi salvo per gli stami nei 
quali è maggiore. 



Tav II 




ERRATA 



CORRIGE 



A pag. 237 linea 



» 259 „ 

i 280 , 

, 280 „ 

» 289 „ 



8 (dal basso) legume 

4 (dall'alto) in nota T. Lupinaster sottosezione 

ultima nulla. Pona {x) .... 

ultima la descrisse e la figuro 

2 (dal basso) in nota maggiore 



T. Lupinaster alla Sottosez. 
nulla (x). Pona 

lo descrisse e lo figurò 

press'a poco eguale 



ovario 



Nota alla pag. 284: 

Fra le località spagnuole riportate per 1' " Habitat „ del T. alpinum havvi la seguente: " Pyrenées 
u Arragon. in pascuis Jugi Puerto de Canfranc. 3600 metr. „. — Il cartellino di Willkomm portava 
questa quota altimetrica scritta evidentemente per inavvertenza, poiché, considerando anzitutto che 
la cima più alta dei Pirenei centrali non raggiunge i 3-500 metri, non è poi supponibile che la 
pianta sia stata raccolta proprio sull'estrema vetta priva di qualsiasi vegetazione. 

Nota alla pag. 285 : 

Ho potuto avere dalla cortesia del sig. Burnat di Vevey le seguenti località dove fu raccolto 
il T. alpinum, le quali proverebbero come esso scenda a livelli relativamente bassi nelle Alpi ma- 



" Entre les vallées de Cairos et de Ceva près de Fontan (Dép. des Alp. marit. frane.) 1500 m. s/m. 
" Près de Beuil (Dép. des Alp. marit. frane.) Herbier Marcilly - 1450 m. s/m. 
" Caussols (près de Grasse - France) Abbé Pons in litteris - 1100 m. s/m. „ 



vittime : 



SULLE 



EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 

LE CUI RADICI 

SI POSSONO RAPPRESENTARE CON x, Qx, Q 2 x, , Q n ~ 1 x. 

MEMORIA I 

DI 

"V". nVIOZ-iL^^lE. 



Approvata nell'Adunanza dell'll Giugno 1893. 



Se m -\- 1 è un numero primo, l'equazione seguente 

x m -\- x m ~ x + -f- x + 1 = 0, (1) 

che è quella della divisione del cerchio, oltre ad essere reciproca, è anche abeliana, 
come è noto. Le sue radici sono i termini della serie 

a,a9,a9\ , a9 m ~\ (2) 

nella quale g è una radice primitiva del numero primo ni -f- 1 ed a è una radice 
qualunque, diversa da 1, dell'equazione binomia 

x m+1 = 1 , (3) 

le cui radici, salvo 1, son tutte primitive. 

Inoltre, imaginando divisa in m parti uguali la circonferenza di un cerchio, se le 
radici (2) si pongano, ordinatamente, nei punti di divisione, risulteranno reciproche quelle 

k k+ Y 

che sono negli estremi di un diametro, per es. a/, {k = 0, 1, 2, m— 1), 

come a suo tempo verrà provato. 

Quest'ultima proprietà e l'altra precedentemente detta, cioè che ogni radice a, 
diversa da 1, dell'equazione (3) dà luogo ad una serie (2), i cui termini sono le ra- 
dici di un'equazione abeliana reciproca, non sono che casi particolari di quel che 
avviene per alcune radici 

....','»») (4) 



294 



V. MOLLAME 



di certe equazioni più generali dell'equazione (3). Se M {x) = è una di tali equa- 
zioni, con ogni sua radice x appartenente al sistema (4) si può, mediante una deter- 
minante funzione razionale (x), formare la serie 

x, 9 (4, e 2 (x) , e»- 1 (x) 

i cui termini sono le radici di un'equazione abeliana reciproca, di grado pari n e 

per la quale 9* (x) e 6 + "2 {x) (k—-Q, 1, 2, , n — 1) sono radici reciproche. 

Le radici (4), il cui numero v è multiplo di n, sono quelle di una equazione 
F(x)=0, di grado v, con coefficienti razionali rispetto a quelli dell'equazione M(«) = 0. 

In particolare, l'equazione 

n 

xQ 2 (x) = 1 , (5) 
nella quale n è un numero pari positivo, e 

n/„\ . OrX r + a T -1 X r ~ l + + «Q 

W ~~ ~ «o x r + oj ce'- 1 + + a r ' 

è una delle anzidette equazioni. Essa può divenir binomia, ed allora si riduce all'una 
od all'altra delle seguenti 

n 

Xr 2 + 1 = 1 , (6) 

n 

x r 2 + 1 = _ 1 ( 7 ) 

nella seconda delle quali i numeri interi e positivi r ed -f- devonsi supporre dispari. 

Nel campo delle radici (4) trovansi le radici primitive delle equazioni (6) e (7) (*) 
allorché ad una di esse si riduca l'equazione (5). 

Con le radici primitive dell'equazione (6), o della (7), si può comporre, come è 
noto, un' equazione razionale, Gr (x) = 0, il cui primo membro è perciò un fattore 
razionale di F (x), quando 1' equazione F (x) == è quella che si ricava dalla (6) o 
dalla (7). 

Se f(x) — è un'equazione abeliana reciproca di grado n, le cui radici siano 

rappresentabili con x, 6 (x), 9 2 (x), , 6 n_1 (x), il numero u' nella radice (x), 

che è reciproca dell'altra radice x^, può essere o indipendente da u, e quindi dalla 
scelta della radice diretta X/x, ovvero variare con u. Dalla prima di queste due 
ipotesi fondamentali scaturisce una classe di equazioni abeliane reciproche fra le quali 
trovasi quella della divisione del cerchio: esse formano il soggetto della presente 
memoria. 



(*) Per le radici primitive dell'equazione binomia x m — — 1 veggasi la mia Nota, Sulle radici 
primitive dell'unità negativa (" Rendiconto della R. Accademia delle Scienze di Napoli „, Fascicolo 7° 
a 12°, 1892). 



SULLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 



295 



§ 1. 



Sia 

fi?) = (1) 

un'equazione di grado n, le cui radici, indicando con x una qualunque di esse, siano 
rappresentate dai termini della serie 

x, Qx, Q 2 x, , 9"- 1 », (2) 

nella quale si è posto per brevità di scrittura 

e 2 x — e [e («)], e 3 x = e (e 2 x), ecc. 

e si è denotata con (x) una funzione razionale di x, tale, che per ogni valore di x 
che sia radice dell'equazione (1) risulti 

6" x = x, (3) 

e 

Q n ~ v x non == x, (4) 

qualunque sia il numero v scelto nella serie 1, 2, 3, . . . , n — 1. 

In virtù delle ipotesi fatte sulle sue radici, l'equazione (1) è abeliana. Dalla 
equazione (3) e dalla condizione (4) si deduce poi immediatamente che al numero k, 
o esponente di in e* x, se x e radice dell'equazione (1), si può aggiungere o togliere 
un multiplo di n, e che da 0' c x= Q r x segue che la differenza fra k e k' deve essere 
un multiplo di n. 

La funzione (x) si dirà funzione generatrice delle radici dell'equazione abeliana (1). 

Suppongasi inoltre che l'equazione (1) sia reciproca e, scelta una sua radice Xja, 
ne sia Q^Xju la radice reciproca. L'esponente u' di in Q^x potrà essere o indi- 
pendente da u, cioè dalla scelta della radice x^ , o variare con questa. Dalla prima 
di tali ipotesi fondamentali nasce una classe di equazioni abeliane reciproche che 
formano il soggetto della presente memoria e che, per brevità di linguaggio, si 
diranno equazioni abeliane della classe (I). 

Sia x una radice qualunque dell'equazione (1), supposta abeliana e della 
classe (I), e V x, ne sia la radice reciproca: sarà v indipendente da x; e però se 
nella serie (2) si imagini che all'ultimo termine segua il primo, come al primo segue 



296 



V. MOLLAME 



§ 1. 

il secondo e così via, le radici reciproche seguiranno ad intervalli uguali le radici 
dirette ; e , come applicando v volte l' operazione 9 si passa dalla radice x alla 
radice reciproca V x, così applicando v volte la stessa operazione alla radice 9 V x si 
passerà da 9 V x alla radice reciproca di V x, cioè si tornerà alla radice x. Si ha quindi 

9 x — X 

e perciò 2v deve essere un multiplo di n. Or essendo v uno degli esponenti di 9 
nella serie (2), si ha v < n — 1 ; per la qual cosa il multiplo di n che può essere 
uguale a 2v o è zero, ovvero è n. Se è 2v = 0, cioè v = 0, allora ogni radice del- 
l'equazione (1) è reciproca di sè stessa, e quindi quella equazione non ha altre radici 
che -)- 1, o — 1. Questo caso che non offre nulla degno di nota non sarà preso in 
considerazione e rimane perciò a porre soltanto 2v == n. Adunque la radice reciproca 

n 

di x è 9 2 x, qualunque sia x, cioè si deve avere 



Q*x 9* +k x = 1 , (3) 

per ogni radice x dell'equazione (1) e per ogni valore finito del numero intero e 
positivo k. 

Si può quindi conchiudere che: 

Le equazioni abeliane della classe (I) sono di grado pari; e se 9 (x) è la funzione 
generatrice delle loro radici, ognuna di queste deve soddisfare l'equazione (3). 



SULLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 



297 



§ 2. 



Nelle ricerche ulteriori si presenta il problema seguente, del quale si premette 
ora qui la soluzione. 

Determinare la forma generale di una funzione razionale 9 (x) che goda la pro- 
prietà espressa dall'equazione identica 

e(*)e(!) =1. (!) 

Pongasi 

n/ \_ atx T Ar Or-i x r ~ l -f- . . . 4~ x -\- a F A (x) "~j 

W — h x s + fc-i a; 5 " 1 + . . . + 6, » + & L~~ B (x) J ' 

e le funzioni intere A (x), B (x) si suppongano prive di fattori comuni e decomposte 
in fattori lineari. Allora 9 (x) assumerà la forma seguente 

ft ( \ Or{x — Xj) (X — Xj) ... (x — Xr) /pv 

W ~~ h s {X — Hi) (x — Z 2 ) ... (X— E,) V ^ 

nella quale una £ a non può essere uguale ad una xp. Dalla (2) si ha che 

q / _1_ \ __ ar (1 — ari a;) (1 — x 2 x) ... (1 — x T x) ^ s _ r _ /g> 
\ aj j & s (1 — 2j a; (1 — E 2 a;) . . . (1 — l, x) ' ^ ' 

e però l'identità (1) in virtù delle (2) e (3) diviene 

«r 2 (a? — Xi) (x — a? 2 ) ... (x — Xr) (1 — Xix) (1 — a; 2 a?) ... (1 — x r x) t _ r « /a 

6 s 2 (a; — (» — E 2 ) ... (a; — E,) (1—2,») (1 — E,») ... (1— E,») ^ ~" ' ^ ' 

Il numeratore della precedente frazione si annulla per x = xq ((3 = 1, 2, r), 
ed è aj/3 una quantità finita, perciò deve annullarsi anche il denominatore; e siccome 
una 2 a non può essere uguale ad una x$ , così nessuno dei primi s fattori di quel 
denominatore può annullarsi per x = xp . Tale annullamento deve adunque essere 
prodotto da qualcuno dei rimanenti fattori. Se è 1 — xp Z a = 0, si avrà 



Xp 



Serie IL Tom. XLTV. 



298 



V. MOLLAME 



§ 2. 

e perciò le quantità sono reciproche delle quantità x^\ per la qual cosa deve 
essere r = s e deve B (x) avere la forma seguente 

B (x) = \(a r -f" «r-i a? -j- «>•— -j- ... -f- a x r ), 

nella quale \ è una quantità indipendente da x. Col precedente valore, B (x) l'espres- 
sione di (x) diviene 

[9 ($) = ] «r à r + Or-1 <» r ~ l + ■ • • + «1 » + «o . 



X («0 X r + «1 ff r— 1 + • • • + Or—I * + «r) ' 



e questa, applicandovi l'identità (1), mostra dover essere \ = ± 1 : quindi si ha per 
la chiesta funzione la seguente espressione 

q ( x \ _ _j_ «r of + ar-i a?- 1 + . . . + g t a; + g . 

nella quale i coefficienti a ed il grado r rimangono arbitrarli. 
Si ha inoltre che: 

Se una funzione razionale 0(x) gode la proprietà espressa dall'equazione identica (1), 
anche l'altra funzione 0* (x) godrà quella stessa proprietà; ossia sarà, identicamente, 

Q«(x) e* (i-) = 1. (6) 

In effetti l'identità (1), che può scriversi 

e f-ì = — 
\ x ) e(«) ' 

mostra che l'azione di sopra una frazione della forma — * si esplica solo sul de- 
nominatore x; e però applicando k volte di seguito l'operazione risulterà 

e* (M = -J— 

{*■} e* (x) ' 

cioè la (6). 



SULLE EQUAZIONI ABELTA.NE RECIPROCHE 



299 



§ 3. 



Sia f(x) = un'equazione di grado n, abeliana e della classe (I). E però ogni 
sua radice dovrà soddisfare anche le equazioni 

tfx e* + ^ = 1, (1) 

e n x = x , (2) 

nella prima delle quali il numero intero e positivo k può ricevere qualunque valore 
finito. Cambiando k in k -) — — , l'equazione (1) non muta per ogni sua radice che 
verifichi anche l'equazione (2): quindi dall'equazione (1) si ottengono equazioni fra 
loro differenti solo per gli — valori 0, 1, 2, ... , — 1 di A:. Tali equazioni, in- 
sieme alla (2), formano un sistema di -\- 1 equazioni alle quali, come fu detto, 

a 

devono appartenere le n radici di f(x) = 0. Questo sistema può sostituirsi con quello 



formato dalle equazioni ricavate dalla (1) per k = 0, 1, 2, . 
l'altra fornita dalla stessa (1) per k = ; cioè dalla seguente 

a 



— le dal- 



<d 2 x Q n x = 1. 

Imperocché da questa equazione, paragonata con l'altra 

xQ^x = 1 , ( 3 ) 

che si ha dalla (1) per k = 0, si deduce 1' equazione (2). Sicché le n radici di 
f (x) = devono esser comuni alle seguenti — | — 1 equazioni 

n 

x Q T x = 1 



Qx 9 2 +1 a? = 1 



e 2 x e 2 x = 1 



Q*xQ n x = l ; 



(4) 



le quali mostrano immediatamente: 1° che se x' è una loro radice comune, sarà pur 
tale ciascuna delle quantità 6 x', 8V, , 6"- 1 x'; 2° che 9" x' riproduce x'; 3° che 



300 



V. MOLLAME 



§ 3. 

k -t— - 

le radici Q k x' e Q 2 x' sono fra loro reciproche. In conseguenza di ciò, se n è il 
più piccolo degli esponenti v di 9 , per i quali si ha V x r = x', allora i termini 
della serie 

x', Bx', Q 2 x', , e»- 1 a' 

saranno le radici di un'equazione f(x) = di grado n, abeliana e della classe (I). 
Per la composizione di un'equazione della specie di f (x) = è dunque mestieri 

innanzi tutto che la funzione razionale {x) sia determinata in guisa che le — -j- 1 
equazioni (4) abbiano una radice comune. 

Al sistema (4) può sostituirsi anche il seguente 

x Q Y x = 1 

q x e — = i 

X 

e 2 x e 2 - = ì 

X 



02 x 6* — = 1 ; 

x 

giacché per ogni radice x comune alle equazioni (4) si può in quelle sostituire 

— 1 
a 6 2 a la quantità eguale — , tratta dalla prima di esse , ed allora il sistema (4) 

si riduce al sistema (5). Viceversa dal sistema (5) si deduce il sistema (4) col sosti- 

n 

tuire nelle equazioni che seguono la prima delle (5) ad -y il suo valore 2 x tratto 

da quella equazione. Il sistema (5) è più semplice del sistema (4), se si tien conto 
del numero di volte che devesi applicare 1' operazione ; essendo tal numero nel 
sistema (5) minore di quello relativo al sistema (4). 

Esprimendo che le ~ -J- 1 equazioni (5) hanno una radice comune, si ottengono, 

al più, -5- equazioni diverse, razionali nel campo dei coefficienti di (x), alle quali 

soltanto devono soddisfare i coefficienti di qualunque funzione (x) razionale in x, 
se essa si voglia assumere come funzione generatrice di un' equazione di grado n 
abeliana e della classe (I). 

Sul grado della funzione 8 (x), se essa è intera, o sui gradi del numeratore e 
del denominatore di 9 (x), se essa è frazionaria, si può notare quanto segue. 

Sia (x) funzione intera di x, per es. 

(x) = a r x r -4- a r —i x r ~ x -j- -j- a p x? ; 

sarà W(x) del grado r v ed X?" ne sarà il termine di minor grado. 




SULLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 301 

§ 3. 

Perciò in 6 V ^~ j il numeratore è di grado r v — p v ed il denominatore di 

grado r v . Adunque, se per brevità di scrittura si rappresenta con (u, u') una fun- 
zione algebrica fratta della quale |u e ju f sono i gradi del numeratore e del deno- 
minatore, si avrà 

Qv(x) = (r\ 0) 




Per la qual cosa, i gradi delle equazioni (5), ridotte a forma intera, sono dati, ordi- 

n 

natamente, dai numeri r 2 -j- 1 , 2r — p, 2r 2 — p*, ecc. Quindi, affinchè le n radici 
x', 6 x', 0* x', , n-1 x' comuni alle equazioni (5) possano essere fra loro disu- 
guali, è necessario che o nessuno dei precedenti gradi sia minore di n, la qual cosa 
importa che sia r > 1, come è chiaro, ovvero che si convertano in identità quelle 
equazioni i cui gradi risultano minori di n. 
Ora si ha 



= [l + (r-l)P = 1 +i( r _l)+ + -J-(r-l) 



+ {r-l) 



= 1 + 



r — 1 -f. ( r — 1) 2 1 



+ e, 



dove e è una quantità positiva diversa da zero, se > 2 : e perciò risulta in tal caso 



r 2 > 1 + £ 



r — 1 -f- (r — 1) 



- 1 



Se in questa relazione ad r — 1 (> 1) si sostituisce 1, si ottiene l'altra 

n 

r 2 > n -f- 1 



e quindi si conchiude che 



r 2 + 1 > w + 1 , 



dove il segno = si riferisce solo alle ipotesi ^y=r2,r = 2j, ^-|- : = 1, r = 2^. 

Adunque il grado della prima delle equazioni (5) non è mai inferiore ad n. Delle 
equazioni rimanenti poi, la seconda è quella di grado minore: giacche i gradi di. 
tali equazioni, per p = r, sono dati dai numeri crescenti r, r 2 , r 3 , ecc. e per p < r, 
dall'identità 



pv — (r _ p ) ( r v-i r v-2 p _|_ _ _ m _ _j_ jpv-i) 



302 



V. MOLLAME 



§ 3. 

segue che al crescere di v cresce la differenza r v — p v e quindi cresce vieppiù l'altra 
differenza 2r v — p v ; sicché i gradi delle equazioni che seguono la prima delle (5) 
sono sempre crescenti, e la seconda di dette equazioni ha perciò il grado minore, 
2r — p. dunque deve essere 2r — p > n, ovvero, se 

2r — p < n, 

e le predette n radici 2 x', , 9 n— 1 x' sono fra loro disuguali, deve la 

seconda delle equazioni (5) convertirsi in una identità; nel qual caso avverrà altret- 
tanto di tutte le equazioni che seguono quella, in virtù della proposizione enunciata 
in fine del § precedente ; ed allora la funzione intera 6 (x) deve avere per espressione 
quella riportata nel detto §. Tale espressione intanto non può ridursi a forma intera 

se non per a = a x = = a r — i = : in tal caso si avrà 9 (x) = ± x r e la 

prima delle equazioni (5) diverrà un'equazione binomia, x m — + 1. In conseguenza 

le radici x', 9 x\ 9 V, , 9 M_1 x' di essa, cioè di f (x) = sono radici dell'unità 

reale, positiva o negativa. Si conchiude perciò che 
Se 2r — p < n, la funzione intera 

a r x r -\- a r -\ x r ~ y -|- a p x p 

si può solo allora assumere come generatrice di un'equazione f (x) = 0, abeliana, della 

classe (I) e di grado n, quando a p = a p _i = a r _ i = ed a r = ± 1 ; cioè quando 

quella funzione si riduce alla potenza x r . In tal caso le radici di f (x) = sono 
radici dell'unità reale, positiva o negativa. 

Sia 9 (x) una funzione frazionaria, per es. 

ft / \ _ Ch X T + «r-1 Xr-1 + + a [~ fr (x) ~] 

yx) ~ b,x> + x 8 - 1 + + h L X)J ' 

I gradi r ed s non si possono supporre entrambi uguali ad 1 ; altrimenti le 
equazioni (5) risulterebbero tutte del secondo grado. Ora si ha: 

fì 2 f \ O-r fr T + ar-l fr T ~ l g» + +O0j£ s -r . 

° KX) ~~ bs fr* + fr" 1 g, + 4- bo 9s < 95 ' 

e quindi, se è r > s, la potenza g, s ~ r figurerà nel denominatore di Q z (x) con l'espo- 
nente positivo r — s. In tal caso il numeratore di Q 2 (x) risulta di grado r 2 , rispetto 
ad x, ed il denominatore di grado 2rs — s 2 . Se invece è r < s ed a , b non = 0, il 
numeratore ed il denominatore di 9 2 (x) risultano entrambi di grado s 2 : sicché si avrà, 
secondo la precedente notazione 

e (a) = (r, s) 

Q 2 (x) = {r\ 2rs — s 2 ), r > s 
9 2 (cr) = (s\ s 2 ), r < ». 



SDLLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 



303 



§ 3. 



Siccome poi con r >■ s si ha pure 2r — s > 1 , cioè 2rs — s* > s ed è in ogni 
caso r* > 2rs — s 2 , così ponendo 



si ha che da Q(x), con la condizione r > s, si arriva a Q 2 (x)[=(r', s')] dove è pure 
verificata la condizione r' > s', la quale perciò sarà verificata in Q v (x) per qualunque 
valore intero e positivo di v. Oltre a ciò, come a motivo di r > s in Q(x) si è avuto 
r' > r ed s' > s, così da r' > s' in 8*(a;) si avrà r" > r' ed s" > s' in 3 (x) e così via. 
Si ha pure, per a , b non = 



e si può quindi conchiudere che il grado del numeratore e quello del denominatore di 



0" ( — sono uguali fra loro e crescono con v, così come avviene in Q'(x). Adunque 



la seconda delle equazioni (5), anche nel caso che Q(x) sia una funzione fratta per 
la quale a , b non = 0, è quella che ha il minor grado fra le equazioni che seguono 
la prima. Tal grado è dato da 2r se r > s, ovvero da 2s se s > r. Quindi se le n 
radici x', Qx', 6V, ... , 6 n ~V comuni alle equazioni (5) debbono essere fra loro disu- 
guali, è necessario che il grado 2r, o 2s, della seconda di quelle equazioni non sia 
minore di n. Nel caso contrario, cioè quando il maggiore dei numeri r ed s, o uno di 

essi, se sono uguali, è minore di la seconda delle equazioni (5), e come conse- 

a 

guenza tutte le rimanenti, debbonsi convertire in altrettante identità. La funzione 
Q(x) in tal caso sarà quella determinata nel § precedente; in essa i coefficienti 
a ed a r devonsi supporre diversi da zero, altrimenti o il numeratore, o il denominatore 
di 9 (x) sarebbero privi del termine indipendente da x, ciò che in principio si è per 
ipotesi escluso. Si conchiude adunque che: 

Supponendo a , b non = 0, se è r =g s, la funzione 



Q*(x) = (/, s'), 





r < s 





Ur X r «r— 1 X 1 



b» x s -(- bs—i x 1 



. s -i 



nell'ipotesi di r, s < ^- non può assumersi come funzione generatrice delle radici di 
un'equazione abeliana di grado n e della classe (I). Ciò può farsi o quando il maggiore 
dei due numeri r, s non è minore di ~, ovvero quando r = s. In quest'ultimo caso deve 



304 



V. MOLLAME 



§ 3. 

essere b s = ± a , b s _! = ± ài, , b = ± a r , convenendosi di prendere costante- 
mente l'uno o l'altro dei segni ±. 

In particolare se Q(x) sia stata determinata in guisa che le equazioni (5) abbiano 
una radice comune e che qualcuna di quelle equazioni risulti di grado n, essa sarà 
un'equazione della specie di f(x) = 0, purché non abbia radici uguali. 

In generale, dopo aver determinata la funzione 9 (x) in modo che le equazioni (5) 
abbiano una radice comune, sia M(x) il massimo comun divisore dei primi membri 
di quelle equazioni ridotte a forma intera e con uno dei membri uguale a zero. Con 
ogni radice dell'equazione M(x) = si può formare la serie 

nella quale è 

9V = x' 

eV e 2 x' = i; 

e però se nella precedente serie avviene che Q n x' è il primo di quei termini che 
riproducono x', saranno x\ 0x', 9V, ... , Q n ~ l x' radici di ÌIL(x) = con le quali si 
può comporre un'equazione di grado n, della specie di f(x) = 0. Se dunque si sop- 
prime da M.(x) = ogni radice x" per la quale nella serie x", Qx", 0V, ... non 
è & l x" il primo di quei termini che riproducono x", l'equazione cui si perviene sarà 
decomponibile in equazioni che hanno i caratteri di f(x) = e che sono tutte quelle 
che nascono per effetto della determinazione ricevuta dalla funzione generatrice Q(x). 
Per sopprimere dall'equazione M{x) = la radice x", comune a tutte le equazioni (5), 
basterà sopprimerla da una qualunque di esse. A tal fine è sufficiente sopprimere da 
una delle equazioni (5) ogni sua radice x che sia comune a qualche altra di dette 
equazioni e per la quale si abbia Q n 'x == x per n' < n. Scelgansi, per es., la prima e 
l'ultima delle (5), o, ciò che è lo stesso, le equazioni (3) e (2). 

E facile vedere innanzi tutto che una radice x comune alle equazioni (3), (2) 
ed a qualche equazione, 

n' 

xQ~*x = 1, (6) 

della stessa forma della (3), ma con un esponente ^ di minore di -|-> ® ^ a S0 P" 

primersi da una delle equazioni (3) e (2), per es. dalla (3): giacche per una tale 
radice risulta 

Q n 'x = x (7) 
con n' < n. In effetti, per ogni radice x comune alle equazioni (3) e (6) risulta 



n n' 

Q*x == Q^x; 



(8) 



SULLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 



305 



§ 3. 

n_ n' 

or applicando una volta l'operazione 2 ed un'altra l'operazione 2 ad ambo i membri 
della (8), e tenendo presente l'equazione (2), che per ipotesi è pur essa verificata 
dalla radice x in discorso, si avrà, rispettivamente, 

n + n 
X = 2 X 

n -+- n' 

Q~^~x = n 'x; 

e dal confronto di queste due equazioni si ottiene la (7). 

In generale, nella presente quistione basta considerare quelle soltanto delle 
equazioni (6), nelle quali n' è un divisore (pari) di n, minore di n, che dà un quo- 
ziente dispari. Sia infatto x una radice delle equazioni (3) e (2) che verifichi anche 
qualche equazione della forma (2) ma con un esponente di minore di n. Di tali 
equazioni sia 

8 a x = x (9) 

quella nella quale ha il più piccolo esponente: in tal caso dovrà essere a un di- 
visore di n; altrimenti, posto n = av -f- |u, dove v e u sono il quoziente ed il resto 
della divisione di n per a, l'equazione (2), cioè la seguente 

0^e ia cc = x, 

per ogni sua radice che soddisfi anche la (9) diviene 

Q^x = x, 

e questa, essendo u < a, mostra non esser la (9) quella fra le anzidette equazioni 
nella quale è a il più piccolo esponente di 0, ciò che è contro l'ipotesi. 

Adunque essendo u = ed n = av, l'equazione (3) può scriversi 

a v 

X Q*x = 1. (10) 

Il numero v può essere pari o impari; nel primo caso, essendo ~a un multiplo 

di a, l'equazione (10), cioè la (3), per ogni sua radice che verifichi anche la (9) si 
si riduce alla seguente 

x 2 = 1, (11) 

e si conchiude che se a è un divisore di n che dà un quoziente pari (in particolare 
se a — 1) le radici che le equazioni (3) e (2) possono avere comuni con la (9) sono 
le radici -f i o — 1 dell'equazione (11). Tali radici devonsi perciò sopprimere dall'e- 

Serie II. Tom. XLIV. n 1 



306 



V. MOLLAME 



§ 3. 

quazione (3), quando vi siano. Sicché nell'equazione (9) è da considerarsi solo il caso 
in cui a è un divisore di n che dà un quoziente dispari v. 

Sia v = 2b -4- 1; in conseguenza a deve essere pari. L'equazione (10), cioè 
la (3), si può scrivere 

a 

xQ* Q l "x == 1 , 

e questa, per ogni sua radice che verifichi anche la (9), diviene la seguente 

a 

xQ~*x == 1 (12) 

nella quale, come fu detto, a è un divisore (pari) di n, minore di n, che dà un 

quoziente dispari; ovvero nella quale — è un divisore di n, minore di ~ che dà 

un quoziente pari. 

Si può ora enunciare il seguente 

Teorema. — La funzione razionale 6(x) sia tale che le -f- 1 equazioni (5) 

[o (4)] abbiano una radice comune. Dall' equazione (3) si sopprimano tutte quelle radici 
che essa ha in comune con altre equazioni della stessa sua forma ma con esponenti di 6 

minori di e 0(x) = sia l'equazione che ne risulta. Ridotte a zero ed a forma 

intera le equazioni 0(x) = e (quelle che seguono la prima delle (5) ; sia F(x) il mas- 
simo comun divisore dei loro primi membri; l'equazione 

F(x) = (13) 

sarà decomponibile in equazioni di grado n ; abeliane e della classe (I); per le quali 9(x) 
è la funzione che genera le radici. 

Se si sopprimono dall'equazione (3) le radici -j- 1 e — 1, quando vi siano, allora 
delle anzidette equazioni aventi la forma della (3), ma con esponente di minore di 

^, basterà prendere in esame quelle soltanto nelle quali, come nella (12), & è un divi- 
sore (pari) di n, minore di n che dà un quoziente dispari: cioè quelle nelle quali l'espo- 
nente di 9 è un divisore di n, minore di — , che dà un quoziente pari. 

Non esistono altre equazioni abeliane della classe (I) oltre quelle ottenute nell'anzi- 
detto modo. 



SCJIiLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 



307 



Il caso in cui la funzione (x) sia tale che le ~ equazioni che seguono la prima 

delle (5) del § precedente diventino identità, vien preso in esame nel presente §. 
Sia dunque la funzione Q(x) determinata in guisa che le equazioni 



*xQ k \ — 

' X 



1 \ 



J = 1 (1) 



k — 1, 2, 3, ... , -g- 

diventino altrettante identità. In tal caso il sistema (5) del § 3 è verificato da ogni 
radice x' dell'equazione non identica 



x Q 2 x = 1, (2) 

che è la prima di quel sistema; e quindi con la radice x' e con la funzione gene- 
ratrice Q(x) si può comporre un'equazione abeliana della classe (I), che sarà di grado n 
se nella serie x\ Qx', Q 2 x', ecc. è Q n x' il primo dei termini che riproducono x'. 

Per la formazione di tale equazione e delle altre analoghe deducibili dalla (2) 
già provvede il teorema poc'anzi enunciato, nel quale l'equazione F(x) = è quella 
che si ottiene sopprimendo dall'equazione (2) tutte quelle radici che sono considerate 
nel citato teorema. 

Or affinchè riescano identiche le equazioni (1) è sufficiente che la prima di esse 
si riduca ad un'identità, secondo quel che fu detto nel § 2, nel quale fu data anche 
l'espressione che deve avere Q(x) nel caso in discorso: e però si ha il seguente 

Teorema. — Sia 

a r x r -\- ar—\x T ~ x + + a x x + «o 



Q(x) = 



se dall'equazione 



aox r -{- aix r ~ l -f- -)- ctr—ix -\- a T 



xQ 2 x = 1 



si sopprimono tutte quelle radici considerate nel teorema del § 3, l'equazione rimanente 
F(x) = sarà decomponibile in equazioni abeliane di grado n e della classe (I), per 
le quali è 0(x) la funzione generatrice delle radici (*). 



(*) Le radici dell'equazione x& 2 x = 1, non appartenenti ad altre equazioni della stessa forma 
della precedente e con esponente di minore di -=r, potrebbero denominarsi radici abeliane di 



308 V. MOLLAME 

§ 4. 

L'equazione (2), se Q(x) ha per espressione quella indicata nel teorema prece- 
re 

dente, è di grado r 2 -f- 1. Essa, se la formola che dà Q(x) si prende col segno -f~> 
ha la radice x = 1, qualunque sia r; ha inoltre la radice x = — 1 se r è dispari. 

n n n 

Imperocché essendo attualmente Q 2 xQ 2 — = 1, identicamente, ne segue che Q 2 x 

avrà un'espressione della stessa forma di quella della funzione (x) determinata nel 
§ 2; quindi l'equazione (2) potrà mettersi sotto la forma seguente 

, x(b s x s + b s -\x s - 1 -f- + h% + K 



b x s + hx s ~ L + + h-ix -f 



= 1, 



e sarà verificata da x = 1, se si prende il segno -j- nel primo membro, qualunque 
sia il valore di s e quindi di ri se poi s, e quindi r, è impari quell'equazione, nel- 
l'ipotesi del segno -)-> sar ^ verificata anche da x = — 1. 

Se poi si sceglie il segno — nel primo membro dell'equazione precedente, essa 
ha la radice x = -j- 1, o l'altra x = — 1, secondo che r è dispari o pari. 

Cosi, posto 

n — 4, r = 2 

P = ax 2 -\- bx -\~ c, 

Q == ex 2 -\- bx -\- a, 

m =±~ 

le equazioni biquadratiche seguenti 

(ax — c)P 2 4- b(x — 1) PQ 4- (ex — a) Q 2 _ n 
x — 1 ~ ' 

(ax 4- c)P 2 4- b(x + 1) PQ + (ex + a)Q 2 _ n 
x-+l - °? 

sono abeliane della classe (I) ed hanno per funzione generatrice delle loro radici 

P P 
[Q(x) — ] 4~ q"» [®( x ) = ì — "q > rispettivamente. 



ordine n di quella equazione. Con ciascuna di tali radici può comporsi un'equazione abeliana di 
grado n e della classe (I). Nel campo di queste radici trovansi le radici primitive dell'equazione 
in discorso, quando essa si riduce ad un'equazione binomia, come sarà in seguito dimostrato. 

Le rimanenti radici dell'equazione xB 2 x = 1, salvo -4-1, — 1, appartengono ad equazioni della 

a 

forma xQ 2 x = 1 dove a è un divisore di n, minore di n, che dà un quoziente dispari [§ (3)]; e 
però se ti è della forma 2^, e solo allora, le radici dell'equazione in discorso, che diviene 



«e 2 x 



sono tutte abeliane, tranne -\-\, o — 1 



i 



SULLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 



309 



§ 5. 

Alle equazioni abeliane della classe (I) considerate nel § precedente apparten- 
gono, come caso particolare, quelle le cui radici sono radici dell'unità, positiva, o 
negativa. Per l'indagine di tali equazioni è necessario ricorrere ai teoremi (A) e (B) 
che seguono. 

Teorema (A). — In ognuna delle equazioni binomie 

x m — 1 (1) 
x M = — 1 (2) 

se una radice, x 2 , è funzione razionale di un'altra, x u si potrà esprimere x 5 come po- 
tenza con esponente intero e positivo di x L . 

In effetto se a è una radice primitiva dell'equazione (1), si potranno esprimere x l 
ed x. 2 come potenze di a, con esponenti interi e positivi, siccome è noto. Sia 

x x - a p , x 2 = a ? ; (3) 

si avrà allora 

x 2 = Xi*) (4) 

e quindi se x% è funzione razionale di x x dovrà essere q multiplo di p: per es. q =pr; 
in tal caso la relazione (4) diviene 

x t = x{ (5) 

ed il teorema precedente rimane dimostrato per l'equazione (1). 

Estesa poi la definizione di radice primitiva dell'equazione (1) anche all'equa- 
zione (2) si ha che: 

Se a è una radice primitiva dell'equazione (2), i termini della serie 

a, a 3 , or, , a 2 " 1-1 

esprimono tutte le radici dell'equazione (2) (*). 

In conseguenza le relazioni (3) relative all'equazione (1) e le altre (4) e (5) che 
da quelle scaturiscono sono vere anche nel caso dell'equazione (2). Dopo ciò il pre- 
cedente teorema rimane provato anche per l'equazione (2). 



(*) Questo teorema trovasi dimostrato nella " Nota „ : Sulle radici primitive dell'unità negativa, 
già innanzi citata. Tale nota, alla quale spesso si ricorre nella presente Memoria, sarà detta, per 
brevità, Nota A. 



310 



V. MOLLAME 



§ 5. 

Il numero intero r | = ~ J nella relazione (5) può risultare maggiore di m, nel 

caso dell'equazione (2); giacche gli esponenti p e q variano da 1 a 2m — 1. In tal 
caso se per es. è r—m-\-r', la relazione (5); ponendovi — 1 in luogo di x n diviene 

x 2 = — xf . (6) 

Suppongasi ora che la funzione Q(x) sia stata determinata in guisa che le equa- 
zioni (5) del § 3 abbiano una radice comune x: esse avranno comuni anche le radici 
Qx, Q 2 x, ecc. In virtù della detta determinazione, Q(x) assuma una forma tale che 
l'equazione 

n 

xQ^x = 1, (7) 
cioè la prima delle (5) del § 3, si riduca ad un'equazione binomia: ciò che può 

n 

avvenire solo se B 2 x è una potenza di x, per es. se 

re 

Q 2 X = 4~ x\ 

In tal caso l'equazione (7) diviene 

^v+i _ ± i . ( 7 ') 

e siccome se a? è una radice della precedente equazione, cioè della (7), anche Q(x) è 
radice della stessa, così a motivo delle relazioni (5) e (6) alle quali ha dato luogo 
il teorema (A), la funzione razionale B(x) che esprime una radice dell'equazione bi- 
nomia (7') mediante un'altra x può mettersi sotto la forma 

9(a>) = ± x r (8) 

dove r è un numero intero che si può sempre supporre minore di v -(- 1. 

E però da una parte le equazioni che seguono la prima delle (5) del § 3 attual- 
mente diventano tutte identiche, per virtù della forma (8) di Q(x), e dall'altra l'espres- 
sione di Q(x) rientra in quelle che emanano dalla forinola (7) del § 2. Adunque 
l'equazione F(a?) = considerata nel teorema del § 4 è decomponibile, presentemente, 
in equazioni abeliane della classe (I) e di grado n, le cui radici sono tutte radici 
d'un medesimo indice o dell'unità positiva o dell'unità negativa. 

Viceversa poi se Q(x) assume la forma (8), allora l'equazione (7) si riduce ad 
un'equazione binomia e precisamente alla seguente 

^+1=1, (9) 
se nella (8) si sceglie il segno e se invece si sceglie il segno — , si trova che 



SULLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 

§ 5. 



311 



e 2 * = (— i) e x r ' 2 

dove 

e = 1 -L- r rfr* -f- ...H- r T ~\ 
e che l'equazione (7) si cangia nell'altra 

n 

(— 1)V T+1 = 1, 

la quale non è diversa dall'equazione (9) se e è pari, cioè se r è dispari ed ~ è pari. 

La precedente equazione è invece diversa dalla (9) se e è dispari: nel quale caso 
essa diviene 

n 

xr T + 1 = — l. (10) 

Sorge qui l'opportunità di considerare separatamente le due ipotesi di r dispari 
o pari. 

Se r è dispari, allora e che è somma di ^ numeri dispari risulterà dispari solo 

quando ^ è pur tale. 

Se r è pari il numero e è sempre dispari qualunque sia n. Adunque prendendo 
il segno — nell'espressione (8) di Q(x) si otterrà dalla (7) l'equazione (10), invece 

della (9), solo allorquando è r pari, ovvero r ed ^ sono entrambi dispari. 

Oltre alle equazioni abeliane della classe (I) aventi per radici le radici dell'unità 
positiva o dell'unità negativa, e che si ottengono come poc'anzi fu detto, non ne 
esistono altre. La verità di questa asserzione poggia sul seguente 

Teorema (B). — Se una radice x t dell'equazione 

x m = ± 1 

è funzione razionale di una radice x 2 dell'altra equazione 

x m ' -— ± 1 

dovrà essere Xi una potenza, positiva o negativa, con esponente intero, di x 2 . 
In fatto da 

Xl m = ± 1, 
x. 2 m ' — ± 1, 

si deduce che 



312 



V. MOLLAME 



§ 5. 

Mi d/% 

e che 

mi 

Xi — ± X 2 m . 

Se dunque x x è funzione razionale di x 2 deve essere m' multiplo di m. C. D. D. 
Segue dal precedente teorema e dal teorema (A) che se un'equazione f(x) === 
ha per radici i termini della serie 

x, Qx, Q 2 x, . . . , Q n ~ l x, (Q n x = x) 

nella quale è Q{x) una funzione razionale di x, e se x e B(x) sono radici dell'unità 
positiva, o negativa, dovrà essere Q(x) una potenza positiva, o negativa di a;: e però 
Q(x) dovrà avere un'espressione della forma (8). Quindi l'equazione Q n x uà x alla 
quale deve soddisfare ogni radice di f(x) = 0, diviene l'una o l'altra delle seguenti 

x r "- l =:l, af n - 1 = — l, 

le quali provano che le radici di f(x) = sono tutte radici con uno stesso indice, 
o dell'unità positiva, o dell'unità negativa. 

Inoltre, se l'equazione f{x) = è reciproca, allora la (7), alla quale devono 
pur soddisfare le radici di f(x) = 0, diviene l'equazione (9), o l'equazione (10). Si può 
quindi conchiudere il seguente 

Teorema I. — Le equazioni abeliane della classe (I) e di grado n che hanno per 
radici le radici dell'unità positiva, o negativa, sono quelle sole che si possono ottenere 
o mediante l'equazione binomia (9), qualunque siano i numeri interi e positivi r ed n, o 

mediante l'equazione binomia (10) allorché r è pari, oppure allorché r ed ^ sono entrambi 

dispari. 

Il processo dichiarato nel teorema del § 3 sull'equazione generale (3) di quel § 
serve a comporre le equazioni menzionate nel teorema precedente ; ed a tal fine quel 
processo verrà in seguito sottoposto ad ulteriori considerazioni. 

Per le equazioni che si ottengono mediante la (9) la funzione Q(x) generatrice 

delle radici è espressa da x r , qualunque siano r ed ^ : se poi r è dispari ed è 

pari, allora 0(aj) può avere per espressione sia x r che — x r . Per le altre equazioni 

ottenute mediante la (10), nella quale deve essere r pari, ovvero r ed ^ entrambi 

dispari, la funzione Q(x) è espressa da — x r . 

In particolare suppongasi che n -f- 1 sia numero primo, ed r ne sia una radice 
primitiva: sarà allora 

r" = 1 mod. (n -j- 1) 

e quindi 



SOLLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 



313 



§ 5. 

r n — 1 = multiplo (n -f- 1), 

ossia 

(r 2 4" l) ( r2 — l) — multiplo (n -f- !)• 
Il numero n -\- 1 dovendo dividere il primo membro della precedente egua- 

n 

glianza e non potendone dividere il fattore r z — 1, altrimenti non sarebbe r radice 
primitiva di n -f- 1, dovrà quel numero dividere l'altro fattore r Y -\- 1. È dunque 

n 

r 2 -f- 1 un multiplo di n -j- 1 : e però ogni radice dell'equazione 

x n+1 == 1 

è radice anche dell'equazione (9). Le radici dell'equazione x n+l = 1 , diverse da 1, 
possono esprimersi, come è noto, con 

r ri * n_1 

/yt /vi' /y*r /yf 

e sono le radici dell'equazione 

x n -f x n ~ l -f- 4- a? 4- 1 = 

che è quella della divisione del cerchio in n -J- 1 parti uguali. Tale equazione, reci- 
proca per la sua forma, ed abeliana per la forma delle sue radici, appartiene alla 
classe (I): giacche per ogni radice di essa, o dell'equazione x 7 ^ 1 = 1, risulta 



r r 2 r +1 -i 

00 * 00 —— yOO I — J_ , 



essendo r 2 -\- 1 multiplo di n -\- 1: perciò si ha = k -\- -| (§ 1). Dunque Ve- 

Ci 

contazione della divisione del cerchio è una delle equazioni abeliane della classe (I) che 
si possono ottenere dall'equazione (9) quando r esprime una radice primitiva del numero 
primo n 4~ 1- 

Le ulteriori considerazioni che seguono in questo § servono a semplificare in 
parte il processo di composizione delle equazioni alle quali si riferisce il teorema I. 
Sia x una radice dell'equazione (9): le quantità 

x r , x r \ x r \ (11) 

sono anche radici di quella equazione e deduconsi l'una dall'altra, ordinatamente, 

mediante l'operazione espressa da [Q(x) =]x r . Se r è pari, e quindi r 2 -|- 1 è di- 
spari, le radici dell'equazione (10) sono uguali ed opposte a quelle dell'equazione (9): 
perciò, posto — x = x u ne segue che come le quantità (11) sono radici della (9), 
cosi le altre quantità 

Serie IL Tom. XLIV. o 1 



314 



V. MOLLAME 



§ 5- 

che sono eguali ed opposte alle quantità (11), e deduconsi l'una dall'altra mediante 
l'operazione [Q(xi) =] — x{, sono radici dell'equazione (10): e se avviene che x r = x, 

per k = n e non per k < n, e che x . x r % = 1, avverrà pure che — a? x r = x v per 

k = n e non per & < n, e che 00\ . «Ci — 1. Si conchiude perciò che se r è pari 
e mediante la funzione generatrice [Q(x) =] af, applicata ad una radice x dell'equa- 
zione (9), si è potuto comporre l'equazione abeliana f(x) = di grado n e della 
classe (I), l'altra equazione che si può formare con la radice — x(=Xi) della (10) 
e con la funzione generatrice [9(a?i) =] — x{ è pure abeliana, della classe (I) e di 
grado » ed è data da f( — x) = 0. Questa equazione è sempre diversa dall'altra 
f(x) == 0; altrimenti f(x) = dovrebbe avere radici uguali ed opposte, ciò che è 
impossibile, giacche le radici di f(x) = appartengono alla (9), e questa, essendo di 
grado dispari, non può avere radici uguali ed opposte. Si ha quindi il seguente 

Teorema II. — Se r è pari e con una radice x dell'equazione (9) si è potuto 
comporre l'equazione f(x) = abeliana, della classe (I) e di grado n, avente [0(x)=]x r 
per funzione generatrice delle sue radici; con la radice — x (= xj della (10) si potrà 
comporre un'altra equazione abeliana della classe (I) e di grado n, nella quale è 
[0(x 1 ) = ] — x{ la funzione generatrice delle radici. Questa equazione è espressa da 
f( — x) = ed è sempre diversa da f(x) = 0. 

Nel caso di r pari è quindi inutile il prendere in considerazione l'equazione (10), 
basta solo associare ad ognuna delle equazioni f(x) = dedotte dalla (9) l'altra 
equazione f{—x) = 0. 

Sia ora r impari, e quindi r 2 -)- 1 pari; l'equazione (9) ha le sue radici a due 
a due uguali ed opposte. Mediante la radice x della (9) e con la funzione genera- 
trice [0(#) =] x T si supponga formata l'equazione abeliana g(x) = della classe (I) 
e di grado n, le cui radici sono perciò i termini della serie seguente 

OC j 00 j 3G j • *• ■ • • y 30 • ( 1 j 

Con l'altra radice — x{=Xi) dell'equazione (9) e con la funzione generatrice 
[9(xi) =] x{ si ottengono i termini dell'altra serie 

X\ , x{ , x{ , , X\ ; (13) 

e come avviene che x r = x per k = n ma non per k< n, e che x r . x = 1, così 



avverrà pure che xf ' = Xx per k = n ma non per k < n, e che x[ . x x r =1. 
I termini della serie (13) i quali sono uguali ed opposti ai loro corrispondenti nella 
serie (12) sono dunque radici di un'equazione g{ — x) = che si trova nelle stesse 
condizioni di g(x) = 0. 

Le due equazioni g(x) = 0, g{ — x) ==■ sono sempre fra loro diverse: altri- 
menti l'equazione g(x) = dovrebbe avere radici uguali ed opposte : dovrebbero cioè 



SULLE EQUAZIONI ABELTANE RECIPROCHE 



315 



§ 5- 

i termini della serie (12) essere a due a due uguali ed opposti: ora ciò non può 
avvenire. In effetto se fosse 



ne seguirebbe che 



x? * = — x (14) 



x r — — X 1 = X = X 



giacché essendo x radice della (9), sarà pure radice dell' equazione x" -1 = 1, cioè 

sarà x = x". Per la qual cosa dovrebbe essere 2k multiplo di n ; e siccome è Jc < n, 
così potrà essere solo 2k = n. In tal caso, insieme all'equazione (14) che diviene 



dovendosi avere anche l'equazione (9) che può scriversi 

n 

£f~2 1 

X 

si dedurrebbe che — x = e che x = ± i, (* — ( — l) y )- Da x = ± i segui- 
rebbe poi che af ! = x, se r è della forma r == 4p -f- 3, oppure x r — x, se r è 

della forma r = ip -\- 1 : in conseguenza essendo anche x T = x ed * r il primo 
dei termini della serie (12) che riproducono x si dovrebbe avere o n = 2, od n = 1, 
in conformità di * = a; o di ,r r = .t. L'ipotesi di n = 1 non è ammissibile : quella 
di n = 2 fu già precedentemente esclusa, perchè non offre nulla degno di nota, quindi 
la supposta relazione (14) non può sussistere. Nè parimente può sussistere 1' altra 
relazione più generale 



x rk = — x rk 



giacché da essa si dedurrebbe che 

x r k ~ k — — x . 

e si ricadrebbe in una relazione della forma (14). Le equazioni g(x) = 0, g( — x)=0 
sono dunque sempre fra loro diverse. 

Tenendo ferma l'ipotesi di r impari, si supponga che n sia multiplo di 4. Se 
i termini della serie (12) si prendono con segni alternati, si otterrà l'altra serie 

OC) CO j OC OC ; 

i cui termini sono tutti radici dell'equazione (9) e si ottengono l'uno dall'altro me- 
diante l'operazione [Q(x) =] — x r . Essi, inoltre, sono radici di un'equazione h(x) = 
che è abeliana, della classe (I) e di grado n. Per dimostrare ciò basterà far vedere che 



(— lfx rh = x 



(16) 



316 



V. MOLLAME 



§ 5. 



per k = n ma non per k < n, e che 




x 



=J (-1) 



\ 




= 1. 



(17; 



Ora, per k = n la (16) diviene 



; r " = a;, ed è verificata giacche a? è il primo 



termine della serie (12): per k < n la (16) si riduce all'una od all'altra delle se- 
guenti relazioni, secondo che k è pari o dispari 



delle quali la prima non può verificarsi, altrimenti i termini della serie (12) non sareb- 
bero tutti fra loro disuguali come si è supposto, e la seconda non può neppure 
verificarsi altrimenti fra i termini della serie (12) dovrebbe sussistere la relazione (14) 
ciò che si è dimostrato impossibile. 

La relazione (17) poi, essendo per ipotesi pari, si riduce alla seguente 



che è un'identità, giacche x è radice dell'equazione (9). L'equazione h(x) = tro- 
vasi dunque realmente nelle predette condizioni e quindi, nell'ipotesi di r impari, si 
ha il seguente 

Teorema III. — Se r è impari e con una radice x dell'equazione (9), mediante 
la funzione generatrice [9(x) x r si è potuto comporre l'equazione abeliana g(x)=0 ; 
della classe (I) e d,i grado n , l'altra equazione g ( — x) = formata con la radice 
— x .(.===• x L ) della (9) e con la medesima funzione generatrice [9(x 1 )=]x 1 r , sarà pure 

abeliana della classe (I) e di grado n. E se, oltre ad essere r impari, è ~ pari, 

l'equazione h (x) = formata con la stessa radice x ma con la funzione generatrice 
[G (x) = ] — ■ x r sarà anch'essa abeliana della classe (I) e di grado n. 

Nell'ipotesi di r dispari devesi però prendere in considerazione anche l'equa- 
zione (10), se ~ è pure dispari (Teorema I). 



(k < n) 




SOLLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 



317 



§ 6. 



Teorema I. — Se x è una radice primitiva dell 9 equazione 

n 

si avranno le seguenti proprietà: 

a) Le n quantità 

x r (2) 

sono radici di un'equazione abeliana della classe (I) e di grado n; 

b) Le stesse quantità sono tutte radici primitive dell'equazione (1); 

c) Le altre n quantità 

(2') 

formate con una radice primitiva dell'equazione (1), non compresa fra le (2), sono tutte 
disuguali alle quantità (2) e fra loro. 

a) Ogni radice x dell'equazione (1) è pure radice dell'altra equazione 

</- 1 = ì, (3) 

n 

giacche r n — 1 è multiplo di r 2 -}- 1. Or l'equazione (3), messa sotto la forma se- 
guente, 

X r — X 

mostra che per ogni radice x dell'equazione (1) v'è sempre un qualche esponente v 
per il quale risulta 

x rV = x, (4) 

cioè 

af'- 1 = 1. (5) 
Intanto se la detta radice x è radice primitiva dell'equazione (1), dal confronto 

n 

di tale equazione con la (5) risulta che r v — 1 deve esser multiplo di r 2 -f- 1, cioè 
deve essere 



r" = 1 mod. Ir* + 1 ). (6) 



318 V. MOLLAME 

§ 6. 

Or affinchè il quoziente — - sia un numero intero, è necessario e sufficiente 

r~z 4> 1 

che v sia multiplo pari di cioè un multiplo di n, per es. v = pn: ed allora si 

conchiude che il più piccolo valore di v nella (4) e nella (6) è n. Di qui segue im- 
mediatamente che le quantità (2) sono tutte fra loro disuguali; altrimenti da 



a** = af*' (k, k' < n) 



seguirebbe che (se k > k') 



x r 



e non sarebbe n il più piccolo valore di v nella (4), essendo k — k' < n. 

* *+f • ... 

Si ha inoltre che x r ed x r sono quantità reciproche, come si è già visto 

altrove; e però, ponendo Q(x) = x T , si ha 



1; 



perciò le quantità (2) hanno tutte le idoneità delle radici di un'equazione abeliana 
della classe (I) e di grado n. Rimane quindi provata la prima parte del teorema 
precedente. 

b) Le quantità (2) sono tutte radici primitive dell'equazione (1). In fatto si 

ha in primo luogo che i numeri r 2 -4- 1 ed r sono primi fra loro; altrimenti ogni 
loro comun divisore d diverso da 1 dovendo dividere il primo di essi ed ogni po- 

n n 

tenza, per es. r 2 , del secondo, dovrebbe dividere anche la differenza 1 fra r 2 — j— 1 
ed r ! . 

I numeri r, r % , r 3 , ecc. sono dunque primi col grado r Y -\-l, dell'equazione (1): 
or le potenze delle radici primitive di un'equazione binomia della forma x m = 1, 
cioè della forma (1), i cui esponenti sono numeri primi col grado dell'equazione sono 
pur esse radici primitive, come è noto, quindi la proprietà (b) rimane dimostrata. 

c) non può essere infine un termine x x rkl della serie (2') eguale ad uno 
della serie (2). Imperocché in tal caso da * 

CC]_ ' ' ' oc 

si dedurrebbe, se k > , che 

Xi = x r 

ovvero, se k < k x , che 



SULLE EQUAZIONI ABELIANE KECIPROCHE 



3Ì9 



§ 6. 

ed allora la quantità x x figurerebbe fra i termini della serie (2), ciò che è contro 
l'ipotesi. Inoltre essendo x x radice primitiva dell'equazione (1), le quantità (2') tro- 
vansi nelle identiche condizioni delle quantità (2) e sono perciò tutte fra loro 
disuguali. Il teorema precedente rimane quindi dimostrato. 

Il più piccolo valore di v nella congruenza (6) è, come fu visto n; e però il 

n 

numero r appartiene all'esponente n, rispetto al modulo r 2 -f- 1. 

Dal teorema precedente si deduce che le radici primitive delle equazioni (1) 
si possono ordinare in uno schema della forma seguente 



r r 2 r n ~ l 

X\ , X\ , X\ . . a • X\ 



X2 , Xf , 3?2 ; ■ ■ ■ %2 / \ ' } 



nel quale le n quantità disposte sopra ogni orizzontale sono radici di un'equazione 
abeliana, di grado n e della classe (I). 

n 

Il numero delle quantità (7) è dato, come si sa, da tp (r 2 -\- 1), se <p {m) ha il 

« 

significato noto nella teoria dei numeri: perciò deve essere <p(r 2 -\- 1) un multiplo 
di n, e quindi si ha che 

<p (r" -j- 1) = multiplo 2n, (r > 1). 



Sia r dispari, ed il numero pari r 2 -f- 1 sia multiplo di 4; allora le radici pri- 
mitive dell'equazione (1) sono a due a due ed uguali opposte (*), e però se x x è radice 
primitiva dell'equazione (1), tale sarà pure — x x . La radice — Xi non può trovarsi 
fra i termini della prima orizzontale dello schema (7), come è stato dimostrato nel 
§ precedente: e però, se come radice iniziale x 2 della seconda orizzontale dello 
schema (7) si prende — x } , i termini della seconda orizzontale di quello schema 
diventano uguali opposti ai loro corrispondenti nella prima orizzontale. Similmente, 
se si pone x 4 = — x 3 , i termini della quarta orizzontale dello schema (7) diventano 
uguali opposti ai loro corrispondenti nella terza orizzontale, e così via. Quindi le 
radici primitive dell' equazione (1) si possono ordinare anche secondo lo schema 
seguente 



(*) Se m è multiplo di 2, e sólo allora, in ciascuna delle equazioni 

x m = — 1 , x 2 » 1 = 1 
le radici primitive sano, a due, a due, uguali ed opposte. " Nota „, A, teor. IV. 



320 V. MOLLAME 

§ 6. 



#1 , 


x{, 


x r * 


r n — * 

• ? x i 


X\ , 




%1 ! • • 


T n-l 

. , Xy 


x 2 , 




a?2 , . . 


r n— 1 

• , #2 


Xì , 


%t 7 


x 2 , . . 


r n-l 

'• , — #2 



(8) 



Le (p (m) radici primitive di un'equazione binomia, x m = 1, sono, come è noto, 
le radici di un'equazione razionale. Sia questa F(«) = 0, nel caso dell'equazione (1): 

n 

sarà cp (r 2 -f- 1) il grado di F (x) = 0. Tale equazione si può scrivere 

fi (%) f (— v) A(— «>)■■■ M%) fti{— %) — 0, 

dove i 2u fattori f(x), f( — x) uguagliati a zero danno le equazioni abeliane di 
grado n e della classe (I) le cui radici sono, rispettivamente, i termini delle succes- 
sive orizzontali dello schema (8), e dove deve essere 

n 

2nu = tp(r* + 1). 

Nelle equazioni f = è poi [9 (x) =] x r la funzione generatrice delle radici. 

n 

Le radici primitive dell'equazione (1), sempre nell'ipotesi che r 2 -j~ 1 sia mul- 
tiplo di 4, si possono ordinare anche secondo lo schema seguente 



X\ , 


— #1 ) 


r 2 

X\ , 


X* , . . 


r n-l 

. , — X\ 


— #1 , 


X\ , 


— x l 1 


x{ , . . 


r n-l 


x 2 , 


— $h ' 1 


1 


— x/, . . 


T n — 1 

. , X2 


— x 2 , 


X 2 , 


%2 1 


X 2 , . . 





(9) 



il quale si ottiene dallo schema (8) con facili scambii sulle verticali di posto pari. 
Le serie costituite sulle orizzontali dello schema (9) hanno la forma della serie (15) 
del § precedente ; nella quale fu supposto essere x una radice tale dell'equazione (1) 
da potersi con essa mediante la funzione generatrice [6 (x) =] — x r , comporre un'equa- 
zione abeliana della classe (I) e di grado hi la qual cosa avviene per ogni radice 
primitiva della (1) [teorema (I)]. Perciò le quantità che sono sulle singole orizzontali 



SULLE EQUAZIOKI ABELIANE RECIPROCHE 



321 



§ 6. 

dello schema (9), a simiglianza di quelle della serie (15) del § precedente, sono radici 
di un'equazione h m (x) = 0, od h m ( — x) = 0, abeliana, della classe (I) e di grado n, 
nella quale è [0 (x) =] — x T la funzione generatrice delle radici. 

L'equazione F (x) = si potrà quindi scrivere anche nel seguente modo 

ih (x) h x (— x) hg(x) A 2 (— x) . . . h pL (x) x) = 0. 

Con i risultati fin qui ottenuti in questo § si possono enunciare i teoremi 
seguenti : 

Teorema II. — Il mimerò 9 (r n -j- 1), [r > 1), è divisibile per 2n (*). 
Teorema III. — L'equazione F (x) = che ha per radici le radici primitive del- 

n _!L 

l'equazione binomia x r + 1 = 1 è decomponibile in ^ ^ ^ equazioni abeliane di grado n 
e della classe (I); in ciascuna delle quali è [0 (x) =] x r la funzione generatrice delle radici. 

re 

Se r 2 -f- 1 è multiplo di 4, la detta decomposizione può farsi in due modi. Dei 
quali uno fornisce coppie di equazioni della forma f (x) — 0, f( — x) = che hanno 
tutte per funzione generatrice delle loro radici [9 (x) =J x r ; e l'altro dà coppie di equa- 
zioni h(x) = 0, h ( — x) = che hanno [0(x) =] — x' per funzione generatrice delle 
loro radici. 

Se r" -f 1 è numero primo, il teorema II diviene il seguente: 

Teorema IV. — Se r* -f- 1 è un numero primo, sarà v n divisibile per 2n, (r > 1). 

I teoremi I e ILI hanno i loro corrispondenti rispetto all'equazione 

n 

nell'ipotesi che r ed j siano due numeri dispari, nel qual caso soltanto la prece- 
dente equazione è da prendersi in esame, come fu provato nel § 5. 

Sia x una radice qualunque dell'equazione (10). I termini della serie 

00 j 00 j 00 y ■ ■ • ■ 00 ■•• (11) 

sono pur tutti radici di quella equazione, come è facile verificare, e si deducono l'uno 
dall'altro, ordinatamente, mediante l'operazione espressa da [0 (x) =] — x r . Quei ter- 
mini inoltre sono a due a due reciproci; e precisamente sono reciproci i termini 



(*) Questa proprietà del numero cp(r" -\- 1) risulta anche dal fatto che il numero n al quale, come 

n n 

fu innanzi dimostrato, appartiene/ - rispetto al modulo r 2 -\- 1, è un divisore di qp(r 2 -|- 1). Cfr. 
Djrichlet, Teoria dei numeri § 28, parte I. 

Serie II. Tom. XLIY. p 1 



322 



V. MOLLAME 



§ 6. 

n n IN- — 

[e k (a;)=](— 1)*^ e V(a)==] {—l) k ^x r 

giacché, essendo r ed ~ numeri dispari ed x una radice dell'equazione (10), si ha 



Q h (x) . e' £+ T (x) = (- i) 2i+ ^ U r2+1 ) r — 1 (12) 

Intanto ogni radice, x, dell'equazione (10) è radice anche dell'altra equazione 

x^- 1 = 1 , (13) 



perchè essendo r % — 1 un numero pari, si ha 



(x r2+1 f ^(-ìy 8 -^!. 



Or l'equazione (13), scritta come segue 

OC • — OC , 

mostra che per ogni radice x della (10) esiste sempre qualche numero intero e po- 
sitivo v tale che risulti 

x rV = x; (14) 

e se v è pari allora x r ' è della serie (11) un termine che riproduce il primo. 

Ciò posto sia x in quella serie una radice primitiva dell'equazione (10): allora 
in virtù del seguente teorema 

C) he equazioni 



x^ = 1 

hanno le stesse radici primitive (*), 

Scl!t*£l OC radice primitiva anche dell'altra equazione 



2 

x 



(r*+l) _ 1 



la quale, paragonata con la (14), che può scriversi 



(*) Cfr. " Nota „ A. 



SULLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 



323 



§ 6. 

n 

fa conchiudere che n — 1 deve essere divisibile per 2(r 2 -f- 1). Sia q il quoziente 
di tale divisione: si avrà cosi 

r'—i 

— = 2 2- 

r 2 -f- 1 

Il più piccolo valore di v per il quale risulta numero intero il quoziente — >v ~ 1 — 

r T +l 

è n come fu visto precedentemente ; e per v = n il detto quoziente risulta anche 
pari, giacche 

— = r — 1 = numero pari. 

Adunque per ogni radice primitiva dell'equazione (10) è n il più piccolo valore che 
può avere v nella (14); e siccome n è pari, così sarà x T " un termine della serie (11) 
e precisamente il primo di quelli che riproducono x. Associando a questa proprietà 
di ogni radice primitiva dell'equazione (10) l'altra espressa dalla relazione (12) si può 
conchiudere che se x è una radice primitiva della (10) i primi n termini della 
serie (11) sono radici di un' equazione abeliana della classe (I) e di grado n, e che 
[Q{x) =] — / ne è la funzione generatrice delle radici. 

Quegli n termini, inoltre, sono tutti, come il primo, radici primitive dell'equa- 
zione (10). In effetti, in virtù del teorema (Cj, poc'anzi citato, si ha che la radice 
primitiva x dell'equazione (10) è pure radice primitiva dell'altra equazione 



ajPfr-'+i-) = i. ( 15 ) 

n 

Or il grado 2 (>• 2 -f- 1) della precedente equazione ed il numero r non possono avere 
alcun divisore comune; altrimenti dovendo questo esser dispari, come r, e dovendo 

esso dividere anche i numeri 2r 2 e 2(r 2 -f-l), dividerebbe la loro differenza 2: ciò 
che è assurdo. 

Essendo r, e quindi le potenze di r numeri primi col grado dell'equazione (15), 
le potenze x rlt della radice primitiva x di quella equazione, sono pur esse radici pri- 
mitive di tale equazione. Siccome poi il grado dell'equazione (15) è multiplo di 4 

n 

— Te 

perchè r 2 -f- 1 è numero pari, così sarà radice primitiva di detta equazione sia x r 
che — x rl , come fu già notato innanzi. E però si conchiude che i termini della 
serie (11) sono tutti radici primitive dell'equazione (15) e quindi anche dell'equa- 
zione (10) [teorema (C)]. 

Sia x l un'altra radice primitiva dell'equazione (10) non compresa nella serie (11); 
le quantità 



324 



V. MOLLAME 



§ 6. 

x l; X\ ', x* . . . , x{ (16) 

si trovano nelle stesse condizioni di quelle della serie (11) ed inoltre son tutte a 
quelle disuguali. In effetto, se fosse per es. 

(— 1)"' xS h = (— Ifx** , (17) 
ne seguirebbe, per k e k x entrambi pari od entrambi dispari, che 

e quindi che 
se è k > k lt ovvero 

se è k < k\; cioè x t sarebbe un termine della serie (11), la qual cosa è contro 
l'ipotesi. 

Se poi dei numeri k e k x l'uno è pari e l'altro dispari, allora la relazione (17) 
diviene 

e da questa si conchiude come innanzi che 
ovvero che 

secondo che è k > k^ ovvero k < k x : per la qual cosa x 1 dovrebbe di nuovo trovarsi 
fra i termini della serie (11), ciò che si è escluso. 

Le precedenti deduzioni intorno all'equazione (10) danno luogo ai due teoremi 
seguenti: 

Teorema V. — Se r ed sono numeri dispari ed è x una radice primitiva 
dell'equazione 

n 

x^ T + ì = — 1, («) 

le n quantità, fra loro disuguali, 

x, — x r , x r \ . . . , — x rn ~ l , (&) 



xr* = x rk , 



X X' 



r n+k—k t 



ce 



SDLLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 



325 



§ 6. 

sono tutte radici primitive di quella equazione. Con esse si può comporre un' equazione 
abeliana di grado n e della classe (I) ; per la quale è [9(x) =] = — x r la funzione 
generatrice delle radici. Tale equazione non avrà alcuna radice comune con ogni altra 
che si può comporre mediante una radice primitiva dell'equazione (a) non compresa fra 
quelle della serie (b). 

Teorema VI. — Se r ed ^ sono numeri dispari, V equazione Gr (x) = che ha 
per radici le radici primitive dell'equazione 

n 

x rY + l = — 1 

[ ( ^ )] 

è decomponibile in equazioni abeliane di grado n e della classe (I), in 

ciascuna delle quali è [6 (x) =] — x r la funzione generatrice delle radici. 



326 



V. MOLLAME 



§ 7. 

I teoremi I e V del precedente paragrafo stabiliscono che con qualunque radice 
primitiva di ciascuna delle equazioni 

n 

x r "' + 1 = 1 , (1) 

x r%+x = — 1, (2) 

nella seconda delle quali r ed sono due numeri dispari, si può comporre un'e- 
quazione abeliana della classe (I) e di grado n. Ma fra le radici delle dette equazioni 
ve n'ha di quelle che, pur non essendo primitive, hanno però di queste la stessa 
attitudine nella presente quistione. Così se n -f- 1 è un numero primo ed r ne è una 
radice primitiva, le n quantità 

r r' r n ~ 1 

/vi /y»* n'< /p T 
IV | W , . W , . , . , iA/ 

formate mediante una radice x dell'equazione x n+1 = 1 sono radici dell'equazione 

x n + x"- 1 + ...4-^4-1 = 

che è abeliana e della classe (I). Intanto fu dimostrato nel § 5 che la radice x, 
come ogni altra dell'equazione x n+1 = l, è pure radice dell'equazione (1), ma non ne 
è una radice primitiva. Sicché esistono nell'equazione (1) radici le quali quantunque 
non primitive danno luogo però ad equazioni abeliane di grado n e della classe (I). 

II teorema generale del § 3 provvede ad escludere dalle radici dell'equazione (1) 
o dell'equazione (2) quelle con le quali non è possibile comporre equazioni abeliane 
di grado n. L'equazione (12) considerata in quel teorema diviene nel caso presente, 
in cui è G (x) = ± r r , 

a 

x rì+x = 1 , (3) 
se si pone Q(x) = x r ; e se invece si pone Q(x) = — x T , quell'equazione diviene 

a 

x'*-^ 1 = (— l) e ', (4) 

dove è 



€' = 1 4- r 4- r ? 4- . . . 4- r 



SULLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 327 

§ 7. 

Or l'equazione generale (3) del § 3 si ridusse all' attuale equazione (1) in seguito 

all'ipotesi di Q{x) = x r , per ogni valore di r e di ~, ovvero di 8 (x) — — x r , se r 

è dispari ed è pari. Ma sé -|- è pari, tale è pure che è un divisore di -y 

al quale deve corrispondere un quoziente dispari, e però in tal caso, risultando pari 
il numero e', ne segue che l'equazione (4) si riduce all'equazione (3) e si conchiude 
che dalle radici dell'equazione (1) son da escludersi solo tutte quelle che tale equa- 
zione ha comuni con le equazioni della forma (3). 

Analogamente si conchiuderebbe che dalle radici dell'equazione (2) vanno escluse 
solo quelle che tale equazione ha comuni con equazioni della forma 

a 

af*+l = — 1. (5) 

Per quel che riguarda poi le radici -)- 1 o — 1 che, secondo il teorema del § 3 
devonsi sopprimere dall'equazione (1) o dalla (2), si ha che 1 è radice comune alla (1) 
ed a ciascuna delle equazioni (3), ed altrettanto, se r è impari, avviene della radice 
— 1 dell'equazione (1). Di guisa che le radici -f-1 o — 1 di questa equazione ver- 
ranno da essa soppresse come radici che tale equazione ha comuni con una qua- 
lunque delle (3). Fa solo eccezione il caso nel quale delle equazioni (3) non ne esista 

alcuna; ciò che può avvenire solo allorquando n è una potenza di 2, oppure r 2 -\- 1 
è un numero primo. Giacche se « è una potenza di 2 non esistono i numeri a e se 

n a 

r* -f- 1 è un numero primo, allora non esistendo i numeri r 2 -j- 1, che altrimenti 
sarebbero divisori di r 2 -)- 1 , non esisteranno neppure i numeri a. Il secondo di 
questi due casi include il primo: imperocché se r ' -f- 1 è numero primo, non esi- 
stendo più i divisori r 2 -\- 1, non esisteranno neppure i divisori « di » e quindi n 
dovrà essere una potenza di 2. 

Ora, se delle equazioni (3) non ne esista alcuna, è d'uopo sopprimere dall'equa- 
zione (1) solo la radice 1, se r è pari, o solo le radici le — 1 se r è dispari. 

L'equazione (2) poi non può avere nè la radice -\- 1 ne la radice — 1 essendo 

n 

in essa r 2 -J- 1 un numero pari. Oltre a ciò, siccome -g- è dispari, esisterà sempre 

qualche equazione della forma (5), per es. l'equazione x r+x == — X, per la quale 

è a = 2. 

Si possono ora enunciare i teoremi seguenti. 

Teorema I. — Siano r ed £ due numeri interi e positivi, il secondo dei quali 

Ci 

non sia una potenza di 2: siano inoltre a ; a' ; a" ; ecc. tutti quei divisori positivi di n, 
minori di n, che danno quozienti dispari. Se dall'equazione 

n 

x r ' +1 = 1 (l'j 



328 V. MOLLAME 

§ 7. 

si sopprimono tutte quelle radici che essa ha comuni con le equazioni seguenti 

a a' a" 

x r2+1 — 1 , x r ' 1 +1 = 1, af * +1 = 1, ecc.; (a) 

ovvero se dall'equazione 

n 

x r *+ l = — \, (2') 
nella quale r ed si suppongono dispari , si sopprimono tutte quelle radici che essa 

Li 

ha comuni con le altre equazioni seguenti 

a a a 

x r *-{- 1 = — 1, x r * ^ — — 1, x r * +1 = — 1, ecc., {a') 

le equazioni razionali <t>(x) = 0, ^(x) =0 che, nel primo caso, o nel secondo, risul- 
tano formate con le rimanenti radici dell' equazione (1') o dell' equazione (2'), sono 
decomponibili in equazioni abeliane di grado n della classe (I). 

Le equazioni provenienti dalla scomposizione di <t> (x) = hanno per funzione ge- 
neratrice delle loro radici [6(x) =] x r ; le altre, relative all'equazione H'(x) == 0> hanno 
per funzione generatrice delle loro radici [9 (x) — J — x r . 

Se nell'equazione (V) r è impari ed ^ è pari, la decomposizione di <t>(x) == può 

farsi in due modi: potendosi assumere come funzione generatrice sia [9(x) =) x r che 
[9 (x) =] — x r . (Teorema III, § 5) (*). 

Teorema II. — Le equazioni 

r z +1 , 
X — 1 



X—l 



r 2 +1 
X — 1 



= (6) 



-0, (7) 

nella prima delle quali r è pari e nella seconda r è dispari, sono decomponibili in 
equazioni tutte abeliane di grado 2 m+1 e della classe (I). Di tali equazioni, quelle che 
provengono dalla decomposizione dell'equazione (6) hanno per funzione generatrice delle 
loro radici [9 (x) =] x r , e quelle provenienti dalla decomposizione dell'equazione (7) pos- 
sono avere per funzione generatrice o [6 (x) =] x r ovvero [9 (x) =] — x r (**). 



(*) Le radici delle equazioni <t> (x) = e *K {x) = sono radici abeliane d'ordine n delle equazioni 

n 

(1') e (2'). Esse potrebbero anche denominarsi radici abeliane di indice r 2 -\- 1 dell'unità positiva o del- 
l'unità negativa. Nel campo di tali radici trovansi le radici primitive delle equazioni (1') e (2'). Cfr. la 
nota al § 4. 

(**) Le radici dell'equazione binomia x r — 1=0, salvo ±1, sono tutte abeliane di ordine 2 m + 1 
Cfr. la nota al § 4. 



SULLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 329 

§ 7. 

m 

Il grado r* — 1 dell'equazione (7) dovendo esser multiplo del grado 2 m+1 delle 
equazioni abeliane nelle quali essa si decompone, ne segue che, ponendo r = 2p -f- 1 
deve essere 

(2p + lf m — 1 . , 

2m-+-i numero intero , 

per ógni valore del numero intero e positivo p. 

n 

Essendo un divisore di ~ che dà un quoziente dispari, si deduce che r 2 -j- 1 

- rT + 1 _i 
è divisibile per r 2 -j- 1 : e però il quoziente — è una funzione intera di x. 

X — 1 

n a 

Inoltre il quoziente di r 2 -\- 1 diviso per r 2 -f- 1 è dispari: imperocché se q è il quo- 
ziente dispari — si ha 



t I — — — — — 2 — 



r'+i 



or la funzione di r, f(r), che è nel secondo membro della precedente uguaglianza ha, 

oltre al termine 1, altri ~ ~ L = 1T ^ — termini, i quali formano - 

differenze che son tutte pari; e però f(r) -j- 1 è un numero dispari. 



2 ' 2 



Essendo dispari il quoziente di r 2 -\-l diviso per r 2 -j- 1 ne segue che ^ — i^- 



1 



è una funzione intera di re. 



x 2 ~ 1 - 

Ciò premesso, siano il massimo comun divisore fra — ed x rì q= 1 

X +1 

(dove devonsi prendere contemporaneamente o i segni superiori o quelli inferiori), 
ja s (a;) il massimo comun divisore fra -, — — s ed x r2 +1 q= 1 e così, via; si 



x -Hi / Mi W 



avrà allora che l'equazione 

r~*~-Hl - , 

r == (8) 



r 2+1 



1 /,U] (x) \x 2 {x) 



espianterà l'equazione <t>(x) = o l'equazione V(x) = 0, secondo che si prendano 
i segni superiori o quelli inferiori. 

Serie IL Tom. XLIV. q 1 



330 



V. MOLLAME 



§ 7. 

In particolare sia n = 2 v q, dove q è un numero primo: in conseguenza 2 è 
l'unico divisore di n che dà un quoziente dispari. L'equazione <ì>(x)=0 presente- 
mente diviene 

x l - 1 = 0, 

2 v-l 

r +1 
X — 1 

ed il suo grado r 2 "~ lq — r 2 " -1 [— r 2 " -1 (r 2 " — 1 ^ _1 > — l)] deve essere un multiplo 
di n, cioè di 2\. Posto adunque v — 1 = p, si ha l'altro seguente 

Teorema III. — Se q è un numero primo positivo, e sono r e p dwe numeri in- 
teri positivi qualunque, sarà 

r \r — 1/ . , 

— — - numero intero. 



2 q 

Essendo q un numero primo, il numeratore della precedente espressione deve 
essere divisibile per q: e quindi se q non è un divisore di r, sarà 

= numero intero. 



La precedente eguaglianza per p = dà il teorema di Fermat. 
L'equazione Y (x) = se, come si è supposto poc'anzi, è n = 2 v q, diviene 



x +1 



SULLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 



331 



Sia x una qualunque delle radici dell'equazione <ì>(x) = o dell'equazione 

x V(x)= considerate nel § precedente e per le quali è (0 (x) =) ± x r la funzione 
generatrice delle radici. 

La funzione seguente 

y — x 4- ex + tfx + . . . 4- e""^ 

di » radici di <&(x) =0, o di = 0, rimane invariata se in essa in luogo della 
radice x si pone una qualunque delle altre radici Qx, Q 2 x, . . . , Q n ~ l x : e perciò y può 
avere solo v valori, se v è il quoziente del grado di <$>(x) = 0, o di V(x) = 0, diviso 
per n. Per la qual cosa y è radice di un'equazione razionale 

Y = (1) 

di grado v, la quale si ottiene con processi noti. 

Se questa equazione non ha radici uguali, con la sua risoluzione si conoscerà 
la funzione simmetrica y di n radici dell'equazione Q(x) = o dell'equazione M^j^O, 
e ; mediante la conoscenza di y, resteranno determinati, come è noto, i fattori di 
grado n di Q>(x) o di ^{x): questi uguagliati a zero forniscono le equazioni abeliane 
di grado n e della classe (I) nelle quali è decomponibile l'equazione <ì>(x) = 0, o 
l'altra V(x) = 0. 

Questo processo generale può però nei casi particolari essere semplificato. 
Vogliansi, per es., determinare le equazioni abeliane di quarto grado e della 
classe (I) per le quali è r — 3 ovvero r = 2. 
L'equazione 



af 2 +i = 1 



per r = 3 diviene 



(2) 

L'equazione (7) considerata nel teorema II del § 7 è data attualmente da 

j -} = »• (3) 

cioè da 

x s + x< -[- x A + x 2 + 1 = 0. (3') 



332 



V, MOLLAME 



§ 8- 

Questa equazione deve esser decomponibile in due equazioni abeliane di quarto 
grado e della classe (I) le quali hanno [0(#) — ] x % per funzione generatrice delle 
loro radici. E siccome presentemente r è dispari, così l'equazione (3 f ) si può decom- 
porre anche in altre due equazioni abeliane nelle quali la funzione generatrice è 
[6(x) =] — x s . La precedente funzione y per 6 (x) = x 3 diviene 

y = x -4- x 3 -4- x 9 -4- x i7 , 

cioè 

y =■ x -j- a? -j- x 1 -f- x 9 , (4) 

giacche x" = x 20 . x 1 = x\ in virtù dell'equazione (3). Per Q(x) — — «Ma funzione y 
diviene invece 

y == x — x 3 — x" -j- x 9 . (5) 

L'equazione (1) corrispondente alla funzione (4), od alla funzione (5), è di se- 
condo grado: essa può ottenersi eliminando x fra le equazioni (3 f ) e (4), ovvero 
(3') e (5). 

Addizionando membro a membro le equazioni (3') e (4) si ha che 

y = - *' w 

e siccome x è una radice diversa da ± 1 dell'equazione (2), così la (6) si riduce 
alla seguente 

y = — X 5 , 

dalla quale si ottiene 

f = x 10 = 1 

e però y ==s db 1. 

Col valore — 1 della funzione y si ottiene il seguente fattore biquadratico del 
primo membro dell'equazione (3') 

x i -4- x 3 -\- x 2 -j- x -j- 1 

e col valore -4-1 di y si ottiene, conseguentemente, l'altro fattore 

x l — x 3 \- x l — x -f- 1. 

Sicché l'equazione (3') si scinde nelle seguenti due equazioni abeliane della 
classe (I) 

x k -4- x 3 -4- x* + x + 1 = , (7) 



a* _ x? -4- ^ _ ^ l •.. = 0, (8) 



SULLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 333 

§ 8. 

le cui radici hanno [Q(x) =] x % per funzione generatrice. L'equazione (8) si ottiene 
dalla (7) mutando x in x, come prescrive il teorema III del § 5. 
L'altra equazione 

* n 

as" T -H = — 1 

nella quale -| deve esser dispari, non è da prendersi attualmente in considerazione, 

giacche |- (= 2) è pari. 

Le equazioni (7) ed (8) si potevano anche ottenere immediatamente considerando 

che 

x w — 1 — 1 a- s + 1 

X 2 — 1 X — \ ■' x -\- \ 

= (x* -f- x 3 4- x 2 -f x + 1) (£ 4 — x 3 + x 2 — a: + 1); 

e che se x è radice di una delle due equazioni (7) ed (8) che si hanno uguagliando 
a zero i due precedenti fattori in parentesi, anche [Q(x) =] x 3 è radice di quella 
equazione; giacche si ha 

x li -\- X° + X 6 + x 3 1 = x i0 . x 2 4- X 5 . x* + x\ x 4- X 3 -\- 1 = 
= x % 4 z 4 4- a: 4- x 3 4- 1 == 0, 

ed 

x lt — x 9 -\- x 6 — x 3 4" i = a;10 - ^ — ^ "4~ ^ x — x% 4~ i — 

= £ 2 4" — x — x 3 -\- 1 = 0. 
Oltre a ciò è pure, per n = 4, 

a** z 3 * + ^ = == (a,™) 3 = 1. 

Se r = 2 si rinvengono immediatamente di nuovo le equazioni (7) ed (8). 

Per avere l'altra equazione (1) risultante dall'eliminazione di x fra le equa- 
zioni (3') e (5), si moltiplichino ambo i membri della (5) per x e se ne sottraggano 
poi quelli della (3'); risulta così 

xy = — 2x s — x 6 — 2x i , 

cioè 

xy = — 2(x 3 4- x* 4- 4~ x 6 , 
od anche, tenendo presente l'equazione (3') 



xy = 



— 2(x 2 4- 1) 4- x\ 



334 V. MOLLAME 

§ 8. 

Da quest'ultima equazione, notando che x 12 = x 2 , si deduce l'altra 
a; 8 f == 4 {x s -f z B + a; 4 + x x + 1) -f 5z 2 , 

la quale, in virtù della (3'), si riduce alla seguente 

x 2 y 2 = bx 2 

e questa dà 

y = ± VI ■ 

Mediante il valore — f/5, od il valore -f- |/5 della funzione ?/, l'equazione (3') 
si decompone nelle due seguenti 

x k -f (/Si» 3 + 3a?' + |/5a; + 1 = (9) 
x* _ j/5-b» -j- 3^ _ j/ga; _(- 1 = 0. (10) 

Sicché, oltre alle equazioni (7), (8), (9), (10), mediante le radici di ±1 non si 
possono formare altre equazioni abeliane, biquadratiche e della classe (I), per le quali 
è r = 3, ovvero r = 2. 



Catania, 1892. 



SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE 

E BEI MASSIMI GESEEI 

IN UNO SPAZIO QUALUNQUE 



MEMORIA 

DI 

GINO FANO 



Approvata nell'Adunanza del 25 Giugno 1893 (*). 



Al concorso aperto dall'Accademia delle Scienze di Berlino pel conferimento del 
terzo premio Steiner (sopra un tema relativo alla teoria delle curve sghembe alge- 
briche (1)) si presentarono, com'è noto, due celebri Memorie; una dell'HALPHEN (2), 
l'altra del Noether (3): pregevolissime entrambe, n'ebbero anzi diviso il premio (4). 
E fra i risultati contenuti in queste Memorie è certo importantissimo il teorema, 
che le curve sghembe di dato ordine e genere massimo sono tutte contenute in una 
quadrica (5). Questa proposizione è stata poi estesa dal sig. Castelnuovo alle curve 
di uno spazio lineare a un numero qualunque r di dimensioni (6), e in luogo della 
quadrica compare in questo caso più generale la rigata razionale normale di or- 
dine r — 1 (7) (o anche, per r = 5, la superficie omaloide Fj di Veronese (Meni, 
della R. Accad. dei Lincei, 3°, XIX)). Con quest'estensione si può ritenere esaurita 
la determinazione delle varie curve di genere massimo (ir) di uno spazio qua- 
lunque S,. (e di ordine > 2r); appunto perchè queste curve ne risultano contenute 



(*) Questa Memoria è tratta dalla Dissertazione di Laurea presentata dall'autore alla Facoltà 
di Scienze dell'Università di Torino nel giugno 1892. 

(1) " Irgend eine auf die Theorie der hòheren algebraischen Raumcurven sich beziehende Frage von 
" wesentlicher Bedeutung vollstàndig erledigen ». 

(2) Mémoire sur la classification des courbes gauches algébriques : un estratto di questa Memoria era 
già stato pubblicato nei " Compt. Rend. de l'Ac. des Se. „ (t. 70, 1870). AII'Halphen è pure dovuta la 

♦ determinazione del numero minimo di punti doppi apparenti (ossia del massimo genere) che può 
avere una curva sghemba di dato ordine. 

(3) Zur Grundlegung der Theorie der algebraischen Raumcurven (Berlin, 1883). 

(4) V. u Sitzungsber der Beri. Akad. », 1882; p. 735 (offent. Sitz. vom 29 Juni). 

(5) Proposizione già accennata da Halphen nei Compt. Rend. (1870). 

(6) Cfr. la Mem. Ricerche di Geometria sulle curve algebriche; n 1 28 e seg. (" Atti dell' Accad. di 
Torino „, voi. XXIV). In questo stesso lavoro è anzi stato determinato per la prima volta il genere 
massimo di una curva di dato ordine e appartenente a un dato spazio qualsiasi. 

(7) Della quale appunto quella quadrica (dello spazio S 3 ) è caso particolare. 



336 



GIKO FANO 



in superficie (razionali) molto semplici e di proprietà ben note, sulle quali sarà sempre 
facile costruirle. La questione che si presenta ora invece come — dirò cosi — 
successiva, e che sembra anche meritevole di essere studiata, è quella di fare una 

ricerca analoga anche per le curve di genere tt — 1, tt — 2, determinando se e 

quando anche queste possano stare sulla rigata R r ~ 1 (o, per r = 5, sulla di Vero- 
nese) ; ovvero, quando non vi stiano, in quali altre superficie (possibilmente semplici) 
esse siano contenute. E tale ricerca costituisce appunto l'oggetto principale di questo 
lavoro. Già prima ch'io cominciassi ad occuparmene lo stesso sig. Castelnuovo mi 
aveva detto di ritenere che le curve di genere tt — 1 dovessero stare necessariamente 
— almeno da un certo ordine in poi — su di una superficie a sezioni ellittiche o 
razionali. La proposizione sussiste effettivamente, e si vedranno anzi in seguito enu- 
merati i vari casi che queste curve possono presentare. Uno studio analogo sarà 
fatto anche per le curve di genere tt — 2 ; più in succinto però, perchè molte loro 
proprietà si potranno poi stabilire facilmente e con ragionamenti affatto identici a 
quelli già usati per le curve di genere tt — 1. E sarebbe forse interessante il cercar 

di estendere questi stessi risultati anche alle curve di genere tt — 3, tt — 4, e, 

in generale, tt — k; ma di questo (come dico pure alla fine del § 8) non intendo per 
ora occuparmi. 

A questa ricerca fa seguito, come appendice, una breve Nota, nella quale, ap- 
plicando quel concetto, ormai notissimo, ma sempre fecondo (1) a cui è informata 
la Neue Geometrie des Raumes di Giulio Plueckeij e a cui pure si informarono in se- 
guito parecchi lavori di altri scienziati — e primi fra tutti quelli del sig. Klein —, 
si deducono dai risultati ricordati e ottenuti in questo lavoro alcune proprietà di 
certe rigate e congruenze di rette appartenenti al nostro spazio (2). 



Genere massimo di una curva 
che sta sopra un dato numero di quadriche. 

1. Il signor Castelnuovo dopo aver determinato nelle sue Ricerche di geometria 
sulle curve algebriche (Atti della R. Acc. di Torino, XXIV) il genere massimo di una 
curva di ordine n (C n ) appartenente allo spazio S r (3), dimostra che : 



(1) " Die Liniengeometrie ist ivie die Geometrie auf einer MV 81 des R. 3 „ (Gfr. F. Klein: TJeb. Linien- 
geometrie und metrische Geometrie; " Math. Ann. „, V. p. 261). 

(2) Mi è caro rinnovare qui i più vivi ringraziamenti al prof. C. Segre, che mi iniziò allo studio 
delle curve algebriche e della Geometria sopra queste (nelle sue lezioni di Geometria sopra un ente 
algebrico, dettate nell'Università di Torino l'anno acc. 1890-91), e al prof. G. Castelnuovo dell'Uni- 
versità di Roma, che volle anche gentilmente dirigermi in queste ricerche. 

(3) Questo genere massimo (che noi in seguito indicheremo sempre colla lettera tt) egli lo trova 
espresso da 



dove X è il minimo intero non inferiore a _ ì (cfr. loc. cit., 27). Questo stesso risultato fu poi 
ridimostrato, circa un anno più tardi, dal prof. E. Bertini nella sua Nota : Intorno ad alcuni teoremi 
della Geometria sopra una curva algebrica (" Atti dell' Accad. di Torino „, XXVI). In questo lavoro si 



SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 



337 



Per una curva di S r d'ordine n > 2r e del massimo genere passano C7 1 ) quadriche 
linearmente indipendenti; e ogni altra quadrica passante per una tal curva appartiene 
al sistema lineare di quelle. — La prima parte dell'enunciato è vera anche se l'or- 
dine della curva è inferiore a 2r; ma per questa curva potranno passare allora 
anche più di (V) quadriche indipendenti (1). 

Da questo risultato egli deduce poi che: 

Se n > 2r, la curva d'ordine n e di genere massimo di S r sta in una superficie a 
due dimensioni d'ordine r — 1 ; superfìcie che, come sappiamo, è sempre rigata se r 
è diverso da 5 (2), ma può non esserlo nel caso di r = 5 (superficie di Veronese) (3). 
Questa superficie è comune a tutte le quadriche passatiti per quella curva, e costituisce 
anzi precisamente la varietà base del loro sistema lineare (4). 

La dimostrazione che il sig. Castelnuovo dà di quest'ultima proposizione si ap- 
plica anche a qualsiasi curva di S r di ordine n > 2r per la quale passino (""7 1 ) quadriche 
indipendenti (sia non sia questa curva di genere massimo) (5) (6). 



trovano anche generalizzate alcune delle proprietà che condussero il Castelnuovo a quella deter- 
minazione, e ne sono accennate alcune fra le possibili applicazioni. 

Non occorre avvertire che il genere massimo da noi indicato con ir è sempre funzione dell' or- 
dine n della curva e della dimensione r dello spazio cui essa appartiene. Per brevità ci asteniamo 
dall'usare per questo una notazione più espressiva, scrivendo ad es. ir > n, r j ; e ciò perchè , anche 
in seguito, non ci sembra vi sia pericolo di confusione. 

(1) Ci sia concesso, ora ed in seguito, di parlare semplicemente di quadriche indipendenti, sot- 
tintendendo per brevità il linearmente. 

(2) Cfr. Del Pezzo: Sulle superficie dell'n ordine immerse nello spazio S n+1 ("Rendiconti della 
R. Accad. di Napoli „, 1885). 

(3) La superficie omaloide nonnaie, a due dimensioni del quarto ordine dello spazio a cinque dimen- 
sioni e le sue proiezioni nel piano e nello spazio ordinario (" Mem. della R. Acc. dei Lincei „, serie 3 a , 
voi. XIX, 1883-84). 

(4) Nel caso di una superficie rigata, come osserva anche il sig. Castelnuovo, il numero x aumen- 
tato di un'unità dà il numero dei punti in cui la curva considerata incontra le varie generatrici 
di quella stessa rigata. Però, per le curve il cui ordine è un multiplo di r — 1 aumentato di una 
unità, questo stesso numero- può anche esser dato dalla somma X + 2. Segando infatti la rigata R r— 1 
con una varietà M*_j che non le sia tangente in alcun punto, ma passi per r — 2 sue generatrici, 
otteniamo come intersezione (residua) una curva di ordine n = (k — 1) (r — 1) -f- 1 incontrata da ogni 
generatrice in k punti; e perciò, per una nota formola, di genere (^^f 1 ) (>' — 1), cioè appunto di 
genere tt. E il numero x , in questo caso precisamente uguale a " _ \ , vale soltanto k — 2 
(onde t = x + 2). 

La formola cit. è quella data dal sig. Segre nella Nota: Intorno alla geometria su una rigata 
algebrica (" Rendic. R. Accad. dei Lincei „, 1887), e da lui stesso poi generalizzata nella Nota suc- 
cessiva (stessi Rendic): Sulle varietà algebriche composte di una serie semplicemente infinita di spazi. 

(2 novembre) L'osservazione contenuta in questa nota è stata fatta anche recentemente dal 
sig. Castelnuovo, in un lavoro inserto nei " Rend. di Palermo „ (t. VII, p. 97). 

(5) Questa sola proprietà (l'essere contenuta cioè in ( r 2" 1 ) quadriche indipendenti) basta infatti 
per concludere che le n intersezioni della curva C" con un S r _i (intersezioni che possiamo ritenere 
ad r ad r indipendenti) non imporranno certo alle quadriche di quest'ultimo spazio che le conten- 
gono più di 2r — 1 condizioni distinte. E il sig. Castelnuovo fa vedere appunto (cfr. loc. cit.: 30) che 
in tal caso, se »> 2r, quelle n intersezioni dovranno stare sopra una curva razionale normale di 
ordine r — 1, che sarà pur contenuta a sua volta in tutte le quadriche passanti per quegli stessi 
n punti. E dalla curva C r— 1 di S r _j si risale poi subito alle superficie F r— 1 di S r . 

(6) Questi risultati ottenuti dal sig. Castelnuovo e qui ricordati si possono anche estendere al 
Serie IL Tom. XLIV. b 1 



338 



GINO FANO 



2. Una curva di S r la quale stia sopra meno di (V) quadriche indipendenti non 
potrà dunque essere di genere massimo (tt) — e non starà sopra una rigata razionale 
normale, nè sulla superficie di Veronese (se r = 5) — . 

Si presenta dunque, di per sè, la questione: Sapendo che per una certa curva 
Cp appartenente a S r passano solo ( r 7 ) — ò quadriche indipendenti (o almeno non ne 
passano di più), determinare per il genere p di questa stessa curva un limite superiore 
(possibilmente diverso da tt, e precisamente inferiore a questo, se ò > 0). 

A questa domanda si può rispondere facilmente, con un ragionamento analogo 
a quello con cui il Castelnuovo giunse alla determinazione del genere tt. E noi di- 
mostreremo precisamente che : 

Il genere p di una curva normale (1) d'ordine n appartenente a S r per la quale 
passino non più di C7 1 ) — b quadriche indipendenti non può mai superare il limite 

( r+1 r—1) l \ ) . 

Xj \ n — 2 — Xj ~ir~ \ ~ \ X/ — M 

dove è il minimo intero non inferiore a — — r ,., & . 

' r — 1 

Questo risultato comprenderà come caso particolare (b = 0) quello già ottenuto 
dal sig. Castelnuovo. 

Infatti, per le nostre ipotesi, la serie lineare (di ordine 2n) segata sulla curva C£ 
dal sistema di tutte le quadriche di S r sarà di dimensione 



caso in cui, invece di quadriche, si vogliano considerare varietà pure di dimensione r — 1, ma di 
un ordine qualunque k J? 2. E si ha precisamente : 

Per ogni curva appartenente ad S r e del genere massimo passano almeno 

et*) - et 1 ) r + (2) - 1 

varietà M*_j linearmente indipendenti. Indicando questo numero per brevità con (r, k), possiamo 
aggiungere : 

Quando l'ordine della curva di genere massimo è superiore a k (r — 1) per essa passano precisa- 
le Te 
mente (r, k) varietà M r _j indipendenti ; e ogni altra M r _ 1 che la contiene appartiene al sistema 

lineare di queste. La dimostrazione si può fare per induzione completa da k a k -(- 1, osservando 

che le M r _j passanti per una curva (irriduttibile) appartenente a Sr e per un dato S r _ x (di questo Sr) 

sono tante quante le M r ZÌ che contengono quella stessa curva. E infine: 

Se per una curva appartenente ad S r e di ordine n >■ k (r — 1) + 2 passano (r, k) varietà M*_ x 
indipendenti, questa curva starà su di una superficie razionale normale di ordine r — 1 comune a tutte 
quelle varietà. Questa proposizione si applica in particolare alle curve di genere massimo; da essa 
deduciamo altresì che , se una curva di Sr è contenuta in (r, k) varietà indipendenti di un certo 
ordine k, ed è a sua volta di ordine > k (r — 1) + 2 , essa dovrà anche stare sopra almeno (r, k') 
varietà indipendenti di ogni altro ordine k' > 2. 

Anche le ricerche che andremo ora facendo per curve contenute in sistemi lineari di quadriche 
di dimensione inferiore a C^ 1 ) — 1 potrebbero estendersi al caso di sistemi di varietà M*_j; ma 
già il calcolo analogo a quello che faremo nel n° 2 riuscirebbe molto complicato ; ci basti quindi 
di aver accennata la possibilità di questa estensione. 

(1) Si potrebbe anche omettere questa restrizione, e supporre la curva normale per un S r+ ,' 
modificando solo opportunamente il limite superiore che segue. Ho preferito tuttavia dare al teo- 
rema questa forma (più semplice) perchè sarà solo a curve normali che dovremo applicarlo. Si può 
anzi ritenere, come sappiamo, che una curva speciale (di quelle non speciali non avremo ad occu- 
parci) sia anche, in generale, una curva normale. 



SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 



339 



d > et 2 ) - Ci 1 ) + ò - i 

ossia 

d > 3r + b — 1. 

Supponiamo che questa serie <7 2n sia speciale. Sarà allora speciale — perchè 
contenuta in quest'ultima — anche la g r n segata su Cp dagli iperpiani (S r ^) di S r , 
e speciale la curva stessa. Essendo questa normale, ogni gruppo di quella g r „ im- 
porrà a un gruppo della serie canonica (gl^-2) che debba contenerlo un numero Hi di 
condizioni precisamente uguale a n — r. D'altra parte, se indichiamo con |u 2 il nu- 
mero (minimo) delle condizioni imposte pure da un gruppo di g' n a un gruppo della 
serie residua g%zH£lZ l che debba contenerlo (e di gruppi così fatti ve ne saranno 
certo) avremo, per una delle relazioni stabilite dal Castelnuovo (1), 

d < 2n — (u t -j- u 2 ) 

(e ciò risulta anzi evidente, quando si pensi al significato della somma Uj -\- u 2 ); e 
quindi, a fortiori, 

3r ò — 1 < 2» — (Hx -f mO 

ossia 

Mi ~\" M2 — 2w — 3r — b — f- 1 - 
E tenendo conto infine della relazione \Xi = n — r ossia 

(Ti) Mi = n — (r — 1) — 1 

se ne deduce quest'altra: 

(Y*) u 2 < n — 2(r — 1) — ò — 1. 

Osserviamo poi che sarà precisamente 2n — (u, -)- u 2 ) la dimensione della serie 
completa di ordine 2n che contiene la gf n — se questa già non è completa (2) — 
e quindi le varie coppie di gruppi di g r n (3). 

Se si ha poi ancora 

(<x 3 ) u, + 2u 2 — (r — 1) < p 

si dimostra facilmente (cfr. Castelnuovo, 1. e, n' 25 e seg. ; Bertini, n'5e seg.) che 
anche a un gruppo della serie residua della g^-^t+f^) si può imporre di 

contenere un gruppo arbitrario Gr„ di gl ; e che, indicando con u 3 il numero minimo di 



(1) La relazione generale (loc. cit., 28) sarebbe 

p < kit — (mi + M2 + + M*) 

dove p è la dimensione della serie lineare segata su dal sistema di tutte le M*_j di S r . Questa 
formola si applica qui per k — 2. 

(2) E sarebbe completa appunto nel caso estremo d — 2n — (Mi -r M2X 

(3) Di queste serie multiple di una data serie lineare si è occupato recentemente (e in modo 
più particolare) lo stesso sig. Castelnuovo, nella Nota: Sui multipli di una serie lineare di gruppi di 
punti appartenente ad una curva algebrica (" Rend. di Palermo „, t. VII). In questo lavoro si trova anche 
determinato nuovamente il valore del genere massimo tc, per una via sostanzialmente non diversa, 
ma forse più semplice, di quella tenuta nelle Ricerche (2 novembre). 



340 GINO FANO 

punti di un tal gruppo che devono stare nel primo, perchè questo lo contenga per 
intiero, si dovrà avere 

M 3 iS H 2 — (r — 1) 

ossia 

(Ts) Hs is n — 3(r — 1) — b. 

Segue pure da ciò che le terne di gruppi G n sono a lor volta gruppi speciali, 
e appartengono precisamente a una serie speciale completa di ordine 3n e dimensione 
Sn — (u, + u 2 -f u 3 ). 

E se ora estendiamo alle |u 4 n u le definizioni date per n x , (u 2 , M3, nell'ipo- 
tesi, s'intende, che siano soddisfatte le successive relazioni 

K) Hi -f M2 + 2u 3 — (r — 1) < p 



(a») Mi + Ha -f + Mk-s + 2^ — (r — 1) < _p (1) 

troveremo facilmente che anche per queste nuove u si ha in generale 

Mi ^ M.-i — [r — 1) 

e quindi 

(T 4 ) M4 S w — 4 (r — 1) — ò — 1 

(Ts) m 3 < n — 5 (r — 1) — ò — 1 



(r*) Mk S » — k(r — 1) — ò — 1 

dalle quali relazioni si deduce immediatamente 

Mi + Mz + "H M*-i + 2n„ - (r - 1) < (A: + 1) n - ( fc + 2 ) (r- 1) - hò — 

ovvero anche 

mi + m 2 4 + m*-i 4- 2m* - (r - 1) < (i 4- 1) [* - ^ - (* + 1) nr I - 

Il numero A; si supponga ora precisamente tale che, essendo pur verificate le 
relazioni a*) per i < non lo sia più la ct k+1 ); ma si abbia invece 

Mi + M* + 4- M*-i 4" 2^ - (r - 1) > p (2). 



(1) Supposto cioè che si verifichi la (a 4 ), chiameremo |u 4 il numero minimo di punti di Gr« che 
devono trovarsi in un gruppo della serie residua della g^~^' + '^' i ~^ perchè questo gruppo con- 
tenga tutto G n medesimo, ecc. ecc. 

(2) È chiaro che un valore così fatto di k dovrà sempre esistere (cfr. anche Castelnuovo, loc. cit.). 
Potrebbe però essere k — 2 (non essere cioè già più soddisfatta nemmeno la (a 3 )), — e allora do- 
vremmo naturalmente fermarci alla relazione (Y2) — • 



SOPEA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 



341 



Allora da queste ultime due relazioni seguirà immediatamente 
(a) p < | k + 1 j \n- r -^ - Gfc + 1) ^}-*b 

e questa stessa disuguaglianza sarà anche soddisfatta, per h = 1, se la g d 2n è now 
speciale. In tal caso si avrebbe infatti, per un noto teorema, p < 2» — e?; e quindi, 
a fortiori, p < 2w — 3r — {— 1 — b. 

Esisterà dunque certo, in ogni caso, un valore di k soddisfacente alla relazione {a). 
Ma il secondo membro di questa stessa relazione può scriversi anche così : 

e diventa perciò massimo quando i due fattori 

{le + 1) 'Z=± e n - Z±± - [h + 1) Z=± - b 
la cui somma è costante sono uguali fra loro ed eguali quindi entrambi a 

Y ) n g b j = T | n -, r - b + -g- j. 

Questo si otterrebbe prendendo fe -J- 1 _= w ~ * ~ ma dovendo nel nostro 

caso k (e quindi A- -|- 1) essere un numero intero, basterà che prendiamo per esso 
l'intero più vicino al valore medesimo n ^ ^ -f- -g-, ossia «7 minimo intero non in- 

j, . n — r — ò/-t\ 

fenore a — - — ^ — (1). 

Indicando perciò questo stesso intero con Xj , è chiaro che si dovrà avere in 
ogni caso 

— I r + 1 r — 1 ] ( / . 

^ < Xc/ ) n g— — Xj -g— j — j X<f — 1 j b 

e questo è appunto quanto si voleva dimostrare. 

Come conseguenza (sebbene quasi evidente) di questo teorema e di quelli ricor- 
dati al n° 1, abbiamo : 

Una curva di S r la quale sia di ordine n > 2r e di genere 

P > Xi j n g Xi ! — Xi + 1 

|^ow Xi è il minimo intero non inferiore a ~^r~~~y~) s ^ a sempre su di una superficie 
di ordine r — 1 comune a tutte le quadriche che la contengono. 



(1) Se — _ ? — fosse precisamente un numero intero, l'espressione considerata di sopra assu- 
merebbe lo stesso valore massimo per Te -f- 1 eguale a questo intero, o anche al successivo (all'intero 
cioè immediatamente superiore). 



342 



GINO FANO 



§ 2. 

Sull'ordine di una curva per la quale deve passare 
un dato numero di quadriche. 

3. Il risultato semplicissimo ottenuto nel § precedente ci permetterebbe di sta- 
bilire subito un minimum, per il numero delle quadriche che passano per una curva 
di dato ordine e genere e appartenente a un dato spazio (o almeno di stabilire un 
tal minimum in modo nuovo, se la curva è non speciale). Ma per noi ha molto 
maggior importanza lo studio della questione seguente : Determinare possibilmente un 
ordine dal quale in su una curva di S r , supposta normale (1) e di genere tt — k {dove 
k ha un valore assegnato ad arbitrio) (2), stia necessariamente sopra almeno ('"7 1 ) — ò 
quadriche indipendenti. Di una tale ricerca ci converrà ora occuparci. 

Sarà condizione sufficiente per quanto si richiede che si abbia : 

n-k>y!\n-^-t r -^\-\ X'-lj j b + 1 | 

dove n è l'ordine della curva e x' indica il minimo intero non inferiore a w ~ ? ~~ 6 ~ 1 i%\ 

r — 1 ' 

È chiaro che, quando nessuno dei numeri 

ti — r — b — 1 n — r — ò n — r — 1 

r — 1 ' r— 1 r — 1 

sia intero, lo stesso x' e anche il minimo intero non inferiore a , e perciò la 

relazione scritta testò — sostituendo a tt il suo valore — si induce subito a que- 
st'altra 

| X ' - 1 | I b + 1 ( > k 

h 

ossia x' > b + 1 -f- 1- Se dunque indichiamo con l il resto della divisione di k per 
ò -f- 1 , basterà che sia x' — ò + 1 H~ 2, e per questo è sufficiente (e anche necessario) 

n — r ^ k — l | -, 

-JTÌ > + 0SSia 

(1) ^ìo^T+ 2 i)'-lj + 2. 



(1) Questa condizione la troveremo però, nella maggior parte dei casi, già di per se soddisfatta 
(cfr. anche la nota seg.). 

Ir + 1 r — 1 ) 
11 2 " — 2 | — ?ì 

dove x l— Xo) indica il minimo intero non inferiore a ~ !" . Avvertiamo poi che la curva stessa 

sarebbe certo normale quando il suo ordine superasse un certo limite (che dipenderà dal valore di Jc, 
e sarebbe anche facile da determinare). 

(3) Scriviamo per brevità x' anziché Xó + i (cfr. § preced.). 



SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 343 

Se dunque nessuno dei numeri — & — 1 n — r — i ^ { n i ero basterà che 

r — 1 r — 1 ' 

l'ordine della curva considerata non sia inferiore a 



^.+ 2 j j r-1 j + 2. 

4. Supponiamo ora che fra quegli stessi numeri ve ne sia uno ed uno solo in- 
tero (non ve ne sarà certo più di uno se b < r — 1); e sia questo x' = w—> 
dove < h < ò (1). Sarà quindi 

n = (x' + 1) (r - 1) + h + 2; 
e allora basterà che si abbia 

|x'+ii!»-^-(x' + i)^!-i'>x';«-^-x'^|-|x'-iì!x+ij 



» -^±1 - ) 2 X ' + 1 | r -=± - k > - | x' - 1 | { i + 1 |, 



ossia 

r 

« — — 

2 

ovvero ancora 

n — r — (n — r — — 1) — > — ) x' — 1 1 | b + 1 | , 
che si riduce a 

' k ~ h ~ 1 I i 
b + 1 ~> 

E questa condizione è certo soddisfatta se il numero x' si prende uguale o su- 
periore a & + -)- 2 (2), e lo è anche per x' — + } -)- 1 , purché però sia h >l. 
E dunque sempre soddisfatta per 

k — l 



(2) n - j + 2 j * r - 1 j + l + 2 



nella qual disuguaglianza è contenuta anche la (1). 

Concludiamo dunque che : Una curva normale di ordine n e genere tt — k, la quale 
appartenga allo spazio S r , sta sempre sopra C7 1 ) — b quadriche indipendenti (ò < r — 1) 
quando 

w Hm + 2 j j + Z + 2 

dove 1 è il resto della divisione di k per b — |— 1 (3). 



(1) Qui ancora dunque x' è il minimo intero non inferiore a T — \ " 

(2) Con l indichiamo sempre il resto della divisione di h per o -j- 1. 

(3) Si potrebbe determinare un limite analogo per l'ordine n anche nel caso di b > i 1; ma 

il calcolo (pur non offrendo alcuna difficoltà) riuscirebbe alquanto più complicato, sicché, per il 
momento, non ce ne occupiamo. 



344 GINO FANO 

Come primo caso particolare molto notevole abbiamo : 

Una curva C"_ J . di S r sta sempre sopra ( r 7') quadriche indipendenti — e quindi 
sopra una rigata razionale normale o una superficie di Veronese comune a queste qua- 
driche — quando 

n 3? (jfe -f 2) ir - 1) + 2 (1) (2) (3). 

E così pure: Una C"_ ft normale di S. r sta sempre sopra non meno di ( r ~?) — 1 
quadriche indipendenti quando 

n > k * 4 [r — 1) — f— 2 oppure w > fe ^~ 3 (r — 1) -4- 3 

secondo che k è numero pari o dispari. 

Per ò = & — 1, abbiamo: iVe^o spazio S r wwa cwrm normale di genere tt — k (k<r) 
e di ordine non inferiore a 3r — • 1 sto sempre sopra almeno (V) — A; -4- 1 quadriche 
indipendenti. 

Ponendo infine b = k si ha: Per tata curva normale G^._ k di S r (dove k< r — 1) 
passano sempre almeno ('7 1 ) — k quadriche indipendenti, quando sia n > 2r -|- k. Però 
un ragionamento quasi ovvio ci convince facilmente che una tal curva sta sempre 
sopra non meno di ('7 1 ) — k quadriche indipendenti (qualunque ne sia l'ordine). — 
L'ordine 2r -\- k è quello dal quale in su la curva C£_ 7c è necessariamente speciale. 

§ 3. 

Alcune osservazioni sulle curve contenute 
in una rigata razionale normale. 

5. Dalle poche cose esposte finora appare già come, fra tutte le curve di S„ 
debbano avere una certa importanza quelle contenute in una rigata razionale nor- 
male R r ~ l (perchè su di una tal superfìcie (4) stanno appunto le curve di S r di 
genere tt — k, da un certo ordine in poi). Mi sembra perciò opportuno di fare qui 
senz'altro su queste curve alcune osservazioni, per quanto semplici, delle quali avrò 
a valermi (e spesso) in seguito. 



(1) La parte relativa alla superficie ¥ r cessa però di sussistere, per k = 0, nel caso estremo 
n = 2r. 

(2) In questo caso il limite inferiore dato per l'ordine n è tale che la curva C£_j risulta già 
di per se normale. 

(3) In particolare una curva C" —1 dello spazio S 3 starà certo sopra una quadrica quando 
n 5: 8 (se di genere tt — 2 invece, quando n > 10; ecc.). Questi risultati rientrano in quelli ottenuti 
dal sig. Alphen e già accennati da lui nei Compi Rend. 

(4) Colia sola eccezione, per r = 5, della superficie di Veronese. 



SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 



345 



Sulla rigata razionale normale di S r si abbia una curva di ordine n e genere 
p = tt — k, la quale incontri ogni generatrice in m punti e sia priva di punti 
doppi (1). Allora, oltre alla relazione 

? i r ■+■ 1 r — 1 ) , 
p = n — k = x\ n g X -jj- ( — * 

dove X è il minimo intero non inferiore a n r , avremo anche quest'altra : 

p — ( m — 1) [n — — (m — 1) (2). 

Uguagliando fra loro queste due espressioni del genere j5 della nostra curva, 
si deduce facilmente 

(1) J X - m + 1 || n - 1 - 1 X + m I *~ \ = k. 

Questa relazione può sussistere qualunque sia n, se k è nullo, purché si abbia 
X = m — 1 (ossia m = \ -\- 1) (3). In casi particolari potrebbe annullarsi anche 
il secondo fattore, ma si vede subito che, fra le soluzioni che se ne ricaverebbero, 
la sola di cui si debba tener conto è quella che si avrebbe per m = \ -\- 2 (e 
questo anche va d'accordo con quanto si è detto nella nota (4) a pag. 5). Ma se in- 
vece k è diverso da zero, l'ordine n della nostra curva dovrà soddisfare a certe 
condizioni che ora determineremo ; e così pure, volendo che esista sulla rigata R r_1 
una curva Cp priva di punti doppi, non potremo più dare ad arbitrio il numero k 
per cui p -\- k — tt. Pongasi infatti 

n = x ) 1 \ + l + 1 

(essendo perciò < l < r — 1). Allora la relazione (1) potrà anche scriversi: 

R k= )x-m + ir)x-m{ (r _i) + )x _ m+ l M . 

e ponendo ancora per brevità x — m -\- 1 = h, vediamo che il numero k dovrà 
sempre essere del tipo 

(2) k = (r -1)+U 



(1) Sulla rigata razionale normale un punto che sia doppio per una curva tracciata su di essa 
conta sempre come due fra le intersezioni della stessa curva colla generatrice che lo contiene (e 
influisce quindi direttamente sul genere della curva). Ciò perchè la rigata razionale normale non può 
avere essa punti doppi (cfr. anche C. Segre : Becherches générales sur les couròes et les surfaces réglées 
algébriques ; II e partie; ■ Math. Annalen „, XXXIV). 

(2) Che si ottiene applicando una forinola del sig. Segre già ricordata in una nota preced. (n° 1). 

(3) E così appunto si ottengono, sulla rigata rT -1 , le curve di genere ir appartenenti a S r . 
Serie II. Tom. XLFf. s 1 



346 



GINO FANO 



dove h è intero (e non nullo, se vogliamo sia k > 0). Dalla stessa relazione 
n = x ) r — 1 ( -f~ l -f" 1 si ricava poi 

(3) n = l + 1 (mod. r — 1). 

Perchè possa dunque esistere sulla rigata R r_1 di S r una curva C„_ k (k > 0) priva 
di punti doppi è necessario che il numero k e l'ordine n siano nello stesso tempo l'uno 
del tipo (2) e l'altro del tipo (3) (1). Questo stesso risultato può ritenersi valido anche 
nel caso di k — 0, perchè allora la relazione (2) è sempre soddisfatta per = 0, 
e lascia anzi del tutto indeterminato il numero l, sicché la (3) non impone più al- 
l'ordine n alcuna restrizione. 

6. Ma se la relazione (2), per un dato valore k, è soddisfatta da una certa coppia 
di valori particolari di h e di l (2), essa rimarrà del pari soddisfatta quando le 
stesse h e / si mutino rispett. in h' = — h e l[ — r — 1 — Z (3) ; perciò , per un 
dato valore 

k = (r _ 1} j r U 

non saranno possibili (4) soltanto gli ordini n dati dalla (3), ma anche quelli per cui 

(3') n = — l -f 1 (mod. r — 1). 

Nelle relazioni (3) e (3') sono però compresi tutti i casi possibili. 

Le curve C*_,. delle quali è così prevista come possibile l'esistenza esistono 
anche effettivamente, almeno a partire da un certo ordine, da un certo multiplo 
cioè di r — 1 aumentato di l -f- 1 o diminuito di l — 1 (ordine e multiplo che di- 
penderanno naturalmente dal numero k). Le curve il cui ordine è del tipo (3') si 
possono tutte ottenere segando la rigata con una varietà M*_j che non la contenga 
e non le sia tangente in alcun punto, ma passi per h (r — 1) -j- l — 1 sue genera- 
trici (5). L'ordine x della varietà sarebbe il numero dei punti in cui si vuole che 
la curva seghi ogni generatrice (6). — Invece le curve il cui ordine è del tipo (3) 
non si possono più segare con varietà di ordine eguale al numero dei punti in cui 
esse tagliano ogni generatrice, ma solo con varietà di un ordine alquanto più ele- 



(1) Ed è chiaro che, dati ad arbitrio k e n (ed r), non esisteranno in generale due numeri 
interi h e l per cui queste condizioni siano soddisfatte. Dato n è determinato l, e dato k è deter- 
minato h (colla condizione 0<.l <r — 1); ma nell'uno e nell'altro caso il valore di h o rispett. I 
che ci è dato poi dalla (2) non sarà in generale intero. 

(2) Valori che, ove esistano, saranno sempre determinati e in modo unico, quando sia k > e 
si voglia altresì 7* > 0; < l < r — 1. 

(3) Nel caso limite l = r — 1 si potrebbe anche mutare h in — — ^— 1) e ritenere l' — r — 1; 
allora anche per l' si avrebbero i limiti < t < r — 1. 

(4) Possibili, in quanto cioè possano esistere sulla rigata R r ~ 1 curve di ordine n e genere ir — k 
prive di punti doppi. 

(5) Essendo h e l definiti dal valore dato di k (cfr. anche la nota (2) qui sopra). 

(6) Si può dimostrare anzi, più generalmente, che ogni curva priva di punti doppi e tracciala 
su di una rigata razionale normale R r— 1 in modo da incontrarne ogni generatrice in x punti può otte- 
nersi come intersezione della stessa rigata con una varietà M^ —1 quando il suo ordine non sia supe- 



SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 



347 



vato (1); e l'intersezione residua deve essere precisamente una curva di ordine 
h (r — 1) — l — 1 incontrata da ogni generatrice in 2h — 1 punti, quando sia l<r — 2; 
e una curva di ordine (h -\- 1) (r — 1), o rispett. (h -j- 1) (r — 1) — 1, incontrante 
ogni generatrice in 2h -f- 1 punti quando sia invece l = r — 2 o r — 1. Curve cosi 
fatte esistono sempre sulle rigate (o almeno su quelle di uno o più gruppi) (2); 
potranno però essere riduttibili, e anzi nella maggior parte dei casi dovranno essere tali. 

In particolare, noi potremo segare sulla rigata R' _l delle curve di genere tt — k, 
dove o < k < r — 2, mediante varietà M*_j condotte per r — 2 -)- k generatrici di detta 
rigata, o per una direttrice di questa di ordine r — 2 — k. 

Se la varietà M*_j si conduce invece per 2r — 4, 2r — 3, 2r — 2, 2r — 1, ecc. 
generatrici, la curva d'intersezione residua sarà del genere massimo (tt) diminuito 
rispett. di r — 2, r — 1, r -\- 1, r -\- 3, ecc. unità. 

Si vede facilmente che le due serie di ordini n date dalle relazioni (3) e (3') 
non possono coincidere, se r > 3, che per l = r — 1 ; quando cioè k è del tipo 

h ^ (r — 1) (3). Invece per r = 3 questa coincidenza ha luogo sempre (tanto 

se 1=1, quanto se 1 = 2). E nello spazio ordinario si trova precisamente che: Il 
genere di una curva priva di punti doppi e giacente su di una quadrica è superato dal 
genere massimo corrispondente all'ordine di essa di un mimerò che è sempre quadralo 
perfetto o prodotto di due numeri naturali consecutivi, secondo che l'ordine anzidetto è 
pari o dispari (4). 

Osserviamo infine che le cose dette in questo § per curve prive di punti doppi 
valgono anche per curve di genere tt — k e con un certo numero k' di punti doppi, 
purché al valore k dianzi considerato si sostituisca la differenza k — k' . Ciò segue 
immediatamente dalla formola cit. del sig. Segre (Rend. Lincei, 1887), dalla quale 
si deduce anche subito che la differenza k — k' non può mai essere negativa (5). 

riore a x (r — 1). — Il genere di una tal curva (supposta di ordine n) sarebbe infatti = {x — \)n — 
— (2) r ~\~ CsT )■ Di PÌ n > se n — x ( f — 1)' i a Hxn segata su di essa dal sistema di tutte le M^_ x 
di Sr è certo non speciale; la dimensione di questa serie sarà perciò £ « + (2) r — f^ 1 ), e per 
la curva stessa dovranno passare almeno C^) — n — (2) r -f- C2" 1 ) — 1 varietà M^_ x indipendenti. 
Ma per la rigata non ne passano che C^T*) — CI" 1 ) r (2) — 1 ancne l'ultima nota al n° 1); 
vi sarà quindi, nelle nostre ipotesi, un sistema lineare almeno CO x ^ r ~ 1 '~ H di varietà M^ —1 passanti 
per la curva C" e non per la rigata, — il che basta a provare il nostro asserto. Questa proposi- 
zione fu già dimostrata nel caso di x — 2 (e in questo stesso modo) dal sig. Segee (Recherches 
générales etc, I, 20; " Math. Ann. „, XXX). 

(1) E un ordine certo abbastanza elevato possiamo determinarlo facilmente in ogni caso, osser- 
vando che una curva priva di punti doppi e tracciata su di una rigata razionale normale in modo 
da incontrarne ogni generatrice in x punti può sempre ottenersi come intersezione della stessa 
rigata con una varietà M^ti > purché il suo ordine sia inferiore a | a? — | — 2~|l r — 1 ^ — j — 1 _ La dimo- 
strazione si conduce in modo affatto analogo a quella della nota precedente. 

(2) Per la distinzione delle rigate razionali in gruppi, v. C. Segre: Sulle rigate razionali in imo 
spazio lineare qualunque (" Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino „, voi. XIX). — E si noti che 
questa diversità fra i vari gruppi si presenta già, come vedremo subito, per i valori più piccoli di k. 

(3) Allora infatti la (3) e la (3') si riducono entrambe a n = l ... (mod. 1 — 1). 

(4) Questa proposizione si trova sostanzialmente già in Halphen (" Compt. Rend. „, t. 70). 

(5) Il sig. Castelndovo nella Nota cit. dei Rend. di Palermo (n° 10) ha dimostrato anzi che questa 
stessa differenza le — le è sempre > per qualsiasi curva (irriduttibile) C di S.r (in altri termini, 
che il numero k' dei punti doppi di una C~ deve essere <L tt — p). 



348 



GINO FANO 



§ 4. 

Varietà basi di un sistema lineare co Ci 1 )-* di quadriche. 
Dimostrazione di un teorema relativo a questi sistemi. 

7. Fatte queste poche osservazioni sulle curve contenute in una rigata razionale 
normale R r ~ l di S r , e quindi in (V) quadriche indipendenti (e non in un numero 
maggiore, se l'ordine loro supera 2r — 2), torniamo allo studio delle curve C" di S r 
contenute in sistemi di quadriche di dimensione soltanto C7 1 ) — i; (i > 1). 

E proponiamoci anzitutto la questione analoga a quella di cui si occupa il 
sig. Castelnuovo al n° 30 delle sue Ricerche: la determinazione cioè delle possibili 
varietà basi di questi sistemi. Si vede facilmente che nello spazio S r un sistema 
lineare di quadriche di dimensione ('7 1 ) — i non può avere (almeno per i < r — 2) 
una varietà base appartenente a S r stesso e di dimensione superiore a due. Suppo- 
niamo infatti che un tal sistema di quadriche abbia una M3 base (irriduttibile) ap- 
partenente a S r . Segandolo con un S r _ 3 non contenuto in alcuna sua quadrica, — il 
che (come osserva anche il sig. Castelnuovo per il caso di i = 1) è sempre possi- 
bile — , avremo in questo spazio un sistema lineare di quadriche (M^_ 4 ) pure di 
dimensione ('7 1 ) — i, e con x punti basi — in generale — dei quali possiamo anche 
supporre che mai k A- \ (k < r — 3) stiano in uno stesso S^. Se fosse dunque 
x > i — 1, bisognerebbe che le ML^ passanti per i — 1 (e forse anche meno) di 
quegli x punti passassero di conseguenza anche pei rimanenti, e ciò per i < r — 2 
ossia i — 1 < r — 3 (come qui supponiamo) non è certo possibile. Dovrà dunque 
essere x < i — 1 e quindi, a fortiori, < r — 3, mentre invece è noto che una M 3 
appartenente a S r deve essere di ordine almeno uguale a r — 2. Concludiamo perciò: 

Se un sistema lineare di quadriche di S r di dimensione ('"J 1 ) — i ha. infiniti punti 
basi, questi, finché i < r — 2, non possono costituire, di varietà appartenenti a S n che 
curve superficie. Se vi è una varietà base di dimensione superiore a due, questa deve 
essere contenuta in uno spazio inferiore a S r (1). 

8. Ciò posto, seghiamo la curva C" (che supponiamo irriduttibile) con un iper- 
piano (S r _ x ) tale che delle sue n intersezioni con essa r qualunque siano linearmente 
indipendenti. Il sistema di quadriche proposto verrà segato dallo stesso S r _! in un 
nuovo sistema, pure di dimensione C7 1 ) — i, e con quelle n intersezioni per punti 
basi; e poiché le quadriche tutte di S r _ x formano un sistema di dimensione ( r t l ) — 1, 
è chiaro che in questo nuovo sistema ogni quadrica passante per 

ì ('7 1 ) - 1 ( - ) (V) - i [ = 2 (r - 1) + i 



(1) Si può dimostrare anzi più generalmente (e in modo affatto analogo) che un sistema lineare 
di quadriche (di S r ) di dimensione uguale superiore a ( r— worc può avere una varietà base di 
dimensione (uguale superiore a) k e appartenente pure a S r . 



SOPRA LE CORVÈ DI DATO ORDINE, ECC. 



349 



di quegli stessi n punti dovrà (se n > 2(r — 1) -f- i) contenere di conseguenza i 
rimanenti (1). 

Si può prevedere fin d'ora che, se n supererà un certo limite, quelle quadriche 
di S r _! dovranno avere, non solo questi n, ma infiniti punti (ossia tutta una curva) 
a comune (2); ciò perchè un sistema lineare di quadriche di data dimensione e con 
un numero finito di punti basi ammette necessariamente, per questo stesso numero, 
un massimo (3). Si tratterebbe ora di trovare appunto questo massimo per il nostro 
sistema, di dimensione (7 1 ) — i, in S r _ t (essendo pur sempre i < r — 2). 

La questione è piuttosto complicata, ma possiamo dare tuttavia un teorema che 
ci sembra notevole e dal quale potremo poi ricavare nei §§ seg. (almeno per i casi 
di i = 2 e i = 3) risultati della natura di quelli che testé andavamo cercando, e 
che si collegheranno anche con quelli già ottenuti nei §§ precedenti. Ragioneremo, 
per comodità, nello spazio S r , e supporremo perciò il sistema di quadriche assog- 
gettato a 2r -f- i (anziché a 2 (r — 1) -4- i) condizioni. 

9. Il teorema del quale intendiamo parlare è il seguente : 

Se nello spazio S r si ha un gruppo di 2 (r -\- i) -4- 1 punti indipendenti (4) e tali 
che le quadriche passanti per 2r -4- i qualunque fra essi passino sempre di conseguenza 
per i rimanenti i — | — 1 , questi punti staranno tutti sopra una varietà M; : ~ 1+1 = co 1 ra- 
zionale normale di S 4 -_i, che sarà anche segata in una Ml~{ dall' di r — 1 qua- 
lunque fra quei punti (5). 

Consideriamo infatti l'S r _ 2 di r — 1 qualunque fra i punti proposti (A x , A 2 , A r _ t ), 
e chiamiamolo a. Costruiamo poi le curve razionali normali di ordine r che hanno a 
per spazio (r — 1) - secante e passano per altri r -4- 1 fra i punti dati (B 1; B 2 , B r+1 ) 
e rispett. per altri i ancora fra quegli stessi punti (Ci, C 2 , CJ. Congiungendo i 
vari gruppi di punti di queste curve che stanno in un iperpiano variabile attorno 



(1) Si può dire anzi che, se l'S r _ 1 di cui sopra è stato scelto in modo generale, ogni quadrica 
passante per 2 (? — 1) -(- i qualunque fra questi n punti dovrà passare di conseguenza anche pei 
rimanenti; impongano pure o non impongano quei primi 2{i l)-f-* condizioni tutte distinte. 

(2) E quindi le quadriche di Sr passanti per la curva dovranno avere a comune tutta una 
superficie. 

(./-') 

(3) La questione, trasportata sulla varietà M^-i di S( r _i)( r +2) che rappresenta il sistema di 

2 

tutte le quadriche di S r _j, si tradurrebbe così: Se la varietà M ha comune con uno spazio S* un 
numero finito di punti, questo numero non potrà superare un certo limite; e questo può ritenersi 
evidente. E alla stessa questione può anche darsi la forma seguente, pure notevole : Sulla curva di 

ordine 2 r ~ 2 (e di genere (r — 4) 2 r— 3 + 1) intersezione generale di ì 2 quadriche in Sr— 1 l'ordine 

di una serie lineare di gruppi di punti di data dimensione non può scendere al di sotto di un certo 
limite (che dipenderà naturalmente da questa dimensione). 

(4) Anche per i punti, come già per le quadriche, ci permettiamo di dire semplicemente ìndi- 
pendenti, sottintendendo per brevità il linearmente. Avvertiamo poi che, per i punti, questa indi- 
pendenza dovrà sempre intendersi come relativa (per così dire) allo spazio in cui si sa che i punti 
stessi sono contenuti. Se siamo quindi in Su , intenderemo (soltanto) che mai k -f- 1 fra quei punti 
stiano in uno stesso S ft _j. 

(5) Variando questi ultimi punti, potrà variare però la M^~'~ hl ; e questo apparirà anche dalla 
dimostrazione che ora daremo. 



350 



GINO FANO 



ad a mediante altrettanti S,_ 1? otterremo una serie semplice razionale di spazi, il 
cui insieme costituirà una M[ _l+1 normale (1). Lo spazio a incontrerà quei vari S t _ t 
secondo altrettanti S,_ 2 , quindi la varietà M, secondo una M,_x che risulterà di or- 
dine r — i, e potrà anche scindersi in una M[zJ - ' 1 irriduttibile e in h spazi S,_! 
(contenenti rispett. altrettanti S,_ 2 di questa M^). 

Ora, la varietà M[~ ,+1 è contenuta in ( r_ s +1 ) quadriche indipendenti di S r (2), e 
di queste si vede facilmente che, se i < r — 1 (3), ve ne sono certo almeno oo r-t ~' 
che contengono lo spazio a. Nel caso estremo i = r — 1 la varietà M-~ 1+1 è essa 
stessa una quadrica passante per questo spazio ; se invece i < r — 2 (e così noi 
supporremo sempre in seguito), vi saranno certo infinite quadriche passanti per la 
varietà Mp~ ,+1 e per lo spazio a, e queste non passeranno di conseguenza per nessun 
altro punto (e saranno precisamente co T_l4 " 1 ) (4). Ma queste quadriche passano già 
tutte per i 2r -f- i punti A! ... A r _!, Bj...B,. +1 , C\... C É ; dovranno dunque passare 
anche per gli altri i -f- 1 punti proposti (D 1? D 2 , D, +) ); e questi ultimi, non po- 
tendo alcuno di essi stare nello spazio a, saranno tutti contenuti nella varietà M<~ ,+1 . 
Faremo vedere ora che questa stessa varietà (ossia la M[r[ sua intersezione collo 
spazio a) deve contenere anche gli r — 1 punti A. 

Lo spazio a, come abbiamo già detto, sega infatti la varietà Mr -,,+1 in una M^rJ 
che può anche spezzarsi in una W~\~ h irriduttibile e in h spazi S,-_i. E chiaro che 
fra gli S r _ 3 determinati dai punti A a r — 2 per volta ve ne sarà certo (almeno) 
uno non contenente (per stare nel caso più generale) la M^l - ' 1 (h > 0); questo stesso 
spazio (che chiameremo ct ( ) potrà contenere tuttavia un certo numero ti degli h 
spazi S,_i, e segherà allora i rimanenti h — ti in altrettanti S t _ 2 , e la varietà 
M[ , r{~'' in una Mj!Zj~ k " k ' dalla quale potrà ancora staccarsi qualche altro S,_ 2 ; l'or- 
dine complessivo però di questa Mj_ 2 , compresivi tutti gli S t _ 2 (anche quei primi 
h — ti), sarà r — i — 2ti. — Fra gli r — 2 punti A con cui si è determinato lo 
spazio cii scegliamone ora r — 3 il cui S r _ 4 (ot 2 ) non contenga la M f _ 2 irriduttibile 
teste ottenuta; questo spazio ct 2 potrà contenere della sezione precedente un certo 
numero ti' di S,_ t e un certo numero /' di Sj_ 2 (oltre agli ti — h" in cui sega i 



(1) L'ordine di questa varietà si può stabilirlo con successive induzioni, partendo dai valori più 
semplici di i. Che se poi il gruppo delle i intersezioni variabili di cui sopra fosse sempre conte- 
nuto in un S,_2 , si giungerebbe a una varietà Mj~ 1 '~ t ~ 2 per la quale potrebbero farsi passare infi- 
nite segate anche da a altrettanti una M t _j _ 

(2) Ciò essendo vero per i valori più semplici di i(i = 0, 1, 2) ne segue» facilmente che per la 
M£~ ,+1 non possono certo passare più di (' — 2 +1 ) quadriche indipendenti. Osservato poi che, perchè 
una quadrica contenga la M[ — >+1 , è certo sufficiente che ne contenga due sezioni piane e un punto 
fuori di queste, si può tosto concludere (ammessa sempre la proposizione per i valori più piccoli 
di i) che il numero di quelle quadriche non può nemmeno essere inferiore a ( r— P^ 1 ). La proposi- 
zione sussiste tanto se la M t è irriduttibile, quanto se da essa si stacca, un numero qualunque 
di Si (passanti per altrettanti S 4 -_! della Mi residua irriduttibile). 

(3) Restrizione che corrisponde alla i < 1 2 del n° 7, perchè qui siamo passati da S r _j a Sr. 

(4) Se queste quadriche passassero infatti tutte per un altro punto qualsiasi di Si , segando 
coll'S^.j di questo punto e di a, si avrebbero nello stesso iperpiano almeno CO r ~ ' — 1 quadriche 
contenenti un dato S r _ 2 , un dato S f _j (intersezione residua dell'S r _ 1 colla varietà Mi) e un dato 
punto fuori di questi due spazi, il che è assurdo. Lo stesso ragionamento, astraendo da quest'ultimo 
punto, prova altresì che quelle quadriche sono precisamente OC—'— 1 (e non di più). 



SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 



351 



rimanenti S,_ t ), e l'incontrerà poi ancora in una jj>-j-w-v-8i' dalia quale potrà 
staccarsi un certo numero di S,-_ s . Così continuando, giungeremo a un S r _i_ t (P) pas- 
sante per r — i punti A e incontrante la varietà M^ - '" 5 " 1 secondo un certo numero 

di spazi Si.!, un certo numero n,_ 2 di spazi S t _,, un certo numero n 

di punti. 

Per la sezione determinata dallo spazio a l (h' spazi S,_i e una M[zj~ 2 ' 1 ') si ha 
la relazione : 

2 . h' + 1 . (r — i — 2h') = r — i. 

Per quella successiva (/*" spazi Si_i, li' — h" -f- Z spazi S,_ 8 e una M^à -2 '" - ''"" 21 ') 
si ha del pari 

3 . h" + 2 . (A' — A" -j- V) f Ì.(r-t- 2/j' — A" — 20 = r — i 

e così via. Per l'ultima si avrebbe (e lo si potrebbe provare facilmente col solito 
metodo dell'induzione da un caso qualunque al successivo) 

i . -I- {i — 1) . n,_ 2 -j- -\- 2 . n x -f- 1 • n = r — i (1). 

Quest'ultima sezione potrebbe essere costituita in particolare da un gruppo di r — i 
punti ; ma le nostre considerazioni più generali sono egualmente necessarie, non poten- 
dosi asserire a priori che fra gli S r _ i _ 1 determinati da r — i fra i punti A ve ne 
debba sempre essere uno che incontri M in soli r — i (e non in infiniti) punti. 

D'altra parte, dal fatto che per la varietà M, r_1+l e per lo spazio a passano 
precisamente co r_1 ~' quadriche segue tosto che si può scegliere (e in infiniti modi) 
un sistema lineare di dimensione ( r 7') — 1 costituito da quadriche passanti tutte 
per la varietà M- _+1 e non per a; e perciò ogni quadrica di quest'ultimo spazio 
passante per la M t 'Zj di cui sopra potrà ottenersi come sezione di una quadrica di S r 

passante per la M ; stessa (e non per a). — Analogamente, fra le ocA 2 ' quadriche 
di a che passano per la sezione MJz{ ve ne sono co h '~ 1 che contengono lo spazio (2); 
si potrà quindi dal loro sistema stralciarne uno, pure lineare, di dimensione { r j ) — h' — 1, 
nel quale nessuna quadrica contenga quest' ultimo spazio. E questo stesso (ossia 

co ' ) è anche il numero delle quadriche dello spazio a, che passano per la 
sezione determinata da esso nella varietà M.[Zl (o nella M? - ' 4 " 1 ) (3) ; ciascuna di queste 



(1) In termini meno esatti ma forse più espressivi si potrebbe dire (ed è, d'altronde, anche 
quasi evidente) che una retta contenuta in un Sj-_i della Mi conta in questa sezione come due 
punti, un piano come tre, ecc. 

(2) E sono quelle che si spezzano in dj stesso e in un S r _ 3 variabile attorno al- 

*-*f}+«_it_i = S r -h'—2 della M£Zi~ costituita dalla stessa M^ 1 meno gli h' spazi S ; _j che 
sono già contenuti in a,. 

(3) Infatti le quadriche indipendenti che contengono la M;~2 _ ^ sono, nello spazio S r _2h'—S cu i 
questa appartiene, ( r— 'jf ZA ); e nello spazio S r _ 3 = a f 

+ (*" - 2h ' - ij 4 " (r - 2A') + -f- (r - 2) = (VO + 2A' (• - 1). 

Queste ultime devono ancora assoggettarsi a contenere ti spazi S,-_ x , di ciascuno dei quali conten- 



352 



GINO FANO 



ultime sarà dunque sezione di una delle prime, ossia di una quadrica di S r passante 
per M, r ~ ,+1 e non per a y . Fra quelle stesse quadriche dello spazio ctj possiamo ora 
trovarne un sistema lineare di dimensione ( r l l ) — In! — 2h" — V — 1, nel quale nes- 
suna varietà contenga lo spazio a 2 (1); e questo numero è anche quello delle qua- 
driche di a 2 stesso che passano per la sezione determinata nella varietà M, da que- 
st'ultimo spazio (2). Così continuando, si conclude facilmente che le quadriche dello 
spazio 8 passanti per la sezione determinata da questo stesso spazio in Mi sono 
precisamente tante quante quelle di S r che passano per M' _H "' e non per 8 (3); e 
perciò una qualunque delle prime può sempre ottenersi come sezione di una di queste 
ultime. In particolare, se fra quelle prime quadriche ne consideriamo una passante 
per un certo numero , ad es. per r — i — 2 fra gli r — i punti A che stanno in 8 
— supposta la cosa possibile — , la quadrica di S,. (passante per M ; ) di cui quest'ul- 
tima quadrica può considerarsi come sezione dovrà pure contenere quegli stessi 
punti. Ma questa quadrica di S T passerà allora per la varietà M, r_,+1 , quindi per tutti 
i punti B!..... C t D t (in numero di r -f- 2i -f- 2), e conterrà perciò complessiva- 
mente già 2r -f- % fra i punti proposti ; essa dovrà dunque contenere anche i rima- 
nenti » - -|- 1, e in particolare quegli altri due punti A che stanno in 8. Questi ultimi 
staranno perciò anche sulla quadrica di 8 prima considerata, ossia : 

" Le quadriche dello spazio 8 passanti per la sezione che questo spazio deter- 
" mina nella varietà M, e per r — i — 2 qualunque fra i punti A in esso spazio 
" contenuti passano anche tutte per gli altri due fra questi stessi punti „. 



gemo già un S,-_g fìsso, e ciò equivale a nuove ti {2i — 1) condizioni, che è facile anche riconoscere 
come tutte distinte. E si ha precisamente: 

( Y) + W [i - 1 - ti {2i - 1) = (V) - ti- 

(1) E ciò perchè quest'ultimo spazio è a sua volta contenuto in un sistema lineare di quelle 
stesse quadriche di dimensione 2h" -\- V — 1. Questo numero deve essere infatti quello degli S r _^ 
di a! che passano per la sezione determinata da a, stesso in M, astrazion fatta dagli ti' spazi S 

e dagli V spazi S,-_ 2 già contenuti in a 2 . Ora la M e '_ 2 di a t (compresivi tutti gli S,-_ 2 ) è di ordine 
r — i — 2ti; senza quegli X spazi resterà dunque di ordine r — ì — 2ti — X , e apparterrà perciò a un 
[r — 2ti — X — 3]. E quest' ultimo spazio, insieme ai rimanenti ti — ti' spazi S,-_i , determina un 

[r — 2h" — X — 3] pel quale in a, passano appunto C0 2h ~*~ l ~ 1 S r _ i . , 

(2) Per la sola M e _ 3 di a 2 (che , compresivi tutti gli S,_ 3 , è di ordine r — i — 2ti — ti' — 2X) 
passano, nello spazio cui essa appartiene, ( r— !— 2h> 2~ h ~ 21 ) quadriche indipendenti; nello spazio a 2 
ne passano invece ( r ^"') 4" {2ti -\- ti' -\- 2X) (i ■ — 2). Queste ultime devono ancora obbligarsi a passare 
per ti — h"-\-l' spazi S,_ 2 e per ti' spazi S ; __j (già segati in altrettanti S t -_ 4 fissi); il che equivale 
complessivamente a {ti — ti' -\- X) (2* — 3) + ti' {di — 3) condizioni (e ancora tutte distinte). E il numero 

( r 2 ') + (2ti + ti' -f 2X) (f — 2) — {ti — ti' + X) {2i — 3) — ti' (3* — 3) 

si riduce precisamente a 

(*•-') _ h' — 2h" — V. 

(3) Questa proposizione sarebbe evidente o quasi quando lo spazio P segasse ,+1 in soli 
r — i punti ; allora non vi sarebbe anzi in a nessuna quadrica passante per la ~f e per (3. Ma, 
come già si è detto, non possiamo asserire di poterci sempre ridurre a questo caso. 



SOPRA LE CDRVE DI DATO ORDINE, ECC. 



353 



Da ciò noi dedurremo subito che gli r — i punti A dello spazio p 1 devono stare 
tutti sulla sezione che questo spazio determina in M { (e quindi su M 4 stessa). 

Abbiamo già veduto infatti come tale sezione sia costituita. Consideriamo per- 
tanto uno qualunque S« degli spazi in essa contenuti (o s u < i — 1) (1), e poniamo 
per brevità r — * — 1 = p. Fra gli r — i = p -j- 1 punti A dello spazio S P = p 
possiamo sempre trovarne uno non contenuto in Su (2) ; poi un altro non contenuto 
nell' Sjlh-i di S u e di questo primo punto, un terzo non contenuto nell'Su + 2 di questo 
S u+ i e del secondo punto, ecc. Possiamo infine, fra gli stessi p — {— 1, trovarne p — u 
i quali insieme allo spazio Su costituiscano un gruppo appartenente a S/>. Chiame- 
remo questi punti A™ , A« u ; i rimanenti, A<g>, Af, , A«. 

Dalla relazione i . -\- -f- n o — *' — i = p + 1 segue altresì che , tolto 

lo spazio S^, i rimanenti che con esso concorrono a formare la sezione di (B colla 
varietà M; staranno certo in un S^—^-i. Considero ora lo spazio S P _i = j determi- 
nato da questo S^-u-i e da u qualunque fra i punti A' 2) (escludendone perciò uno 
qualsiasi A'*') (3), e poi un altro S P _i, che chiamo ò, determinato dall' S^ di cui 
sopra e da p — u — 1 qualunque fra i punti A 1 ' (tutti ad es. meno A 1 } 1 ). Questa 
coppia di S f _i è una quadrica di S P contenente già l'intera sezione (3 . M< e p — 1 
fra i punti A (tutti meno A 1 , 1 e A 1 ? 1 ); la stessa quadrica dovrà dunque passare anche 
per questi ultimi due punti. Ma A 1 } 1 non può stare in ò (perchè l'insieme di S^ e dei 
punti A 111 appartiene a S r ); starà dunque in t, e ciò qualunque sia l'indice t scelto 
fra i numeri 1, 2, ... , p — u; in altri termini, lo spazio t dovrà contenere tutti 
quanti i punti A 11 ; e contenendo perciò complessivamente già p punti A, non potrà 
più contenere A 1 *'. Quest'ultimo punto starà dunque in ò, e ciò ancora qualunque sia 

fra gli indici 0.1.2 u quello designato con s ; in altri termini , tutti i u -j- 1 

punti A (i| dovranno stare nello spazio ò — e anzi in ciascuno dei p — u spazi S^_i 
che congiungono FS^ considerato da principio a p — u — 1 qualunque dei punti A (1) — ; 
essi staranno perciò anche nell'S^ stesso che è precisamente l'intersezione di tutti 
questi spazi. 

Segue da ciò che uno spazio qualunque S^ appartenente alla sezione {$ . deve 
contenere u -\- 1 fra i punti A dello spazio (ì; e questi punti varieranno anche tutti 
da uno di quegli spazi all'altro, perchè due qualunque di questi ultimi non si incon- 
trano (4). Avendosi poi la relazione X (u -f- 1) = p -\- 1, è chiaro che i p -f- 1 
punti A verranno tutti assorbiti dai vari spazi S^ e staranno perciò tutti sulla se- 
zione p . M,. 



(1) Se detta sezione si componesse di (soli) r — i punti, non potrebbe essere, naturalmente, che 
u = 0. Il nostro ragionamento vale però (come si vedrà subito) anche per questo caso. 

(2) Farebbe eccezione il solo caso in cui fosse M = p ; ma allora lo spazio S/> = sarebbe tutto 
contenuto in M, , e su questa varietà starebbero perciò senz'altro tutti i p -f- 1 punti A. 

(3) Per il momento, non si potrebbe ancora asserire che lo spazio f rimanga con ciò indivi- 
duato; certo pere che vi è qualche S._i passante per quell'S^u^ e per questi u punti. Dal' 
seguito del ragionamento apparirà poi che non può esservene che uno. 

(4) I vari spazi Su sono contenuti infatti rispett. in altrettanti S^_i di ' ; e due qua- 
lunque di questi S,_, non si incontrano, a meno che la varietà stessa non sia un cono ■ — nel qua! 
caso ci converrà (e basterà) prendere lo spazio non incidente all'asse (al più S 4 '_ 2 ) di questo cono. 

Serie II. Tom. XLIY. 



354 



GINO FANO 



La varietà M- -,+1 di S r contiene dunque certo (r — i) -j- (r -\- 1) -{- i -\- (i -j- 1) 
ossia 2r -j- i -f- 2 fra i punti proposti ; conterrà perciò anche i rimanenti i — 1 
(perchè le quadriche passanti per essa non passano, di conseguenza, per nessun altro 
punto) ; e la proposizione enunciata al principio di questo n° rimane così dimostrata. 

Il teorema si estende manifestamente al caso di un numero di punti anche su- 
periore a 2(r -f- i) -f- 1, purché sempre le quadriche passanti per 2r -|- i qualunque 
fra questi passino di conseguenza anche pei rimanenti. — Nel caso di i = 1 questo 
teorema coincide con quello già dato dal sig. Castelnuovo nelle sue Ricerche (n° 30); 
veniamo quindi addirittura a svilupparne le conseguenze più importanti per il caso 
di i = 2. 



§ 5. 

Sistemi lineari oo^ 1 ) -2 di quadriche e loro varietà basi. 
Superficie di ordine r a sezioni ellittiche. 

10. Facendo nel teorema del n° 9 i = 2, troviamo la proposizione seguente: 

Se nello spazio S,. (r > 4) si ha un gruppo di 2r -f- 2 -j- x punti indipendenti e 
tali che le quadriche passanti per 2r -f- 2 qualunque fra essi passino sempre di conse- 
guenza pei rimanenti x, questi punti, se x > 3, staranno tutti su di una rigata razio- 
nale normale R r_1 (che sarà anche segata in una curva di ordine r — 2 dall' S,_ 2 di 
r — 1 fra quei punti). 

Dico ora che, nella stessa ipotesi x > 3, le quadriche passanti per quei primi 
2r -J- 2 punti devono avere non solo x, ma infiniti altri punti a comune. Infatti, se 
così non fosse, fra le quadriche passanti per quegli stessi punti se ne potrebbe certo 
trovare qualcuna che incontrasse la rigata R' _1 secondo una curva irriduttibile (di ordine 
2r — 2 e genere r — 2) (1). Su questa curva le quadriche di S r segherebbe una 
gllZ* (2) ; imponendo loro perciò di passare per 2r -f- 2 fra i punti proposti (3), 
rimarrebbe una gl?* 6 con x punti fissi; cosa che è evidentemente assurda per x > 2. 

Concludiamo pertanto: 

Se nello spazio S r (r > 4) si ha un gruppo di 2r -j- 5 o più punti indipendenti e 
tali che le quadriche passanti per 2r -4- 2 qualunque fra essi passino sempre di conse- 
guenza pei rimanenti, queste quadriche avranno a comune infiniti punti (e quindi tutta 
una linea, passante per una parte almeno di quegli stessi punti). 



(1) Se questa curva dovesse necessariamente spezzarsi, se ne concluderebbe tosto ch'essa deve 
contenere una parte fissa comune a tutte le quadriche passanti per i 2r-\-2-\-x punti proposti (e 
passante a sua volta per una parte almeno di questi punti). Non sarà forse inutile l'osservare che 
per questi stessi punti passa un sistema lineare (almeno) OO r— 3 di quadriche non contenenti la 
rigata R r_1 . 

(2) Infatti la curva C 2 .^ 2 sta precisamente su ( r IT 1 ) -j- 1 quadriche indipendenti. 

(3) Punti che possiamo supporre impongano condizioni tutte distinte (se no si cadrebbe nel 
caso di i — 1). 



SOPRA LE CORVÈ DI DATO ORDINE, ECC. 



355 



Ovvero anche: Se un sistema lineare di quadriche in S r ha un certo numero 
k (> 2r -|- 3) di punti basi indipendenti e tali che le quadriche 'passanti per 2r -j- 2 
qualunque fra essi contengano sempre di conseguenza anche i rimanenti (ma non con- 
tengano altri punti fissi) sarà certo k < 2r -f- 4. 

11. Da questi risultati, riuniti alle considerazioni di cui al n° 8, deduciamo 
ancora : 

Se per una curva (irriduttibile) appartenente a S r (r > 5) e di ordine n > 2r -(- 2 
passano Cj 1 ) — 1 quadriche indipendenti, queste quadriche avranno a comune tutta una 
superficie passante a sua volta per quella curva. È facile anzi riconoscere che questa 
superficie non potrà essere di ordine superiore a r (1); ciò perchè un sistema lineare 
di quadriche (M*_ 3 ) di S r _ 2 di dimensione C7 1 ) — 2 non può avere più di r punti 
basi indipendenti, a meno di non averne infiniti. Dunque : 

Se per una curva (irriduttibile) appartenente a S r (r > 5) e di ordine superiore a 
2r -}- 2 passano ( r 7 l ) — 1 quadriche indipendenti, la stessa curva dovrà stare su di una 
superficie di ordine < r (e quindi di ordine r r — 1) comune a queste quadriche. 

in altri termini: Se nello spazio S r (r > 5) un sistema lineare di quadriche di 
dimensione Ci 1 ) — 2 ha infiniti punti basi, questi punti non potranno costituire {di 
varietà appartenenti ad S r ) che una curva di ordine < 2r -f- 2 una superficie di 
ordine < r (2). 

Tenuto conto infine di quanto si è detto nel § 2 sull'ordine di una curva di 
genere tt — k per la quale si vuole che passino (almeno) (V) — 1 quadriche indi- 
pendenti, abbiamo : 

Una curva normale, la quale appartenga ad S r (r > 5) e sia di genere ir — k e di 
ordine superiore a 

— 2~ (r — 1) + 2 oppure — ^- (r — 1) -f 3 

secondo che k j>ari dispari, sta sempre su di una superficie di ordine r r — 1 
(comtme a tutte le quadriche che la contengono) (3). Se non sta dunque sulla rigata R r ~~ 1 
sulla superficie di Veronese (nel caso di r = 5), sarà certo contenuta in una su- 
perficie di ordine r. Supposto k > 0, fa eccezione il solo caso di k = 1 nel quale, 
anziché n > 2r -j- 1, bisogna supporre n > 2r -\- 2. 

12. Ora, una superfìcie di ordine r appartenente a S r può avere le sezioni ra- 
zionali od ellittiche. Nel primo caso si hanno le rigate razionali ma non normali, 
bensì proiezioni di quelle di ugual ordine appartenenti a S r +i; e di più, per r = 4, 



(1) E la linea di cui è fatta parola nel penultimo enunciato del n° 10 non potrà quindi rie- 
scire di ordine superiore a r + 1. 

(2) Con questo non intendiamo però escludere che, almeno se quegli ordini massimi non sono 
raggiunti, vi possa essere anche qualche ulteriore punto base (isolato), oppure, nel secondo caso, 
oltre la superficie, anche una curva base non contenuta in questa. 

(3) Sappiamo anzi che questa superficie può essere di ordine r solo quando l'ordine della curva 
sia < {k -\- 2) (>•— 1) + 1. 



356 



GINO FANO 



una superficie non rigata contenente una oo 2 di coniche, proiezione precisamente 
della superficie di Veronese da un punto esterno ad essa (1). Ma per le rigate razio- 
nali di ordine r e appartenenti a S r passano in generale solo — 3 quadriche 
indipendenti se r > 4, e ne passa una sola se r = 4 ; e per la superficie di quart'or- 
dine non rigata non ne passa, in generale, alcuna (2). Non sarà dunque sopra queste 
superfìcie che potranno stare le curve C£ considerate di sopra; esse saranno invece 
contenute (quando non stiano sopra F r_1 ) in superficie di ordine r a sezioni ellittiche. 
E queste saranno anche le sole superficie di S r che possano essere varietà basi per 
sistemi di quadriche di dimensione — 2 (3). 

D' altra parte è pur noto (cfr. Del Pezzo, loc. cit.) che una superficie d'or- 
dine r (F r ) appartenente a S, e colle sezioni ellittiche è sempre rigata per r > 9; e, 
se rigata, è necessariamente un cono (4). Per r < 9 esistono invece in S r delle super- 
ficie di ordine r a sezioni ellittiche e non rigate, che sono razionali e, se di ordine 
inferiore a 9, si possono anche ottenere (con una sola eccezione, per r = 8) come 
proiezioni della F n di S 9 . Queste superficie, studiate per la prima volta dal 
sig. Del Pezzo, sono quelle appunto che rappresentano i sistemi lineari di cubiche 
piane con 9 — r punti basi; e in quel caso speciale accennato per r = S (super- 
ficie F 8 di seconda specie) il sistema delle quartiche piane con due punti doppi fìssi. 
Dunque: 

Se nello spazio S r un sistema lineare di quadriche di dimensione C7 1 ) — 2 ha infi- 
niti punti basi, questi punti, per r > 9, non potranno costituire (di varietà apparte- 
nenti ad 8 r ) che una curva di ordine non superiore a 2r -\- 2 (5) ; oppure un cono 



(1) Per queste superficie, e per le altre (non rigate) pure di ordine r e appartenenti a Sr, cfr. 
ad es. Del Pezzo: Sulle superficie del n° ordine immerse nello spazio din dimensioni (" Rend. Circolo 
Mat. di Palermo „, I). 

(2) Infatti, se una superfìcie di Sr si può ottenere come proiezione di altra appartenente 
a S,.^! , è chiaro che le quadriche di Sr passanti per la prima saranno tante quanti i coni quadrici 
di S,.^ che passano per la seconda e hanno il vertice nel centro di proiezione. Nel nostro caso 
si tratta di superficie di ordine r che appartengono ad S r e sono proiezioni di altre di egual ordine 
appartenenti a S r+1 ; e fra le (2) quadriche indipendenti (di S r+ i) che passano per una di queste 
ultime superficie non vi sono in generale (come si vede subito) che soli C"^ 1 ) — 3 coni col vertice 
nel centro di proiezione (che è un punto assolutamente arbitrario in S r+1 , purché esterno alla 
Fr considerata). Però, se r == 4 e quindi >• -|— 1 = 5 — e in questo solo caso — , ogni punto dello 
spazio 8 r +i = S s sta sopra una corda della rigata normale Rr = R 4 , corda che è asse di un cono 
quadrico di 2 a specie (Sj - cono) passante per la rigata medesima; sicché la R 4 di S 4 viene ad 
avere un punto doppio e a stare a sua volta in un cono quadrico col vertice in questo punto. — 
Questa stessa eccezione non si presenta invece per la F 4 non rigata, che non ha, in generale, punti 
doppi. Solo quando il centro di proiezione si sia preso nel piano di una conica della superficie 
normale (di Veronese), essa viene ad avere tutta una retta doppia (come può succedere anche per 
la rigata) e a stare perciò sopra un intero fascio di quadriche (in questo caso, di coni quadrici); 
ma allora essa può considerarsi (e così intenderemo che sia) come un caso particolare della F 4 a 
sezioni in generale ellittiche, che è intersezione generale di due quadriche di S 4 . 

(3) Intendiamo naturalmente (qui ed in seguito) che per queste superficie non passino altre 
quadriche all'infuori di quelle contenute nel sistema accennato. 

(4) Cfr. C. Segre : Sulle rigate ellittiche di qualunque ordine (" Atti R. Acc. di Torino „, XXI) oppure 
la Mem. cit. nei " Math. Ann. „, XXXIV; n° 14. 

(5) V. la nota (2) a pag. prec. 



SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 



357 



normale ellittico (e in questo caso anzi tutte le quadriche del sistema saranno coni, 
e collo stesso vertice del cono base) (1). Per r < 9 la varietà base potrà anche essere 
una superficie razionale di ordine r a sezioni ellittiche (2). 

Una curva appartenente ad S r e di ordine n > 2r -\- 2 per la quale passino preci- 
samente Ci" 1 ) — 1 quadriche indipendenti sta sempre sopra un cono normale ellittico, se 
r > 9; (e quelle quadriche saranno tutte coni, ecc.). Se r < 9, la curva potrà anche 
stare sti di una F r razionale a sezioni ellittiche. 

E in particolare : Una curva normale di genere tt — k e di ordine superiore a 

k ~t 4 (r — 1) — j— 1 o k ~t 8 (r — 1)4-2 secondo che k è pari o dispari (2r -\- 2, se k = 1) 

starà sempre su di una rigata razionale normale o su di un cono nonnaie ellittico se 
lo spazio (S r ) cui essa appartiene è superiore a S 9 . 

Se però r < 9 ; la curva potrà stare anche su di una F r razionale a sezioni ellit- 
tiche; e anche sulla superficie di Veronese, se r = 5. 

13. — Una curva tracciata su di un cono normale ellittico di S r , in modo da 
avere un punto s pl ° nel vertice di questo cono e da incontrarne ancora ogni genera- 
trice in altri m punti, è di ordine 

n — mr -f- s 

e di genere 

p — (™) r -j- 1 -J- s (m — 1) — z 

se con z indichiamo il numero dei suoi punti doppi (astrazion fatta dall'accennato 
punto s pl °) (3). Perchè dunque una curva di S r di dato ordine n e dato genere p =^ tt — k 
possa stare su di un cono normale ellittico, è necessario che le due equazioni scritte 
siano soddisfatte da una medesima terna di valori interi e positivi di m, s e z (in- 
clusovi per s e z anche lo zero). A priori si può dunque aspettarsi la cosa come non 
sempre possibile; si può aspettarsi cioè che qualche curva della quale siano asse- 
gnati ad arbitrio l'ordine ed il genere possa — qualunque siano gli altri suoi carat- 
teri — non stare mai sopra un cono normale ellittico dello spazio a cui appartiene. 
Vedremo in seguito, esaminando alcuni casi particolari, che così è effettivamente; e 
che le curve giacenti su di un tal cono devono avere appunto certi ordini e certi 
generi particolari, o almeno particolarmente legati fra di loro. 



(1) Ciò perchè i coni quadrici che necessariamente fanno parte del sistema bastano ad esaurirlo. 
Del resto, se il vertice del cono ellittico non fosse punto doppio per una quadrica qualsiasi di 
questo sistema, questa dovrebbe ammettere in quello stesso punto un S r _j tangente ben deter- 
minato e contenente tutte le generatrici di quel cono; cosa che sarebbe assurda, perchè queste 
generatrici non stanno in un medesimo iperpiano. 

(2) Questo si è dimostrato per r > 5. Per r = 4 poi il sistema di quadriche in discorso si ridur- 
rebbe a un fascio, e avrebbe quindi per varietà base appunto una superficie F 4 a sezioni (in gene- 
rale) ellittiche. Per r <4 la dimensione f^ 1 ) — 2 diventerebbe <0. 

(3) Ciò per la nota formola del sig. Segre, già più volte applicata. Per il caso in cui (come qui) 
la rigata è un cono, la formola era stata data anche dallo Sturm (" Math. Ann. „, XIX, p. 487). 



358 



GINO FANO 



Il caso di una curva per la quale si possa condurre un cono normale ellittico 
ci appare dunque, quasi direi, come eccezione. E si potrebbe anche asserire (e ciò 
apparirà meglio in seguito) che per r > 9 una curva di S r di genere tt — k e di 
ordine superiore ai limiti già più volte ricordati sta in generale sulla rigata razionale 

normale E r l ; e quindi sulle ocr 2 ' quadriche che contengono questf ultima superficie. 

§ 6. 

Sulle curve di genere n — 1. 

14. — I risultati ottenuti nel paragrafo precedente si applicano a lor volta alle 
curve di genere tt — 1, per le quali (com'è noto) passano sempre almeno ( r 7 l ) — 1 
quadriche indipendenti; e non riuscirà forse privo d'interesse l'esaminare un po' più 
da vicino i vari casi che queste curve possono presentare. Basterà naturalmente che 
ci occupiamo di quelle di ordine n < 3r — 1 (1); e potremo anche limitarci alle curve 
speciali, supporre cioè altresì n > 2r. Posto pertanto n = 2r-\-i dove < i < r — 1, 
ed osservato che all'ordine 2r -j- i deve corrispondere il genere massimo tt == r-\-2i -\- 1, 
è chiaro che le curve da considerarsi saranno del tipo C^J+J (2). 

E anzitutto: quali fra queste curve possono stare sul cono normale ellittico? 
È chiaro che una contenuta in questo cono dovrebbe avere un punto i pl ° nel 

vertice, e incontrare ancora ogni generatrice in due altri punti. Supposto pertanto 
che una tal curva abbia (all'infuori del vertice) r punti doppi, potremo scrivere 

r -f 2i = 1 . r 4- 1 + i . 1 ' — .9 

ossia i== 1 — z\ relazione che (dovendo essere i > 0, z > 0) è soddisfatta solo per 
i = 1, z — 0. L'unica delle nostre curve che possa stare sul cono ellittico è dunque 
la C^j 1 ; questa dovrà passare (semplicemente) pel vertice del cono, e non avrà 
punti doppi. 

Ciò posto, osserviamo che la curva G 2r+i , essendo di genere r -\-2i, conterrà 
come serie canonica una ^^«i ; e siccome su di essa gli iperpiani (S,_i) segano una 
y r 2r+ìi C0S1 v ^ sar ^ P ure > come residua di quest'ultima, una g\~l 2 (3). La considerazione 
di questa serie residua sarà, come vedremo, fondamentale per lo studio che ci siamo 
proposti. 



(1) Se l'ordine fosse più elevato (w>3r — 1) la curva starebbe certo su di una superfìcie di 
ordine r — 1 (v. § 2). 

(2) E queste curve sono anche tutte normali, perchè una (j 2r+i di Sr+) non può essere di 
genere superiore a (r -\- 1) + 2 (i — 2) -f- 1 == r -j- 2i — 2 (quando sia i> e 

(3) E nota la proprietà caratteristica di queste serie (reciprocamente) resìdue; che cioè un 
gruppo dell'una e un gruppo dell' altra , presi pur comunque , formano sempre insieme un gruppo 
della serie canonica (j/fp-^)- 



SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 



359 



15. E cominciamo col supporre i= 1 (1). Avremo curve C 2 ^ 1 di S,, nelle quali 
la serie lineare segata dagli iperpiani ha per residua una g\. Queste curve si possono 
dunque tutte ottenere come proiezioni delle C 2 ^; 2 (canoniche) di S r +i rispett. da loro 
punti (2). Sono in generale prive di punti doppi; ne acquistano uno soltanto quando 
contengono una #3, il che non si verifica, in generale almeno, se r -j- 1 > 3, ossia 
r > 2 (3). 

16. Poniamo i = 2, quindi r > 3 (4); avremo curve del tipo C 2 ^ 2 , e queste 
contengono una g\. Potrebbe questa g\ avere un punto fisso (5), e la nostra curva 
sarebbe allora proiezione di una C 2 ! 4 " 3 di S r +i, starebbe sopra una rigata razionale 
normale, e ne segherebbe ogni generatrice in tre punti; avrebbe anche sempre un 
punto doppio. 

Escludiamo questo caso, e supponiamo quindi la g\ priva di punti fissi. Si può 
domandare se e quando i suoi gruppi possano essere collineari. Supposto che lo siano, 
e applicando alla serie la formola più volte cit. del sig. Segre (Rend. Lincei, 1887), 
si vede che la cosa risulta possibile in due soli casi, cioè per una C" di S 4 con punto 
doppio e per una di S 5 priva di punti doppi; curve che stanno rispett. sulle 
rigate R 3 e R 4 e ne tagliano ogni generatrice in quattro punti (6). 

Se poi i gruppi della g\ non sono collineari, essi staranno però certo in altret- 
tanti piani (cfr. Castelnttovo, Ricerche ecc., 14); e questi piani costituiranno una 
serie oo 1 razionale, normale (perchè è tale la nostra curva), e quindi di ordine r — 2 (7); 
una varietà M 3 -2 dunque, che conterrà la C 2 ^+ 2 . E poiché le quadriche di S r passanti 
per questa varietà formano un sistema lineare di dimensione C2 2 ) — 1, vi sarà certo 
un altro sistema, pure lineare, di dimensione 

! Ci 1 ) -.2.1- I ( r r 2 ) - 1 [ - 1 = r - 4 

e costituito da quadriche passanti tutte per la curva C 2r+2 , ma non per la varietà 
Ml~\ Queste quadriche segheranno già ogni piano di Wf 2 in quattro punti fissi 
(formanti un gruppo della g\); imporre dunque ad una di esse di contenere uno di 



(1) Le proposizioni generali trovate precedentemente non sono applicabili ai casi di i=\ e 
i — 2, nei quali la curva in discorso risulta di ordine ^ 2r -(- 2. La trattazione di questi casi è 
però ugualmente interessante, e servirà nel tempo stesso a render più completo il nostro studio. 

(2) In generale, una curva speciale C" di S r si può ottenere come proiezione di una C""'" 1 di 
S r+ i quando la serie residua (rispetto alla serie canonica) della g r n da essa rappresentata ha qualche 
punto fisso. È questa la traduzione (per le curve degli iperspazi) del teorema inverso del Reduc- 
tionssatz di Noethee. 

(3) Se la C 2 .*^ 2 di S^^_j sta (come può effettivamente stare) sul cono normale ellittico di or- 
dine r -f- 1 — epperò contiene (condizione necessaria e sufficiente a ciò) una serie CO 1 ellittica di 
coppie di punti — la sua proiezione in S r starà sul cono ellittico di ordine r; è così che si ottiene 
quell'unico caso già considerato di curva di genere tt — 1 giacente su di un tal cono. 

(4) Essendosi supposto * <C r — 1, i risultati che otterremo per un dato valore di i varranno 
solo per r~>i-{- 1 (ossia per gli spazi superiori a S,^ ). 

(5) Più di uno, si vede subito che non può averne. 

(6) Queste curve si possono ottenere .come intersezioni delle rigate che le contengono con 
varietà del quarto ordine condotte per due rispett. quattro loro generatrici. Nel primo caso la 
varietà Mg* dovrebbe anche toccare la rigata R 3 in un suo punto. 

(7) Da ciò segue altresì che mai tre punti di uno stesso gruppo della g\ potranno essere collineari. 



360 



GINO FANO 



questi piani equivarrà ad imporle due (nuove) condizioni ; e noi potremo perciò sempre 
trovare nell'ultimo sistema una quadrica la quale contenga almeno Ì - I ~ o (se- 
condo che r è pari o dispari) fra quegli stessi piani. L'intersezione residua di questa 
quadrica colla varietà Wf 2 sarà una superficie F di ordine (non superiore a) r ~ 
rispett. — 5 — ; e su questa dovrà stare la curva proposta. La superficie stessa con- 
terrà pure una oo 1 razionale di coniche, e sarà perciò (a meno che la conica gene- 
rica non si spezzi) razionale, a sezioni iper ellittiche; sarà anche normale, perchè tali 
sono le sue sezioni (1). Il genere di queste sarà uguale all'ordine della superficie F 
diminuito di r — 1 ; non potrà quindi essere superiore a ; ma, in gene- 
rale, avrà precisamente l'uno l'altro di questi valori. La curva C 2r+2 (che dicemmo 
stare su F) si potrà ottenere come intersezione (completa parziale) di F stessa e 
di una quadrica (altra del sistema co r_4 , e non contenente la superficie F (2)); e se 
di queste essa è intersezione solo parziale, l'intersezione residua sarà costituita da 
un certo numero i nel caso più generale 7 —~ j di coniche. Infatti ogni qua- 
drica passante per la curva C 2r+2 e non per F sega ciascuna delle coniche di questa 
già in quattro punti fissi, posti su quella curva ; sicché la conica di F passante per 
un nuovo punto eventualmente comune a F stessa e a quella quadrica avrebbe co- 
muni con quest'ultima già cinque punti, e starebbe perciò tutta su di essa (3). 

L'ordine della superficie F potrà però qualche volta abbassarsi, — e altrettanto 
avverrà allora del genere delle sue sezioni — . Così, p. es., se la M^ - * fosse un cono 
— se cioè quegli oo 1 piani passassero tutti per un medesimo punto — vi sarebbe 
certo nel sistema co r_4 una quadrica contenente anche r — 5 fra quegli stessi piani; 
la superficie F risulterebbe allora di ordine r -\- 1 e colle sezioni di genere due, e 
le sue co 1 coniche passerebbero tutte per un medesimo punto (4). La curva C 2r+2 
sarebbe allora intersezione completa di questa superficie con una quadrica. 

Più particolarmente ancora può darsi che quelle oo 1 coniche (passando pur sempre 
per uno stesso punto) si scindano tutte in coppie di rette (concorrenti in questo punto); 
allora la superficie F sarebbe un cono di ordine r -j- 1 e genere due, e la C 2r+2 sa- 
rebbe intersezione (completa) di questo cono con una quadrica non passante pel suo 
vertice. Questa curva conterrebbe allora una serie co 1 (di genere 2) di coppie di 
punti, e la g\ sarebbe, in un certo senso, composta mediante quella serie (sarebbe 
cioè la g\ entro la stessa co 1 di coppie di punti) (5). 



(1) Sono infatti curve iperellittiche , ottenibili come intersezioni di una rigata razionale nor- 
male con una quadrica condotta per un certo numero di sue generatrici. 

(2) E di quadriche così fatte ne esisteranno certo, se r > 4. 

(3) Abbiamo così anche un modo, e abbastanza semplice, per trovare delle curve piane atte a 
rappresentare queste C 2 .^ 2 , partendo cioè dalle note rappresentazioni delle superficie a sezioni 
iperellitiche (Cfr. alcuni lavori del Castelnuovo che verranno cit. più particolarmente in seguito). 

(4) Questa superficie si rappresenterebbe precisamente con un sistema di sestiche piane aventi 
a comune un punto quadruplo e duS punti doppi infinitamente vicini a questo. 

(5) Il ragionamento fatto è, come si vede, assai semplice; ma si può anche applicarlo (con 
poche e lievissime modificazioni) in molti casi analoghi, alcuni dei quali sai-anno pure accennati in 
seguito. Per questo appunto ho voluto esporlo qui per disteso. 



SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 



361 



Questo ragionamento non è più applicabile (tutto almeno) al caso di r = 4. Dal 
fatto però che per la G\ n di S 4 passano sempre co 1 quadriche (tutte quelle cioè di 
un fascio) segue senz'altro che questa curva dovrà stare sulla superficie F* comune 
a quelle stesse quadriche (e uno dei coni del fascio sarà precisamente costituito dai 
piani che contengono i singoli gruppi della g\). 

Riassumendo dunque, abbiamo : Una curva C 2 ^+; 2 di S r (r > 4) la quale non stia 
sulla rigata R r_1 sta in generale su di una superficie razionale normale di ordine 
~2~ {secondo che r è numero pari o dispari) a sezioni iperellittiche di genere 

o rispett. ; e può ottenersi precisamente come intersezione di questa superfìcie 

con una quadrica passante per ^-5- o sue coniche. L'ordine della superfìcie, e cor- 
rispondentemente il genere delle sue sezioni e il numero di queste coniche, possono però 
abbassarsi e ridursi rispett. fino ai valori limiti r -j- 1, 2, 0; in quest'ultimo caso la 
superfìcie può anche essere un cono di ordine r -f- 1 e genere due. — Infine per r < 8 
la curva C 2 ^ 2 può anche stare su di una F r razionale a sezioni ellittiche comune a 
tutte le quadriche che la contengono (e ciò si verifica anzi sempre per r==4) (1); e per 
r = 5 esiste anche una G\ z contenuta in una F| di Veronese. 

Queste curve sono tutte prive di punti doppi, meno l'ultima (Ci, 2 di S 5 ) che ne 
ha uno (2). 

17. Per i > 3 lo studio delle curve C 2 ^} di S r rimane assai facilitato, potendo 
noi già asserire a priori (in forza di teoremi precedenti) che ciascuna di queste curve 
dovrà stare su di una superficie normale a sezioni razionali od ellittiche. Sappiamo 
anzi che questo secondo caso potrà presentarsi solo per r < 9 (e anzi solo per r < 8 
se l'ordine 2r-|-i = 18-j-i della curva in S 9 non è un multiplo di 3); ma possiamo 
anche ritrovare la stessa cosa per altra via. 



(1) Questo ci è confermato (almeno in parte) anche dall'enumerazione delle costanti, la quale 
ci dice appunto che la Q^+i generale non sta certo sulla F r razionale a sezioni ellittiche se r > 4 , 
ma può forse starvi per r = 4. Infatti le curve C 2 . ^ 2 di Sr formano, tutte insieme, un sistema 
di dimensione almeno uguale a (r -j- 1) (2r -f- 2) — (r + 3) (r — 3) ossia r 2 -4- 4r -4- 11 (cfr. Castelnuovo : 
Numero delle involuzioni razionali etc; " Rend. Acc. dei Lincei „; serie II, 1889). Quelle invece che stanno 
sopra una F r a sezioni ellittiche (esclusa almeno la F 8 di seconda specie) ne formano uno di dimen- 
sione {r ì + 10) -+- (3r + 5) = r 2 + 3r + 15. (Infatti le F r di Sr a sezioni ellittiche sono OO r2+10 (r < 9), 
e su ciascuna di queste le C 2 r | ~t[ 2 — che si rappresentano con C 7 piane aventi nei 9 — r punti fon- 
damentali rispett. un punto triplo e 8 — r punti doppi — formano (per r ^ 8) 9 — r sistemi lineari 
di dimensione appunto 35 — 6 — 3 (8 — r) = 3r-j- 5). E questo secondo numero (r 2 + Sr -f- 15), infe- 
riore al primo per r > 5, diventa invece eguale ad esso per r = 4. 

(2) Volendo fare a parte la ricerca delle C 2 .!^ 2 con punto doppio, si potrebbe osservare che 
queste ultime contengono una g r <& X , quindi (come residua), una g\; e questa può essere composta 
mediante una #3 (ma non altrimenti) — e allora si hanno le curve esistenti sulla rigata R r— 1 
e considerate da principio — , oppure non composta (e senza punti fissi). In tal caso la C 2r ~*~ 2 deve 
potersi riferire a una sestica piana, il che esige r -f- 4 Si 10, quindi r < 6, e anzi r < 5 perchè la 
sestica piana generale non contiene alcuna g\. Per r = 4 si ha allora la Cg° di S4 coi gruppi della g\ 
collineari; per r = 5, la Cg 2 di S B posta sulla superficie di Veronese. 

Serie IL Tom. XLIV. u 1 



362 



GINO FANO 



Abbiamo già osservato che la curva contiene una serie lineare glil 2 - Perciò, 
se questa serie non è composta e non ha punti fissi, quella curva sarà certo rife- 
ribile a una GfTf. ( semplice ) di S,_i , sulla quale la g\~lz verrà segata dagli S,_ 2 
contenuti nel suo Sj_i. 

La serie g^U non può essere composta. Infatti, essendo y - r < 4 (se i > 2), essa 

potrebbe tutt'al più essere composta con una serie co 1 di coppie o di terne di punti. 
Quest'ultimo caso si esclude subito, perchè l'ordine 3i — 2 non è certo multiplo di 3. 
Quanto al primo, esso potrebbe presentarsi soltanto quando i fosse pari; e, supposto 
allora i = 2k, il genere della serie di coppie di punti non potrebbe superare il limite 
(3A: — 1) — (2k — 1) = k (1). E questo ci porterebbe a concludere che le congiun- 
genti di quelle stesse coppie di punti formerebbero una rigata di ordine < r — 1, 
risultato che è manifestamente incompatibile colle nostre ipotesi (anche nel caso 
estremo dell'ordine = r — 1). 

La serie glTl 2 può avere un punto fisso. Allora la curva è proiezione di una 

Q2r+i+i di g r+1 . s t a quindi sulla rigata razionale normale e ha un punto doppio. Le 
generatrici di questa rigata determinano su di essa una g\, e la glTl z che si ottiene 
dalla g&~A 2 col fare astrazione dal punto fìsso è precisamente composta con quest'ul- 
tima serie. — E possiamo anche dire, inversamente, che ogni C 2 ^ di S r (i < r — 1) 
tracciata sulla rigata R r_1 in modo da incontrarne ogni generatrice in tre punti deve 
avere un punto doppio e può ottenersi come proiezione di una C 2r+i+l di S r+ i. — Più 
di un punto fisso la glTÌ 2 non può avere. 

Escluse pertanto queste curve contenenti una gl, non resteranno che quelle ri- 
feribili a una C 3 ' -2 di S,_! ; e siccome d'altra parte il genere di questa C 3 ' -2 non può 
essere superiore a 15, se i = 3; a 16, se i — 4; e a 3 (i -(- 1) , se i > 4, potremo 
concludere che, fuori della rigata R r ~', 

le curve possono esistere soltanto per r -4- 6 < 15 ossia per r < 9 (dunque 

per r = 5, 6, 7, 8, 9); 

le curve C 2 .^ 4 solo per r -f- 8 < 16 ossia per r < 8 (dunque per r = 6, 7, 8); 

le curve C 2 /^ (i > 4) solo per r -(- 2i < 3 (i -f- 1) ossia per r < i -f- 3 (dunque 
per r = i -f- 2, i + 3); 
e anzi queste ultime (come si vede facilmente) se r > 9 dovranno stare anch'esse 
sulla rigata R r-1 , ma ne taglieranno ogni generatrice in quattro (anziché in tre) 
punti (2). 



(1) La serie g\il.i si riduce infatti, su questa OO 1 di coppie di punti, a una 5f*_ì; e quest'ul- 
tima serie è certo non speciale se 3k — 1 <.2{2k- — 1) ossia se 1. 

(2) Per r < 9 potranno invece essere contenute ancora in superficie di ordine r; ciò proviene 
dal fatto che la curva C 3i ^ 2 di Sj_ 1; pur essendo in generale contenuta in una rigata R t—2 e in- 
contrando le generatrici di questa in quattro punti, può tuttavia, p5r valori particolari di i, incon- 
trare queste stesse generatrici in cinque punti, o anche stare sulla superficie di Veronese. — E questo 
limite 9 (e anzi 8 quando l'ordine della curva, per r = 9, non risulterebbe multiplo di 3) mi sembra 
veramente notevole. Certo che non ne abbiamo una nuova dimostrazione dei risultati già ottenuti 
dal sig. Del Pezzo per le superfìcie razionali a sezioni ellittiche (in quanto specialmente queste non 



SOPRA LE CURVE DI DATO ORDITsE, ECC. 



363 



18. Possiamo riassumere i risultati ottenuti sulle curve di genere tt — 1 e di 
ordine compreso fra 2r -f- 1 e 3r — 2 (limiti inclusi) — curve quindi del tipo 
Cf.^ (0 < i < r — 1) — nel modo seguente: 

Per ogni valore di r e di i esiste: 

Una con punto doppio e contenuta in una rigata razionale normale R r_1 della 

quale essa incontra ogni generatrice in tre punti; 

Per ogni valore di r abbiamo ancora: 

Una C 2 .^ 1 , in generale priva di punti doppi, che è sempre proiezione di una C 2 ^ 2 
canonica di S r +i. Può contenere una serie ellittica di coppie di punti, e allora 
sta sul cono normale ellittico di ordine r (e passa semplicemente pel vertice 
di questo cono); 

Una C 2 /^ 2 , che contiene una g\ (lineare) e sta (in generale) su di una superficie 

1 — 1 

razionale normale a sezioni iperellittiche di genere < — ~— . Questa stessa curva 

può contenere una serie co 1 di genere due di coppie di punti, ed è allora inter- 
sezione del cono normale di genere due (e ordine r -\- 1) con una quadrica non 
passante pel vertice di questo cono. Anch'essa non ha, in generale, punti doppi; 

Una C|J!~Ìj anche priva di punti doppi, contenuta in una rigata R r_1 e incontrata 
da ogni generatrice di questa in quattro punti. Essa è riferibile (in generale) 
se r è pari, a una C r+1 piana con punto (r — 3) pl ° ; se r è dispari, a una C +2 
piana con un punto (r — 2) pl ° e un punto triplo (contiene dunque in questo caso 
una g\-i); 

Una CjjJ!~! con punto doppio, e contenuta pure in una rigata R r_1 di cui incontra 
ogni generatrice in quattro punti. Essa può riferirsi (in generale) a una C r+2 
piana con un punto (r — - 2) pl ° e un punto doppio. 

Per r < 9 si hanno poi ancora le curve seguenti : 



possono esistere per r >• 9); ma ne abbiamo però una conferma , notevole sopratutto per il modo 
in cui vi siamo giunti, partendo cioè da un ordine di idee affatto diverso da quello in cui era lo 
stesso sig. Del Pezzo. La stessa via, considerando le curve di genere ti — 2, ir — 3, conduce ai 
limiti analoghi 11, 14, 



364 



GINO FANO 



Indicazione 


Numero 

dei 


Superficie 


in cui le curve 




Curve piane 


della 


curva 


punti 
doppi 


sono 


contenute 




cui sono riferibili (1) 


Nello 

spazio S 4 






Superfìcie F 4 


a sezioni ellittiche 


C 7 


piana 


(A 3 B?BIBSBJ) 




c? 


i 
1 


ouperncie r 


di Veronese 


ne 


piana 


(A 2 ) 


Neil 

azio 






» •*- 


a sezioni ellittiche 


C 7 


piana 


(A 3 BfBSBD 


a 


Cu 


— 


H 








(A? A 2 A 2 AI) 


ocf 

o 






QUptìI JJ.OJ.ti r 


O OD71AT11 tìlllTTl^hO 






(A 3 B? B|) 


1=1 ° 

® 'tu * 








Il » 






(A? Al AD 


a 


ri 16 






II II 




piana 


(A 3 A 3 B 2 ) 


» i 


Ci? 


— 


Superfìcie F 7 


a sezioni ellittiche 


c 7 


piana 


(A 3 B 2 ) 


c3 


1 CÌ5 




» 








(A? Al) 


a 


| cjs 




11 




ns 






* 1 

* ! 


' c>? 




)) 






11 


(A 3 B 2 ) 




CI! 


— 


Superficie F 8 


di prima specie 


C 7 


piana 


(A 3 ) 




b u 




?» 








(A 2 ) 


m 1 

_o 

°3 


1 risi 




» 




c 8 


piana 


(A 3 ) 


cS 

a < 

ro 


V20 


— 


1! 










o 


1 PUS 
^12 




» 


tll otJL'UllU.d OUcLiC 






(A 4 B 3 ) 


ss 1 




— 


1) 


ii ii 


C 9 


piana 


(Ai A 4 ) 




p22 
^20 




II 


ii ii 




piana 


(A 5 B 4 ) 


02 

-S o 


rt2i 




Superficie F 9 


a sezioni ellittiche 


C 7 


piana 


generale 


Nel 

spazi 


r(24 

^21 






Il I! 


c 8 


piana 





(1) Le parentesi (A 3 Bj B2 B3 B4) ecc. di quest'ultima colonna — e così pure quelle dell' ana- 
loga tabella alla fine del § 8 — indicano i punti multipli delle varie curve piane. La prima C 
avrebbe quindi un punto triplo (A 3 ) e quattro punti doppi (b\ . . . B4) — la multiplicità essendo 
sempre data dall'indice superiore — . E da questo si deduce anche facilmente quali serie notevoli 
di gruppi di punti contengano le varie curve. 



SOPRA LE CURVE DI DA.TO ORDINE, ECC. 



3(55 



Sistemi lineari di quadriche di dimensione (V) — 3. 
Loro varietà basi. — Superfìcie di ordine r-j-1. 

19. — Lo stesso teorema del n° 9 ci da ancora, per i = 3 : 
Se nello spazio S r (r > 5) si ha un gruppo di 2r -4- 3 -f- x (x > 4) punti indipen- 
denti e tali che le quadriche passanti per 2r -4- 3 qualunque fra essi passino sempre 
di conseguenza pei rimanenti, questi punti staranno tutti su di una W z ~ 2 = co 1 razio- 
nale normale di piani (che sarà anche segata in una rigata R r ~ 3 daU'S r _ 2 di r — 1 
fra quei punti). 

Si può mostrare anche qui che le quadriche passanti per quei primi 2r -(- 3 
punti dovranno averne comuni di conseguenza non solo x, ma infiniti altri. — Sup- 
poniamo infatti che il loro sistema lineare abbia soltanto un numero finito 2r -j- 3 -f- x 
di punti basi. Per questi punti passano certo ( r ^ 2 ) — 2r — 3 ossia (0 — 2 quadriche 
indipendenti, mentre per la varietà Mj~* non ne passano che Ci"*); vi sarà dunque 
un sistema lineare (almeno) co 2r_6 (e quindi, se r > 5, di dimensione certo > 0) di 
quadriche passanti per i punti proposti e non per la varietà M^ -2 . Fra queste pren- 
diamone, possibilmente, una che seghi la M^ 2 stessa in una superficie irriduttibile ; 
superficie che risulterà di ordine 2r — 4 e colle sezioni iperellittiche di genere r — 3, 
e passerà per quei certi punti. Si seghi ancora questa superficie con una quadrica 
che non la contenga, ma passi per questi stessi punti; si avrà così una curva di 
ordine 4r — 8, per la quale passeranno ( r 7 2 ) -4- 2 quadriche indipendenti. Su questa 
le quadriche di S r segheranno una glr-ìe', e obbligando queste stesse quadriche a 
passare per quei primi 2r -4- 3 punti , rimarrà una gf r Z% che dovrà avere x punti 
fissi. Se noi dimostreremo che questa serie (supposta almeno la C 4r_8 irriduttibile) 
non può avere più di tre punti fìssi, potremo dunque concluderne che, nel nostro 
caso, la superfìcie o la curva di cui sopra saranno necessariamente riduttibili, e che 
perciò le quadriche passanti per i punti proposti avranno certo infiniti punti a 
comune (1). Supposto pertanto che la g%z\$ possa avere anche tre punti fissi, basterà 
mostrare che la g^-li ottenuta astraendo da questi ultimi non può averne più alcuno. 
E questo appunto che ora faremo. 

La superficie considerata di ordine 2r — 4 si può infatti rappresentare sul piano 
col sistema delle curve di un certo ordine r — 1 -j- u (u < r — 3) aventi a comune 
un punto (/• — 3 -f- (a) pl ° — che chiameremo P — e poi ancora |n punti doppi infi- 



ci) Infatti, se la superficie F 2r i fosse necessariamente riduttibile , la cosa sarebbe quasi evi- 
dente, perchè in ogni iperpiano — e precisamente sulla sezione determinata da questo nella M 3 
— vi sarebbe qualche punto comune a tutte quelle quadriche. Che se poi la superficie potesse 
prendersi irriduttibile, ma non così la curva sua sezione con una quadrica, le sezioni così ottenute 
(non potendo, come si vede facilmente, spezzarsi in curve di un fascio) avrebbero certo tutta una 
parte a comune (parte che passerebbe per alcuni almeno fra i punti proposti). 



366 



GINO FANO 



ratamente vicini a questo e 2r — 4 punti semplici (1). La sezione determinata da 
una quadrica in quella superfìcie — in particolare dunque la curva considerata di 
ordine 4r — 8 — si rappresenterà allora con una curva piana di ordine 2r — 2 — J— 2jl* 
avente il punto P per (2r — 6 -f- 2ju) pl ° e poi ancora u punti quadrupli (À) infinita- 
mente vicini a questo e 2r — 4 punti doppi (B). Questa curva — che chiameremo C — 
è di genere 4r — 11, e contiene perciò come serie canonica una gZ~ìh ad ogni 
gZ-ìi su di essa corrisponderà dunque come residua una Fissato pertanto un 

gruppo arbitrario G 2r _ 2 di quest'ultima serie, potremo segare su C la g%z\% col sistema 
lineare delle curve di ordine 2r — 5 -f- 2|n che passano per il gruppo G 2P _ 2 e sono 
aggiunte a C stessa, hanno cioè il punto P per (2r — 7 -f- 2|u) p, °, i u. punti A per 
tripli, e passano ancora semplicemente per i 2r — 4 punti B (2). Da una qualunque 
di queste curve si staccheranno però le u rette che congiungono P ai singoli punti A ■ 
e, facendo astrazione da queste, rimarrà una curva generica T di ordine 2r — 5 — (- p. 
avente il punto P per (2r — 7 -f- u.) pl °, i u. punti A per doppi, e passante ancora sem- 
plicemente per i 2r — 4 punti B. E qui possono darsi due casi : 
1° La curva generica f è irriduttibile; 

2° La curva stessa si spezza; e in tal caso, non potendo spezzarsi in curve 
di un determinato fascio (3), essa conterrà necessariamente una parte fissa. E questa 
parte può essere costituita soltanto: 

a) Da un certo numero di rette uscenti dal punto P; 

b) Da una curva di un certo ordine li avente in P la multipli cità h — 1 (4). 
Esaminando separatamente questi diversi casi — cosa che non presenta d'al- 
tronde alcuna difficoltà — si trova che ciascuno di essi conduce effettivamente a 
determinare sulla curva C delle serie gZ-lì, ma prive tutte di punti fissi. Per non 
dilungarci troppo, ci limitiamo ad accennare in nota il ragionamento (5). — La 

(1) Il numero \x è la differenza da r — 3 dell'ordine della direttrice minima della superficie in 
discorso (ordine che è appuuto < r — 3). Cfr. ad es. Castelnuovo : Sulle superfìcie algebriche ecc. 
C Rend. di Palermo „, IV). 

(2) La serie g\ r r ~Z 22 e certo completa, essendo tale la c/gr— 16 e quindi la ^gr— 19 ( v - P a S- prec.). 

(3) Perchè se no la #6r-22 risulterebbe composta mediante una serie lineare, di ordine 5 3 se 
r>5 e ^4 se r = 5; e di serie così fatte sulla curva C non ne esistono. (Per r — 5 sarebbe anche 
una g i diversa da quella che è segata dalle rette uscenti da P). 

(4) Non da una curva di ordine h avente in P la multiplicità h — 2, perchè se no la g%ZXi 
dovrebbe risultare composta mediante la g\ segata dal fascio P. 

(5) Cominciamo col supporre che la curva generica T passante pel gruppo G2r-2 s i a irridut- 
tibile. — È facile riconoscere che un sistema lineare CO d di curve di un ordine qualunque n avente 
un punto {n — ■ 2) pl ° e u punti doppi basi non può avere ancora , se ci ^ n — \i — 1 , più di 
3 (n — u) — {d + 1) punti basi semplici, e non più di 4 (n — n) — 2{d-\- 1) se invece d < n — /u. — 1; 
ciò segue immediatamente dal fatto che la serie caratteristica del sistema (ossia la serie lineare segata 
sopra una curva generica di questo stesso sistema dalle rimanenti curve di esso) è non speciale nel 
primo caso, e speciale nel secondo (e quindi — fatta astrazione dai punti fissi — composta mediante 
la gl). Nel nostro caso si ha n = 2r — 5 .-)- w, d = 2r — 8 ; sicché i punti basi semplici non potranno 
essere in numero superiore a 

4 (2r — 5) — 2 (2r — 7) = ir — 6, 

e siccome tanti appunto ci sono già dati dai 2r — 4 punti B e dal gruppo G. 2r — 2> C0Sl e chiaro 
che la #6r— 22 non potrà avere in questo caso nessun punto fisso. 

Supponiamo ora che le curve f passanti pel gruppo G 2r _ 2 contengano tutte una certa retta a 



SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 367 

serie gtz\ 9 sulla curva C ,r_8 (supposta irriduttibile) non può avere dunque più di 
tre punti fissi, e questo ci permette di cod eludere: 

Se nello spazio S r (r > 5 J si ha un gruppo di 2r -(- 7 o più punti indipendenti e 
tali che le quadriche passanti per 2r -f- 3 qualunque fra essi passino sempre di conse- 
guenza pei rimanenti, queste quadriche avranno certo a comune infiniti punti (e quindi 
tutta una linea, passante per una parte almeno di quei primi punti). 

Ovvero anche: Se nello spazio S r (r > 5) si hanno k (> 2r -f- 4) punti indipendenti 
e tali che le quadriche passanti per 2r-f-3 qualunque fra essi passino sempre pei rima- 
nenti — ma non per altri punti fissi — dovrà essere altresì k < 2r -f- 6 (1). 

20. Questi stessi risultati, uniti ad osservazioni precedenti, ci danno ancora: 
Una curva (irriduttibile) appartenente a S r e di ordine superiore a 2r -f- 4 per la 
quale passino C7 1 ) — 2 quadriche indipendenti è sempre contenuta in una superficie 
comune a queste stesse quadriche. Si può anche riconoscere facilmente che questa super- 
ficie sarà di ordine < r -\- 1 (2); e sarà anzi (in generale) di ordine precisamente 



passante per P. Astraendo da questa, la curva residua variabile (che supponiamo irriduttibile) dovrà 
essere di ordine 2r — 6 -f- M, colla multiplicità 2r — 8 -j— n nel punto P, e coi soliti u punti doppi (A) 

e 2? 4 punti semplici (B) basi. Ma il sistema di queste curve non può avere (v. sopra) più di ir — 10 

punti basi semplici, e d' altra parte i' punti B e il gruppo G2 r _ 2 ne danno già complessivamente 
4r — 6; quattro di questi punti (e precisamente del gruppo Gz r — 2) dovranno dunque stare sulla retta a 
(ossia il gruppo Gr 2r _ 2 dovrà contenere tutto un gruppo della g\); ma con tutto ciò la serie g^r— 22 
non potrà avere ancora punti fissi. — Questo ragionamento suppone implicitamente che la retta a 
non passi per nessuno dei punti A e B; ma se passasse anche per uno di questi, le considerazioni 
stesse già esposte, con poche modificazioni, si potrebbero ancora ripetere e condurrebbero all'identica 
conclusione. E un ragionamento analogo si potrebbe anche fare quando dalla curva generica f si 
staccasse un numero maggiore qualsiasi di rette uscenti da P. 

Se infine la curva generica T contiene una parte fìssa di un certo ordine h e colla multiplicità 
li — 1 nel punto P (parte che potrà essere irriduttibile, anche contenere a sua volta qualche retta 
uscente da questo stesso punto) è chiaro che, astraendo da tutta questa parte, rimarrà un sistema 

lineare di curve Y di un certo ordine k — 2i 5 -(— ili — h e colla multiplicità k — 1 nel punto P. 

Questo sistema sarà di dimensione 2r — 8 e avrà (fuori di P) precisamente 

ÌVL±*L _ *Érj> _ 2r + 8 = 2k - 2r + 8 

punti basi semplici. Ma fra le intersezioni della sua curva generica Y k colla C ne cadono nel punto P 
sole (k — 1) (2r — 6 4- 2^); fuori di P dovranno dunque esservene 

k(2r —2-1- 2u) — (k — 1) (2r — 6 f 2u) = 4Jc + 2r — 6 + 2u 

Ammesso perciò (ed è il caso più sfavorevole) che fra quei 2k — 2r -f- 8 punti vi siano tutti u i 
punti A e che i rimanenti siano anche tutti punti B, è chiaro che da questi stessi punti potranno 
essere assorbite soltanto 

4u -f 2 (2k — 2r + 8 — u) = 4& — 4r + 16 — 2u 

di quelle intersezioni, e perciò certo 6r — 22 fra esse cadranno fuori dei punti basi del sistema 
delle Y fc e saranno quindi tutte variabili. Questo caso più sfavorevole è anzi il solo che jtossa presen- 
tarsi (quando si voglia ottenere una gì^Z. 22); ma esso ci conduce ancora a una serie priva di 
punti fissi. 

(1) Il valore massimo & = 2r-f-6 può essere però raggiunto; e se ne ha un esempio nel gruppo 
generale delle intersezioni di una quadrica con una curva (normale) di ordine r -+- 3 e genere 3. 
Così pure, nell'ultimo enunciato del n° 10, può essere anche h = 2r -{- 4. 

(2) E quindi di ordine < r + 2 la linea considerata nel penultimo enunciato del n°. preced. 



368 



GINO FANO 



= r-\-l, se per la curva proposta non passa un numero di quadriche superiore a 
quello indicato. — Avvertiamo però che in questo enunciato (e così pure in seguito) 
si dovrà sempre ritenere r > 6 — . Possiamo anche aggiungere: 

Se un sistema lineare di quadriche di S r è di dimensione — 3 e ha infiniti punti 
basi, questi punti non potranno costituire (colle stesse riserve del teorema analogo 
dato al n° 11) che una curva di ordine < 2r -j- 4 o una superficie di ordine < r — j— 1. 

La prima di queste due proposizioni si applica in particolare (cfr. § 2) alle curve 
(normali) di genere tt — k e di ordine superiore a 

j^+'a.l jr-l j + Z + l 

dove l è il resto della divisione di k per 3. 

21. Si vede subito però che dalle superficie di ordine r -4- 1 teste comparse nei 
nostro studio possiamo escludere senz' altro tutte quelle non normali (per le quali 
passano appunto, in generale, meno di (V) — 2 quadriche indipendenti). E, fra quelle 
normali, si devono anche escludere le rigate ellittiche, per le quali ne passano sol- 
tanto (V) — 3. Non rimangono perciò che le superficie (normali) a sezioni di genere 
due, cioè: 

a) i coni normali di genere due: 

b) le superficie non rigate, che sono razionali, ma esistono soltanto per r < 11 (1). 
Nel caso estremo r— 11 queste superficie possono rappresentare: 

il sistema delle quartiche piane con un punto doppio base; 

„ delle quintiche con un punto triplo e un punto doppio; 
„ delle sestiche con un punto quadruplo e due punti doppi infinitamente 
vicini a questo. 

Per r < 11 rappresentano invece i sistemi ottenuti da questi coli' aggiunta di 
uno o più punti basi semplici. 

Quindi: Una curva appartenente a S r e di ordine superiore a 2r — |— 4 perlaquale 
passino precisamente ("J 1 ) — 2 quadriche indipendenti — in particolare dunque una 
curva, normale di genere tt — k e di ordine superiore al limite ricordato poc'anzi — 
sta sempre sopra un cono normale di genere due, o (se r < 11) su di una superficie 
razionale normale a sezioni di genere due comune a tutte quelle quadriche. 

Per il cono di genere due possiamo ripetere le stesse considerazioni già fatte 
per il cono ellittico (n° 13), e dedurne che il caso di una curva giacente su di 
esso si presenta solo, per così dire, come eccezione. Ne seguirà che le curve di 

genere tt — k e di ordine n > | ~ l -4- 2 j J r — 1 | — j — ^ — j — 2 dove l ha il noto signi- 



(1) Più generalmente anzi, una superficie razionale colle sezioni di genere p > 1 non può appar- 
tenere a uno spazio superiore a S 3p+ 5 (e se appartiene a un S 3/)+ 5 le sue sezioni devono essere 
curve iperellittiche). Questi risultati — e le loro traduzioni per i sistemi lineari di curve piane — 
si trovano in diversi lavori del sig. Castelnuovo; cfr. ad es.: Sulle superficie algebriche le cui sezioni 
piane sono curve iperellittiche (" Rend. di Palermo „, IV); Massima dimensione dei sistemi lineari dì 
curve piane di dato genere (" Ann. di Mat. „, serie II, t. XVIII); e Ricerche generali sui sistemi lineari 
di curve piane {" Mem. Acc. di Torino „, serie II, voi. XLII). 



SOPRA LE CORVÈ DI DATO ORDINE, ECC. 



£69 



ficato staranno in generale, se r > 11, sopra almeno (V) — 1 quadriche indipendenti, 
e anzi precisamente sopra ( T ~ l ) tali, ancorché non abbiano 1' ordine superiore a 
(* + 2) (r - 1) + 1. 



§ 8. 

Sulle curve di genere n — 2. 

22. I risultati ottenuti nel § precedente si applicano in particolare alle curve 
di genere tt — 2, per le quali, come sappiamo, passano sempre almeno C7 1 ) — 2 
quadriche indipendenti (e ne passano anzi certo almeno ( r ~ l ) — 1 se l'ordine è supe- 
riore a 3r — 2, e (V) se è superiore a ir — 3; condizioni queste, s'intende, solo 
sufficienti). — Daremo ora un cenno su queste curve di genere tt — 2 (come già si 
è fatto per quelle di genere tt — 1); ma proponendoci di tenere, nei limiti del pos- 
sibile, la massima brevità. 

E cominciamo colle curve di ordine inferiore a 3r — 1, quindi del tipo C^i j 
(supposto anche qui < i < r — 1) (1). Esse contengono per i a 2 — come residua 
della g\ r+i segata dagli iperpiani — una gl^, e di ciò avremo a valerci in seguito. 
Fra queste curve, come si vede facilmente, possono stare sul cono normale ellittico 
soltanto quelle di ordine 2r -j- 1 (m = 2, s = z — 1) e 2r -f- 2 (m = s=2, z = 0); 
e sul cono normale di genere due soltanto quelle di ordine 2r-)-3(m=2, s=l, 2 — 0)(2). 

23. Facendo i = l, abbiamo curve del tipo C 2 /^ 1 , e queste sono certo non 
speciali. Possono stare, come abbiamo veduto or ora, sul cono normale ellittico (3). 

Per i — 2 (r > 3) abbiamo delle C 2 ^j 2 , che si possono tutte ottenere come proie- 
zioni delle curve canoniche C 2 /^ 4 di S 2 rispet'.. da loro corde. Non hanno in gene- 
rale punti doppi, perchè se no dovrebbero contenere almeno una g\, il che, in 
generale appunto, per r -4- 3 > 6 ossia r > 3 non si verifica. 

Per i — 3 (r > 4) abbiamo curve C 2 ^ 3 contenenti una g\. E qui ci converrà 
distinguere vari casi: (4) 

a) Curve con due punti doppi: Stanno tutte sulla rigata R' -1 e ne incontrano 
ogni generatrice in tre punti. Solo la C{o di S 5 può incontrare queste stesse rette 
in quattro (anziché in tre) punti. 



(1) Anche queste curve (come quelle di genere tt — 1 considerate nel § 6) sono tutte normali. 

(2) Per il significato di queste varie lettere cfr. n° 13. 

(3) Sono di questo tipo anche le curve di ordine 2r+l che stanno sul cono razionale normale 
di ordine r — le hanno nel suo vertice un punto triplo (v. C. Segre : Becherches générales etc, I ; 
" Math. Ann. „, XXX). 

(4) Possiamo supporre che la g\ non abbia punti fissi, perchè se no la C 2 .^ 3 si potrebbe 
ottenere come proiezione di una C 2 ^ 4 di Sr+l (che è di genere tt — 1 , e quindi da noi già stu- 
diata). Questo caso si presenta anche quando la C 2r+S sta sul cono normale di genere due. 

Serie II. Tom. XLIY. v 1 



370 



GINO FANO 



b) Curve con un (solo) punto doppio: Per ciascuno dei valori r = 5, 6, 7, 8, 9, 
abbiamo una C^+ 3 contenuta in una F r razionale a sezioni ellittiche (di prima specie, 
per r = 8); e di più, per r = 6, una Cu che sta sulla rigata R 5 e ne incontra ogni 
generatrice in 4 punti (1). 

c) Curve prive di punti doppi: In queste curve i gruppi della g\ non sono mai 
collineari; possono però stare in piani per r < 11 (e in questo caso vi sono preci- 
samente 11 — r gruppi con una terna di punti collineari). La nostra curva è allora 
contenuta in una superfìcie di ordine r -f- 1 comune a tutte le quadriche passanti 
per essa; e la stessa superficie sarà anche luogo delle coniche determinate dai sin- 
goli gruppi della g\ , delle quali 11 — r si spezzeranno (naturalmente) in coppie di 
rette (2). — Infine i singoli gruppi della serie g\ possono appartenere a spazi S 3 (non 
però a S 4 ). Applicando a questo caso un ragionamento analogo a quello già tenuto 
in altra occasione (v. n° 16), si trova che queste curve stanno allora (in generale) 
in una superfìcie contenente una oo 1 razionale di quartiche ellittiche, e di ordine 

12(r — 1) 

non superiore a z . 



24. Sia ora i — 4; r > 5. Avremo curve del tipo C^ 4 ; e queste contengono 
una gi, che possiamo anche supporre priva di punti fìssi. 
a) Questa serie g| può essere composta: 

a) Con una serie co 1 di coppie di punti di genere k < 3. Questo è possibile 
solo per k — 3 ; e si ha così una curva di ordine 2r -j- 4 (priva di punti doppi) che 
è l' intersezione generale di un cono normale di ordine r -f- 2 e genere 3 con una 
quadrica (non passante pel suo vertice); 

(3) Con una serie lineare g\. I gruppi di questa possono essere collineari nei 
tre casi di r = 6, 7, 8; e troviamo così delle curve contenute rispett. nelle rigate 
razionali normali R 5 , R 6 , R 7 . In ogni altro caso i gruppi della g\ dovranno apparte- 
nere ad altrettanti piani; e la curva C'^ 4 starà su di una superficie razionale nor- 
male di ordine (in generale) 3 * 2 o 3? 3 , a sezioni iper ellittiche di genere y o 
r —^. — ; e si potrà segare su questa stessa superfìcie con una quadrica condotta per 

Li 

' 6 o r _ sue coniche. L'ordine della superficie, il genere delle sue sezioni, e il 

numero di queste coniche possono però abbassarsi fino ai limiti rispettivi r -j- 2, 3, 0, 
e in quest'ultimo caso la superfìcie può anche essere un cono (iper ellittico) — il che 
rientra nel caso a) — . Per r < 11 l'ordine della superficie può anche ridursi a r -f- 1, 
e può ridursi anche ad r per r < 9, e a quattro per r = 5; in questi casi però la 
superficie stessa risulta comune a tutte le quadriche passanti per la curva proposta. 



(1) Quest'ultima curva — e così pure la C{1 di S s di cui all'ai, a) — contengono evidentemente 
una g\ e quindi infinite g\ con un punto fisso; ma contengono pure rispett. due ed una g\ prive di 
punti così fatti. 

(2) E questo va d'accordo perfettamente con un risultato già ottenuto dal Castelnuovo {Sulle 

superfìcie algebriche le cui sezioni piane sono curve iperellittiche, n° 5). 



SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 



371 



b) Se la g| non è composta (e non ha punti fissi) la C^^ 4 sarà riferibile a una 
C 8 piana. Questo esige naturalmente r -j- 7 < 21, ossia r < 14; e si hanno così vari 
casi semplicissimi, che saranno poi enumerati, alla fine di questo §, nella relativa 
tabella. 

25. Per 4 < i < r — 1 , sappiamo già che la curva C^J^j deve stare su di 
una superficie (razionale) di ordine r — 1, r, o /• — j— 1 e colle sezioni di genere 
rispett. 0, 1, 2, comune a tutte le quadriche che la contengono. Si potrebbe però 
ritrovare questo per altra via e fare nel tempo stesso un'enumerazione dei vari casi 
che queste curve possono presentare, partendo dalla considerazione della serie glTZi 
su di esse. Basterebbe perciò osservare che questa serie non può essere in alcun 
modo composta (e ciò per ragioni analoghe a quelle già esposte al n° 17 per la 
serie <&i); ma può essere costituita da una giiì 6 , composta con una g\, più due punti 
fìssi, anche da una g l s ~l 5 non composta e alla quale si sia aggiunto un punto fisso. 
Esclusi questi due casi che dànno luogo a curve proiezioni di altre già studiate, 
l a C^+lw-i dovrà sempre essere riferibile a una C 3t_4 (semplice) di S,_ 2 . E questo per 
i = 5 i = 6 richiede r < 11 ; per i > 6, r < i -f- 4. — Lo studio ulteriore di queste 
curve non presenta del resto alcuna difficoltà, e perciò appunto ci limitiamo ad 
enumerarle alla fine di questo §. 

26. Le curve di S r di genere tt — 2 e di ordine n 3r — 1 stanno, come già 
si è detto, sopra almeno Ci" 1 ) — 1 quadriche indipendenti, e quindi su di una super- 
ficie (normale) di ordine r r — 1 comune a tutte queste quadriche (almeno se r > 3). 
E questo varrà in particolare per le curve di ordine =Sr — 1. Del resto, se anche 
non lo sapessimo, basterebbe osservare che queste curve contengono tutte (come 
residua della g\ r -\ segata dagli iperpiani) una glTl^ che non può essere in alcun modo 
composta. Prescindendo perciò dal caso in cui questa serie abbia un punto fisso — 
e la nostra curva sia quindi proiezione di una ClJ_ 2 di S r +i (di genere ir) — è chiaro 
che la Cfzl dovrà sempre essere riferibile a una C 3r ~ 5 (semplice) di S r _ s . Questa 
curva (che è pure di genere tt — 2, e corrisponde precisamente al tipo di S fc ) 
sta sempre sulla rigata razionale normale (B/~ 3 ) del suo spazio, — anche, per r = 7, 
sulla superficie di Veronese (1) — . Da questo e dalle note proprietà delle curve trac- 
ciate sulle rigate razionali normali ( v. § 3) si può dedurre senza alcuna difficoltà che : 

In ogni spazio S r esiste una Gfrl che sta (per r > 3) sulla rigata R' _1 , e ne 
incontra ogni generatrice in tre in quattro punti (0, in casi particolari, anche in 
cinque) ; 

Nello spazio S 5 esiste anche una CU (con due punti doppi) contenuta in una 
superficie di Veronese; 

E infine, per tutti i valori di r~ inferiori a 9, si hanno ancora delle curve 
Ct-\ giacenti sulle superficie razionali di ordine r a sezioni ellittiche (di l a specie 
per r — 8). 



(1) Questo, per ora, lo ammettiamo, riservandoci di dimostrarlo fra poco (v. n' 28 e 29). 



372 



GINO FANO 



27. Veniamo ora alle curve del tipo Cjj£ +1 . Quelle fra esse che stanno sopra 
( r j l ) quadriche indipendenti saranno pur contenute (se r > 2) in una rigata R' -1 , 
della quale potranno incontrare ogni generatrice in tre o in quattro punti (e nei casi 
di r = 4- e r — 5 anche in cinque punti). Per altri particolari rimandiamo al quadro 
posto alla fine del §. Sulla superficie di Veronese invece la C^ +1 (CU per r = 5) 
non può stare. 

La stessa curva può stare però sul cono normale ellittico, incontrandone Ogni 
generatrice in tre punti (distinti dal vertice). Una tal curva sarà sempre priva di 
punti doppi, e si potrà ottenere (e lo si vede facilmente) come intersezione di questo 
cono con una varietà cubica (MjLi) non tangente ad esso in alcun punto e non 
passante pel suo vertice. 

Infine, per r < 9, le curve Cjj£ , 1 possono anche stare su di una superficie razio- 
nale normale a sezioni ellittiche (di prima e seconda specie per r = 8), e sono allora 
precisamente l'intersezione (generale) di questa stessa superfìcie con una varietà 
cubica (M?_i) di S r (cfr. anche la tabella in fine del §) (1). 



(1) La serie lineare g\ r segata dagli iperpiàni sopra una C'^_i eli Sr ha per residua rispetto 
alla serie canonica {g^r} un'altra g\ r , — che può in particolare coincidere con essa — . Si dice in tal 
caso che questa serie è autoresidua, e l'insieme di due suoi gruppi qualunque è allora sempre un gruppo 

3/* 

della serie canonica. Questa particolarità si presenta certo per tutte le C 3r+ i che stanno sopra 
sole C^ 1 ) — 1 quadriche indipendenti, perchè su queste curve la g^. canonica si può appunto rite- 
nere segata dal sistema di tutte le quadriche di Sr. Invece sulle C 3 ^ +1 che stanno sopra C"^ 1 ) 
quadriche indipendenti esistono due g Sr distinte e residue l'una dell'altra (come si vede subito ricor- 
rendo p. e. alle rappresentazioni piane che dalle curve stesse si possono ottenere con successive 
proiezioni); e la g&r~~ 1 segata dalle quadriche è quindi una serie non speciale (completa). — Il 
signor Castelnuovo, nella Nota (II): Osservazioni intorno alla geometria sopra una superficie algebrica 
C Rendiconti Ist. Lombardo „, serie II, voi. XXIV) ha determinato quali sono le curve di genere 3r 
che contengono una g^ r _i autoresidua. Questo corrispondeva al caso limite inferiore, dovendo l'or- 
dine n di ogni g r n autoresidua essere > 3r — 1 (e quindi il genere (=»-(-l) della curva > 3r). Noi pos- 
siamo ora fare la determinazione analoga perii caso successivo (n — dr); e, tenuto conto altresì del 
fatto che una g$ r autoresidua non può essere in alcun modo composta (non con una g\ lineare, se no 

la curva starebbe sulla rigata R r— ; non con una serie di coppie di punti , perchè la formola del 
Segee condurrebbe a un risultato assurdo) e non può nemmeno avere punti fissi, concluderemo : 

Qualsiasi curva di genere 3r -f- 1 che contenga una g 3j . autoresidua è riferibile: 

Per r — 2: A una sestica piana con tre punti doppi posti in linea retta (poiché due rette qua- 
lunque del piano devono poter far parte, insieme, di una cubica aggiunta a questa sestica, è chiaro 
che non sono qui possibili altri casi); 

Per r > 2 : All'intersezione generale dì una superficie normale di ordine r a sezioni ellittiche con 
una varietà cubica di dimensione r — 1. E questa superficie sappiamo pure che è certo un cono se 
r > 9 ; e solo per r < 9 può essere non rigata e razionale. 

In particolare quindi : Ogni g 3r autoresidua in cui sia r > 9 deve contenere una g^T 1 composta 
con una serie OO 1 ellittica di terne di punti, e perciò ogni curva contenente una tal g\ r deve potersi 
rappresentare con una curva ellittica C di S r _ 1 tripla (da contarsi cioè tre volte). Il fatto che 
quest'ultima curva ammette r 2 spazi S r _ 2 iperosculatori si traduce p. e. in quest'altro: Nella serie g^ 1 
vi sono v 1 gruppi costituiti rispett. da altrettanti gruppi della g 3 ellittica contati ciascuno r volte. 



SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 



373 



28. Dimostreremo ora che le curve di genere ir — 2 appartenenti a S. r , quando 
l'ordine loro n è superiore a Sr stanno sempre sulla rigata R r_1 o sulla superfìcie 
di Veronese. 

Queste curve, per n > Sr, non possono stare infatti sul cono ellittico; già la 
curva di ordine Sr -\- 1 (passante semplicemente pel vertice di tale cono) è di ge- 
nere soltanto tt — 3, e le successive sarebbero di genere ancora inferiore a tt — 3. 
Rimane dunque solo da verificare se, per r < 9, queste stesse curve possano stare 
sulle superfìcie razionali normali di ordine r. 

E si vede facilmente di no. Infatti, indicando con m l'ordine della curva piana 
cui verrebbe riferita la C" nella solita rappresentazione della superficie, e supposto 
che questa y m abbia negli i = 9 — r punti fondamentali (escludiamo la F 8 di seconda 

specie) rispett. le multiplicità v u i\, , v % , sarà n = Sm — "Lv; e perciò, se vogliamo 

che il genere p della curva C n sia precisamente uguale a tt — k, dovrà essere 

w > (Sin— Ir — r) (3w— Tv— 1) , q-, 

1 ~ 2{r — l) 1 ; ' 

Ma d'altra parte abbiamo pure 



< («.-DO» -2) _ z (|) 



Quindi, a fortiori: 



(Sm — Zv — r) (3m — lv — 1) , - (m -\\ y f>\ 

27^=1^ * ■— l « 

Risolvendo ora questa disuguaglianza rispetto a m, e determinando (il che non 
offre difficoltà) il limite superiore del secondo membro, si trova alla fine 



m 



3-f4 ^kTl. 



Ossia : Se sopra una superficie razionale normale a sezioni ellittiche ( esclusa la F s 
di 2 a specie) si ha una curva di genere tt — k , l'ordine m della sua rappresentante 
piana nella solita rappresentazione della superficie non può superare il limite 3 -f- 4 j/k+1. 

In particolare, le curve di genere tt — 2 devono avere rappresentanti piane di or- 
dine non superiore a 9 (2). 

Ciò posto, ne segue senz'altro la verità del nostro asserto, perchè già le curve 
^srtì ( ac ^ es - ^ a di S 8 ) — e a fortiori le successive — dovrebbero avere le rap- 
presentanti piane di ordine > 10. 



(1) La frazione che compare al secondo membro è infatti il valor minimo che può avere il 
genere tt corrispondente all'ordine n = 3m — lv (e questo valore lo si ha appunto quando "Zi 
è intero e quindi — x)- 

(2) Per le curve di genere ir — 1 si avrebbe m < 8; e questo è confermato dai risultati otte- 
nuti nel § 6. 



374 



GINO FANO 



Un ragionamento affatto analogo si potrebbe applicare alla F 8 di 2 a specie; ma 
per brevità lo omettiamo. 

29. Possiamo però anche giungere allo stesso risultato per altra via, mediante 
considerazioni sopra serie lineari. Supponiamo infatti che per una curva C|f^ +1 
(e sono di questo tipo appunto — per < i < r — 2 — quelle che ora dobbiamo 
considerare) (1) passino soltanto Cà 1 ) — 1 quadriche indipendenti. Il sistema di tutte 
le quadriche di S r segherà allora sopra questa curva una gf M _ 2i ; e siccome la serie 
canonica è in questo caso una $f(r+S > ® chiaro che la stessa curva dovrà anche con- 
tenere, come residua di quella prima serie, una g\,. Faremo vedere che una tal serie 
essa non può contenerla, a meno di non stare sulla rigata R r-L , — il che sarebbe 
contrario alle nostre ipotesi — . 

La curva proposta non potrà infatti riferirsi a una G il di Si, perchè quest'ultima 
avrebbe per genere massimo 21 se i — 2, 25 se i = 3, e 6 (i -f- 1) se i > 4; do- 
vrebbero dunque verificarsi in questi casi rispett. le relazioni 



le quali sono invece tutte incompatibili coll'ipotesi fatta i < r — 2 ossia r > i -j- 2. 

La g x ki non può nemmeno essere composta mediante una serie co 1 di coppie di 
punti (di genere < 1), ne mediante una serie di terne di punti (se i è multiplo 
di tre), ne infine con una g\ (lineare) i cui gruppi appartengano ad altrettanti piani, 
perchè sempre l'applicazione della formola del sig. Segre condurrebbe ad un risul- 
tato assurdo (si troverebbe cioè che la nostra curva, che abbiamo supposta appar- 
tenere ad S T , dovrebbe stare sopra una rigata di ordine < r — 1, o su di una M 3 
di ordine < r — 2). Ne la g\ può avere qualche punto fisso, perchè, se ne avesse 
ad es. un certo numero k, astraendo da questi, rimarrebbe una che dovrebbe 

essere rappresentabile mediante una G H ~ h di S i; oppure composta mediante una 
serie co 1 di coppie o terne di punti ; ipotesi tutte che conducono agli stessi risultati 
assurdi di prima. 

Rimane dunque la sola ipotesi che la g\ { sia composta mediante una g\ coi gruppi 
collineari. Ma allora le rette contenenti questi singoli gruppi dovrebbero formare una 
rigata razionale normale (di ordine r — 1), e perciò la curva dovrebbe stare sopra ('i 1 ) 
quadriche indipendenti, mentre abbiamo supposto che stesse sopra sole Ci 1 ) — 1. 
E dunque in ogni caso assurda quest'ultima ipotesi; e possiamo perciò asserire che: 

Ogni curva appartenente a S, (r > 2) la quale sia di genere tt — 2 e di ordine n > 3r 
sta su di una superficie razionale normale di ordine r — 1 (comune a tutte le qua- 
driche che la contengono). 



Sr + 7 < 21 ossia 
Sr -f- 10 < 25 
Sr -f 3» + 1 < 6i + 6 „ 



r < 4 , se i = 2 ; 
r < 5 , se i — 3 ; 
r < * -f- 1, se % > 4 ; 



(1) Se fosse i> r — 2, l'ordine della nostra curva risulterebbe S 4r — 2, e in questo caso sap- 
piamo già che la proposizione che qui vogliamo dimostrare è vera. 



SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 



375 



30. I risultati ottenuti sulle curve (di S r ) di genere tt — 2 e di ordine > 2r -j- 1 
ma < 3r, su quelle curve cioè di genere tt — 2 e ordine > 2r che non stanno ne- 
cessariamente su di una F r ^', possono riassumersi così: 



a) Curve del tipo C^_ x (0 < i < r — 1): 

Per o^m valore di r e di i esiste: 

Una C;^j_ 1 con dwe punti doppi, che sta sulla rigata R"" 1 e ne incontra ogni gene- 
ratrice in tre punti ; 

Per ogni valore di r abbiamo ancora: 

Una C 2 /^ 1 (non speciale) che può presentare diversi casi, e può anche in particolare 
esser contenuta in un cono ellittico di ordine r. In questo caso avrebbe un punto 
doppio (non però nel vertice del cono); 

Una C 2 /^ 2 , che è sempre proiezione di una C 2r+i canonica di S r _|-2 , e può anche stare 
sul cono ellittico di ordine r (pel cui vertice deve allora passare doppiamente); 

Una C 2 ^+ 3 priva di punti doppi e contenente una #5. Questa curva può essere con- 
tenuta in un cono normale di genere due; 

Una C 2 /^ 4 anche priva di punti doppi e contenente una g\. Quest'ultima curva sta 
su di una superficie razionale normale a sezioni iperellittiche di genere < — ; su- 
perficie che può anche essere sostituita da un cono normale iperellittico di ge- 
nere tre (e ordine r -f- 1); 

Una ClrZt priva di punti doppi 

TT . | e contenuta in una rigata R r ~ 1 di cui incontra 

Una 0^2.7 con un punto doppio \ 

| ogni generatrice in quattro punti. 
Una C^r 2 con due punti doppi ] 

La prima di queste curve è riferibile (in generale) a una C r piana con punto 
(r — 4) pl ° se r è pari, e a una C'"+ 1 con punto (r — 3) pl ° e un punto triplo se r è 
dispari ; la seconda pure a una G r+1 con punto (r — 3) pl ° e un punto doppio ; la 
terza a una C'" +2 con punto (r — 2) pl ° e due punti doppi. 

Infine per r < 1 1 si hanno ancora le curve seguenti : 



376 



GINO FANO 



Indicazione 


Numero 
dei 


Superficie 


in cui le curve 




Curve piane 


delle curve 


punti 
doppi 




sono 


contenute 




cui sono riferibili 


co 


i °» 




Superficie 


F 5 a 


sezioni ellittiche 


0' 


piana 


(A ó ai ai) 


o 

£3 ° 

CD "3 


i 'L'io 


1 

X 






» 


!) 


» 


» 


/ A 2 A2 A 2 A 2 A2\ 

(Al A.; A3 Al A5) 




f cg 






F 6 


5) 


di genere due 


PIO 




(A?A^B?B|...B|)(i) 




, pl5 


— 


Superficie 


F 6 a 


sezioni ellittiche 


C 7 


piana 


( A 3 ~D2\ 


co 


< ^11 


1 


» 


» 




!! 


1) 


» 


t \2 A 2 A 2 A2\ 
\JXi J±2 ii-3 £i-4) 


spazio 


, 






F 7 


» 


di genere due 


C 10 


ii 


( A 5 A 1 T32T32T)2T)2r)2'v 






» 


F 6 


!) 


ellittiche 




» 


/ A 2 A 2\ 


o 


/ ^13 


1 






)) 


!! 


c 8 


1! 


/ 13 A3 T>2 T)2\ 

[Af Ai B[ B 2 ) 




| ^13 




» 


F 7 


IT 


di genere due 




11 


( A 3T»2T52T)2r>2T)2\ 




\ Vl3 






F 8 


11 


tre 


J> 


II 


/ A 2 A 2 A 2\ 

(A, Al ... Al) 




r*n 

M2 


— 


Superfìcie 


F 7 a 


sezioni ellittiche 


C 7 


piana 


(A 3 ) 




1 fi? 

^12 


— 




II 






c 8 


1! 


(A 4 B 3 ) 




^12 


1 




I! 


I! 


» 


c 7 


Il 


(A? AI A') 


CO 
O 

•rH 

N 


<ilg 


— 




F 


)) 


di genere due 




» 


(A?ASB?BSBSBS) 


pi8 


— 




F 7 


11 


ellittiche 


e 


II 


(A ) 


03 
(X 

GQ 


1 f 18 
| ^14 


1 




» 


Il 


» 


c 8 


I! 


t A 3 A :i T32\ 

(AJ A\ r> ) 


o 




~ 




F 8 


!» 


di genere due 


11 


11 


( A 3 T32 T}2 T}2 T}2\ 
(A I3| Ì3., 133 J3 4 ) 


CD 








F 9 


!! 


tre 


1) 


I! 


/ A 2 A 2 A 2\ 
1.-^1 -"-2 ••■ 










F 7 


Il 


ellittiche 




Il 


( A 4 A 4\ 

(Ai A 2 ) 






1 

X 






II 


» 


c 8 


I! 


/ A 3 "02 J32\ 
(A Jt)! I3 2/ ( 










F 8 


» 


di genere dite 


C 9 


Il 


1 A 4 T33 p2 P'2 P2"! 
(A U O t 2 3 J 




pl9 
M3 


1 


Superfìcie 


F s a 


sez. 


eli. di l a specie 


C 7 


piana 


(AfA|) 




pL9 
^13 


— 




F 9 


» 


di genere due 




» 


(Ai Ag B'f Bf B3) 




c| 


— 




F 




eli. di l a specie 


C 7 




generale 


00 

co 


f 20 


1 


» 


F 


» 


Oa 

» u ii 


c 8 




(A 3 A 3 ) 


.2 ' 




— 


11 


TH9 
JV 


!! 


di genere due 


II 


I! 


(A 3 B[BiB!) 


& 1 


' c 2 » 


— 


» 


F 1 " 


Il 


tre 


11 


11 


(AfAi...As) 


o 

CD 




1 


11 


F 8 


II 


eli. di l a specie 


II 


11 


(A 3 B 2 ) 








!! 


F 9 


11 


di genere due 


c 9 


11 


(A 4 B 3 C| CI) 




p22 


1 


II 


F 8 


!! 


eli. di l a specie 


C 8 


11 


(A 2 A2) 


: 


pìì 
Vig 


1 


11 




!ì 


2 a 

» - 1 ti 


c 9 


11 


(A 4 B 3 ) 


i 


r<ì2 

^19 




II 


F 9 


!! 


di genere due 


II 


II 


(A 4 Bi 2 BIB 3 ! ) 



(1) Si noti (per questa curva, e per le analoghe che si troveranno più avanti) che i due punti 
quintupli potrebbero essere (in particolare) infinitamente vicini. Se non lo sono, l'ordine di questa 
rappresentante piana si può abbassare (per r < 10) con una trasformazione Cremoniana (e la su- 
perficie F r+ (qui F 6 ) si potrà certo rappresentare con un sistema di quartiche piane). 



SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 



377 



Indicazione 
delle curve 



«2 
O 



c3 



m 
o 

»rH 

N 
C3 

& / 

ni \ 



O 



ca 



p22 
M8 



p24 
^19 



ri 26 

M8 

^20 

p28 
^22 

ri29 

C30 
26 

^88 



Numero 

dei 
punti 
doppi 



Superficie in cui le curve 
sono contenute 



Superfìcie F 9 a sezioni ellittiche 
„ F 10 „ di genere due 



F 10 

F 9 

F 10 



» tre 
„ due 

ellittiche 

di genere due 



Superfìcie F u a sezioni di gen. due 



F 12 
F u 



tre 
due 



Superfìcie F 12 a sez. di gen. due di l a 
o 2 a specie (1) 

n » » •» . a « 



F 13 
F 12 



„ gen. tre 
„ „ e£wel a specie 

la 

» » » ■■■ » 

2 a 

la 



Curve piane 
cui sono riferibili 



C 7 piana (A 2 ) 
C 10 „ (A?A1B 2 B1) 
C 8 „ (A 3 B 2 B 2 ) 
« (A? ... A?) 
(A 4 B 3 C 2 ) 
(A 8 ) 

(A 4 B 2 B 2 ) 
(A 5 B 3 C 2 ) 



C 9 
C 8 
C 9 



C 10 piana (A\ A| B 2 ) 



C 9 
» 

C 10 



C 10 
C 8 



C 9 

C ll 

C 12 



(A 3 B 2 ) 
(A 2 A 2 2 A 2 AI) 
(A 4 B 3 ) 
(A 4 B 2 ) 
(A 5 B 3 ) 
(A 5 B 2 ) 

(A? A|) 
(A 3 ) 

(Af A 2 . A 2 ) 
(A 5 B 4 ) 
(A 4 ) 
(A 6 B 4 ) 
(A 5 ) 
(A 7 B 4 ) 



e negli spazi S 12 , S 13 e S I4 esistono ancora rispett. una C?j, una C|8 e una Gif con- 
tenute in superficie razionali normali (di ordini 14, 15, 16) a sezioni di genere tre 
(di prima specie) (2) e riferibili a una C 8 piana con 2, 1 e punti doppi. 



(1) Per la distinzione delle superficie a sezioni di genere due (e, più generalmente, a sezioni 
iperellittiche) in specie, cfr. il lav. cit. del Castelnuovo (" Rend. di Palermo „, IV). La nostra super- 
ficie F 12 si dirà di prima specie se non ammette direttrici di ordine < 3 (ma di direttrici cubiche 
ne ammetterà allora un fascio); e di seconda specie se ammette una direttrice conica o rettilinea, 
o se le sue OO 1 coniche passano tutte per uno stesso punto (che sarà triplo per essa). In questo 
primo caso la F 12 può essere tanto di prima quanto di seconda specie (con direttrice rettilinea); in 
seguito, dove è detto di seconda specie, deve intendersi con direttrice conica. 

(2) Cfr. Castelnuovo: Sulle superficie algebriche le cui sezioni sono curve di genere tre (" Atti di 
Torino „, XXV). 

Seme II. Tom. XLIV. x 1 



378 



GINO FANO 



b) Curve di ordine 3r — le genere 3r — 2 : 

Queste curve, per ogni valore di r, possono stare sulla rigata R r_1 , incontran- 
done ogni generatrice in quattro punti. Hanno in tal caso due punti doppi, e sono 
riferibili a una C r+3 piana con un punto (r — l) pl ° e due punti doppi. Della rigata 
R r_1 esse possono però incontrare ogni generatrice anche in soli tre punti; hanno 
allora un punto doppio, e sono proiezioni di una C 3 ' di S r+ i — intersezione della 
rigata R r di questo stesso spazio con una varietà cubica (M 3 .). 

Abbiamo poi ancora: 

1. Una G\l di S 4 contenuta in una rigata R 3 e incontrata dalle generatrici di questa 

in 5 punti. Non ha punti doppi ed è riferibile a una sestica piana generale ; 

2. Una CI3 di S 5 con due punti doppi e contenuta in una F 4 di Veronese. E riferibile 

a una C 7 piana con due punti doppi; 

3. Infine, per r < 8, una Gf r z\ contenuta in una F r a sezioni ellittiche (di prima 

specie per r — 8) e riferibile a una C 9 piana con punto quadruplo e 8 — r 
punti tripli (1). 

c) Curve di ordine 3r e genere 3r -f- 1 : 

Queste curve, per ogni valore di r, possono essere contenute: 

1. In una rigata R r_1 , della quale incontrino ogni generatrice in quattro punti. Hanno 

allora due punti doppi e sono riferibili a una C r+4 piana con un punto r pl ° e 
due punti doppi (2). Della stessa rigata R r_1 esse possono anche incontrare le 
varie generatrici in soli tre punti; non hanno allora punti doppi, e si possono 
ottenere (per r > 6) come intersezioni di questa rigata con una varietà di quarto 
ordine (M 4 _x) passante per una sua direttrice di ordine r — 4 ; 

2. In un cono (normale) ellittico di ordine r ; e sono allora l'intersezione di questo 

cono con una M 3 _! non passante pel suo vertice. 

Per r < 9 le stesse curve possono anche essere intersezioni di una F r a sezioni ellit- 
tiche con una M 3 _ t . Questa proprietà ne dà anche immediatamente le rappresen- 
tazioni piane (per questo caso). 

E infine per r — 4 e r = 5 le curve C|| e Cìi contenute rispett. in una rigata R 3 R 4 pos- 
sono anche incontrare ogni generatrice di questa stessa rigata in 5 punti. La 
di S 4 ha allora un (solo) punto doppio, e la CJ1 di S 5 non ne ha alcuno (3) (4). 



(1) Nel caso di r = l questa rappresentazione non è però sempre possibile; quando non lo sia, 
la curva Cjg si potrà invece riferire a una C 8 piana con due punti doppi. E anche per r < 7 
potrebbe la C^Zìl riferirsi a una C 8 piana con 7 — r punti tripli e due punti doppi; ma questa 
rappresentazione non differirebbe allora sostanzialmente dalla precedente. 

(2) Per r=3 si avrebbe una Cj contenuta in una quadrica, e che dalle generatrici di uno 
dei due sistemi di questa sarebbe incontrata effettivamente in quattro punti. Da quelle dell' altre 
sistema essa sarebbe però incontrata in cinque punti. 

(3) Questa Cjg di S B è riferibile alla curva di 10° ordine intersezione generale di una quadrica 
del nostro spazio con una superficie di quinto ordine (e anzi da una generatrice qualunque della 
rigata R 4 che la contiene essa si proietta precisamente in una curva così fatta). 

(4) I risultati ottenuti in questo § risolvono completamente, nel loro insieme, la questione 



SOPRA LE CORVÈ DI DATO ORDINE, ECC. 



379 



Applicazione dei risultati precedenti 
alle rigate e congruenze di rette. 

31. I risultati ottenuti in questo lavoro si riferiscono, in gran parte almeno, a 
curve e a superfìcie per le quali passa un sistema lineare di quadriche (in generale 
non tutte degeneri) di nota dimensione ; lé proprietà da noi stabilite potranno dunque 
tradursi facilmente in risultati di Geometria della retta (1). Rappresentandoci infatti 
— nel caso di r = 5 — una qualsiasi Q (purché non degenere) fra quelle quadriche 
coll'insieme delle rette dello spazio S 3 , è chiaro che ogni altra quadrica del sistema 
considerato determinerà nella prima una sezione rappresentata a sua volta da un 
complesso quadratico; e alla nostra curva o superficie corrisponderà (nella quadrica 
delle rette) una rigata o una congruenza di rette comune a tutti questi complessi (2). 



della determinazione di tutte le curve di genere Tt — 2 (e di ordine >• 2r) dei vari spazi (almeno 
per r — 3); — e l'analoga determinazione per le curve di genere n — 1 era a sua volta contenuta 
nei risultati che abbiamo esposti nel § 6. — Si potrebbe ora domandare di estendere queste ricerche 
alle curve di genere tt — 3, o (più generalmente) di genere ir — k (almeno per k non superiore a 
un qualche limite). Premesso che non è mia intenzione di occuparmi per ora di questo argomento, 
voglio però aggiungere che l'unica difficoltà forse che così facendo si incontrerebbe sarebbe quella 
di dare per i sistemi lineari di quadriche di dimensione 5= ('T*) — ^ ^ n ^i) un teorema analogo a 
quelli che ai n* 11 e 20 si sono dati rispett. per i sistemi di dimensione C^ 1 ) — 2 e C2" 1 ) — ^. 
Questo teorema dovrebbe scaturire probabilmente da quello (più generale) del § 4 ; ma dalle consi- 
derazioni di cui abbiamo dovuto valerci in sul principio dei §§ 5 e 7 non appare ancora (è un fatto) 
nessun concetto che si possa generalizzare e applicare ai casi successivi. Molte ragioni mi indur- 
rebbero a credere che quel massimo valore di n a cui ho accennato nel § 4 (n° 8) sia eguale precisa- 
mente a 2 (r — 1 -(- i) — almeno per i <r — 3 — , e questo è ormai assodato per i casi di i = 1,, 2, 3; 
per i casi successivi, è una questione che merita di essere studiata. 

Quello stesso teorema non sarebbe però applicabile alle curve di genere tt — k che quando l'or- 
dine loro fosse > 2(r + k). Per le curve di ordine <2{r-\-k) si potrebbero fare delle ricerche ana- 
loghe a quelle accennate nei casi di k = l (n* 15 e 16) e k = 2 (n* 23-25), partendo cioè dalla con- 
siderazione di qualche serie lineare sopra le curve stesse. È notevole forse in particolar modo la 

curva C^fj^Jj (che è appunto di genere tt — k per 2k<r — l, ossia T J ). Essa contiene 
una glfo che può essere composta con una serie OO 1 di coppie di punti di genere k-\-l, o con 
una g\ lineare (o anche con una serie OO 1 di terne di punti, di genere < -|- , se k è multiplo di 3), 
e può anche non essere in alcun modo composta, se r < Bk -j- 5 (k > 2). In ciascuno di questi casi 
si può determinare facilmente in che superficie la curva deve essere contenuta. 

(1) Cfr. ad es. la Mem. del sig. Klein già cit. nella prefazione. Alcuni fra i concetti conte- 
nuti in questa Memoria furono già applicati da me in un lavoro precedente (" Ann. di Mat. „, 
ser. II, t. XXI) allo Studio di alcuni sistemi di rette considerati come superficie dello spazio a cinque 
dimensioni. 

(2) La rigata avrà anzi lo stesso ordine e lo stesso genere della curva che rappresenta. Quanto 
poi alla congruenza, il suo ordine m e la sua classe n saranno dati rispett. dal numero dei punti in 
cui la superficie corrispondente è incontrata dai piani dei due sistemi della quadrica Q (sarà quindi 
m-\-n l'ordine della stessa superficie); e il suo rango sarà dato dalla differenza (m — 1) (n — 1) — {p -\- d), 
dove p è il genere delle sezioni di quella superficie e d l'ordine della sua linea doppia (se una tal 
linea esiste ; se no, si dovrà ritenere d = 0). 



380 



GINO FANO 



Noi potremo quindi ricavare dai teoremi già ottenuti proprietà delle rigate e delle 
congruenze di rette per cui passa un dato numero (un sistema lineare cioè di data 
dimensione) di complessi quadratici; e precisamente le proprietà relative ad enti 
contenuti (per r = 5) in co h quadriche si applicheranno alle rigate e congruenze con- 
tenute a lor volta in oo* -1 complessi quadratici. 

Cogliamo l'occasione per dare 1' analoga interpretazione anche dei risultati già 
ottenuti dal sig. Castelnuovo e qui ricordati al n° 1. 

32. Il genere massimo di una rigata algebrica di ordine n e non contenuta in un 
complesso lineare (1) è dato dal prodotto x j n — 2x — 3 } dove x è il minimo intero 

non inferiore a n ~ (2). 

Per una rigata algebrica di genere massimo (di genere cioè precisamente — 
X ) n — 2x — 3 } ) passano sempre almeno oo 4 complessi quadratici di rette, e ne passano 
precisamente tanti (e non di più) quando l'ordine di questa rigata non è inferiore a 10. 

Ogni rigata algebrica di ordine superiore a 10 e per cui passino oo 4 complessi 
quadratici (in particolare quindi ogni rigata di genere massimo e di ordine sempre > 10) 
è contenuta in una congruenza di rette comune a tutti questi complessi (3). Una tale 
congruenza può presentare due casi distinti: 

a) Congruenza (2, 2) costituita da una serie oo 1 di fasci di raggi coi centri 
su di una conica e i piani tutti tangenti a un medesimo cono quadrico (4). Questa 



(1) È in questa restrizione appunto che si traduce quella che imporrebbe alla curva C™ di ap- 
partenere allo spazio Se; essa è perciò indispensabile. Se la rigata stessa in un (solo) complesso 

lineare, il suo genere massimo sarebbe -^-(2n — 3x' — 5); e se stesse in infiniti (OO 1 ) complessi e 

quindi in una congruenza lineare, x" (n — x" — 2) ; — essendo x' e x" i minimi interi non inferiori 

, . n — 4 n — 3 
nspett. a — g — e — ^ . 

(2) Da questo risultato e da quelli contenuti nella nota precedente segue ancora che, nello 
spazio ordinario, una rigata di ordine ?» e di genere superiore a ^" 8 3 ^ sta sempre in un com- 
plesso lineare, e anzi in una congruenza lineare se il suo genere è superiore anche a ^ w ^g" — — . 

Infine, una rigata di ordine n e di genere > ^" ^ ^ è necessariamente un cono (o un inviluppo piano). 

Di quest'ultima proposizione è fatto cenno anche in una Nota del sig. Kuppee (" Math. Ann. „, XXXI); 
ma le considerazioni che hanno condotto Ì'A. a questo risultato sono affatto estranee alla geometria 
della retta ; tant'è vero che per dedurre questo stesso risultato dalla proprietà corrispondente delle 
curve di ordine n egli ha ricorso ancora a un ragionamento semplice sì, ma affatto inutile, visto 
che non si trattava d'altro che di applicare a un caso (e precisamente a uno spazio) particolare un 
risultato generale già ottenuto. 

(3) Per la rigata di genere massimo e di ordine = 10 (quindi di genere 6) il teorema non 
sarebbe più vero. Questa rigata può invece ottenersi in generale come intersezione di un complesso 
quadratico e di una congruenza (2, 3) o (3, 2) di genere uno (cfr. il mio lavoro cit., n° 6). Infatti la 
curva canonica generale di genere 6 (C\° di S B ) — che è riferibile a una sestica piana con quattro 
punti doppi — è contenuta in una superficie F B razionale a sezioni ellittiche, ed è precisamente 
intersezione di questa superficie con una quadrica non passante per essa. 

(4) Quella conica non deve però passare pel vertice di questo cono — . L'insieme di tutte le tan- 
genti a questo stesso cono che si appoggiano a quella curva si spezza precisamente in due con- 
gruenze (2, 2) così fatte; cfr. ad es. Kummer: Ueber die alg. Strdhlensysteme ecc. (" Abhand. der Beri. 
Ak. ,,1866) e Stubm: Die Gébilde ersten und zweiten Grades der Liniengeometrie ecc.; voi. DI (Leipzig, 1892). 



SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 



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congruenza corrisponde alla rigata razionale normale del quarto ordine di S 5 , del 
primo o del secondo gruppo (con una direttrice rettilinea cioè, oppure con una sem- 
plice infinità di coniche direttrici) secondo che il vertice di quel cono cade nel piano 
stesso della conica, oppure è esterno ad esso. In quest' ultimo caso la congruenza 
contiene una serie razionale oo 1 (di indici { 2, 2 J ) di rigate quadriche , passanti 
tutte per quella conica e tutte tangenti ai singoli piani di quell'inviluppo (ossia di 
quel cono) quadrico. L'una e l'altra di queste congruenze corrisponde per dualità a 
sè stessa ; 

b) Congruenza (1, 3) delle corde di una cubica sghemba, — oppure il sistema 
reciproco di questo, una congruenza cioè (3, 1) le cui rette siano le intersezioni a 
due a due dei piani osculatori a una tal cubica (siano quindi, in altri termini, le 
congiungenti delle coppie di punti omologhi di due piani collineari in posizione 
generale) — . Questi due sistemi (reciproci) sono ben distinti fra loro, ma corrispon- 
dono entrambi alla superfìcie di Veronese (1). L'uno e l'altro di essi contiene una 
serie co 2 di rigate quadriche (corrispondenti alle oo* coniche della F| di Veronese); 
e il sistema di queste quadriche (considerate rispett. nei due casi come luoghi e 
come inviluppi) è anzi lineare (2) (3). 



(1) Cfr. C. Segee, Considerazioni intorno alla geometria delle coniche di un piano ecc. (" Atti della 
R. Acc. di Torino „, XX). 

(2) Le rigate contenute in una congruenza di questo secondo tipo conterranno dunque a lor 
volta una cubica sghemba, incontrata da ogni loro generatrice in due punti, oppure saranno tali 
che per ciascuna di queste generatrici si possano condurre due piani osculatori a una determinata 
cubica. Possiamo anche dire che una qualsiasi di queste due proprietà dovrà sempre verificarsi per 
la rigata proposta o per una qualunque sua trasformata reciproca. Questo caso non può presentarsi 
però che per rigate di ordine pari; la metà di quest' ordine darebbe precisamente la multiplicità 
(per la rigata) della cubica dianzi considerata. 

Invece le rigate contenute in congruenze del tipo a) avranno tutte indistintamente una conica 

direttrice; e anzi, se la rigata è di genere massimo, il numero X (che sappiamo essere 2f . 5 , ma 

< — j — ) aumentato di un'unità ci darà, in generale, la multiplicità di questa stessa direttrice. 

Se però l'ordine della rigata fosse del tipo ém -f- 1 (m essendo intero) la stessa multiplicità potrebbe 
anche essere uguale a m -\- 1 (ossia a X + 2). 

(3) Per una rigata contenuta in un complesso lineare si può dire che , se è di ordine »>8 e 

,. / . ,. (n — i)(n— 1) (»-3)(n — 2) \ , , , > 
di genere massimo f quindi = - g o 5 ^ ), dovrà stare in una congruenza (1, 2) o 

(2, 1) — costituita nel primo caso dalle rette che si appoggiano a una retta data e a una conica 
pure data e avente